六年級數(shù)學競賽小測驗

六年級數(shù)學競賽測試題

1、12+20+30+42+56+72+90

今，+，+_L_+……+」.

2、1X33x55x747X49

3小芳三天看完一本書，第一天看了全書的玄，第二天看余下的京，第二天比第一天多看了20

頁，這本書共有多少頁？

4、運送一堆水泥，第一天運了這堆水泥人,第二天運的是第一天的母，還剩84噸沒有運，這

就端紗噸?

5、學校美術(shù)興趣組和電腦興趣組共102人，美術(shù)組人數(shù)的看和電腦組人數(shù)的上相

等。美術(shù)組和電腦組各有多少人？

4

6、水果店批發(fā)了四種水果，梨的重量是蘋果的虧，橘子的重量是其余三種水果

的安，香蕉是其余三種水果的孟，香蕉比蘋果少120千克。這四種水果共批發(fā)

了多少千克？

7、實驗小學六年級三個班植樹，一班植樹的棵數(shù)占三個班總棵數(shù)的上，二班與

三班植樹棵數(shù)的比是3:4,二班比三班少植樹24棵，這三個班各植樹多少棵？

“平均數(shù)”同課異構(gòu)教學實錄與評析

執(zhí)教：南京市北京東路小學張齊華

評析：北京教育學院劉加霞

一、建立意義

師：喜歡體育運動嗎？

生齊：喜歡！

生：我最喜歡乒乓球。

生：我最喜歡足球。

師：想不想了解張老師最喜歡的體育運動？

生：想！

師：如果張老師告訴大家，我最喜歡，并且最拿手的體育運動項目是籃球，

你會相信嗎？

生：不相信。

生：我也不信。籃球運動員通常都很強壯，就像姚明或喬丹那樣。張老師，

您也太瘦了點。（笑）

師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小強、

小林、小剛對我的投籃技術(shù)也深表懷疑。就在上星期，他們?nèi)诉€約我進行了一

場“1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽"。怎么樣，想不想了解現(xiàn)場的比賽情況？

生齊：想！

師：首先出場的是小強。他1分鐘投中了幾個球呢？讓我們一起來看看。（呈

現(xiàn)小強1分鐘投中的個數(shù)）

生：他投中了5個。

師：沒錯。可是，小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己

的真正水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎？

生：我不同意。萬一他后面兩次投多了，那我不就危險啦！

生：我會同意的。做老師的應該大氣一點。就讓你多投幾次，估計也不是我

的對手。（笑）

師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小強后兩次的投籃成績很有趣。

想看看嗎？

生齊：想。

教師出示小強的后兩次投籃成績：5個、5個。學生會心地笑了。

師：還真巧，小強三次都投中了5個?，F(xiàn)在看來，要表示小強1分鐘投中的

個數(shù)，用哪個數(shù)比較合適?

