導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)教案1（共7份） 人教課標(biāo)版1

導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

【考點及要求】導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，

主要有：⑴與幾何有關(guān)的最值問題；⑵與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；⑶與實際生活有關(guān)的最值

問題；

【典型例題講練】

【題型一】與幾何有關(guān)的最值問題：

【典例】請你設(shè)計一個如圖所示的倉庫，它的下部形狀是高為的正四棱柱（上、下底面都是正

方形,且側(cè)面都垂直于底.面），上部形狀是側(cè)棱長都為的四棱錐，試問當(dāng)四棱錐的高為多少時,

倉庫的容積最大？

解:設(shè)四棱錐的高為九，底面邊長為蒼則在△PA。中，AC=2^00-h2,0<h<30.

在△ABC中，x=-AC2=2(900-/i2),

乂2

9172qO

V=x10+-x-h=--/1-20/i+6OO/1+18000,

所以倉庫的容積33

?2

所以V=-2/1-40/1+600.

由V=0,得%=10也=-30（舍去）.

當(dāng)0VhV10時,V>0;當(dāng)10<h<30時V0.

因此,當(dāng)力=1。時"取得極大值，也是最大值.

故當(dāng)四棱錐的高為時,倉庫的容積最大.

練習(xí)：請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示是邊長為的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全

等的等腰直角三角形，再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個正四棱柱形

狀的包裝盒、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè).

()若廣告商要求包裝盒側(cè)面積()最大，試問應(yīng)取何值？

()若廣告商要求包裝盒容積()最大，試問應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

［方日昨?qū)А?)可也包菜金的高為。,灰而已長為(),笫出馬的關(guān)2式，并注明的取傳搞⑥，算利用

(W而如2式表3出包菜盒側(cè)面公關(guān)孑的上斂蒯析式，展后求出佝咐宓取得展大保即可;()利用

體也公式表3出包裝食客船關(guān)孑的必致蒯析式，貴后利用導(dǎo)數(shù)知物求出何時它取將星人包即

可.

【解析】()隹包裝盒的另用(),血面包。用(),瞋)<<

施據(jù)巡舂布()()(<<),

所以15cm時包累盒側(cè)面。.程.￡.

()糠據(jù)肱毒布()()()(<<),

所以'()，

當(dāng)<<的’>遞信；書<<o寸V遞減.

所以，書時取根之仔也思凝￡住.

此時,包裝盒的需與底而過長的反■缶為L.

2

印的包菜會客曲()展.大，此由包裝盒的福與寐面0上的比倉為

2

【J便】本翹金勇老布金向包或能力、數(shù)孽闔凝能力及已用教孽為鋁豳頭安防向胭的能力、

建玄敢孽必敢微型來蒯能力、導(dǎo)救在安際向翹中的應(yīng)用.

變式:某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為米,高為

米,體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為元平方米,底面的建造

成本為元平方米，該蓄水池的總建造成本為加元(口為圓周率).

()將表示成的函數(shù)()，并求該函數(shù)的定義域；

0討論函數(shù)()的單調(diào)性,并確定和為何值時該蓄水池的體積最大.

【解析】()因為蓄水池側(cè)面的總成本為?n九元，底面的總成本為n元，所以蓄水池的總成

本為(”“)元.又據(jù)題意貝n",所以()，從而()n().

因)，又由，可得〈故函數(shù)()的定義域為().

()因()()，故'()().令’()，解得，(因不在定義域內(nèi)，舍去).

當(dāng)6()時’()),故()在()上為增函數(shù)；當(dāng)6()時’()〈故()在()上為減函數(shù).

由此可知()在處取得最大值,此時.即當(dāng)時,該蓄水池的體積最大.

變式：如圖，在邊長為(單位：)的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它

的四個角沿著虛線折起，做成一個正四棱錐的模型.設(shè)切去的等腰三角形的高為.

()求正四棱錐的體積()；

O當(dāng)為何值時，正四棱錐的體積()取得最大值？

(第題)

解()設(shè)正四棱錐的底面中心為，一側(cè)棱為.則

由于切去的是等腰三角形，所以=,=一，..........分

在直角三角形中，

分

所以0=??[(-)]?=)(—)，(<<).

