空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本單元教學(xué)需2課時(shí).第一課時(shí)，空間向量及其運(yùn)算；第二課時(shí)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，向量投影.這里給出第二課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).

2.內(nèi)容解析

(1)內(nèi)容的本質(zhì)

由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個(gè)空間向量的

數(shù)量積與平面向量的數(shù)量積一致，并且滿足交換律和分配律等運(yùn)算律。給出空間向量的數(shù)量積

運(yùn)算及其運(yùn)算律后，所有空間向量所構(gòu)成的向量空間進(jìn)一步成為一個(gè)歐氏空間，這為用向量方

法研究空間中的位置關(guān)系和度量問題奠定了基礎(chǔ).

(2)蘊(yùn)含的思想與方法

空間向量的投影包括空間向量向另一個(gè)向量、一條直線和一個(gè)平面的投影等三種情況，其

中前兩種投影的定義與平面向量的相應(yīng)投影是一致的.一般地，向量投影是高維空間到低維子

空間的一種線性變換，是構(gòu)建高維空間與低維空間聯(lián)系的橋梁.空間向量的投影對研究立體幾

何問題有重要意義，它為后續(xù)研究各種距離問題提供普適性方法，也是本課時(shí)證明空間向量數(shù)

量積分配律的基礎(chǔ).

(3)培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本課時(shí)的學(xué)習(xí)，類比平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積，將空間向量的投影轉(zhuǎn)化為

平面向量的投影，體現(xiàn)了類比、轉(zhuǎn)化等思維方法.利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律，解決

一些簡單的立體幾何中的求長度、角度，證明垂直等問題，體現(xiàn)了用空間向量解決立體幾何問

題的向量方法，通過空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，通過幾何體中的數(shù)量

積運(yùn)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

(4)教學(xué)重點(diǎn)

確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：空間向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.本單元教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

(2)掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

(3)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).

(4)能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)能類比平面向量的數(shù)量積的概念，給出空間向量的數(shù)量積的概念，會計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量

積.能將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律推廣到空間向量數(shù)量積的交換律、結(jié)合律、分配律，體會

空間向量運(yùn)算律和實(shí)數(shù)運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別.

(2)能畫一個(gè)向量在另一個(gè)向量、一條直線上或者一個(gè)平面上的投影.

(3)能利用向量數(shù)量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關(guān)的簡單問題；體會空間向量的數(shù)量

積運(yùn)算及運(yùn)算律在解決立體幾何問題中的作用，體會立體幾何中的向量方法.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.問題診斷

學(xué)生有平面向量學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，有類比平面向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)空間向量的線性運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn),

把平面向量數(shù)量積的概念推廣到空間并不難，也能較容易由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律推廣得到

空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律.盡管在平面向量的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一些用向量法解決幾何問題的

經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生還缺乏利用空間圖形解決立體幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，想到向量方法以及把空間圖形的

位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量表示對學(xué)生來講都是難點(diǎn).突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量解決

平面幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合具體問題，從幾何量的向量表示入手，深入理解問題中相關(guān)條件的

幾何意義，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行向量表示.

教學(xué)時(shí)，應(yīng)類比平面向量投影的畫法，借助輔助平面把空間向量投影轉(zhuǎn)化為平面向量的投

影.對于向量投影在解決立體幾何問題中的作用，則需要學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中逐步體會.

2.教學(xué)難點(diǎn)

對于空間向量的投影，將其轉(zhuǎn)化為平面向量的投影，并畫出投影向量，需要較強(qiáng)的空間想

象能力，故用向量的方法解決立體幾何問題是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

四、教學(xué)支持條件分析

1.技術(shù)支持

準(zhǔn)確把握空間向量的投影需要較強(qiáng)的空間想象能力，為了幫助學(xué)生理解空間向量投影的概

念，教學(xué)時(shí)可以利用三維動畫直觀展示空間向量向另一個(gè)向量、一條直線和一個(gè)平面的投影.