生：5o

師：為什么？

生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數(shù)，最合適了。

師：說得有理！接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢？我們也一

起來看看吧。

出示小林第1分鐘投中的個數(shù)：3個。

師：如果你的小林，就這樣結(jié)束了？

生：不會！我也會要求再投兩次的。

師：為什么？

生：這也太少了，肯定是發(fā)揮失常。

生：如果只投這1分鐘，就連小強都比不過，更不要說和張老師比了。

師：真是心有靈犀一點通！正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不

過，麻煩來了。（教師出示小林的后兩次成績：5個、4個）三次投籃，結(jié)果怎么

樣？

生齊：不同。

師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數(shù)來表示小林1分鐘投

籃的一般水平呢？

生：我覺得可以用5來表示。因為他最多一次投中了5個。如果用4或3表

示，那他肯定不是張老師的對手。

生：我不同意！小強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另

外兩次只投中4個和3個，怎么能用5來表示呢？

師：也就是說，如果也用5來表示，對小強來說---

生齊：不公平！

師：那該用哪個數(shù)來表示呢？

生：我覺得可以用4來表示。因為3、4、5三個數(shù)，4正好在當中，最能代

表他的成績。

師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀？

生齊：那他還有一次只投中3個，比4個少1呀。

師：哦，一次比4多1,一次比4少1……

生：那么，把5里面多的1個送給3,這樣不就都是4個了嗎？

教師結(jié)合學生的交流，呈現(xiàn)移多補少的過程如下圖（圖1）。

師：數(shù)學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數(shù)都一樣多。這

一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個？

生齊：4個。

師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎？

生齊：能！

師：該輪到小剛出場了。（出示下圖）小剛也投了三次，成績同樣各不相同。

這一回，又該用幾個來代表他一分鐘投籃的一般水平呢？同學們先獨立思考，然

后再在小組內(nèi)交流自己的想法。

生：我覺得可以用4來代表他一分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，最多，

可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好象都投中了4

個。所以用4來代表比較適合。

結(jié)合學生交流，教師再次呈現(xiàn)移多補少過程如下圖（圖2）。

師：還有別的方法嗎？

生：我們先把小剛?cè)瓮吨械膫€數(shù)相加，得到12個，再用12除以3等于4

個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。

師：別急，老師把你的算式寫下來（板書：3+7+2=12次，12+3=4次）。

象這樣先把每次投中的個數(shù)合起來，然后再平均分給這三次（板書：合并、平分）,

能使每一次看起來一樣多嗎？

生：能！都是4個。

師：能不能代表小剛一分鐘投籃的一般水平？

生：能！

師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有

一個，那就是----

生：使原來幾個不相同的數(shù)變得同樣多。（板書：同樣多）

師：數(shù)學上，我們把通過移多補少后得到的同樣多的這個數(shù)，就叫做原來這

幾個數(shù)的平均數(shù)。（板書課題：平均數(shù)）比如，在這里（出示圖1）,我們就說4

是3、4、5這三個數(shù)的平均數(shù)。那么，在這里（出示圖2）,哪個數(shù)又是哪幾個

數(shù)的平均數(shù)呢？在小組里說說你的想法。

生：在這里，4是3、7、2這三個數(shù)的平均數(shù)。

師：不過，這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎？

生：不能！

師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數(shù)嗎？

生：也不能！

師：奇怪，這里的平均數(shù)4既不能代表小剛第一次投中的個數(shù)，也不能代表

他第二、第三次投中的個數(shù)，那它究竟代表的是哪一次的個數(shù)呢？

生：這里的4代表的是小剛?cè)瓮吨械钠骄健?/p>

生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。

教師板書：一般水平

師：最后，該誰出場了？

生：張老師。

師：知道自己投籃水平不乍地，所以正式比賽前，我主動提出想投四次的要

求。沒想到，他們竟一口答應了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我

每一次的投籃情況？

生：想!

