人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊4.4.3不同函數(shù)增長的差異

4.4.3不同函數(shù)增長的差異

教學(xué)目標(biāo)：

利用信息技術(shù)，通過列表法和圖象法，探究不同函數(shù)增長速度的各自特點(diǎn)及差異，并總

結(jié)其中的規(guī)律.

教學(xué)重點(diǎn)：一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)各自增長的特點(diǎn).

教學(xué)難點(diǎn)：歸納總結(jié)出不同函數(shù)增長的差異.體會對比地研究多個(gè)函數(shù)的過程.

教學(xué)過程：

引導(dǎo)語：在4.2.1的例2的第（1）小問中，進(jìn)一步研究了這一節(jié)的問題1,比較了A,

B兩地旅游收入的長期變化情況，A地為一次函數(shù)的增長，B地為指數(shù)函數(shù)的增長，兩種增

長方式存在很大的差異.那么該如何研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長的差異？

如生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖象進(jìn)行觀察、探索變化趨勢，根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行

計(jì)算、分析變化率關(guān),提出研究方法.實(shí)際上，函數(shù)的變化率Qi以作為?把尺子，用來“度

量”一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異.

設(shè)訶意圖：函數(shù)的表達(dá)方式有?:種：列表法、圖象法和解析式法.在本章，由于學(xué)生

研究函數(shù)增長的工具所限（主要是沒有導(dǎo)數(shù)工具〉，所以從解析式無法得出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論.因

此，史觀上通過圖象得到定性印象，數(shù)據(jù)上通過不完全歸納變化率都到定量結(jié)論.

1.指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異

問題5：選取適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間［0,+8）上的增長差異.你

能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn)嗎？

追問1：不妨以函數(shù)）=2',和y=2x為例，列出這兩個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)

表，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象.通過觀察圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在位置上有

什么關(guān)系？這說明了什么？

師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立完成.然后展示，教師可以利用信息技術(shù)，予以補(bǔ)充完善。對

應(yīng)表如表3所示，函數(shù)圖象如圖10所示.

1

表3

Xy=2xy=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

?????????圖10

學(xué)生獨(dú)立思考之后互相討論，最后在教師的幫助下得出結(jié)果.從圖象上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)

J=2?，和y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)（1,2）,（2,4）,并且這兩個(gè)交點(diǎn)將區(qū)間［0,+8）分成

了三段，兩個(gè)函數(shù)的圖象位置在這三段有所不同.這表明，雖然這兩個(gè)函數(shù)在［0,+8）上

都單調(diào)遞增，但他們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，而函數(shù)的

增長速度在變化.

追問2：通過對比這兩個(gè)函數(shù)的自變成與函數(shù)值的對應(yīng)表，分別計(jì)算它們的變化率今

你能發(fā)現(xiàn)什么？

師生活動：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，得到表4,完成后展示交流.從數(shù)據(jù)上，通過計(jì)算變化率父,

發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x的變化率恒定，即增長速度保持不變.而函數(shù)y=2'的變化率越來越大，即

增長速度在增大.

表4

紳Av

Xy=2xy=2x

AxAx

010

0.51.4140.8281

121.1722

1.52.8281.6563

2

242.3444

2.55.6573.3145

384.6866

???????????????

2

追問3：在更大的范圍內(nèi)，列出這兩個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)表，并在同一直角

坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，觀察它們的增長情況，從圖象上和數(shù)據(jù)上，你能發(fā)現(xiàn)什么？

師生活動：有了前面的經(jīng)驗(yàn)，借助計(jì)算工具和信息技術(shù)，教師引導(dǎo)并演示，全班集體完

成即可.對應(yīng)表如表5所示，函數(shù)圖象如圖11所示.

Xy=2xy=2x

010

244

4168

66412

825616

10102420

12409624

?????????

可以看到，當(dāng)白變黃x越來越大時(shí)，y=2,的圖象就象與x軸垂直一樣，2,的值快速增

長；而出數(shù)y=2x的增長速度依然保持不變，與函數(shù)y=2,的增長速度相比兒乎微不足道.

追問4：若以函數(shù)y=2,和y=3x為例，重復(fù)如上的過程，你能得到什么結(jié)論？若以函

數(shù)）.=3工和），=108為例呢？請大家選擇不同的指數(shù)函數(shù)和?次函數(shù)度復(fù)如上過程，你得到

的結(jié)論分別是什么？然后小組內(nèi)互相交流.