分

(不寫<<扣分)

()'()=)[(—)+)]=)(—))，..........分

令'()=,得=(舍去)，=.

當(dāng)G(,)時，，()>,所以()為增函數(shù)；當(dāng)c(,)時，，()<,所以0為減函數(shù).

所以函數(shù)0在=時取得極大值，此時為o最大值.

答：當(dāng)為時，正四棱錐的體積()取得最大值..........分

變式：如圖,等腰梯形的三邊分別與函數(shù)的圖像切于點.求梯形面積的最小值.

【解析】衩梯彭的而融為，點的生杼為()(V0).出巡倉得點的生杼.丹()，

上旗的方程為.

???f?f

2旗的方程為()()，即.

令，得,.:().

金,得,?:().

X()XX()>.

韋￡1儀由，印時，取等考，￡1G()],.：時荀徽J(rèn)伯為.

所以楊數(shù)的而在.的展J/為.

【題型二】與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；

【典例】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米時)

的函數(shù)解析式可以表示為(<0,已知甲、乙兩地相距千米.

()當(dāng)汽車以千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

()當(dāng)汽車以多大速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升？

【葩析】()當(dāng)40千米時，住專“甲他爹)己地，心融3J時,惠蒂箱傷?油

(XX)X(升).

()當(dāng)速度為孑米J時,傷鄉(xiāng)〃中地到乙他，竹級3J0寸，廷楊油量為()來俵巡卷將

()(xx)x()(<<),

'()(<<),

金'(),得.

韋e()時'()<()黑減必敢；

韋2()時'()>()1優(yōu)/敢.

韋時，0為()在(]上，布一個極保，所以這個極倉就裊星J街.

所以韋俊專以80牛米J時的速度勻速竹級時，〃卬地到乙地荏油最少，鎮(zhèn).少為11.25先

練習(xí)：甲乙兩地相距SKm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過CKm/h,已知

汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度v(K

m/h)的平方成正比比例系數(shù)為b,固定成本為a.

()把全程運輸成本(元)表示為速度V(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域;

()為了使全程運輸成本最小；汽車應(yīng)以多大的速度行駛.

解析：()依題意可知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為上，所以全程運輸成本為:

V

y=a--+bv2--=s(—+bv).所以所求函數(shù)及其定義域為y=s(—+bv),VG(0,C］；

vvvv

0函數(shù)y=s(@+bv)的導(dǎo)數(shù)為y'=［5(-+bv)］'=s(b一=),令sg-=)=0

VVVV

「.u=?.函數(shù)y=s(?+0v)在區(qū)間0,4］是減函數(shù)；在區(qū)間［聆,+8是增函數(shù)，

所以當(dāng)時，行駛速度為u=J；當(dāng)甘〉C時行駛速度為v=c.

【題型三】與實際生活有關(guān)的最值問題：

【典例】最大利潤問題

例1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量X(噸)與每噸產(chǎn)品的價格〃(元噸)

之間的關(guān)系式為：〃=24200-4幺，且生產(chǎn)噸的成本為R=50000+200X(元).問該廠

5

每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？(利潤收入一成本)

思路分析：根據(jù)題意，列出利潤的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可用導(dǎo)數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解。

10

解：每月生產(chǎn)噸時的利潤為/(X)=(24200--x2)^-(50000+200%)

1a

=--x3+24000%-50000(尤>0)

3

由《(X)=——f+24000=0解得X=200,々=—200(舍去).

因/(x)在［0,+oo)內(nèi)只有一個點x=200,使r(x)=0

故它就是最大值點，且最大值為：

/(200)=(200)3+24000x200-50000=3150000(元)

答：每月生產(chǎn)噸產(chǎn)品時利潤達(dá)到最大，最大利潤為萬元.