教師呈現(xiàn)前三次投籃成績：4個、6個、5個，如下圖。

張老師一分鐘投籃成績統(tǒng)計圖

第1次

師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想？

生：他們可能會想，完了完了，肯定輸了。

師：從哪兒看出來？

生：你們看，光前三次，張老師平均一分鐘就投中了5個，和小強并列第一。

更何況，張老師還有一次沒投呢。

生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發(fā)揮失常，1個都沒投中，或只投

中一兩個，張老師也可能會輸。

生：萬一張老師最后一次發(fā)揮超常，投中10個或更多，那豈不贏定了！

師：情況究竟會怎么樣呢？還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。

課件出示下圖。

張老師一分鐘投籃n成績統(tǒng)計圖

師：憑直覺，張老師最終贏了還是輸了？

生：輸了。因為你最后一次只投中了1個，也太少了。

師：不計算，你能大概估計一下，張老師最后的平均成績可能是幾個？

生：大約是4個。

生：我也覺得是4個。

師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計

我最后的平均成績是6個。

生：不可能，因為只有一次投中6個，又不是次次投中6個。

生：前三次的平均成績只有5個，而最后一次只投中1個，平均成績只會比

5更小，不可能是6個。

生：再說，6個是最多的一次，它還要移一些補給少的。所以不可能是6個。

師：那你們?yōu)槭裁床还烙嬈骄煽兪?個呢？最后一次只投中1個呀。

生：也不可能。這次盡管只投中1個，但其他幾次都比1個多，移一些補給

它后，就不止1個了。

師：這樣看來，盡管還沒得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績

應該比這里最大的數(shù)一一

生：小一些。

生：還要比最小的數(shù)大一些。

生：應該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：是不是這樣呢？趕緊想辦法算算看吧。

學生列式計算，并交流計算過程：

4+6+5+1=16（個）

164-4=4（個）

師：和剛才估計的結(jié)果比較一下，怎么樣？

生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：現(xiàn)在看來，這場投籃比賽一一

生：張老師輸了。

師：你們覺得，問題主要出在哪兒？

生：最后一次投得太少了。

生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。

師：試想一下，如果張老師最后一次投中5個，甚至更多些，比如9個，比

賽結(jié)果又會如何呢？同學們可以先通過觀察估一估，也可以動筆算一算。然后在

小組里交流你的想法。

課件出示下圖。

張老師一分鐘投籃成績統(tǒng)計圖

學生估計或計算，隨后交流結(jié)果。

生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很

容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。

師：你是通過移多補少得出結(jié)論的。有不同的方法嗎？

生：我是列式計算的。4+6+5+5=20（個），204-4=5（個）。結(jié)果也是5個。

生：我還有補充！其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投

中1個，現(xiàn)在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，正好多出來1個。結(jié)

果自然也就是5個了。

教師相機出示下圖。

張老師一分鐘投籃成績統(tǒng)計圖

師：能理解？

生：能！

師：既然這樣，那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數(shù)又會增

加多少呢？

生：應該增加2。因為9比1多8,多出的8個再平均分到四次上，每次只

增加了2個。所以平均數(shù)應增加2個。

生：我是列式計算的，4+6+5+9=24（個），244-4=6（個）。結(jié)果也是6個。

二、深化理解

師：現(xiàn)在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的想法在小組里

說一說。

教師相機出示下圖。

1I-

i1宏

夏

^盤

普

私

一

4+6+5+1=16（個）4+6+5+5=20（個）4+6+5+9=24（f個e）

164-4=4（個）204-4=5（個）244-4=6（個）

學生獨立思考后，先組內(nèi)交流想法，再全班交流。

生：我發(fā)現(xiàn)，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。

師：最后的平均數(shù)一一

生：也不同。

師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個數(shù)？

生：一個數(shù)。

師：瞧，前三個數(shù)始終不變，但最后一個數(shù)從1變到5再變到9,平均數(shù)一

生：也跟著發(fā)生了變化。

師：難怪有人說，平均數(shù)這東西很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的風吹草動，都會使

平均數(shù)發(fā)生變化。現(xiàn)在看來，這話有道理嗎？

生：有！

師：其實呀，善于隨著每一個數(shù)據(jù)的變化而變化，這正是平均數(shù)的一個重要

特點。未來的數(shù)學學習中，我們將就此作更進一步的研究。還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大。

師：能解釋一下為什么嗎？

生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數(shù)當然要比最大的小，比

最小的大了。

師：其實，這正是平均數(shù)的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大

概地估計出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢。

生：我還發(fā)現(xiàn)，總數(shù)每增加4,平均數(shù)并不增加4,而是只增加1。

師：那么，要是這里的每一個數(shù)都增加4,平均數(shù)又會增加多少呢？還會是

1嗎？

生：不會，應該增加4。

師：真是這樣嗎？課后，同學們可以繼續(xù)展開研究。或許，你們還會有更多

的新發(fā)現(xiàn)！不過，關(guān)于平均數(shù)，還有一個非常重要的特點，還隱藏在這幾幅圖當

中。想不想了解？

生：想！

師：以第一幅圖為例。仔細觀察這幅圖，有沒有發(fā)現(xiàn)，這里有些數(shù)超過了平

均數(shù)，而有些數(shù)還不到平均數(shù)。（學生點頭示意）比較一下超過的部分與不到的

部分，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：超過的部分和不到的部分都是3個，一樣多。

師：會不會只是一種巧合呢？讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?

