2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷

第1頁（共1頁）2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷一、選擇題：（每題3分，共24分，請將答案涂在答題卡上）1．（3分）4的絕對值是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣a2）3＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a2?3b2＝6a2b23．（3分）下列四個圖形中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．4．（3分）2020年6月23日，中國第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射，順利完成全球組網(wǎng)．其中支持北斗三號新信號的22納米工藝射頻基帶一體化導(dǎo)航定位芯片，已實現(xiàn)規(guī)?；瘧?yīng)用．22納米＝0.000000022米，將0.000000022用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣95．（3分）點（﹣1，4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（）A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）6．（3分）如圖，點D在△ABC邊AB的延長線上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，則∠D的度數(shù)是（）A．24° B．59° C．60° D．69°7．（3分）要從甲、乙、丙、丁四名射擊選手中選擇一個成績優(yōu)秀且發(fā)揮穩(wěn)定的人參加射擊比賽，抽取了四人平時10次的射擊測試成績，發(fā)現(xiàn)四人10次射擊的平均成績都是9.4環(huán)，方差分別是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，則應(yīng)該選擇參加比賽的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（3分）如圖，向容器甲中勻速的注水，容器甲中水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系可用下面哪一個圖象大致刻畫（）A． B． C． D．二、填空題：（每題3分，共24分，請將答案填在答題卡上）9．（3分）不等式：﹣x+1＞2的解集是．10．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．11．（3分）如圖，添加一個條件：，使△ADE∽△ACB，（寫出一個即可）12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣3，4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．13．（3分）已知x＝5﹣y，xy＝2，計算3x+3y﹣4xy的值為．14．（3分）已知扇形的圓心角為120°，弧長為6π，則扇形的面積是．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BCD＝°．16．（3分）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作第一個正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作第二個正方形A2B2CxC1，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2021個正方形A2021B2021C2021C2020的面積為．三、解答題：（共11小題，共102分，請將答案填在答題卡上）17．（8分）計算：（1）計算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|；（2）解方程：＝．18．（6分）先化簡，再求值：1﹣÷（2+），其中a＝2．19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交DC的延長線于點E，DA＝DE，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．20．（10分）2021年體育中考前夕，我校為了了解男生的體育情況隨機調(diào)查了九年級50名男生“1分鐘跳繩”的次數(shù)，并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：1分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)、頻率分布表：成績段頻數(shù)頻率90≤x＜10550.1105≤x＜12010a120≤x＜135b0.14135≤x＜150mc150≤x＜16512n根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：（1）表中的a＝，m＝；（2）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）．（3）我校九年級共有600名男生，按當(dāng)前情況請你估計我校九年級男生“1分鐘跳繩”有多少人能達(dá)滿分（次數(shù)≥135次達(dá)滿分）．21．（8分）如圖，有四張背面完全相同的紙牌A、B、C、D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背面朝上洗勻．（1）從中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是四邊形的概率＝；（2）小明先從中隨機摸出一張紙牌，不放回，再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，求兩人摸出的牌面圖形都是軸對稱圖形的概率（紙牌用A、B、C、D表示）．22．（8分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點N處，測得點A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．23．（8分）如圖，直線y＝kx+2與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)交于點C（1，n）．（1）求反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式；（2）過x軸上的點D（a，0）（a＞0）作平行于y軸的直線l，分別與直線y＝kx+2和雙曲線y＝交于P、Q兩點，且2PQ＝QD，求點D的坐標(biāo)．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D的直線EF交AC于點F，交AB的延長線于點E，且∠BAC＝2∠BDE．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）當(dāng)CF＝2，BE＝3時，求AF的長．