新教材第三章 不等式 練習(xí)-蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第三章不等式

一、單選題

1.【2019年高考北京卷文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四

種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成

功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為

【答案】①130；②15.

【解析】(1)%=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為V元，

y<120元時(shí)，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

,2120元時(shí)，有(y—x)x80%Nyx70%恒成立，即8(y—x)27y,x〈工即xV：=15元

8k87min

所以X的最大值為15.

2.不等式54的解集是()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【答案】D

【解析】由54，

即x(2—x)<0,解得x>2或xvO,故選D.

3.設(shè)M=2〃(〃一2),N=(〃+l)(a—3),貝|()

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】*?M—N=2a(a—2)—(〃+l)(a—3)

=(2a2—4”)一(層一2a—3)=層-2〃+3

=(4Z-l)2+2>0.

：.M>N.

4.不等式x2一?一12/<0(其中〃<o)的解集為()

A.（—3。,4。）B.（4〃，一3〃）

C.（—3,4）D.（2〃,6〃）

【答案】B

【解析】方程x2—以-12/=0的兩根為4〃，—3a,

且4[<一3〃，故不等式的解集為{x[4〃<x<—3〃}.

9

5.已知函數(shù)丁=%一4+不口（工>一1）,當(dāng)x=4時(shí)，y取得最小值b,則等于（）

A.-3B.2C.3D.8

【答案】C

9Q

【解析】y=x—4+^j=a+l）+^j^—5,

因?yàn)閄>—1,所以元+1>0,

所以心2\1x+不、-5=2x3—5=1,

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=±9,即1=2時(shí)，等號(hào)成立，

x+1

此時(shí)〃=2,Z?=l,所以〃+/?=3.

6.方程f+（根-2）x+5=0的兩根都大于2,則根的取值范圍是（）

A.（—5,-4]B.（—8,-4]

C.（-oo,-2）D.（-oo,-5）U（-5,-4]

【答案】A

【解析】令汽幻=一+（加一2）x+5—巾，要使|x）=0的兩根都大于2,

rA—m~2~~m,

則卜,

m2>16,

解得|心—5,即一5<小一4,故選A.

m<-2

1~I-2x<0

’;''則不等式式為濟(jì)的解集是（）

{~x+2,尤>0,

A.[-l,l]B.[-2,2]

C.[-2,l]D.[-l,2]

【答案】A

「爛0,fx>0,

【解析】由y（x）才，可得或_

2>x^[xI2>x^,

爛0,Jx>0,

解得或1+x-2W0,

%2—%—2<0

店0,x>0,

即T小2或

—2<%<1,

—或0<^^1,綜上一1S爛1.

8.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5孫，則3x+4y的最小值是（）

2428

A虧B虧C.5D.6

【答案】C

13

【解析】：x+3y=5種.?..+.=1,

???3x+4y=(3x+4y)xl=(3x+4y)&+的

3x,9.4,12y13_Bx12y

=可+5+5+墟=+2=5,

5y5x

當(dāng)且僅當(dāng)緊蛉，即X=l,產(chǎn);時(shí)等號(hào)成立.

二、多選題

9.已知a,瓦ceR,則下列推證中不正確的是()

22

A.a>bam>bmB.-c>-=c>a>b

C.ac2ybc2,a>bD.a2>b2ab>0；

tab

【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4卅=0時(shí)不成立;

對(duì)于B.c<0時(shí)不成立;

對(duì)于C.ac2>bc2>兩邊同除以c2,可得a>b,正確;

對(duì)于D.由a2>匕2,。》〉0，取a=—2,b=-1,貝亡>：,所以也不成立.

ab

故選ABD.

10.若a,b€R,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

117

A.a2+fe2>2abB.a+&>2VafeC.[+彳>而D?

【答案】AD

【解析】對(duì)于4,根據(jù)（叱匕）220，即可得到02+4—204,

當(dāng)且僅當(dāng)“a=b"時(shí)取"=''所以A正確；

對(duì)于2,C,雖然ab>0,只能說明a,6同號(hào),

若a,6都小于。時(shí)，不能滿足不等式成立，所以8,C錯(cuò);

對(duì)于。，ab>0,>0??>0,

a0

.?31>2匠=2，當(dāng)且僅當(dāng)心=9"時(shí)取"=”，

+故。正確,

abbab

故選AD

11.下列各式中，最小值為4的是（）.

A.y=-+-B.y=sinx+—(0<x<if)

72x

C.y=ex+4e-xD.y=V%2+14--==

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)x<0時(shí)，y<0,所以y=g+：無最小值，A不符合題意；

對(duì)于2,由已知sinx>0,所以y=sinx+一一>2\/sin工x-^―=4,當(dāng)siiw=-—即sinr=2時(shí),

siuxVsinzsnix

取等號(hào)，而siiu,的最大值為1,所以等號(hào)取不到，所以y=sinx+」-（0<x<71）的最小值不是4,

即B不符合題意;

對(duì)于C,y-gx+4e~x>2jexx4e~x=4,當(dāng)尸=4e-xHPx=tnzHt,取等號(hào)，所以y=e*+4er最

小值為4,C符合題意；

對(duì)于O,y=2JVF+1X-^=4,當(dāng)=扁即x=±6時(shí)，取等號(hào)，

所以y=75^+1+=的最小值為4,所以符合題意.

故答案為CD.