【J集】本蒯注中e有一個極偉或，那么它就襄展苗皮商決此為荀關(guān)利洵的安窿應(yīng)用睡，應(yīng)靈

港也用胭徑尊仔，建玄利他的而教關(guān)算，利用身教來單蹲必施的梟.侍.常見的基本篝量關(guān)?存：

（）利徇收入成本；

（）利洵名伶戶舄的刺洵X帽售華藪.

變式:.已知某商品的進(jìn)貨單價為元件，商戶甲往年以單價元件銷售該商品時、年銷量為萬

件，今年擬下調(diào)銷售單價以提高銷量，增加收益.據(jù)測算，若今年的實際銷售單價為元件（W

W）,今年新增的年銷量（單位：萬件）與（一）成正比，比例系數(shù)為.

（）寫出今年商戶甲的收益（單位：萬元）與今年的實際銷售單價間的函數(shù)關(guān)系式；

（）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益（即比往

年收益更多）？說明理由.

解（）由題意知，今年的年銷售量為+（一）（萬件）.

因為每銷售一件，商戶甲可獲禾女一）元，所以今年商戶甲的收益=［+（-）］（一）

=-I—，（w＜）............分

（）由（）知=—+一,WW,從而，=—+=（—）（一）.

令'=,解得=,或=.列表如下：

(,)(,)(，)

'()+—+

0遞增極大值遞減極小值遞增

分

又（）=，（）=，所以0在區(qū)間［,］上的最大值為（萬元）.

而往年的收益為（一）x=（萬元），

所以，商戶甲采取降低單價，提高銷量的營銷策略不能獲得比往年更大的收益.

.............分

【典例】甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處,

乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊

合建一個供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米。元和。元，問供水站建

在岸邊何處才能使水管費用最??？

解法一：根據(jù)題意知，只有點在線段上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)點距點，則???

_x->!BD-+CD2=Vx2+402

，??

又設(shè)總的水管費用為元，依題意有：y“(—)。J—+402(0<x<50)

5ax

'-aJ/+402,令，，解得x

在()上，只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，

函數(shù)在七()處取得最小值，此時一X()

...供水站建在、之間距甲廠處，可使水管費用最省.

40幾

------40cot仇(0v。v—),___._八

解法二：設(shè)則sin。2,AC=50-40cot。

設(shè)總的水管費用為(0),依題意，有

405-3cos。

a-----------------------

/(0)。(一?9)sin。aa?sin。

(5-3cos0)r?sin夕一(5-3cos0)?(sin，)'3-5cos0

工,-------------------------------------------------------=40a---------------

:.于(°。siir0sin"0

3

令/'(9),得0M

343

根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)9M時，函數(shù)取得最小值，此時。

??.一。()，即供水站建在、之間距甲廠處，可使水管費用最省.

練習(xí)：設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為.鐵路線上距離為100km處有一原料

供應(yīng)站，現(xiàn)要在鐵路之間某處修建一個原料中轉(zhuǎn)站，再由車站向工廠修一條公路.如果已

知每千米的鐵路運費與公路運費之比為：，那么D應(yīng)選在何處，才能使原料供應(yīng)站運貨到

工廠所需運費最?。?/p>

解析：設(shè)之間的距離為，則W4=+202,|ca=100—X,如果公路運費為元/,那

么鐵路運費為元/.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需運費為，

OQ________

y=|?|C￡>|+<z||?(100-x)+aV%2+400,(0<x<100)

3rir3/?r

.?.y'=--a+/令一一a+—.—==0解得x=15,(x=-15)舍去.

5ylx2+4005Vx2+400

且x=15是函數(shù)在定義域內(nèi)唯一的極值點.所以x=15是函數(shù)最小值點.

由此可知，車站D建于B,C之間且與B相距15km處時，運費最省.

變式:.如圖，某商業(yè)中心有通往正東方向和北偏東。方向的兩條街道，某公園位于商業(yè)中心

北偏東。角(O〈evM,tan(9=3G),且與商業(yè)中心的距離為后公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公

2

園修一條直路分別與兩條街道交匯于，兩處.

()當(dāng)沿正北方向時，試求商業(yè)中心到，兩處的距離和；

O若要使商業(yè)中心到，兩處的距離和最短，請確定，的最佳位置.