25．（10分）在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于抗疫，已知商家購進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷售．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y（單位：件）與線下售價x（單位：元/件，12≤x≤24）滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件，則該商家最多可以捐贈給社區(qū)多少錢用于抗疫？26．（12分）【問題呈現(xiàn)】某學(xué)校的數(shù)學(xué)社團成員在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，過E作EF∥AB交AC的延長線于點F，當(dāng)BD：DE＝1時，試說明：AF+EF＝AB；【方法探究】社團成員在研究探討后，提出了下面的思路：在圖1中，延長線段AD，交線段EF的延長線于點M，可以用AAS明△ABD≌△MED，從而得到EM＝AB…（1）請接著完成剩下的說理過程；【方法運用】（2）在圖1中，若BD：DE＝k，則線段AF、EF、AB之間的數(shù)量關(guān)系為（用含k的式子表示，不需要證明）；（3）如圖2，若AB＝7，EF＝6，AF＝8，BE＝12，求出BD的長；【拓展提升】（4）如圖3，若DE＝2BD，連接AE，已知AB＝9，tan∠DAF＝，AE＝2，且AF＞EF，則邊EF的長＝．27．（14分）如圖，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，且與x軸交于另一點A．（1）求出點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）如圖1，點F是拋物線的頂點，連接FB，F(xiàn)C，試求出△FBC的面積；（3）如圖2，點P是線段BC下方的拋物線上的動點（不與點B、C重合），過P作PD∥y軸交BC于點D，作PE⊥BC于E，則△PDE的周長的最大值＝．（4）當(dāng)（3）中△PDE的周長取得最大值時，將△PDE繞著點D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點P、D、E的對應(yīng)點分別記為P′、D'、E′．①點P′到點A距離的最大值＝．②當(dāng)點P′恰好落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出相應(yīng)的點E′坐標(biāo)．參考答案與試題解析一、選擇題：（每題3分，共24分，請將答案涂在答題卡上）1．（3分）4的絕對值是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．【解答】解：4的絕對值是4．故選：A．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣a2）3＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a2?3b2＝6a2b2【解答】解：A、2a+3b，無法計算，故此選項錯誤；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此選項錯誤；C、（a+b）2＝a2+4ab+b2，故此選項錯誤；D、2a2?3b2＝6a2b2，故此選項正確；故選：D．3．（3分）下列四個圖形中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．4．（3分）2020年6月23日，中國第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射，順利完成全球組網(wǎng)．其中支持北斗三號新信號的22納米工藝射頻基帶一體化導(dǎo)航定位芯片，已實現(xiàn)規(guī)?；瘧?yīng)用．22納米＝0.000000022米，將0.000000022用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9【解答】解：將0.000000022用科學(xué)記數(shù)法表示為2.2×10﹣8．故選：B．5．（3分）點（﹣1，4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（）A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）【解答】解：將點（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴y＝，∴點（4，﹣1）在函數(shù)圖象上，故選：A．6．（3分）如圖，點D在△ABC邊AB的延長線上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，則∠D的度數(shù)是（）A．24° B．59° C．60° D．69°【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，∵DE∥BC，∴∠D＝∠DBC＝59°，故選：B．7．（3分）要從甲、乙、丙、丁四名射擊選手中選擇一個成績優(yōu)秀且發(fā)揮穩(wěn)定的人參加射擊比賽，抽取了四人平時10次的射擊測試成績，發(fā)現(xiàn)四人10次射擊的平均成績都是9.4環(huán)，方差分別是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，則應(yīng)該選擇參加比賽的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，∴S丁2＞S乙2＞S甲2＞S丙2，∴成績最穩(wěn)定的是甲，應(yīng)該選擇甲參加比賽；故選：A．8．（3分）如圖，向容器甲中勻速的注水，容器甲中水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系可用下面哪一個圖象大致刻畫（）A． B． C． D．【解答】解：由容器的形狀可知：注入水的高度隨著時間的增長越來越高，但增長的速度越來越慢，即圖象開始陡峭，后來趨于平緩，故選：C．二、填空題：（每題3分，共24分，請將答案填在答題卡上）9．（3分）不等式：﹣x+1＞2的解集是x＜﹣1．【解答】解：移項得：﹣x＞2﹣1，合并得：﹣x＞1，系數(shù)化為1得：x＜﹣1．故答案為：x＜﹣1．10．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≠7．【解答】解：若代數(shù)式有意義，則x﹣7≠0，解得：x≠7．故答案為：x≠7．11．（3分）如圖，添加一個條件：∠ADE＝∠ACB，使△ADE∽△ACB，（寫出一個即可）【解答】解：由題意得，∠A＝∠A（公共角），則可添加：∠ADE＝∠ACB，利用兩角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可為：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣3，4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3，﹣4）．