生：（觀察片刻）也是這樣的。

師：這兒還有幾幅圖（出示小剛、小林一分鐘投籃情況統(tǒng)計圖），情況又怎

么樣呢？

生：超出部分和不到的部分還是同樣多。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都會

一樣多呢？

生：如果不一樣多，超出部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。

這樣就得不到平均數(shù)了。

生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如

果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

師：多生動的比方呀！其實，像這樣，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部

分一樣多，這是平均的又一個重點特點。把握了這一特點，我們還可以巧妙地解

決相關(guān)的實際問題呢。

課件出示如下三張紙條。

師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。（呈

現(xiàn)下圖）不計算，你能根據(jù)平均數(shù)的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計

生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條

比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。

師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長，還是短？

生：應該要短一些。

生：大約是9厘米。

生：我覺得是8厘米。

生：不可能是8厘米。因為7比8小了1,而12比8大了4。

師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。

學生口算，得出三張紙條的平均長度是9厘米。教師移動表示平均數(shù)的線條

至9厘米處，如下圖。

9厘米

7厘米：

I!I

12厘米

II!

8厘米：

三、拓展提升

師：下面的這些問題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點來解決。瞧，學校籃

球隊的幾位同學正在進行籃球比賽呢。老師了解到這么一則資料，說李強所在的

快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎？

生：有可能。

師：不對呀！不是說隊員的平均身高是160厘米嗎？

生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是

隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里

每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身

高高，比如170厘米。

師：說得好！為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，老師這兒還給大家

帶來了一幅圖。畫面中的人，相信大家一定不陌生。

出示下圖。

生：姚明!

師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網(wǎng)上查到這么一

則數(shù)據(jù)，中國男子籃球隊的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員

的身高都是200厘米？

生：不可能。

生：姚明的身高就不止2米。

生：聽我爸爸說，姚明的身高有240厘米呢。

師：啥時姚明長這么高啦？（笑）

生：姚明的身高是226厘米。

師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平

均數(shù)一一

生：那就一定有人身高不到平均數(shù)。

師：沒錯。瞧，據(jù)老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠

低于平均身高?？磥?，平均數(shù)只反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不代表其中的每一

個數(shù)據(jù)。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。

出示下圖。

師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平均水深no厘米。

師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高130厘米，下水游泳一定沒危險。你

們覺得，冬冬的想法對嗎？

生：不對！

師：怎么不對？冬冬的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎？

生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。有可能

有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有些地方比較深，比如150厘米。所以，冬

冬下水游泳，可能會有危險。

師：說得真好！想看看這個池塘水底下真實的情形嗎?

生：想！

教師利用課件，呈現(xiàn)池塘水底的剖面圖，如下。

生：原來是這樣，真的有危險！

師：看來，認識了平均數(shù)，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。

當然，如果不了解平均數(shù)，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最

新的《健康報》上查到這么一則資料。

課件出示：《2007年世界衛(wèi)生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是

71歲。

師：可別小看這一數(shù)據(jù)哦！30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的

平均壽命大約只有68歲。比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：中國男性的平均壽命比原來長了。

師：這是好事，還是壞事？

生：是好事。

師：值得高興，還是難過？

生：當然值得高興！

師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍?？墒?，一位70歲的老伯伯

看了這則資料后，不但高興不起來，反而還有點難過。這又是為什么呢？

生：我想，老伯伯可能以為，平均壽命是71歲，而自己已經(jīng)70歲了，看來

只能再活一年了。（笑）

師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數(shù)。

生：不懂！

師：你們懂不懂？

生：懂。

師：既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你打算怎么勸勸我？

生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。

如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎？（笑）

師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀?。ㄐΓ┎贿^，還是要

感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢?