2.知識儲備

學(xué)生在學(xué)習(xí)了空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算之后，已初步感受到空間向量與平面向量之

間的內(nèi)在，，能體會并運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算，明白了任意兩個(gè)空間向量都是

共面的。在平面向量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到平面向量的數(shù)量積在位置關(guān)系（垂直）的判定，

叫與距離的計(jì)算中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系及相關(guān)度量提供了類比前提，即在平面

向量夾角的基礎(chǔ)上，類比引入空間向量的夾角和表示方法，類比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到空

間向量的數(shù)量積運(yùn)算。

五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

LL2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，向量投影.

2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘等線性法則、以及結(jié)合律和交換律等運(yùn)算律，并通過空

間幾何體加深對運(yùn)算的理解。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向

量滿足線性運(yùn)算（加法、減法和數(shù)乘），懂得運(yùn)算律。

難點(diǎn)：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計(jì)算和應(yīng)用。

4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境引入課題

（回顧舊知，類比得到空間向量數(shù)量積的概念）

根據(jù)功的計(jì)算，我們定義了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，一旦定義出來，我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算

非常有用，它能解決有關(guān)長度和角度問題，在空間向量中亦是如此。

國肉COS0

引導(dǎo)語：前面我們學(xué)習(xí)了空間向量的線性運(yùn)算，任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為

同一平面內(nèi)的向量，因此，空間向量的線性運(yùn)算與平面向量完全一致.在必修第二冊中我們還

學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，現(xiàn)在我們類比平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積

運(yùn)算.

問題1:類比平面向量的數(shù)量積，你能得出空間向量的數(shù)量積相關(guān)知識？

想一想，在學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積時(shí)，我們都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，是怎么學(xué)習(xí)的.請同學(xué)們類

比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算研究空間向量數(shù)量積運(yùn)算，小組合作完成表格.

平面空間(學(xué)生填空)

對非零向量。力,作。A==已知兩個(gè)非零向量”，b,在空間任取一點(diǎn)

則ZAOB叫做。與〃的夾角，記作。，作04=a，0B=b，則NA08叫做向量

夾角(a,b),(a,b)e[0,%].a，匕的夾角，記作(凡司.

特例：當(dāng)(a防吟時(shí)，則如果(。，?！睋{，那么向量〃互相垂直，

=0=aA-h.記作aLb-

兩個(gè)非零向量，則已知兩個(gè)非零向量a,b，則,Wcos(a,少叫

b)叫.做a,b的數(shù)量積,做a，。的數(shù)量積(innerproduct),記作￡%.即

記作a-h，即a-h=數(shù)量積=W.cos(a,.

\a\\b\cos(a,b).

數(shù)量特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.

積

由向量的數(shù)量積定義，可以得到：

特例:="=|a/.a_Li>=a7=0;a.a=?《cos(a,a)=卜《.

az也記作J.

師生活動：首先讓學(xué)生回憶平面向量數(shù)量積運(yùn)算的內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程，師生共同畫出上述表

格，確定表格的表頭、并完成表格的左側(cè)部分.然后通過小組合作，完成表格右側(cè)部分.

設(shè)計(jì)意圖：通過完成表格這種形式，使得類比學(xué)習(xí)更為生動直接，進(jìn)一步讓學(xué)生體會平面向量

到空間向量的推廣是“平行”推廣.師生共同畫出表格的過程也體現(xiàn)了從平面向量到空間向量的

研究

環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念

借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質(zhì)

問題2：根據(jù)平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為了研究數(shù)量積的運(yùn)算律，需要先定義向量的

投影.想一想空間向量的投影有哪些情況.

提示：向量。向向量A投影；空間向量”向直線/投影；向量。向平面夕投影

師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后，通過合作交流，得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：明確問題，培養(yǎng)空間想象力.

問題3：下面我們分情況展開空間向量投影的研究.如圖1(1),如何定義并畫出空間向量。向

向量〃投影？

如圖1.1-11(1),在空間，向量a向向量匕投影，由于它們是自由向量，因此可以先將

它們平移到同一個(gè)平面a內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，

c=|a|cos^,^1|,向量2稱為向量￡在向量彼上的投影向量.類似地，可以將向量々向直線/投

影(圖1.1-11(2)).

