五年級(jí)奧數(shù)第21講-“三向”行程問題（學(xué)）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：五年級(jí)課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：

授課主題第21講一一“三向”行程問題

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

熟練掌握“路程和=速度和X時(shí)間”這一公式并能利用其解決相向行程問題（相

教學(xué)目標(biāo)

遇問題）、同向行程問題（追及問題）、背向行程問題（相離問題）。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)-——同步課堂

一、相向行程問題（相遇問題）

甲從/地到8地，乙從6地到4地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了46之間這段

路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么

?。杭?乙

ABAB

。時(shí)刻準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)間t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間

=（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間

=速度和X相遇時(shí)間.

一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和義相遇時(shí)間=路程和，即S和=%/

二、同向行程問題（追及問題）

有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這

就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算

兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時(shí)間-乙的速度X追及時(shí)間

=（甲的速度-乙的速度）義追及時(shí)間

=速度差X追及時(shí)間.

一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差X追及時(shí)間，即黑=^t

例如：假設(shè)甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(diǎn)（0米）處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時(shí)間右后甲乙同時(shí)

到達(dá)終點(diǎn)，甲乙的速度分別為喔和也，那么我們可以看到經(jīng)過時(shí)間右后，甲比乙多跑了5米，或者可以說,

在時(shí)間右內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時(shí)間2追了乙5米

。米5米100米100

三、背向行程問題（相離問題）

相離問題：“兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行”，注意對(duì)“速度和”的理解，注意時(shí)間的因素

圖不：

甲出發(fā)點(diǎn)乙

AB

關(guān)系式：相離距離=速度和X相背而行的時(shí)間.

考點(diǎn)一：相向行程問題（相遇問題）

例1、一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行48千米。

3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？

例2、大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大頭兒子從學(xué)校回家，他們同

時(shí)出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？

例3、甲、乙兩輛汽車分別從A、3兩地出發(fā)相對(duì)而行，甲車先行1小時(shí)，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)

行50千米，5小時(shí)相遇，求4、3兩地間的距離.

例4、甲、乙兩輛汽車分別從A、3兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時(shí)后乙車從3地出發(fā)，乙車出發(fā)5小時(shí)

后兩車還相距15千米.甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行50千米.求A、8兩地間相距多少千米？

例5、甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行.出發(fā)2小時(shí)后，兩人相距54千米；出發(fā)5小時(shí)后，兩

人還相距27千米.問出發(fā)多少小時(shí)后兩人相遇？

例6、兩列城鐵從兩城同時(shí)相對(duì)開出，一列城鐵每小時(shí)走40千米，另一列城鐵每小時(shí)走45千米，在途中每列

車先后各停車4次，每次停車15分鐘，經(jīng)過7小時(shí)兩車相遇，求兩城的距離？

例7、兩地相距3300米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了

15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？

例8、甲、乙二人同時(shí)從A地去3地，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行90米，乙到達(dá)3地后立即返回，并與甲

相遇，相遇時(shí)，甲還需行3分鐘才能到達(dá)3地，A、8兩地相距多少米？

考點(diǎn)二：同向行程問題（追及問題）

例1、甲、乙兩地相距240千米，一列慢車從甲地出發(fā)，每小時(shí)行60千米.同時(shí)一列快車從乙地出發(fā)，每小

時(shí)行90千米.兩車同向行駛，快車在慢車后面，經(jīng)過多少小時(shí)快車可以追上慢車？（火車長度忽略不計(jì)）

例2、甲、乙兩列火車同時(shí)從A地開往3地，甲車8小時(shí)可以到達(dá)，乙車每小時(shí)比甲車多行20千米，比甲車提

前2小時(shí)到達(dá).求A、B兩地間的距離.

例3、軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到/島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”

艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米,在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”

海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？

例4、龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑.小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?，心想：“我小兔每分鐘能?00米，而你烏龜每分鐘

只能跑10米，哪是我的對(duì)手.”比賽開始后，當(dāng)小兔跑到全程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠(yuǎn)，便毫不介意

地躺在旁邊睡著了.當(dāng)烏龜跑到距終點(diǎn)還有40米時(shí)，小兔醒了，拔腿就跑.請同學(xué)們解答兩個(gè)問題：它們誰

勝利了？為什么？

例5、小明步行上學(xué)，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，

立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當(dāng)爸爸追上小明時(shí)他們離家多

遠(yuǎn)？

例6、甲、乙兩架飛機(jī)同時(shí)從一個(gè)機(jī)場起飛，向同一方向飛行，甲機(jī)每小時(shí)行300千米，乙機(jī)每小時(shí)行340千

米，飛行4小時(shí)后它們相隔多少千米？這時(shí)候甲機(jī)提高速度用2小時(shí)追上乙機(jī)，甲機(jī)每小時(shí)要飛行多少千米？

例7、王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走110米，李華每分鐘走70米，出發(fā)5

分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，然后追趕李華.求多少分鐘后追上李華？

例8、甲、乙二人分別從48兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6

分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求從6兩地的距離.