【解析】()以為原點，所在直線為x軸建立坐標(biāo)系.設(shè)P(機(jī),〃)，

0<0<—,tan0=30cos0=，sin。=,

21414

則祖=OP-sin。,n=OP-cos9=>...分

22

依題意，±,則2，，商業(yè)中心到.兩處的距離和為.5km.

2

()方法：當(dāng)與X軸不垂直時，設(shè)：y_1=&(x_2),①

22

令丁=0,得與=_^|+|；由題意，直線的方程為y=6x,②

解①②聯(lián)立的方程組，得“八成，OB=&+其=2*B=9卜一士,

112也-收、11加8k-C

y=OA+OB=-^-+-+^^-,由XA>0,xB>0,得&>G，或氏<0.

2k2k-y[3

…分

一8省+此處拽警?令曠=0,得女?正，

伏-6￥2kz2二a-百了"3

當(dāng)仆日時，,<0,y是減函數(shù)；當(dāng)-*<々<0時，曠>0,y是增函數(shù)，

.?.當(dāng)％=_3時，y有極小值為9km；當(dāng)人〉百時，y'<0,y是減函數(shù)，結(jié)合⑴知y>13.5.

3

綜上所述，商業(yè)中心到.兩處的距離和最短為9km,此時6km,3km,

方法：如圖，過作交于，交于，設(shè)Na,

△中PNONOP得，，

sin(90一。)sin(。-30)sin120

△中N。a.=一絲一得附=sin(120.c)

sinasin(120-a)sina

同理在△中，—-一"-----得MB=4嗎。，

sinasin(120-a)sin(120-a)

?八門sin(120°-a)4sina。G二八八

y=OA+OB=-----------------d-----------；-------+l+4>214+5=9，.......分

sinasin(120-a)

當(dāng)且僅當(dāng)sin(120二a)=——4sina——即sin(120。一a)=2sina即tana=時取

sinasin(1200-a)3

等號.

,69

x——4

方法：若設(shè)點3(加,?),則：J22,得4+4,0),

92m-l

y/3m-m——

22

44

/.OA+OB=2m-\------F4=2m-1+1++4>9,分

2m-12m-I

43

當(dāng)且僅當(dāng)2加-1=----即-m=一時取等號.

2m-12

得**+(

方法：設(shè)A(〃,0),：八°丁舟

69

--0

22

44

OA+OB=n+2XDR=〃一4+4++l=(n-4)+——+5>9,…分

n-4〃一4

4

當(dāng)且僅當(dāng)〃-4=——即〃=6時取等號.

〃一4

答：選地址離商業(yè)中心6km,離商業(yè)中心3km為最佳位置.……分

變式.如圖，A,8為相距2Am的兩個工廠，以AB的中點。為圓心，半徑為2k”畫圓弧。

MN為圓弧上兩點，且，A8,，A8，在圓弧MN上一點P處建一座學(xué)校。學(xué)校P

受工廠A的噪音影響度與AP的平方成反比，比例系數(shù)為，學(xué)校P受工廠B的噪音影響

度與BP的平方成反比，比例系數(shù)為4。學(xué)校尸受兩工廠的噪音影響度之和為了，且設(shè)