12.下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.x+孑的最小值為2

X

B.若a>by則a3>b3

C.不等式x2-3x>。的解集為[0,3]

D.如果a<b<0,那么±<二

a，i4

【答案】AC

【解析】A,%<。時(shí)，*+!為負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤，

員若a>瓦則a3>/,故8正確，

C.不等式x2-3x>0的解集為（一oo,01u「3,+8）,故c錯(cuò)誤，

D如果a<b<0,則一a>-b>0,a2>b2,那么二〈手，故。正確.

故選A,C.

三、填空題

13.關(guān)于x的不等式％2—2尤+3%2—2a—1在R上的解集是0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（一1,3）

【解析】：/一統(tǒng)一（層一2a—4）式的解集為0,

/.J=4+4（/—2a—4）<0,

a2—2a—3<0,—l<a<3.

14.已知危）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，危）=/—4x,貝IJ不等式加+2）<5的解集是

【答案】｛x|-7<x<3]

【解析】令x〈0,則一x>0,

*.*當(dāng)x>0時(shí)，危)=f—4x,

?\/(一x)=(—x)2-4(—％)=r+4達(dá)

又/(x)為偶函數(shù)，，八一%)=#%)，

/.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+4x,

卜2—4%，x>0,

故有於)=0+4.X<0.

|x>0,

由4x<5,得g尤<5；

|x<0,

由I2—u得一5<x<0,

M+4x<5,

即外）<5的解集為（一5,5）.

由于外）向左平移兩個(gè)單位長度即得兀r+2）,

故/（x+2）<5的解集為{x|—7<r<3}.

（x+l）（2v+1

15.【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)x>0,y>Q,x+2y=4,則^—————的最小值為

孫

9

【答案】-

2

【解析】-)=23+口網(wǎng)工2+9

xyxyxyxy

因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=4,

即J而W2,0〈孫W2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)取等號(hào)成立.

C5cu19

又因?yàn)?+422+5x5=5'

g、i(x+l)(2y+l)9

所以的取小值為—.

孫2

/+5

16.函數(shù)fix)=52+4的最小值為-

【答案】I

■.f+5，++1LT7~?1

=r+,

【斛析】^+r^^^p+Z

產(chǎn)+55

[2,+oo)上單調(diào)遞增的性質(zhì)，可知當(dāng)產(chǎn)“=2,即x=0時(shí)，不看取得最小值|.

四、解答題

17.當(dāng)x>3時(shí)，求函數(shù)了=蕓的值域.

x~5

解Vx>3,Z.x-3>0.

.2r_____2+X一+18

**yx~3x~3

18/IQ

=2(x—3)+T+12>2A/x—12=24.

x-3—\jx—3

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)2(x—3)=瓷，即x=6時(shí)，上式等號(hào)成立，

.?.當(dāng)x>3時(shí)，函數(shù)>=總的值域?yàn)閇24,+oo).

18.若不等式(1—a)%2—4x+6>0的解集是{x|—3<x<l}.

(1)解不等式2^+(2—a)x~a>0；

(2屹為何值時(shí)，加+fcv+3K)的解集為R.

解(1)由題意知1一。<0且一3和1是方程

r1—4V0,

4

2,

(1—d)x^—4x+6=0的兩根，1.V1-a

6

3,

<1-a

解得a=3.

二?不等式2f+(2—a)x—〃>0,即為2f—x—3>0,

3

解得x<—1或x>2?

所求不等式的解集為卜卜<T或無>|[

(2)0^+bx+3>0,即為Bf+bx+SNO,

若此不等式的解集為R,則/=〃-4x3x3s0,

-6<b<6.

19.某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折

疊后使用.如圖所示，A8CO(A8>AQ)為長方形薄板，沿AC折疊后，AB咬QC于點(diǎn)P.當(dāng)AADP的面

積最大時(shí)最節(jié)能.

(1)設(shè)米，用尤表示圖中。P的長度，并寫出尤的取值范圍；

(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長和寬？

解：(1)由題意，AB—x,BC—2.—X.

因x>2~x,故l<x<2.

設(shè)DP—y,則PC—x—y.

因AA￡>尸絲△CB'P,故E4=PC=x—y.

由B42=AD2+DP2,得(x—y)2=(2—xp+y,

化簡得y=2(l—：),l<x<2.

(2)記"0尸的面積為則Si=(l—j(2—x)=3—(x+氾一2限，

當(dāng)且僅當(dāng)X=A^G(1,2)時(shí)，&取得最大值.

答：當(dāng)薄板長為啦米，寬為2—啦米時(shí)，節(jié)能效果最好.

20.已知不等式〃/-3%+6>4的解集為{小<1或x>Z?}.

(1)求mb的值；

(2)解不等式ox2—(〃c+Z?)x+Z?c<0.

f-=l+&,f_]

a\a=\

解(1)由題意知，1和人是方程以之一3%+2=0的兩根，貝！解得，9

%,[b=2'

(2)不等式ax1—(ac+b)x+bc<0,

即為x2—(c+2)x+2c<0,即(x—2)(x—c)<0.

①當(dāng)02時(shí)，原不等式的解集為｛x[2<x<c｝；

②當(dāng)c<2時(shí)，原不等式的解集為｛x[c<x<2｝；

③當(dāng)c=2時(shí)，原不等式無解.

綜上知，當(dāng)c>2時(shí)，原不等式的解集為｛尤|2a<c｝；

當(dāng)c<2時(shí)，原不等式的解集為｛x[c<x<2｝；

當(dāng)c=2時(shí)，原不等式的解集為0.

21.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50白區(qū)100(單位