追問：你能用向量"，向量方表示出投影向量c嗎？

師生活動：先讓學(xué)生自主探究，然后教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)畫投影的步驟：空間向量是自由向

量，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因而空間向量的投影就是平面向量的投影.

進(jìn)而在圖1(1)中，首先平移向量。，使表示向量。的有向線段的起點(diǎn)與表示向量6的有向線

段的起點(diǎn)重合，畫出這時(shí)它們確定的平面a(圖1(2)),再在平面a內(nèi)畫出向量。向向量方的

投影，得到投影向量c(圖1(3)).

圖1.1-11

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量的投影，得到空間向量。向向量力投影得到的投影

C二|《C0S(4,

向量C的表示：”

追問：類似于向量向向量投影，你能定義并畫出空間向量。向直線/投影嗎?

師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成后在課堂上展示、交流，最后教師總結(jié).

追問：請嘗試定義并畫出向量。向平面夕投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么

不同之處.

如圖1.1-11(3),向量〃向平面￡投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8作平面夕的

垂線，垂足分別為A,B',得到向量49，向量49稱為向量a在平面夕上的投影向量.這

時(shí)，向量a，A9的夾角就是向量a所在直線與平面夕所成的角.

空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律:

（）〃）?[=1（。?5），2eR；a〃（交換律）；（a+1）?c=a?c+：?c（分配律）.

師生活動：學(xué)生獨(dú)立畫圖，并交流結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，教師小結(jié)：就是分別由向量a的起

點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面夕的垂線，垂足分別為A,B',得到向量ATT，向量ATT稱為向量〃在

平面夕上的投影向量.這時(shí)，向量a，AB'的夾角就是向量a所在直線與平面夕所成的角.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合平面向量的投影，理解空間向量投影的概念，畫圖表示空間向量向向量的

投影、向直線的投影、向平面的投影，讓學(xué)生進(jìn)一步體會空間向量和平面向量的內(nèi)在聯(lián)系.

環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念

推廣運(yùn)算律，理解向量運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律的差異

問題4：定義了運(yùn)算就要研究它的運(yùn)算律.類比平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，你能說出空間向

量的數(shù)量積運(yùn)算具有哪些運(yùn)算律嗎？

⑴師生活動：教師提出問題，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，學(xué)生不難得到

空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律：

(2cz)-/?=2(a-/?),AGR；

=(交換律)；

(a+b)-c-a-c+b-c(分配律).

追問：你能證明這些運(yùn)算律嗎？

師生活動：請學(xué)生根據(jù)數(shù)量積的定義證明運(yùn)算律(1)和(2),并在課堂上展示、交流.對于(3)

的證明，可以在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，也可以留給學(xué)生課下完成（具體證明方法

可參見前面相應(yīng)內(nèi)容）.

設(shè)計(jì)意圖：將平面向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律推廣到空間，進(jìn)一步完備空間向量的運(yùn)算體系.

問題5：我們知道，數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算在形式上是兩

個(gè)向量相乘，由此，自然會想到將它與數(shù)的乘法作類比.向量的數(shù)量積是否具有一些與數(shù)的乘

法類似的性質(zhì)呢？它們之間有什么共性和差異嗎？

師生活動：教師提出問題，讓學(xué)生聯(lián)想數(shù)的乘法，提出空間向量的數(shù)量及運(yùn)算的一些性質(zhì),

并分組交流討論，具體地，可引導(dǎo)學(xué)生討論下面的問題.

追問：對三個(gè)不為0的數(shù)有（。份c=aSc）,也就是說，數(shù)的運(yùn)算滿足結(jié)合律.對于向量

的數(shù)量積運(yùn)算，有“結(jié)合律S?份?c=a-S-c）嗎？

師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作、討論等，舉出反例.例如，任意取三個(gè)

不共面的向量。力,0,3力）＜?是一個(gè)數(shù)與向量。作數(shù)乘,4（人.（?）是一個(gè)數(shù)與向量。作數(shù)乘，而a,c

不在同一個(gè)方向上，所以（a2）c與不可能相等.