AP=xkm。

()求y=/(x),并求其定義域；

()當(dāng)AP為多少時，總噪音影響度最?。?/p>

-7T/TV

【解析】（I）連接，設(shè)=a，則一二，在△中，由余弦定理得

33

=12+22_2xix2cosa=5-4cosa>在△中，由余弦定理得

BP2=I2+22—2x1x2COS（TT-（X）=5+4coscc,......分，39=10-x?,則

1414yr27r11

丁=廬+薩=/+]0_/..........分；一—，則--WcosaK-,

3322

3<5—4cos<2；<7>:-上￡x$幣>

y=」+—,y/3<x<yfjo....................分（II）令

x210-x2

7+4（￡+10）（攵-10）

分由y=o,

（IO—）??（10-/）2

得￡=￡或(舍去)，當(dāng)3<z<y,y<o,函數(shù)在(3,孩)上單調(diào)遞減；當(dāng)?u<7,y>o,

函數(shù)在(四,7)上單調(diào)遞增；：.當(dāng)￡=四時，即芯=叵時，函數(shù)有最小值，也即當(dāng)為空

3333

()時，“總噪音影響度”最小......分

【典例】如圖，有一矩形鋼板缺損了一角(如圖所示)，邊緣線上每一點到點的距離都等于它

到邊的距離.工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個五邊形，若=lm,=0.5m,

問如何畫切割線可使剩余部分五邊形的面積最大？

MEC

4B

I解析I由題知，邊緣線是以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分.

以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則（，）,（,）.

所以邊緣線所在拋物線的方程為=（ww）.

要使如圖的五邊形面積最大，則必有所在直線與拋物線相切，設(shè)切點為（，）.

則直線的方程為=（一）+,即=一，

由此可求得點，的坐標(biāo)分別為（，）,（,-）.

所以△=（）=??（+）

=?，6（,1，

所以，（）=.

顯然函數(shù)（）在（，］上是減函數(shù)，在（，］上是增函數(shù).所以當(dāng)=時，△取得最小值，相應(yīng)地，五

邊形的面積最大.

此時點、的坐標(biāo)分別為（，）,（,—）.

此時沿直線劃線可使五邊形的面積最大.

【課堂檢測】

.已知矩形的兩個頂點在軸上，另兩個頂點在拋物線在軸上方的圖像上，則這種矩形中面積最

大的矩形邊長為（）.

［解桁］也巳加可得，短超在岫e的苻個頂點關(guān)孑鷹立對希?,42矩彭在岫e的包長為，則短彩的

,26,473

另一邊會為，面a為0?.令'得——，此時忿彭而次展之.所以G砧c的一包長為——，另一邊

33

長哈

.內(nèi)接于半徑為的球并且體積最大的圓錐的高為().

【循析】設(shè)?雉的,處，灰而半必為，粥(),?：,

.:兀()兀,

?：’兀兀合’得.

?已知球的直徑為，求當(dāng)其內(nèi)接正四棱柱體積最大時，正四棱柱的高為多少？

［解析］如右圖所示，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，

由于++=,

?■?=(-).

二球內(nèi)接正四棱柱的體積為

=-=(-))?

'=(1)=,

在(，)上，函數(shù)變化情況如下表:

1+一

/極大值X

由上表知體積最大時，球內(nèi)接正四棱柱的高為.

.如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為，圓心為，通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài),

并且與天花板的距離(即)為，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點，，.點為上一點(不包含端點、)，同

時點與點，，，均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩，，的長度相等.設(shè)細(xì)繩的總長為.

()設(shè)N。0,將表示成《的函數(shù)關(guān)系式;

()請你設(shè)計心當(dāng)角。正弦值是多少時;細(xì)繩總長最小，并指明此時應(yīng)為多長.

2

解：()在/中，cosfl,o,

22(3-sin

?cos00cos0(<0<).

-co?：fr"(3-sin,(―而fl>3ainAl

()，"cost6cos1^，令/，貝lj9.

0,7

當(dāng)o＞時，'＞：o＜時，o在L4」上是增函數(shù),

...當(dāng)角0滿足。時，最小，最小為；此時一().

.請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的

正六棱錐(如圖所示).試問當(dāng)帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解：設(shè)為x加，則1cx＜4

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：^32-(x-l)2=yls+2x-x2,

故底面正六邊形的面積為：

6.?(，8+2x-x?)2=~,(8+2x-X」),(單位：〃產(chǎn))

42

帳篷的體積為:

v(x)=^(8+2x-x2)[|(x-l)+l]=y^(16+12x-x3)(單位：m3)

求導(dǎo)得丫(外=5-(12-3/).

令V(x)=O,解得x=—2(不合題意，舍去)，x=2,

當(dāng)l<x<2時，V(x)>0,V(￡)為增函數(shù)；

當(dāng)2<x<4時，V(x)<0,V(x