2025屆遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)聯(lián)合體高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)聯(lián)合體高一下數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某班由50個(gè)編號(hào)為01，02，03，…50的學(xué)生組成，現(xiàn)在要選取8名學(xué)生參加合唱團(tuán)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則該樣本中選出的第8名同學(xué)的編號(hào)為（）495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877047447672176335025839212067649544354827447A．20 B．25 C．26 D．342．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，，則（）A．1024 B．2048 C．1023 D．20474．在中，分別為角的對(duì)邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形5．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，令，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的值是（）A．10 B．120 C．130 D．1406．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含7．在中，為的中點(diǎn)，，則（）A． B． C．3 D．-38．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形9．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則下列關(guān)于的形狀的說(shuō)法正確的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定10．已知直線與，若，則（）A．2 B．1 C．2或-1 D．-2或1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線平分圓的周長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)________．12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______.13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則________.14．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。15．若、是方程的兩根，則__________.16．已知，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求直線l的方程；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點(diǎn)N到直線l距離的最小值.18．某企業(yè)2015年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從2015年開始,此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬(wàn)元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元,此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為萬(wàn)元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(3)依上述預(yù)測(cè),從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)a與b的值；（2）若函數(shù)，數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，，且當(dāng)，時(shí)，，設(shè)（），記數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，且對(duì)有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，試判斷△ABC的形狀.21．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用隨機(jī)數(shù)表依次選出8名學(xué)生的二位數(shù)的編號(hào)，超出范圍的、重復(fù)的要舍去.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，選出來(lái)的8名學(xué)生的編號(hào)分別為：17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；∴樣本選出來(lái)的第8名同學(xué)的編號(hào)為1．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)數(shù)表法求抽樣編號(hào)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

根據(jù)為銳角可求得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知，從而得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，又，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠熟悉特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)角的范圍確定特殊角的取值.3、C【解析】

根據(jù)疊加法求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，選C.【點(diǎn)睛】本題考查疊加法求通項(xiàng)以及等比數(shù)列求和，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡(jiǎn)得到，得到，得到答案.【詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】

根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)點(diǎn)求得冪函數(shù)解析式，由此求得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法求得的表達(dá)式，解方程求得的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，將代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法，考查裂項(xiàng)求和法，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

計(jì)算圓心距，判斷與半徑和差的關(guān)系得到位置關(guān)系.【詳解】圓心距相交故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，判斷圓心距與半徑和差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】

本題中、長(zhǎng)度已知，故可以將、作為基底，將向量用基底表示，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故選A【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積問(wèn)題常見(jiàn)解題方法有1.基底法，2.坐標(biāo)法．基底法首先要選擇兩個(gè)不共線向量作為基向量，然后將其余向量向基向量轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算；坐標(biāo)法則要建立直角坐標(biāo)系，然后將向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)而運(yùn)用向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算．8、C【解析】

將角C用角A角B表示出來(lái)，和差公式化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，角A，B，C為△ABC的內(nèi)角故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】

利用三角形的正、余弦定理判定．【詳解】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，由正弦定理得，得，則，為直角三角形．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

由兩直線平行的等價(jià)條件，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用兩直線平行的等價(jià)條件求值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由題得圓心在直線上，解方程即得解.【詳解】由題得圓心（1，a）在直線上，所以.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用二倍角降冪公式和輔助角公式可得出，然后解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、【解析】

根據(jù)奇偶性，先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.14、【解析】

根據(jù)球的表面積計(jì)算出球的半徑.利用勾股定理計(jì)算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時(shí)，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計(jì)算，考查三棱錐體積的最大值的計(jì)算，屬于中檔題.15、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體去解決問(wèn)題.考點(diǎn)：三角恒等變換.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）等價(jià)于圓心O到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合題意可得點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且，∴圓心O到直線l的距離，又，，解得，∴直線l的方程為；（2）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，，∴，，設(shè)，，則，，，，，即.又∵點(diǎn)N在線段上，即，共線，，，∵點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，，∴將m，n代入上式，可得，即.則點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上.圓心R到直線l：的距離，又，故點(diǎn)N到直線l：距離的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，重點(diǎn)考查了點(diǎn)的軌跡方程的求法，屬中檔題.18、(1),(2),(3)至少經(jīng)過(guò)4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).【解析】

(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出即可(3)作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【詳解】(1)由題意得是等差數(shù)列，所以由題意得所以所以是首項(xiàng)為250，公比為的等比數(shù)列所以所以(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和所以是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，所以(3)易得此函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增且時(shí)時(shí)所以至少經(jīng)過(guò)4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)列的綜合知識(shí)，包含通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的求法及數(shù)列的單調(diào)性.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，再由，得;（2），將原式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，數(shù)列的前項(xiàng)和，，原恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，對(duì)n分奇偶得到最值即可.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，得，又，得.（2）由（1）知，得，又，化簡(jiǎn)得到：，又，所以，又，故，則數(shù)列的前項(xiàng)和；又，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)恒成立對(duì)恒成立對(duì)恒成立，令，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原不等式對(duì)恒成立對(duì)恒成立，又函數(shù)在上單增，故有；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，原不等式對(duì)恒成立對(duì)恒成立，又函數(shù)在上單增，故有.綜上得.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，還涉及不等式恒成立的問(wèn)題，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，數(shù)列中最值的求解方法如下：1．鄰項(xiàng)比較法，求數(shù)列的最大值，可通過(guò)解不等式組求得的取值范圍；求數(shù)列的最小值，可通過(guò)解不等式組求得的取值范圍；2．?dāng)?shù)形結(jié)合，數(shù)列是一特殊的函數(shù)，分析通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)的特點(diǎn)，借助函數(shù)的圖像即可求解；3．單調(diào)性法，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，可通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，必須注意的是數(shù)列對(duì)應(yīng)的是孤立的點(diǎn)，這與連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性有所不同；也可以通過(guò)差值的正負(fù)確定數(shù)列的單調(diào)性．20、（1）60°【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡(jiǎn)后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（2）由A為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=3中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B為60°，可得出三角形ABC三個(gè)角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．【詳解】(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2+c(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3，∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，∴