專(zhuān)題04 生活的軸對(duì)稱(chēng)（考題猜想易錯(cuò)必刷43題11種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

專(zhuān)題04生活的軸對(duì)稱(chēng)（易錯(cuò)必刷43題11種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）角平分線(xiàn)的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案翻折變換（折疊問(wèn)題）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題

一．角平分線(xiàn)的性質(zhì)（共11小題）1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線(xiàn)，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴點(diǎn)D是直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)H重合時(shí)DP最短，其長(zhǎng)度為DH長(zhǎng)等于3，即DP長(zhǎng)的最小值為3．故選：C．2．在Rt△ABC中，如圖所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，點(diǎn)D到AB的距離DE＝3.8cm，則BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC＝DE＝3.8，∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．故選：C．3．如圖，直線(xiàn)l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點(diǎn)有（）A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處【答案】A【解答】解：滿(mǎn)足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，共一處；（2）三角形外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，共三處．故選：A．4．如圖，△ABC的三邊AB、AC、BC的長(zhǎng)分別為4、6、8，其三條角平分線(xiàn)將△ABC分成三個(gè)三角形，則S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（）A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2【答案】A【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴OD＝OE＝OF，∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．故選：A．5．如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，則以下結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上．正確的是（）A．① B．② C．①② D．①②③【答案】D【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一個(gè)正確）∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二個(gè)正確）∴DF＝DE，連接AD∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD＝∠EAD，即點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上（第三個(gè)正確）故選：D．6．點(diǎn)O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，已知△ABC的面積是12，周長(zhǎng)是8，則點(diǎn)O到邊BC的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖所示，過(guò)O作OE⊥AB，OF⊥AC，連接AO，∵點(diǎn)O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴OE＝OD＝OF，∵△ABC的面積是12，周長(zhǎng)是8，∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，即×8×OD＝12，即OD＝3，故選：C．7．如圖，已知△ABC的面積為8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)P，連接PC，則△BPC的面積為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分線(xiàn)，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC的面積為8，∴S△BPC＝×8＝4．故選：B．8．如圖△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，給出下列結(jié)論：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正確的是①②④⑤（寫(xiě)序號(hào)）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，故①正確；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，∴DA平分∠CDE，故②正確；BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正確；∵∠BAC+∠B＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正確；∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，∴∠BDE≠∠ADE，∴DE平分∠ADB錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①②④⑤．故答案為：①②④⑤．9．如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為48和26，求△EDF的面積11．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△FDE和Rt△HDG中，，∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），設(shè)△EDF的面積為x，由題意得，48﹣x＝26+x，解得x＝11，即△EDF的面積為11，故答案為：11．10．如圖，已知AD∥BC，DE、CE分別平分∠ADC、∠DCB，AB過(guò)點(diǎn)E，且AB⊥AD，若AB＝8，則點(diǎn)E到CD的距離為4．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE＝EF＝BE，∵AB＝8，∴EF＝×8＝4，即點(diǎn)E到CD的距離為4．故答案為：4．11．兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）【答案】圖形見(jiàn)解答內(nèi)容．【解答】解：如圖：點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn)．二．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)（共6小題）12．如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線(xiàn)DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線(xiàn)FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長(zhǎng)為16，GE＝1．則AC的長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【解答】解：∵DE是線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)，GF是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周長(zhǎng)為16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故選：B．13．近年來(lái)，高速鐵路的規(guī)劃與建設(shè)成為各地政府爭(zhēng)取的重要項(xiàng)目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項(xiàng)目落戶(hù)在當(dāng)?shù)?，但是，?guó)資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來(lái)的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在（）A．AB，BC兩邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處 B．AB，BC兩邊高線(xiàn)的交點(diǎn)處 C．AB，BC兩邊中線(xiàn)的交點(diǎn)處 D．∠B，∠C兩內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【答案】A【解答】解：根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理可得：將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在AB，BC兩邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，故選：A．14．如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝24度．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線(xiàn)，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案為：24．15．如圖，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，則AF＝10．