山東省青島市四校聯(lián)考2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題

2024年山東省青島市高一四校期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．存在函數(shù)滿足：對任意都有（）A． B．C． D．3．已知是奇函數(shù)，則（）A．2 B． C．1 D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．定義表示不超過的最大整數(shù)．例如：，，則（）A． B．，C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．10．已知，，且，則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域為，且，，為偶函數(shù)，則（）A． B．為偶函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為______．13．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為______．14．設，函數(shù)，若恰有兩個零點，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）求值：（1）（2）．16．（15分）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60°，當?shù)妊菪蔚难L為多少時，所用籬笆的長度最??？并求出所用籬笆長度的最小值．17．（15分）已知集合，，其中，（）是關(guān)于的方程（）的兩個不同的實數(shù)根．（1）若，求出實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）設，，若對任意的，存在，使得，求的取值范圍．19．（17分）離散對數(shù)在密碼學中有重要的應用．設是素數(shù)，集合，若，，，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設，1，，，…，兩兩不同，若（），則稱是以為底的離散對數(shù)，記為．（1）若，，求；（2）對，，記為除以的余數(shù)（當能被整除時，）．證明：，其中，；（3）已知．對，，令，．證明：．2024年山東省青島市高一四校期中聯(lián)考數(shù)學試題答案解析精編1．B【分析】利用補集、并集的定義直接求解即得．【詳解】依題意，全集，則，，得，，所以．故選：B2．D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，故A錯誤；對于B：令，解得或，所以的值不唯一，故B錯誤；對于C：令，解得或，所以的值不唯一，故C錯誤；對于D：，令（），則（），所以（），故D正確；故選：D3．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解參數(shù)的值．【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以滿足，即，化簡為，得，，此時，函數(shù)的定義域為，成立．故選：A4．B【分析】利用指數(shù)冪的運算法則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】由題意得，，，易知，，故，則，可得，故B正確．故選：B5．B【分析】取，可判斷A；作差法比較數(shù)的大小可判斷B；由不等式性質(zhì)可判斷C；作差法比較數(shù)的大小可判斷D．【詳解】對于A：當時，顯然不成立，故A錯誤；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：因為，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D錯誤．故選：B．6．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)值的符合分析判斷．【詳解】由題意可得：的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，排除B，D．當時，則，，可得，所以，排除A．故選：C．7．D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可．【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域．8．B【分析】A選項，取特殊值，判斷出A選項的真假；B選項，設表示不超過的最大整數(shù)，可得與，的關(guān)系，可得，判斷出B選項的真假；C選項，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假．【詳解】A選項，取，，則，，顯然，所以A不正確；B選項，設表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項，，因為，，所以，所以不是偶函數(shù)，故C錯誤；D選項，，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯誤．故選：B．9．BD【分析】由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項判斷即可．【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯誤；若，則，A錯誤．故選：BD10．ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解．【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．11．ACD【分析】對于A，利用賦值法即可判斷；對于B，利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；對于C，利用換元法結(jié)合的奇偶性即可判斷；對于D，先推得的一個周期為6，再依次求得，，，，，，從而利用的周期性即可判斷．【詳解】對于A，因為，令，則，故，則，故A正確；對于B，因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為為偶函數(shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項C可知，所以，故的一個周期為6，因為，所以，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義推得的奇偶性，再結(jié)合題設條件推得為周期函數(shù)，從而得解．12．【分析】抽象函數(shù)定義域求解，需整體在范圍內(nèi)，從而解出的范圍，同時注意需保證，最后求出交集即可得解．【詳解】由已知，的定義域為，所以對于需滿足，解得故答案為：．13．【分析】由，根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義及復合函數(shù)單調(diào)性判斷性質(zhì)，再由性質(zhì)得即可求范圍．【詳解】由題設，定義域為，，即為偶函數(shù)，在上，令，且，則，由，，故，即函數(shù)在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞增，所以，可得，故，可得．故答案為：14．【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為1，．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．15．（1）3；（2）10【分析】根據(jù)指對冪的運算規(guī)則計算．【詳解】（1）；（2）原式；綜上，（1）原式；（2）原式．16．當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．【分析】以實際應用問題為情境，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求法解出結(jié)果；【詳解】設（），上底（），分別過點，作下底的垂線，垂足分別為，，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長為，當且僅當，即，時取等號．所以，當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．17．（1）2；（2）【分析】（1）先根據(jù)得到，，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出．【詳解】（1）因為，故，，又（）的兩根分別為，，故，，故；（2）因為，故，，又（）的兩根分別為，，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是．18．（1）；（2）【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解的值；（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解．【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，即，，，，，，，，所以，即．（2），因為對任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為．19．（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）第一問直接根據(jù)新定義來即可．（2）第二問結(jié)合新定義、帶余除法以及費馬小定理即可得證．（3）根據(jù)新定義進行轉(zhuǎn)換即可得證．【詳解】（1）若，，又注意到，所以．（2）【方法一】：當時，此時，此時，，故，，，此時．當時，因1，，，…，相異，故，而，故，互質(zhì)．記，，，則，，使得，，故，故，設，，則，因為1，2，3，…除以的余數(shù)兩兩相異，且，，，…除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而，其中，故即．