教師進(jìn)而指出，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足的運(yùn)算律和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律有很多相似之處，但

也有區(qū)別，如向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足“結(jié)合律”，也就是說，向量不可以“連乘”.

追問：對于三個(gè)均不為0的數(shù)若，而=ac,則。=c.對于向量。，匕，c，由=

你能得到6=c嗎？如果不能，請舉出反例.

師生活動：教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合長方體中的反例說明上述結(jié)論不成立，并進(jìn)一步指出,

若向量a,c都垂直于向量b,則。?匕=0-c成立，但向量的方向可能不同，所以a=c不一

定成立.

追問：對于三個(gè)均不為0的數(shù)若ab=c，則a=或〃=￡）.對于向量.，b,若

ba

a-b=k,能不能寫成。（或b=±）的形式？

ba

師生活動：師生共同完成追問3后，教師小結(jié)：向量沒有除法運(yùn)算，不可以在等式兩邊同

時(shí)除以一個(gè)非零向量，這與實(shí)數(shù)運(yùn)算不一樣.

設(shè)計(jì)意圖：通過對向量數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算和運(yùn)算律的對比分析，使學(xué)生

明確向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別，更好地建構(gòu)空間向量的運(yùn)算體系，為后續(xù)使用空間向

量及其運(yùn)算解決立體幾何問題奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念

例2.如圖，在平行六面體-AB'C'。中，AB=5,A￡>=3,A4'=7,ZBAD=60°,

ZBA4，=NA4A=45。.求：(1)A&AD；(2)AC的長(精確到0.1).

圖1.1-12

解：(1)AB-AD=||AL>|cos=5x3xcos60°=7.5；

(2)=(AB+AO+AA')2=|叫"+1+2(AB-AD+AB-AA'+AD-AA')

=52+32+72+2(5X3XCOS60°+5X7XCOS45°+3X7XCOS45°)

=98+56近，所以ACN13.3.

師生活動：學(xué)生根據(jù)向量數(shù)量積的定義獨(dú)立完成.

由于空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，空間圖形的許多性質(zhì)可以由

向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算表示出來，因此，立體幾何中的許多問題可以用向量運(yùn)算的方法

加以解決.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題讓學(xué)生體會如何計(jì)算兩個(gè)空間向量的數(shù)量積，以及利用數(shù)量積計(jì)算向量的

模，進(jìn)而得到線段的長度，加深對向量數(shù)量積概念的理解，并熟悉其運(yùn)算律.

環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用鞏固內(nèi)化

例3如圖，〃?，〃是平面a內(nèi)的兩條相交直線，如果/_Lm,/_!_〃，求證：/J_a.

師生活動：教師首先引導(dǎo)學(xué)生分析問題的條件和所證明結(jié)論的本質(zhì)，得出證明的基本思路:

圖3

圖1.1-13

分析：要證明就是要證明/垂直于1內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義).如

果我們能在g和加，〃之間建立某種聯(lián)系，并由/，加，l±n,得到/，g,那么就能解決此問

題.

證明：在平面a內(nèi)作任意一條直線g,分別在直線/,加，〃,g上取非零向量/,〃?，“，g.

因?yàn)橹本€加與〃相交，所以向量加，〃不平行.由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序

實(shí)數(shù)對(x,y),=xm+yn.

將上式兩邊分別與向量/作數(shù)量積運(yùn)算，nig=xl-m+yln.

因?yàn)?.加=0，/.〃=()(為什么？)，所以/避=0.所以

這就證明了直線/垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，所以

思考：例3即為直線與平面垂直的判定定理的證明過程.嘗試用綜合幾何方法證明這個(gè)定理，

并比較兩種方法，你能從中體會到向量方法的優(yōu)越性嗎？

―設(shè)計(jì)意圖：通過層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)學(xué)生用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理，學(xué)

生初步體會向量方法的威力.