生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平,

這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢?。ㄐΓ?/p>

師：謝謝你的祝福！不過，光這么說，好象還不足以讓我徹底放心。有沒有

誰家的爺爺或是老太爺，已經(jīng)超過71歲的？如果有，那我可就更放心了。

生：我爺爺已經(jīng)78歲了。

生：我奶奶已經(jīng)81歲了。

師：奶奶不管用，我們說的是男性平均壽命。（笑）

生：我爺爺已經(jīng)85歲了。

生：我老太爺都已經(jīng)94歲了。

師：真有超過71歲的呀！這一回，猜猜看，老伯伯還會再難過嗎？

生：不會了。

師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命？

生：想！

師：有誰愿意大膽地猜猜看？

生：我覺得，中國女性的平均壽命大約有65歲。

生：我覺得大約有73歲。

教師呈現(xiàn)相關(guān)資料：中國女性的平均壽命大約是74歲。

師：發(fā)現(xiàn)了什么？

生：女性的平均壽命要比男性長。

師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶

奶的壽命一定會比老爺爺長？

生：不一定！

生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性

長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。

師：說得真好！走出課堂，愿大家能帶上今天所學的內(nèi)容，更好地認識生活

中與平均數(shù)有關(guān)的各種問題。下課！

評張齊華的“平均數(shù)”一課

?劉加霞

學生如何學習平均數(shù)這一重要概念呢？傳統(tǒng)教學側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)（有時

甚至是沒有任何統(tǒng)計意義的抽象數(shù)）計算其平均數(shù)。即側(cè)重于從算法的水平理解

平均數(shù)，容易將平均數(shù)的學習演變?yōu)橐环N簡單的技能學習，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計學

意義。因此，新課程標準特別強調(diào)從統(tǒng)計學的角度來理解平均數(shù)。然而什么是“從

統(tǒng)計學的角度”理解平均數(shù)？在教學中如何落實？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計

學水平的理解整合起來？如何將平均數(shù)作為一個概念來教？下面將以張齊華老

師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課為例研究教學實踐中如何解決上述問題。

將平均數(shù)作為一個重要概念來教，重點是要解決三個問題：為什么學習平

均數(shù)？平均數(shù)這個概念的本質(zhì)以及性質(zhì)是什么？現(xiàn)實生活、科學等方面是怎樣運

用平均數(shù)的？張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課正是從這三方面，并依據(jù)學生的

認知特點和生活經(jīng)驗實現(xiàn)從概念的角度理解平均數(shù)。

一、“概念為本”教學的核心：為什么學習平均數(shù)

1.憑直覺體驗平均數(shù)的“代表性”。

平均數(shù)的統(tǒng)計學意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同

于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)（雖然碰巧可能等于某個原始數(shù)據(jù)），但又與每一個

原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較，

就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因為平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較,

而且公平。

在張老師的課上，導入部分的問題一一1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽一一雖然簡單，

但易于引發(fā)學生對平均數(shù)的“代表性”的理解：是用一次投籃的個數(shù)來代表整體

水平還是用幾次投籃中的某一次來代表水平呢？抑或是用幾次投籃的總數(shù)來代

表整體水平？

由于教師所選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設計，同時各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨

著教師的追問，使學生很好地理解平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。這些數(shù)據(jù)并不是一組一

組地同時呈現(xiàn)，然后讓學生分別計算其平均數(shù)，而是動態(tài)呈現(xiàn)，并伴隨教師的追

問，以落實研究每一組數(shù)據(jù)的教學目標。例如，先呈現(xiàn)小強第一次投中5個，然

后追問：小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實水平，

想再投兩次，你同意他的要求嗎？使學生直覺體驗到由于隨機誤差的原因僅用一

次的數(shù)據(jù)很難代表整體的水平。因此再給他兩次投籃機會。而小強的投籃水平非

常穩(wěn)定，三次都是5個。三次數(shù)據(jù)都是“5”是教師精心設計的，核心是讓學生

憑直覺體驗平均數(shù)的代表性，避免了學生不會計算平均數(shù)的尷尬。同樣道理，第

二組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式仍然先呈現(xiàn)一個，伴隨教師的追問：如果你是小林就這樣結(jié)

束了？仍是讓學生體驗一次數(shù)據(jù)很難代表整體水平，但3、5、4到底哪個數(shù)據(jù)能

代表小林的水平呢？教師設計的這些活動的核心是讓學生體驗平均數(shù)的代表性。

2.兩種計算方法的背后仍強化概念理解

雖然會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過多的、單純的練習容易

變成純粹的技能訓練，妨礙學生體會平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價值。計算平均

數(shù)有兩種方法，每種方法的教育價值各有側(cè)重點，其核心都是強化對平均數(shù)意義

的理解，非僅僅計算出結(jié)果。

在張老師的課上，利用直觀形象的象形統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖也可以），通過

動態(tài)的“割補”來呈現(xiàn)“移多補少”的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提