考點(diǎn)三、背向行程問題（相離問題）

例1、兩列火車從相距80千米的兩城背向而行，甲列車每小時(shí)行40千米，乙列車每小時(shí)行42千米，5小

時(shí)后，甲、乙兩車相距多少千米？

例2、小強(qiáng)每分鐘走70米，小季每分鐘走60米，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向走了3分鐘，小強(qiáng)掉頭去追小季,

追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了多少米？

例3、甲乙兩車分別從4、8兩地同時(shí)相向開出，4小時(shí)后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時(shí)，此時(shí)甲車距6

地10千米，乙車距/地80千米.問：甲車到達(dá)6地時(shí)，乙車還要經(jīng)過多少時(shí)間才能到達(dá)/地？

例4、甲、乙兩車同時(shí)從A地向5地開出，甲每小時(shí)行38千米，乙每小時(shí)行34千米，開出1小時(shí)后，甲車因

有緊急任務(wù)返回A地；到達(dá)A地后又立即向3地開出追乙車，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，兩車正好都到達(dá)3地，求A、

3兩地的路程.

P(Practice-Oriented)一-一實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行40千米。

甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？

2、A、3兩地相距90米，包子從A地到3地需要30秒，菠蘿從3地到A地需要15秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從A、

3兩地同時(shí)相對(duì)而行，相遇時(shí)包子與3地的距離是多少米？

3、甲、乙兩列火車從相距770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行41千米，乙車先

出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

4、媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走75米.媽媽走了3分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走

60米.再經(jīng)過20分鐘媽媽和小紅相遇.從小紅家到學(xué)校有多少米？

5、甲、乙兩輛汽車從A、3兩地同時(shí)相向開出，出發(fā)后2小時(shí)，兩車相距141千米；出發(fā)后5小時(shí)，兩車相

遇.A、5兩地相距多少千米？

6、兩地相距400千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)比甲車多行5千

米，4小時(shí)后兩車相遇了嗎？為什么？

7、孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫

悟空的速度是200千米/小時(shí).豬八戒的速度是150千米/小時(shí)，他們同時(shí)出發(fā)2小時(shí)后還相距500千米，

則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？

8、兩列貨車從相距450千米的兩個(gè)城市相向開出，甲貨車每小時(shí)行38千米，乙貨車每小時(shí)行40千米，同時(shí)

行駛4小時(shí)后，還相差多少千米沒有相遇？

9、小明的家住學(xué)校的南邊，小芳的家在學(xué)校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學(xué)時(shí)，如果小明比

小芳提前3分鐘出發(fā)，兩人可以同時(shí)到校.已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小

明家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

10、小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米,

李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇.有一天小明提前出門，因此比平時(shí)早9分鐘與李大爺相

遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門？

11、哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書.哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后,

哥哥才從家出發(fā)，當(dāng)?shù)艿艿竭_(dá)學(xué)校時(shí)哥哥正好追上弟弟也到達(dá)學(xué)校，問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

12、小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校

1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度.

13、小聰和小明從學(xué)校到相距2400米的電影院去看電影.小聰每分鐘行60米，他出發(fā)后10分鐘小明才出發(fā),

結(jié)果倆人同時(shí)到達(dá)影院，小明每分鐘行多少米？

14、小王、小李共同整理報(bào)紙，小王每分鐘整理72份，小李每分鐘整理60份，小王遲到了1分鐘，當(dāng)小王、

小李整理同樣多份的報(bào)紙時(shí)，正好完成了這批任務(wù).一共有多少份報(bào)紙？

15、東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王二人同時(shí)自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時(shí)后二人分別到達(dá)東、西兩

鎮(zhèn)。已知張每小時(shí)比王多行1.5千米。二人每小時(shí)各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？

16、甲、乙兩地相距260千米，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時(shí)相向而行，在距乙地95千米處相遇，相遇