-環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)反思提升

-問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并回答下列問題:

⑴空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律是什么？與平面向量的數(shù)量積運(yùn)算有什么聯(lián)系與區(qū)別？

(2)空間向量投影的意義是什么？與平面向量的投影有什么聯(lián)系與區(qū)別？如何畫出空間向

量向另一個(gè)向量、一條直線和一個(gè)平面的投影？

(3)在用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決一些簡單的立體幾何問題的過程中，向量及其運(yùn)算起了

什么作用？

課堂小結(jié)

1.空間向量的夾角

(1)兩向量的夾角是唯一確定的

(2)夾角范圍

(3)特殊夾角及對應(yīng)兩向量的位置關(guān)系

2.空間向量的數(shù)量積的定義與幾何意義

3.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：證明向量垂直的方法；計(jì)算向量長度的方法。

4.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)知識，包括空間向量數(shù)量積運(yùn)算的概念、運(yùn)

算律、空間向量的投影等，進(jìn)一步體會類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量的方法.結(jié)合對平面向量解

決簡單幾何問題的回顧，讓學(xué)生體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思考方法，為后續(xù)歸

納用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”做準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測，作業(yè)布置

作業(yè)布置：

教科書習(xí)題第4,7題.

1.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，若AB=6~BB],則AB]與所成角的大小為()

A.60°IB.90°|C.105°b.75°

1.答案：B

解析：設(shè)84=1,則AB=&.AB]=BB「BA,BG=BBi+BC,

:.AB-BCi=(BB「BA)?(BBi+BC)=BB：-BA?BC=1—母又血xcos60。=0?

?1.AB.IBC,.旦與BQ所成的角為90。.

2.如圖，正方體ABCD-A'B'C'。'的棱長為1,設(shè)AB=a，AD=b,A4'=c，求:

(1)a?(。+c)；(2)a?(a+/;+c)；(3)(a+方)?(〃+c).

（第2題）

2.解：(1)。-3+。)=。2+。式=0+0=0；

(2)8+。?0+。?。=卜4+0+0=1；

(3)(a+b)-(b+c)=a-b+a-c+b+ZJ-C=0+0+12+0=1?

3.如圖，在平行六面體ABCD-A5CZ)'中，AB=4,AD=3,A4'=5,N6A￡>=90。,

N844=ND44=60。.求：

(1)AA'-AB；(2)45'的長；(3)AC'的長.

(第3題)

3.解：(1)A4,AB=|/L4,|-|AB|COSZBA4,=5X4XCOS60°=5X4X1=10；

(2)AB'=AB+AA'>

網(wǎng)=^(AB+AA')2=^AB2+2AB-AA'+AA'2=716+2x10+25=屈，

即A9的長為歷；

(3)AC'=AB+AD+AA'?

.22-2-2....

：.AC'~=AB'+AD'+AA+2ABAD+2ABAA'+2ADAA

=16+9+25+2x4x5x1+2x3x5x1=85.

22

AC卜勒，即AC的長為屈.

4.如圖，線段AB,BO在平面a內(nèi)，BDLAB,AC，a,且A8=a,BD=b,AC=c.求

C,。兩點(diǎn)間的距離.

C

（第4題）

4.解：CD=CA+AB+BD^

CD=CA+AB'+BD+2c4AB+2CA-BD+2ABBD=a2+b2+c2

222

:.\cD\=yla+b+c,即C,。兩點(diǎn)間的距離為J6+82+C2.

習(xí)題（第9頁）

復(fù)習(xí)鞏固

1.如圖，在長方體ABCD-AB'C'D中，E,尸分別為棱A4',的中點(diǎn).

(1)寫出與向量BC相等的向量;

⑵寫出與向量BC相反的向量;

(3)寫出與向量EF平行的向量.

1.解：

⑴與向量BC相等的向量有AO，AT/，B'C

⑵與向量相反的向量有C8，DA-D'A'>C'B':

(3)與向量Eb平行的向量有AB，BA，D'C-CD'，F(xiàn)E'

2.如圖，已知平行六面體ABCD-AB'C。'，化簡下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量:

(1)AB+BC^(2)AB+AD+CC;

(3)AB+AD+^CC；(4)+AD+AA').