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AE，BE，過(guò)E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，設(shè)CF＝CG＝x，則AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案為：10．16．已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如圖，連接AO．∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案為：4∠BPC﹣360°．17．如圖，直線(xiàn)l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線(xiàn)，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長(zhǎng)是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）△CDE的周長(zhǎng)為10．∵直線(xiàn)l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線(xiàn)，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線(xiàn)l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線(xiàn)，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．三．等腰三角形的性質(zhì)（共8小題）18．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，故選：A．19．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則它的頂角為60°或120°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，頂角是60°；當(dāng)高在三角形外部時(shí)，頂角是120°．故答案為：60°或120°．20．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是20．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、8，∵4+4＝8，∴不能組成三角形，②4是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)＝4+8+8＝20，所以，三角形的周長(zhǎng)為20．故答案為：20．21．定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則它的特征值k＝或．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：＝50°∴特征值k＝＝②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝綜上所述，特征值k為或故答案為或22．如圖，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，則∠ADB＝80度．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝25°；∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．故答案為：80．23．已知如圖，在△ABC中，AB＝AC，（1）如圖（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠β＝；（2）如圖（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠β＝23°；（3）如圖（3），D為BC上任意一點(diǎn)．請(qǐng)你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，則∠α和∠β之間有什么關(guān)系？如果有，請(qǐng)你寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明你的理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠α＝∠CAD，∵∠α＝35°，∴∠α＝∠CAD＝35°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝，∴∠β＝90°﹣＝；故答案為：；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠α＝∠CAD，∵∠α＝46°，∴∠BAD＝∠CAD＝46°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67°，∴∠β＝23°；故答案為：23°；（3）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠α+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠β＝∠AED+∠β＝（∠β+∠C）+∠β＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠α＝2∠β．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別向AB、AC引垂線(xiàn)，垂足分別為E、F，CG是AB邊上的高．（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC什么位置時(shí)，DE＝DF？并證明；（2）線(xiàn)段DE，DF，CG的長(zhǎng)度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE＝DF，理由如下：∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）DE+DF＝CG．證明：如圖，連接AD，則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．25．已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm．（1）如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？（2）如果一腰上的中線(xiàn)將該等腰三角形的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，那么各邊的長(zhǎng)為多少？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：設(shè)底邊BC＝acm，則AC＝AB＝2acm，∵三角形的周長(zhǎng)是18cm，∴2a+2a+a＝18，∴a＝，2a＝，答：等腰三角形的三邊長(zhǎng)是cm，cm，cm．（2）解：設(shè)BC＝acm，AB＝AC＝2bcm，∵中線(xiàn)BD將△ABC的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，18×＝12，18×＝6，∴2b+b＝6，b+a＝12或2b+b＝12，b+a＝6，解得：a＝10，b＝2或b＝4，a＝2，∴①三角形三邊長(zhǎng)是10cm，4cm，4cm，因?yàn)?+4＜10，不符合三角形三邊關(guān)系定理，∴此種情況舍去，②三角形的三邊長(zhǎng)是2cm，8cm，8cm，符合三角形的三邊關(guān)系定理，綜合上述：符合條件的三角形三邊長(zhǎng)是8cm，8cm，2cm，答：等腰三角形的邊長(zhǎng)是8cm，8cm，2cm．四．等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）26．如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線(xiàn)ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線(xiàn)OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝4，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為128．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝4，∴A2B1＝4，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝16＝24，A4B4＝8B1A2＝32＝25，A5B5＝16B1A2＝64＝26，以此類(lèi)推：△AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為2n+1，∴△A6B6A7的邊長(zhǎng)為：26+1＝128．故答案為：128．27．如圖，在等邊△ABC中，已知點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED＝EC．（1）若點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如圖1，E在線(xiàn)段AB上時(shí)，∵AB＝2，AE＝1，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如圖2，E在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，過(guò)E作EH∥AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等邊三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE（SAS），∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．綜上所述，CD的長(zhǎng)為1或3．五．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）28．如圖，直線(xiàn)a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，邊BC在直線(xiàn)b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問(wèn)在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是400．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，…依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)．故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．六．生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象（共1小題）29．