【解答】解：點（﹣3，4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3，﹣4）．故答案為：（3，﹣4）．13．（3分）已知x＝5﹣y，xy＝2，計算3x+3y﹣4xy的值為7．【解答】解：∵x＝5﹣y，∴x+y＝5，當(dāng)x+y＝5，xy＝2時，原式＝3（x+y）﹣4xy＝3×5﹣4×2＝15﹣8＝7，故答案為：7．14．（3分）已知扇形的圓心角為120°，弧長為6π，則扇形的面積是27π．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r．則＝6π，解得r＝9，∴扇形的面積＝＝27π．故答案為：27π．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BCD＝130°．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130．16．（3分）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作第一個正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作第二個正方形A2B2CxC1，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2021個正方形A2021B2021C2021C2020的面積為5×．【解答】解：設(shè)正方形的面積分別為S1，S2……Sn，根據(jù)題意得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝B1A1A2＝∠B2A2x，∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝A2B2x＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在Rt△ADO中，由勾股定理得：AD＝，tan，∴tan，∴B，∴CA1＝，同理，，由正方形的面積公式得：S正方形ABCD＝（）2，S1＝（）2×2，S2＝（）2×4＝5×，由此可得：第2021個正方形A2021B2021C2021C2020的面積為5×，故答案為：5×，三、解答題：（共11小題，共102分，請將答案填在答題卡上）17．（8分）計算：（1）計算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|；（2）解方程：＝．【解答】解：（1）（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|＝3﹣2×+＝3﹣+＝3；（2）＝，x﹣2＝3x，解得：x＝﹣1，檢驗：當(dāng)x＝﹣1時，x（x﹣2）≠0，∴x＝﹣1是原方程的根．18．（6分）先化簡，再求值：1﹣÷（2+），其中a＝2．【解答】解：原式＝1﹣÷[+]＝1﹣÷＝1﹣?＝1﹣＝﹣＝，當(dāng)a＝2時，原式＝＝0．19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交DC的延長線于點E，DA＝DE，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∠DAE＝∠AFB，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠DAE＝∠CFE，∴∠CFE＝∠DEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DEA，∴AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．20．（10分）2021年體育中考前夕，我校為了了解男生的體育情況隨機調(diào)查了九年級50名男生“1分鐘跳繩”的次數(shù)，并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：1分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)、頻率分布表：成績段頻數(shù)頻率90≤x＜10550.1105≤x＜12010a120≤x＜135b0.14135≤x＜150mc150≤x＜16512n根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：（1）表中的a＝0.2，m＝16；（2）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）．（3）我校九年級共有600名男生，按當(dāng)前情況請你估計我校九年級男生“1分鐘跳繩”有多少人能達(dá)滿分（次數(shù)≥135次達(dá)滿分）．【解答】解：（1）本次調(diào)查的九年級男生總?cè)藬?shù)為5÷0.1＝50（名），則a＝10÷50＝0.2，b＝50×0.14＝7，∴m＝50﹣（5+10+7+12）＝16，故答案為：0.2，16；（2）補全頻數(shù)分布直方圖如下：（3）估計“1分鐘跳繩”能達(dá)滿分有：600×（1﹣0.1﹣0.2﹣0.14）＝336（人）．21．（8分）如圖，有四張背面完全相同的紙牌A、B、C、D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背面朝上洗勻．（1）從中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是四邊形的概率＝；（2）小明先從中隨機摸出一張紙牌，不放回，再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，求兩人摸出的牌面圖形都是軸對稱圖形的概率（紙牌用A、B、C、D表示）．【解答】解：（1）從中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是四邊形的概率是；故答案為：；（2）列表得：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共產(chǎn)生12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩人摸出的牌面圖形都是軸對稱圖形的有6種，則兩人摸出的牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是＝．22．（8分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點N處，測得點A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．【解答】解：過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝≈0.40，解得：x≈10.7（m），∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3m．23．（8分）如圖，直線y＝kx+2與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)交于點C（1，n）．