供感性支撐。首先兩次在直觀水平上通過“移多補少”求得平均數(shù)，而不是先通

過計算求平均數(shù)，這樣做，強化平均數(shù)“勻乎、勻乎”的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)

能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進一步直觀理解，避免學生原有思維定勢影響，即

淡化學生對“平均分”的認識，強化對平均數(shù)意義而非算法的理解。

如何讓學生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，而不是平均分后某

個體所獲得的結(jié)果呢？平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系更有區(qū)別，雖然二者的計算過程

相同，但不同于前面所學的“平均分”，二者計算過程相同但各自的意義不同。

從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)是

多少；二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份，強調(diào)的是除法運算的意義，

解決的是“單位量”與“單位個數(shù)”的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水

平，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強化統(tǒng)計學意義，數(shù)據(jù)的“個數(shù)”不同于

前面所說的“份數(shù)”，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個數(shù)。

因此張老師的教學中沒有單純地求平均數(shù)的練習，將學習平均數(shù)放在完整

的統(tǒng)計活動中，在描述數(shù)據(jù)、進行整體水平對比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)

計量”的本質(zhì)，實現(xiàn)從統(tǒng)計學的角度學習平均數(shù)。例如，張老師在通過兩種方法

求出平均數(shù)之后，一再追問：“哪個數(shù)是哪幾個數(shù)的平均數(shù)？”“這里的平均數(shù)4

能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎？能代表第二次、第三次投中的個數(shù)嗎？”“奇

怪，那他究竟代表的是哪一次投中的個數(shù)？”通過這樣的追問，強化平均數(shù)的統(tǒng)

計學意義。當然，如果在此現(xiàn)實問題中出現(xiàn)平均數(shù)是小數(shù)的情形更有助于學生理

解平均數(shù)只刻畫整體水平不是真正的投球個數(shù)（投球個數(shù)怎么會是小數(shù)呢？不強

調(diào)小數(shù)的意義，只出現(xiàn)簡單小數(shù)，例如3.5個），即有人說“平均數(shù)是一個虛幻

的數(shù)”。學生對此理解需要比較長的“過程”，不是一節(jié)課就能達成的。

二、“概念為本”教學的深化：進一步理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì)

初步認識了平均數(shù)的統(tǒng)計學意義后，張老師仍然進一步設計活動讓學生借

助于具體問題、具體數(shù)據(jù)初步理解平均數(shù)的性質(zhì)，豐富學生對平均數(shù)的理解，也

為學生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問題提供知識和方法上的支持。算術(shù)平均數(shù)有如下

性質(zhì)：

1.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)的影響，“稍有風吹草動

就能帶來平均數(shù)的變化”，即敏感性。

2.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間。

3.一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)與平均數(shù)之差（稱為離均差）的總和等于0,即：

■（xi-■）=0,其中xi是原始數(shù)據(jù)，■是這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。

4.給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)加上一個常數(shù)C,則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)

為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)Co

5.一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)乘上一個常數(shù)C,則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為