如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球從P點(diǎn)出發(fā)第1次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為A點(diǎn)，第2次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為B點(diǎn)，……第2020次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)為圖中的（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】D【解答】解：如圖所示，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2020÷6＝336…4，∴當(dāng)點(diǎn)P第2020次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，∴第2020次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)D，故選：D．七．軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)（共3小題）30．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且位置不同的三角形有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】D【解答】解：如圖所示：與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且位置不同的三角形有8個(gè)，故選：D．31．如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，在格紙中能畫(huà)出與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形（不包括△ABC本身），這樣的三角形共有3個(gè)【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有3個(gè)：故答案為：3．32．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE＝DA．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）作出點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接DM、AM，猜想DM與AM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC，∴∠BAD＝∠EDC．（2）猜想：DM＝AM．理由如下：∵點(diǎn)M、E關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．又由（1）知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD．∵∠ADC＝∠BAD+∠B，即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，∴∠ADM＝∠B＝60°．又∵DA＝DE＝DM，∴△ADM是等邊三角形，∴DM＝AM．八．作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換（共1小題）33．如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形．圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫(huà)出5個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)．【答案】答案請(qǐng)看解析過(guò)程．【解答】解：與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形如圖所示，在圖中最多能畫(huà)出5個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)．最后一個(gè)圖的三角形BNC和三角形ANC都與三角形ABC成軸對(duì)稱(chēng)，故答案為：5．九．利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案（共1小題）34．如圖1所示的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，且每個(gè)角都是直角，長(zhǎng)度如圖所示，小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖形（圖1）拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度是a+8b（結(jié)果用含a，b代數(shù)式表示）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：方法1、如圖，由圖可得，拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b故答案為：a+8b．方法2、∵小明用9個(gè)這樣的圖形（圖1）拼出來(lái)的圖形∴口朝上的有5個(gè)，口朝下的有四個(gè)，而口朝上的有5個(gè)，長(zhǎng)度之和是5a，口朝下的有四個(gè)，長(zhǎng)度為4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：總長(zhǎng)度為5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案為a+8b．一十．軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題（共6小題）35．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)OA和射線(xiàn)OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【答案】B【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．36．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時(shí)，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖，此時(shí)BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．37．如圖，∠MON＝α，α＜30°，點(diǎn)A為ON上一定點(diǎn)，點(diǎn)C為ON上一動(dòng)點(diǎn)，B，D為OM上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AB+BC+CD最小時(shí)，∠BCD+∠ABC＝（）A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α【答案】B【解答】解：作點(diǎn)C關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，過(guò)點(diǎn)C′作射線(xiàn)OP，則∠MOP＝α，連接C′B，C′D，則C′B＝CB，C′D＝CD，作點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作射線(xiàn)OQ，則∠POQ＝α，連接C′D′，則C′D′＝C′D＝CD，∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，要使AB+BC+CD最小，需點(diǎn)A，B，C′，D′在一條直線(xiàn)上，且AD′⊥OQ，∵α＜30°，∴∠NOQ＝3α＜90°，∴可以過(guò)點(diǎn)A作AD′⊥OQ，此時(shí)∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，∴當(dāng)AB+BC+CD最小時(shí)，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，故選：B．38．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠DBF的度數(shù)是30°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線(xiàn)上時(shí)，DF+BF的最小值等于線(xiàn)段BG長(zhǎng)，且BG⊥CG時(shí)，△BDF的周長(zhǎng)最小，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案為：30°．39．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值是2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接CP′交AD于點(diǎn)Q，則CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在AC邊上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴點(diǎn)P′在邊AB上．∵當(dāng)CP′⊥AB時(shí)，線(xiàn)段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且當(dāng)點(diǎn)P′是斜邊AB的中點(diǎn)時(shí)，CP′⊥AB，此時(shí)CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．40．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AB，交AC于點(diǎn)F，在EF上確定一點(diǎn)P，使PB+PD最小，則這個(gè)最小值為6．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD＝6，∵EF垂直平分AB，∴點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，∴AD的長(zhǎng)度＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為6，故答案為：6．一十一．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共3小題）41．如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為7的正方形經(jīng)過(guò)三次對(duì)折后沿圖（4）中平行于MN的