師生活動：學(xué)生根據(jù)上述要求完成.

追問5：通過對特定的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)

論？

師生活動：有了府特定指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行歸

納總結(jié)，教師F以補(bǔ)充.通過對）=2,和y=2x的研究發(fā)現(xiàn)，雖然兩個(gè)幅數(shù)在區(qū)間［0,+-）

上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大，y=

2,的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大廣y=2x的增長速度.盡管在x的?定變化范闈內(nèi)，

2、會小于2x,但由于y=2,的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個(gè)功,當(dāng)x

>.功時(shí)，恒有2工>2x.

一般地，指數(shù)函數(shù).v=d（?>1）與一次函數(shù)（上>0）的增長差異都與上述情況

類似.即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于。的值，），=〃（n>l）的增長速度最終都會大大超過y=^（k

>0）的增長速度.

3

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察圖象結(jié)合數(shù)據(jù)分析，數(shù)形結(jié)合地抽象出一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長

差異.

練習(xí)6.如圖12所示，（1）（2）（3）分別是函數(shù)y=3"和y=5x在不同范圍的圖象,

借助計(jì)算工具估計(jì)出使31>5x的x的取值范圍（精確到0.01）.

解：通過計(jì)算，如表6所列數(shù)據(jù).

表6

Xy=3xy=5x

0.261.331.30

0.271.351.35

2.1710.8510.85

2.1810.9710.90

因此使3*>5x的x的取值范圍是[0,0.26]U[2.18,+?].

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察圖象，并借助計(jì)算工具估計(jì)出使3*>5x的x的取值范圍，進(jìn)一步

體會指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的特點(diǎn)和差異.

2.對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異

問題6：選取適當(dāng)?shù)膶?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0,+8）上的增長差異.你

能描述一下對數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn)嗎？

追問1：類比問題5,你計(jì)劃怎樣研究這個(gè)問題？

師生活動：學(xué)生通過類比規(guī)劃研究方案：先取特殊的函數(shù)進(jìn)行研究，然后歸納得到一般

結(jié)論.

4

1

?in'

追問2：既如此，不妨以函數(shù)y=lgx和為例，列出這兩個(gè)函數(shù)的自變量與函

數(shù)值的對應(yīng)表，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象.

師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后教師利用信息技術(shù)予以補(bǔ)充完善.對應(yīng)表如表7

所示，函數(shù)圖象如圖13所示.

表7

1

Xy=lgx

?y=r10^

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

?????????

追問3：通過觀察圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在位置上有什么關(guān)系？這說明了什么？

y=

師生活動：教師提出問題，學(xué)生討論得出結(jié)果.從圖象上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=lgx和“

y=

雖然在［0,+8）上都單調(diào)遞增，但增長速度存在著明顯的差異.隨著x的增大，函數(shù)”

的圖象離X軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就象與X軸平行一樣.

5

追M4：通過對比這兩個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)去，分別計(jì)算它們的變化率點(diǎn)，

你能發(fā)現(xiàn)什么？

加生活動：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，得到表8,完成后展示交流.從數(shù)據(jù)上，通過計(jì)算變化率手,

Ax

發(fā)現(xiàn)函數(shù)了=奈的變化率恒定，即增長速度保持不變.而函數(shù)），=口的變化率越來越小，

即增長速度在減小.

表8

Av-1A)*

Xy=7^v

Ar10Ax

0不存在0

1011

201.3010.03012

301.4770.017631

401.6020.0125410

501.6990.00975

601.7780.00796

.??????????????

_1

y一京

追問5：如果將Igx放大1000倍，再對函數(shù)y-10001gx和的增長情況進(jìn)行比

較，那么仍然有前面所述的規(guī)律嗎？

師生活動：有了前面的經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定性分析.從圖象和數(shù)據(jù)上都可以看出，

隨著x的增大，一次函數(shù)的增長速度保持不變，而對數(shù)函數(shù)的增長速度一直在減小.所以一

_1

y-TTX

定存在一個(gè)枇，，當(dāng)x>'°，時(shí)，y=10001gx的增長速度比”的增長速度小，并且y

=10001gx的增長速度還會持續(xù)減小下去.

追問6：通過對特定的對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)

論？

師生活動：有了對特定對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行歸納

_1

y-TTX

總結(jié)，教師予以補(bǔ)充.通過對y=lgx和”的研究發(fā)現(xiàn)，雖然兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間［0,+

8）上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大，

_1

y-TTV

y=lgx的增長速度越來越慢，與的增長速度相比幾乎微不足道.