（1）求反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式；（2）過x軸上的點D（a，0）（a＞0）作平行于y軸的直線l，分別與直線y＝kx+2和雙曲線y＝交于P、Q兩點，且2PQ＝QD，求點D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝kx+2得﹣k+2＝0，解得k＝2，∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+2；把C（1，n）代入y＝2x+2得n＝4，∴C（1，4），把C（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）∵PD∥y軸，而D（a，0），∴P（a，2a+2），Q（a，），∵2PQ＝QD，∴2|2a+2﹣|＝，解得a＝或．∵a＞0，∴D（，0）或（，0）．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D的直線EF交AC于點F，交AB的延長線于點E，且∠BAC＝2∠BDE．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）當(dāng)CF＝2，BE＝3時，求AF的長．【解答】（1）證明：連接OD，AD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DF⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BO＝AO，∴OD∥AC，∴△EOD∽△EAF，∴，設(shè)OD＝x，∵CF＝2，BE＝3，∴OA＝OB＝x，AF＝AC﹣CF＝2x﹣2，EO＝x+3，EA＝2x+3，∴＝，解得x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6是分式方程的解，∴AF＝2x﹣2＝10．25．（10分）在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于抗疫，已知商家購進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷售．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y（單位：件）與線下售價x（單位：元/件，12≤x≤24）滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件，則該商家最多可以捐贈給社區(qū)多少錢用于抗疫？【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，則，解得：，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣100x+2400；（2）設(shè)總利潤為w元，w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，∵﹣100＜0，12≤x≤24，∴當(dāng)x＝19時，w取得最大值，此時w＝7300，∴該商家最多可以捐贈給社區(qū)7300元用于抗疫．26．（12分）【問題呈現(xiàn)】某學(xué)校的數(shù)學(xué)社團成員在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，過E作EF∥AB交AC的延長線于點F，當(dāng)BD：DE＝1時，試說明：AF+EF＝AB；【方法探究】社團成員在研究探討后，提出了下面的思路：在圖1中，延長線段AD，交線段EF的延長線于點M，可以用AAS明△ABD≌△MED，從而得到EM＝AB…（1）請接著完成剩下的說理過程；【方法運用】（2）在圖1中，若BD：DE＝k，則線段AF、EF、AB之間的數(shù)量關(guān)系為AF+EF＝AB（用含k的式子表示，不需要證明）；（3）如圖2，若AB＝7，EF＝6，AF＝8，BE＝12，求出BD的長；【拓展提升】（4）如圖3，若DE＝2BD，連接AE，已知AB＝9，tan∠DAF＝，AE＝2，且AF＞EF，則邊EF的長＝8．【解答】（1）證明：當(dāng)BD：DE＝1時，DE＝BD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EMD，在△ABD與△MED中，，∴△ABD≌△MED（AAS），∴AB＝ME，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FMD＝∠DAC，∴AF＝MF，∴AF+EF＝AB；（2）AF+EF＝AB，當(dāng)時，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴，即GE＝kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∴AF+EF＝AB；（3）由（2）得，AF+EF＝kAB，∴（8+6）k＝7，∴k＝，∵BD：DE＝，∴，∴，∴BD＝4；（4）延長AD、EF交點為G．由（1）（2）可知：FG+EF＝2AB＝18，即GE＝18．過點A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G＝tan∠DAF＝．即，∴GH＝2AH，設(shè)AH＝x，則GH＝2x，HE＝18﹣2x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得x2+，解得，當(dāng)AH＝8時，GH＝16，設(shè)FH＝a，則AF＝16﹣a，在Rt△AFH中，由勾股定理可得：82+a2＝（16﹣a）2，解得a＝6，AF＝10，EF＝8，成立．當(dāng)AH＝時，同理可求FH＝4.8，AF＝8，EF＝10．∵AF＞EF，∴此種情況不成立．27．（14分）如圖，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，且與x軸交于另一點A．（1）求出點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）如圖1，點F是拋物線的頂點，連接FB，F(xiàn)C，試求出△FBC的面積；（3）如圖2，點P是線段BC下方的拋物線上的動點（不與點B、C重合），過P作PD∥y軸交BC于點D，作PE⊥BC于E，則△PDE的周長的最大值＝．（4）當(dāng)（3）中△PDE的周長取得最大值時，將△PDE繞著點D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點P、D、E的對應(yīng)點分別記為P′、D'、E′．①點P′到點A距離的最大值＝+2．②當(dāng)點P′恰好落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出相應(yīng)的點E′坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2；（2）如圖1，過點F作FG∥y軸交BC于點G，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴頂點F（，﹣），∴G（，﹣），∴FG＝﹣﹣（﹣）＝，∴S△FBC＝FG×（xB﹣xC）＝××4＝；（3）如圖2，∵B