第11講 數(shù)形結(jié)合拋物線（含解析）

【例1】拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若FA×QB=0，則|AF|-|BF|【例2】設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為.【例3】過(guò)拋物線y2=2px（p<0）上一定點(diǎn)P)x0,y0(（y0<0作兩條直線分別交拋物線于A)x1,y1(，B)x2,y2(兩點(diǎn)，求證:當(dāng)直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線AB的斜率為非零常數(shù).【例4】已知拋物線y2=2px（p<0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且7AFB=設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為點(diǎn)的最大值為()A.4B.1C.2線BC所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【例6】已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖11-6，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則AF:BF的結(jié)果為()A.3:1B.3:2C.2:1D.3:1或1:3yAB圖11-62.設(shè)點(diǎn)M(-1,)是拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若FM×FA=0，則△MAB的面積為(A.2B.C.3D.3.如圖11-7，已知直線y=k(x+1)與拋物線C:y2=4x相交A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若FAi=3iFBi，則k的值為()±43±D.±43±D.±C.B.±222l:yk(I1),k0yMNBPAyMNBPAF1圖1174.已知斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2=px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與y軸相交于點(diǎn)A.若△AOF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為1，則p=.5.設(shè)拋物線2,(t為參數(shù)，p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C，AF與BC相交于點(diǎn)E.若CF=2AF，且△ACE的面積為3、i2，則p=.【例1】拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若FA×QB=0，則|AF|-|BF|【解析】【解法1】顯然直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2)(k10).y=8x.由y2=k(x-2),得ky2-8yy=8x.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則有y1y2=-16，x1x2=4.因?yàn)镕A×QB=0，所以x1x2+2(x1-x2)+y1y2-4=0，解得x1-x2=8.所以|AF|-|BF|=(x1+2)-(x2+2)=8.故選【點(diǎn)撥】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出y1y2，x1x2，再利的定義求解.【解法2】如圖11-1所示，顯然直線AB與x軸不垂直，設(shè)A(8a2,8a)，B(8b2,8b).AyAQOExOExB因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以整理得ab=--2,8a)，-=(8b2+2,8b所以(8a2-2)(8b2+2)+64ab=0，解得a2-b2=1.因?yàn)閨AF|-|BF|=(8a2+2)-(8b2+2)=8(a2-b2)，所以|AF|-|BF|=8.故選A.【點(diǎn)撥】利用拋物線的參數(shù)方程﹐設(shè)出A(8a2,8a)，B(8b2,8b)，利用三點(diǎn)共線以及拋物線的定義求解.【解法3】如圖11-1，作AE^x軸于點(diǎn)E.因?yàn)?0，所以AF^QB，△AFE∽△QFB，.設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則有，由①②解得m-n=8，所以|AF|-|BF|=8.故選A.【解法4】設(shè)直線方程為x=my+2，與拋物線交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn).因?yàn)镕A×QB=0，所以BF×QB=0，即點(diǎn)B在以QF為直徑的圓x2+y2=4上.又因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線y2=8x上，·i5-4， 進(jìn)而可得x1=2·5+4.所以|AF|-|BF|=(x1+2)-(x2+2)=x1-x2=8.故選A.【賞析】【解法1】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用“設(shè)而不求”通法求解，“設(shè)而不求”是解析幾何中非常重要的一個(gè)解法﹐能夠大大簡(jiǎn)化計(jì)算量.解法⒉充分挖掘題中條件，妙用拋物線參數(shù)方程，利用三點(diǎn)共線巧妙轉(zhuǎn)化.【解法3】構(gòu)造相似三角形，結(jié)合焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論解決問(wèn)題，因此記住一些常用結(jié)論很有意義.【解法4】通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線焦半徑解題.四種解法開(kāi)闊思路﹐發(fā)散思維，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力和思維能力.【例2】設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為.【解析】yMa,2Ma,2pa)A(0,2)KOy22P(P0)p2'F圖112所以y2=4x或y2=16x.【點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用拋物線定義與兩直線垂直得到方程組求解.這里直接利用了直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角這一性質(zhì).如圖11-3所示，設(shè)點(diǎn)M易知以MF為直徑的圓與y軸相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以yA=2，所以y0=2yA=4，所以M由拋物線的定義知|MF|=5， M 2·/ 2·KFy22pz(p0)圖113【點(diǎn)撥】由“以MF為直徑的圓與y軸相切"，可得圓心縱坐標(biāo)為2，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，利用焦半徑解得p=8或p=2，所以y2=4x或y2=16x.【點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用AM，AF的數(shù)量積為零，及MF=5得解.【解法4】如圖11-4所示，易知以MF為直徑的圓與y軸相切，可得切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2)，MyMN2OOy2y22pzp圖114【點(diǎn)撥】由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到上OAF=上AMF，應(yīng)用sin上OAF=sin上AMF求解.【賞析】圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，常用待定系數(shù)法或利用圓錐曲線的定義求解.本題解法的實(shí)賁都是待定系數(shù)法，不同之處在于對(duì)條件的轉(zhuǎn)化的方向或形式不一樣.【解法1】、【解法2】主要從代數(shù)的角度考慮，側(cè)重于代數(shù)的運(yùn)算，區(qū)別在于【解法1】把直角轉(zhuǎn)化為斜率之積等于定義，【解法4】應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系求解.【例3】過(guò)拋物線y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)P(x0,y0)（y0>0作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，求證:當(dāng)直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線AB的斜率為非零常數(shù).