6

一般地，時(shí)數(shù)函數(shù)y=l。-(。>1)與一次函數(shù))，=衽(k>0)的增長差異都與上述情

況類似.不論。的值比上的值大多少，在一定范圍內(nèi)，!?鮑;可能會大「煤但由解

的增長慢于人的增長，因此總會存在一個(gè)加，當(dāng)X>XO時(shí)，恒有及睡〈晝.

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察圖象結(jié)合數(shù)據(jù)分析，數(shù)形結(jié)合地抽象出一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長

差異.

練習(xí)7.如圖14,對數(shù)函數(shù)y=lgx的圖象與一次函數(shù)y=f(X)的圖象有A,B兩個(gè)公

共點(diǎn).求一次函數(shù)y=f(x)的解析式.

解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=lgx過定點(diǎn)(1,0),即A(1,0).又當(dāng)*=2時(shí)?,

對數(shù)函數(shù)y=lg2,即B(2,lg2).因此過A,B兩點(diǎn)的直線方程為y=lg2X(x-1),即

一次函數(shù)y=f(x)的解析式為y=lg2X(x—1).

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察圖象，并根據(jù)對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，作定量計(jì)算，進(jìn)一步體

會對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的特點(diǎn)和差異.

3.同時(shí)比較一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

問題7：在問題5和問題6中，分別研究了指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)

的增長差異，如果將一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)同時(shí)比較，你能得到什么結(jié)論？

連問1：在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x,對數(shù)函數(shù)y=k>giox和指數(shù)函數(shù)產(chǎn)2r的

圖象，比較它們的增長有何差異？

師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)畫出圖象進(jìn)行探索.函數(shù)圖象如圖

15所示.

7

從圖象上同時(shí)比較三個(gè)函數(shù)，能夠內(nèi)觀上感受出，三個(gè)函數(shù)雖然都在增長，但增長速

度明顯不同.一次函數(shù)j，=2t增長速度保持不變，時(shí)數(shù)函數(shù)j，=logiax增長速度越來越慢，

指數(shù)函數(shù)1，=2,增長速度越來越快.

追問2：一次函數(shù)y=kx(k>0),對數(shù)函數(shù)回(a>l)和指數(shù)函數(shù))'=從(b

>1)的增長有何差異？

師生活動：有了前面的研究經(jīng)驗(yàn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，教師予以補(bǔ)充.一

般地，無論k(k>0)、a(a>l)、b(b>l)取何值，三種函數(shù)在區(qū)間(0,+~)上都單

調(diào)遞增，但一次函數(shù)總是保持固定的增長速度；對數(shù)函數(shù)的增長速度都會越來越慢，并且對

數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會小于一次函數(shù)的函數(shù)值；指數(shù)函數(shù)的增長速度都會越來越快，并且

指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會大于一次函數(shù)的函數(shù)值.

追問3：如何理解“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義？

師生活動：“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”從字面意義理解，直觀形象、顧名

思義，可充分發(fā)揮學(xué)生的積極性展開討論.教師個(gè)別提問討論的結(jié)果，只要學(xué)生正確理解即

可，沒有特定的標(biāo)準(zhǔn)答案.

設(shè)計(jì)意圖：通過同時(shí)比較三種函數(shù)的增長差異，進(jìn)一步認(rèn)識一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)，體會它們之間增長的差異.

8

練習(xí)8.三個(gè)變量A，莖,J3隨變量X變化的數(shù)據(jù)如下表:

X051015202530

y\51305051130200531304505

yi5901620291605248809447840170061120

V35305580105130155

中關(guān)于X呈指數(shù)增長的變睛是.

解：根據(jù)數(shù)據(jù)變化能夠發(fā)現(xiàn)，VI,戶的增長速度越來越快，”的增長速度保持不變，所

以關(guān)于X呈指數(shù)增長的變量是M，

練習(xí)9.函數(shù)y=/(x)的圖象如圖16所示，則y=fG)可能是().

(A)y=l—x4,xG(0,+°0)(B)y=：-G)，x￡(0,+°°)

(C)y=x—1,xG(0,4-°°)

圖16

解：根據(jù)函數(shù)圖象，該函數(shù)應(yīng)該呈對數(shù)增長.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)過(1,0),符

合對數(shù)函數(shù)的特點(diǎn).注意到當(dāng)函數(shù)值y