湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．將一個(gè)總體分為甲、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為（）A．20 B．40 C．60 D．1002．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，其中為整數(shù)，若在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則的最大值為()A． B． C． D．4．已知平面平面，直線平面，直線平面，，在下列說法中，①若，則；②若，則；③若，則.正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③5．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)的單位長(zhǎng)度，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．6．若，，那么在方向上的投影為（）A．2 B． C．1 D．7．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．8．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)為和，且，則（）A．5 B． C． D．910．《趣味數(shù)學(xué)·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，若在數(shù)列中，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.12．已知函數(shù)，若，則__________．13．若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，，前項(xiàng)和達(dá)到最大值時(shí)，的值為______.15．在等比數(shù)列中，，公比，若，則的值為．16．輾轉(zhuǎn)相除法，又名歐幾里得算法，是求兩個(gè)正整數(shù)之最大公約數(shù)的算法，它是已知最古老的算法之一，在中國(guó)則可以追溯至漢朝時(shí)期出現(xiàn)的《九章算術(shù)》．下圖中的程序框圖所描述的算法就是輾轉(zhuǎn)相除法．若輸入、的值分別為、，則執(zhí)行程序后輸出的的值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項(xiàng)為10，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．某科研小組對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)作物種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，其中5天的數(shù)據(jù)如下，該小組的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組求線性回歸方程，再用方程對(duì)其余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).日期第1天第2天第3天第4天第5天溫度（℃）101113128發(fā)芽數(shù)（顆）2326322616（1）求余下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是第2、3、4天的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與2組檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過1顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，請(qǐng)問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式；線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式：，，其中、表示樣本的平均值）19．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，為的外接圓半徑.（1）若，，，求；（2）在中，若為鈍角，求證：；（3）給定三個(gè)正實(shí)數(shù)、、，其中，問：、、滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以、為邊長(zhǎng)，為外接圓半徑的不存在，存在一個(gè)或存在兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？在存在的情兄下，用、、表示.20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）求證：平面．21．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)，且（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

求出丙層所占的比例，然后求出丙層中抽取的個(gè)體數(shù)【詳解】因?yàn)榧?、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為，所以丙層所占的比例為，所以應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣中某一層抽取的個(gè)體數(shù)的問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】

取特殊值檢驗(yàn)，利用排除法得答案?！驹斀狻恳?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；因?yàn)榍?，所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題。3、A【解析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關(guān)于的不等式，再由為整數(shù)，可得當(dāng)取最小時(shí)，取最大，從而求得答案.【詳解】∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴∵，∴當(dāng)取最小時(shí)，取最大，∵兩個(gè)零點(diǎn)的乘積小于1，∴，∵為整數(shù)，令時(shí)，，滿足.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意為整數(shù)的應(yīng)用.4、D【解析】

由面面垂直的性質(zhì)和線線的位置關(guān)系可判斷①；由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷③．【詳解】平面平面．直線平面，直線平面，，①若，可得，可能平行，故①錯(cuò)誤；②若，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，故②正確；③若，可得，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線和線面、面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換法則，即可得出結(jié)論?！驹斀狻繉⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)的單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換法則，注意對(duì)的影響。6、C【解析】

根據(jù)定義可知，在方向上的投影為，代入即可求解．【詳解】，，那么在方向上的投影為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)試題．7、C【解析】

由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求得，再結(jié)合長(zhǎng)度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出的值.【詳解】，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】

先根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)且時(shí)，，得，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2.所以所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，由題中熟記，以及等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先分析題意，可知是取和中的最大值，且是該數(shù)列中的最小項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的單調(diào)性可得出或，代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，是取和中的最大值，且是數(shù)列中的最小項(xiàng).若，則，則前面不會(huì)有數(shù)列的項(xiàng)，由于數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，必有，即.此時(shí)，應(yīng)有，，即，解得.，即，得，此時(shí)；若，則，同理，前面不能有數(shù)列的項(xiàng)，即，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，，由，即，解得.由，得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的最小項(xiàng)求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也考查了數(shù)列中的新定義，解題的關(guān)鍵就是要分析出數(shù)列的單調(diào)性，利用一些特殊項(xiàng)的大小關(guān)系得出不等式組進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.12、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗?，所以，所以，，所以，故填：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式，對(duì)分成三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡(jiǎn)得恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時(shí)，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.14、或【解析】

令，求出的取值范圍，即可得出達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】令，解得，因此，當(dāng)或時(shí)，前項(xiàng)和達(dá)到最大值.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求解，可以利用關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得，也可以利用等差數(shù)列所有非正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)相加即得，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

因?yàn)椋?，故答案?．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．16、【解析】

程序的運(yùn)行功能是求，的最大公約數(shù)，根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法可得的值．【詳解】由程序語言知：算法的功能是利用輾轉(zhuǎn)相除法求、的最大公約數(shù)，當(dāng)輸入的，，；，，可得輸出的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖的理解，掌握輾轉(zhuǎn)相除法的操作流程是解題關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用已知條件求出首項(xiàng)與公差，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）先求出，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解析：（Ⅰ）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ），∴上述兩式相減可得∴=【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及利用錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）；（3）線性回歸方程是可靠的.【解析】

（1）用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；（2）由已知數(shù)據(jù)求得與，則線性回歸方程可求；（3）利用回歸方程計(jì)算與8時(shí)的值，再由已知數(shù)據(jù)作差取絕對(duì)值，與1比較大小得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)“余下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)為事件”，從5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)，余下的2組數(shù)據(jù)共10種情況：，，，，，，，，，．其中事件的有6種，；（2）由數(shù)據(jù)求得，，且，．代入公式得：，．線性回歸方程為：；（3）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．故得到的線性回歸方程是可靠的．【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，考查古典概型的概率計(jì)算問題，屬于中檔題．19、（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】

（1）利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理求出的值；（2）由余弦定理得出可得證；（3）分類討論判斷三角形的形狀與兩邊、的關(guān)系，以及與直徑的大小的比較，分類討論即可.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得.，解得；（2）由于為鈍角，則，由于，，得證；（3）①當(dāng)或時(shí)，所求不存在；②當(dāng)且時(shí)，，所求有且只有一個(gè)，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，都是銳角，，存在且只有一個(gè)，；④當(dāng)時(shí)，所求存在兩個(gè)，總是銳角，可以是鈍角也可以是銳角，因此所求存在，當(dāng)時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，，.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形形狀的判斷，考查了解三角形、三角形的外接圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，尤其是第三問需要根據(jù)、兩邊以及直徑的大小關(guān)系確定三角形的形狀，再在這種情況下求第三邊的表達(dá)式，本解法主觀性較強(qiáng)，難度較大.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，得，利用直線與平面平行的判定定理證明平面．（2）連結(jié)，由已知條件得，由平面，得，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，∵、分別是棱、的中點(diǎn)，∴，且．∵在菱形中，是的中點(diǎn)，∴，且，∴且，∴為平行四邊形.∴．∵平面，平面，∴平面．（2）連接，∵是菱形，∴，∵，分別是棱、的