2.解：(1)AB+BC^AC;

(2)AB+AD+CC'=(AB+AD)+CC'=AC+CC'=AC；

(3)AB+AD+-CC'^(AB+AD)+-CC'^AC+-CC'^AC+CE^AE-,(E為CC的中點(diǎn))

222

(4)設(shè)戶為AC上靠近A的三等分點(diǎn),

-(AB+AD+AV)=；［(AB+AD)+=-(AC+>4A)=-(AC+CC')=-AC'=AF.

3.證明：如果向量a,b共線，那么向量2a+〃與a共線.

3.證明：由向量a，b共線，若a為零向量，則結(jié)論成立；若a為非零向量，則存在實(shí)數(shù)2,

使b=2a.從而2a+b=(2+/l)a；綜上，向量2a+6與a共線.

4.如圖，已知四面體A3CD的所有棱長都等于。，E,F,G分別是棱AB,AD,DC的中

點(diǎn).求:

(DABAC;(2)ADDB^(3)GFAC：(4)EF-BC;(5)FGBA;(6)GEGF.

AO=c.：四面體ABC。的各棱長均為a,

ABAC=ZCAD=/BAD=60°.

1,

(1)AB-AC-a-b-a-a-cos60°~~a"

(2)AD?DB=c?(AB-AD)=c-(a-c)=ac-c=a-a-cos60-a2=-a2

2

112

(3)GFAC=------cos0°=——a

22

^AD-^AB^(b-a)

(4)EFBC=(AF-AE)(AC-AB)=

(11)八、1,11,12

=-c——a-(b-a)=—b-c——ac——a-b-^—a

{22)2222

1111212

=—?a-a-cos60°——a-a-cos60°——Q?Q?cos60°+—。=—a；

22224

(5)FG-BA=^AC

?(一A3)=一。?(-a)=——a-b=——a-a-cos60°

4

(6)GEGF=(AE-AG)-(-CA=-AB-(-AC+-AD

12)2122

=；(a-/7-c)=-；(a?。一。一一8-c)=cos60°-a2-a2cos60°]=：

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是用。力,c表示出其他向量.

綜合運(yùn)用

5.如圖，在平行六面體ABC。-中，AC與8。的交點(diǎn)為M.

設(shè)A4="，AR=b,4A=c,則下列向量中與4M相等的向量是（）

(A)/7+C(B)~6F+—Z?+C

5.答案：A

解：B[M=BM-BBi(AD-AB)-AA,=^(b-a)+c=-^a+^b+c.

6.如圖，已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證：E,

F,G,H四點(diǎn)共面.

(第6題)

11I]

6.證明：E,H分別為AB,AD的中點(diǎn)，，=A"-AE=—A?！狝B^-(AD-AB)^-BD,

2222

IIIWWW*I

又F,G分別為BC,CD的中點(diǎn)，.?.fG=CG—=--CB=-(CD-CB)=-BD.

2222

：.EH=FG，，E,F,G,H四點(diǎn)共面.

7.如圖，正方體ABC?！狝'5'C'。'棱長為a.

(1)求AB和B'C的夾角;(2)求證:AB1AC.

7.(1)解：設(shè)A8=a，AD=b，A4'=c，：正方體ABC。一A'B'CT)'的棱長為。，

.?.忖=慟=忖=4,且但力=90。，〈a,c〉=90。，S，c〉=90。.

A'B=AB-AA'=a-c^B'C=A'D=AD-AA'=b-c

/.AB-B'C=(a—cy(b—c)=a-h—a-c—b-c+c=0—0—O+t/2=a2，

又|AB卜缶/因=伍，

又〈AB,3'C〉G[0O,180。],B'Q=60°.二AB與B'C的夾角為60。.

(2)證明：由(1)知A8=a—c，AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+AA'=a+b+c^

■2"2ry)

/.AB,AC=(a—c)?(a+Z?+c)=a+a*b+a?c-c，