原來數(shù)組的平均數(shù)乘常數(shù)C。

這些抽象的性質(zhì)如何讓小學生理解呢？張老師仍然是在巧妙的數(shù)據(jù)設計以

及適時、把握本質(zhì)的追問中讓學生進一步深化對平均數(shù)性質(zhì)的認識。數(shù)據(jù)設計的

巧妙主要體現(xiàn)在：

首先，在統(tǒng)計張老師自己的投球水平時，張老師“搞特殊”，可以投四次。

基于前面學生對平均數(shù)的初步感知，學生認可用老師四次投球的平均數(shù)來代表老

師的整體水平，但張老師在第四次投中多少個球上“大做文章”：前三次的平均

數(shù)是5,那么老師肯定是并列第一了？一組數(shù)據(jù)中前三個數(shù)據(jù)大小不變，只是第

四個數(shù)據(jù)發(fā)生變化，會導致平均數(shù)產(chǎn)生什么樣的變化呢？在疑問與困惑（當然有

很多學生是“清醒”的）中教師首先出示了“極端數(shù)據(jù)”（1個球）進一步深化

學生對平均數(shù)代表性的理解，初步體驗平均數(shù)的敏感性。

其次，假設張老師第四次投中5個、9個，張老師1分鐘投球的平均數(shù)分

別是多少？根據(jù)統(tǒng)計圖直觀估計或者計算或者根據(jù)平均數(shù)的意義進行推理都能

求出平均數(shù)，多種方法求解發(fā)揮了學生的聰明才智，使學生的潛能得以發(fā)揮，體

驗成功感進而體驗創(chuàng)造學習的樂趣。

最后，將三幅張老師1分鐘投球的統(tǒng)計圖同時呈現(xiàn)，讓學生對比分析、獨

立思考再小組討論。由于三幅統(tǒng)計圖中前三個數(shù)據(jù)相同，只有第四個數(shù)據(jù)不同，

學生能夠進一步理解平均數(shù)的敏感性：任何一個數(shù)據(jù)的風吹草動，都會使平均數(shù)

發(fā)生變化。學生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是界于最小的數(shù)與最大的數(shù)之間：多的要移一些補

給少的，最后平均數(shù)當然要比最大的小比最小的大了。學生還發(fā)現(xiàn)：總數(shù)每增加

4,平均數(shù)并不增加4,而是只增加1。教師適時追問：要是這里的每一個數(shù)都增

加4,平均數(shù)又會增加多少呢？還會是1嗎？

再進一步觀察三幅統(tǒng)計圖中的第一幅圖，教師追問：比較一下超過平均數(shù)

的部分與不到平均數(shù)的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：超過的部分和不到的部分都是3個，一樣多。

師：會不會只是巧合？其他的平均數(shù)是否也有這個特點？

通過進一步觀察其他幾幅統(tǒng)計圖，學生真正理解了并用自己形象生動的語

言描述出：就像山峰與山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好填平，如果

山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

在上述問題情境中，以“問題”為導向，借助于直觀的統(tǒng)計圖以及學生的

估計或者計算，學生思維上、情感上經(jīng)歷一籌莫展、若有所思、茅塞頓開、悠然

心會的過程，對平均數(shù)的意義以及性質(zhì)都有了深切的體會。

三、“概念為本”教學的拓展：利用概念解釋現(xiàn)實問題

有前述對平均數(shù)意義以及性質(zhì)的了解，學生是否真正理解了平均數(shù)的概念

呢？敘述出概念的定義或者會計算不等于真正理解某個概念，還要看能否在不同

情境中運用概念。由于平均數(shù)這個概念對小學生而言是非常抽象的（如前所說，

它是“虛幻的數(shù)”，學生不能具體看到），平均數(shù)的背景也很復雜，如果學生能在

稍復雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題，說明學生初步理解了平均數(shù)。

因此，張老師設計了四個復雜程度不同的問題，即“紙帶平均長短”“球員

平均身高”“平均水深”“平均壽命”，這四個問題中的平均數(shù)的復雜程度不同。

前兩個問題中的平均數(shù)比較簡單，數(shù)據(jù)的個數(shù)都是有限個，而且又有直觀

圖形做理解上的支撐，因此前兩個問題是簡單應用平均數(shù)的性質(zhì)離差之和為零，

即有比平均數(shù)大的數(shù)據(jù)就一定有比平均數(shù)小的數(shù)據(jù)。學生可以借助于直觀圖形以

及計算求出這兩個問題中的平均數(shù)。在“紙帶”問題中數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式不同于前

面，是橫向呈現(xiàn)，但平均數(shù)的意義不變，淡化呈現(xiàn)形式強化意義理解，為學生理

解平均數(shù)提供另一視角?！扒騿T平均身高”問題不是讓學生計算球員的平均身高

而是讓學生借助平均數(shù)的性質(zhì)進行推理判斷，并通過學生熟悉的中國男籃隊員的

平均身高以及姚明的特殊身高深化對平均數(shù)的理解。

最后兩個情