【解析】【解法1】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=-2y0.從而kAB=為定值.【點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用地物線上兩點(diǎn)B(x1,y1)，C(x2,y2)連線的斜率公式求解.【解法2】設(shè)直線PA的斜率是k，則直線PB的斜率是-k，所以直線PA的方程是y=k(x-x0)+y0，直線PB的方程是y=-k(x-x0)+y0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)， 所以kNs=為定值.【點(diǎn)撥】設(shè)出直線PA，PB的斜率，求出直線PA，PB的方程，與地物線方程聯(lián)立得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解.【賞析】本題以拋物線為載體，考查直線斜率的計(jì)算，【解法1】主要利用拋物線上兩點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)連線的斜率公式巧妙化簡(jiǎn)，是有關(guān)直線和拋物線的綜合問(wèn)題的有效解題策略，【解法2】利用直線和拋物線方程，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.【例4】已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且上AFB=設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為點(diǎn)的最大值為()A.4B.1C.2【解析】+b2-ab，22【點(diǎn)撥】將問(wèn)題聚焦在三角形中，利用拋物線定義、余弦定理及基本不等式求解.因?yàn)閨MN|=，本△ABF中使用正弦定理有【點(diǎn)撥】將問(wèn)題聚焦三角形中，利用拋物線的定義、正弦定理以及三角函數(shù)的有界性求解.【解法3】過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，-|MA|2=|FM|2-+BB1)2(2,2所以4|FM|2-|AB|22|MN|2，【點(diǎn)撥】從向量的角度出發(fā)，巧借向量數(shù)量積的極化恒等式，利用基本不等式求解.【賞析】【解法1】和【解法2】將問(wèn)題聚焦在三角形中，利用正弦、余弦定理，再利用三角函數(shù)的有界性和基本不等式求解，是考慮與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題的常用解題策略.【解法3】從向量的角度出發(fā)，巧借向量數(shù)量積的極化恒等式，利用基本不等式求解，視角獨(dú)特.線BC所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】2=2x聯(lián)立消去x得y2-2my-2n=0，所以y1+y2=2m，y1y2=-2n①,y1y2y1y2)y1y222【解法2】設(shè)出直線BC的方程x=my+n，及點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，將條件中的直角利用向量進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求出m，n的關(guān)系，進(jìn)而求解所過(guò)的定點(diǎn).分類討論：①當(dāng)直線BC的斜率存在，即y1+y2≠0時(shí)，yy12即BC過(guò)定點(diǎn)(3,·).(2)當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，y1+y2=0，亦過(guò)點(diǎn)(3,·).綜上，直線BC過(guò)定點(diǎn)(3,·).利用拋物線上兩點(diǎn)B(x1,y1)，C(x2,y2)連線的斜率公式k=，以及兩直線垂直，【解法3】設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)，A(x0,y0)，1y2+4p2即y(y12)y1y22px=0②,【點(diǎn)撥】利用拋物線上兩點(diǎn)連線的斜率公式求解，給出一般情況下的解法.【賞析】【解法1】將直線BC的方程與拋物線方程聯(lián)立后，利用向量數(shù)量積等于0求出定點(diǎn)坐標(biāo)，是通法.【解法2】利用拋物線上兩點(diǎn)B(x1,y1)，C(x2,y2)連線的斜率公式以及兩直線垂直，斜率乘積為—1求解.【解法3】利用拋物線上兩點(diǎn)連線的斜率公式求解，給出一般情況下的解法，以后遇到此類型題目，用兩次結(jié)論可以提高解題速度和準(zhǔn)確度.【例6】已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2【解析】x1聯(lián)立2k,消去y得k2x2+x+4k2=0，所以x1【點(diǎn)撥】聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，求出x1=4，x2=1，再利用兩根之間的關(guān)系求出AB的斜率.yMy=yMy=k(x+2),k>0BNPOF(2,0)xl:x=-2C:y2=8xA因?yàn)镕A=2FB，所以AM=2BN，所以B為AP的中點(diǎn)，B(,y0)，所以4y=8(+2)=2y+16，y=8，所以【點(diǎn)撥】由拋物線的定義，以及平面幾何知識(shí)可得B為AP的中點(diǎn)，設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)，可以求A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解.【解法3】如圖11-5所示，易得直線AB所過(guò)定點(diǎn)P(-2,0)在C的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A，B作C的準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足為M，N，則AF=AM，BF=BN，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由FA=2FB，得MA=2NB，B是PA的中點(diǎn)，y1=2y2，y=8x1，y=8x2所以x1=4x2.MANB所以x1=4，y1=8x1=4，【點(diǎn)撥】由拋物線的定義及平面幾何知識(shí)可得B是PA的中點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用縱坐標(biāo)的關(guān)系，得出橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，問(wèn)題得以解決.【解法4】由題意得yA=2yB，聯(lián)立消去x得ky2-8y+16b=0，因?yàn)閗>0，解得k=.【點(diǎn)撥】得到y(tǒng)A=2yB后，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，把求出的yA,yB帶入yA=2yB求解.【解法5】如圖11-5所示，已知直線過(guò)定點(diǎn)P(-2,0)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A，B作C的準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足分別為M，N，則BF=BNAF=AM，BF=BN.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)FAFBMANB,B是PA的中點(diǎn)，所以kAB=【點(diǎn)撥】由平面幾何知識(shí)，用三角形中位線定理，可得OB=BF，求得B(1,2·)，進(jìn)而求出AB的斜率.【賞析】【解法1】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，求出x1=4，x2=1再利用兩根之間的關(guān)系求出點(diǎn)AB的斜率.【解法2】、【解法3】根據(jù)拋物線的定義，平面幾何知識(shí)證得B為AP的中點(diǎn)，利用A，B坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，問(wèn)題得以解決.【解法4】得到y(tǒng)4=2yB后，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x，利用兩根關(guān)系求解.【解法5】由平面幾何知識(shí)，用三角形中位線定理，可得OB=BF，求得B(1,2·)進(jìn)而求出AB的斜率.強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖11-6，過(guò)拋物線