后兩車又繼續(xù)前進(jìn)，客車到乙地，貨車到甲地后，都立即返回，兩車又在距甲地多少千米處相遇？

17、在一環(huán)形跑道上，甲從A點(diǎn)，乙從B點(diǎn)同時(shí)反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達(dá)B地，又過

8分鐘兩人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分鐘？

＞課后反擊

1、聰聰和明明同時(shí)從各自的家相對(duì)出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過

20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？

2、甲、乙兩車分別從相距360千米的4、3兩城同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，已知甲車到達(dá)3城需4小時(shí)，乙車到

達(dá)A城需12小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長時(shí)間相遇？

3、甲、乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行28千米，乙車每小時(shí)行22千米，乙車先出

發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

4、甲乙兩座城市相距530千米，貨車和客車從兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行.貨車每小時(shí)行50千米，客車每小時(shí)

行70千米.客車在行駛中因故耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇.問相遇時(shí)客車、貨車各行駛多少

千米？

5、一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距450千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行40千米，小轎車每小

時(shí)行50千米，問幾小時(shí)后兩車相距90千米？

6、兩列火車從相距480千米的兩城相向而行，甲列車每小時(shí)行40千米，乙列車每小時(shí)行42千米，5小時(shí)

后，甲、乙兩車還相距多少千米？

7、甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)去8地，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行40千米.途中甲車出故障

停車修理了3小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲到1小時(shí)到達(dá)3地.A、3兩地間的路程是多少？

8、學(xué)校和部隊(duì)駐地相距16千米，小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地，小宇每小時(shí)行12千米，小宙每小時(shí)行15

千米.當(dāng)小宇走了3千米后，小宙才出發(fā).當(dāng)小宙追上小宇時(shí)，距部隊(duì)駐地還有多少千米？

9、小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的/處相遇。

若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在/處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)?

10、甲、乙兩車從48兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車將提前30分相遇。

已知甲車速度是60千米/時(shí)，乙車速度是40千米/時(shí)。問：甲車提前了多少分出發(fā)？

11、一輛慢車從甲地開往乙地，每小時(shí)行40千米，開出5小時(shí)后，一輛快車以每小時(shí)90千米的速度也從甲地

開往乙地.在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？

12、六年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走72米，15分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎

自行車從學(xué)校出發(fā)9分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？

13、下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回

家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒有回到

家）.

14、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時(shí)行14千米，兵兵每小時(shí)行17千米,

當(dāng)平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？

15、上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环猓谑窍驗(yàn)觚斣俅蜗聭?zhàn)書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜

先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉，速度已經(jīng)提高到5倍，那么這一次誰將獲得勝利呢？

16、從甲城到乙城的鐵路線上每隔10千米有一個(gè)小車站。一列慢車上午9點(diǎn)以45千米/時(shí)的速度由甲城開

往乙城，另一列快車上午9點(diǎn)30分以60千米/時(shí)的速度也由甲城開往乙城。鐵路部門規(guī)定，同方向前進(jìn)的

兩列火車之間相距不能少于8千米。問：這列慢車最遲應(yīng)該在距甲城多遠(yuǎn)的小車站停車讓快車超過？

17、哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時(shí)由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分

鐘后二人相距960米？

18、甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時(shí)出發(fā)，相背而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行7千米。8小時(shí)后,

甲、乙二人相距多少千米？

19、甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度同時(shí)從A、B兩地相對(duì)而行，途中相遇，相遇點(diǎn)距A地60千米。相遇

后兩車以原速前進(jìn)，到底目的地后，兩車立即返回，在途中又第二次相遇，這時(shí)距A地40千米。問第一次相

遇點(diǎn)距B地多少千米？

1、(希望杯一試)甲乙兩人分別以每小時(shí)6千米，每小時(shí)4千米的速度從相距30千米的兩地向?qū)Ψ降某霭l(fā)地

前進(jìn).當(dāng)兩人之間的距離是10千米時(shí)，他們走了小時(shí).

2、(迎春杯初試)小張和小王早晨8時(shí)整從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時(shí)60千米。小王步行，

速度為每小時(shí)4千米。如果小張到達(dá)乙地后停留1小時(shí)立即沿原路返回，恰好在10時(shí)整遇到正在前往乙地的

小王。那么甲、乙兩地之間的距離是千米。

3、(希望杯二試)甲、乙兩人分別從相距260千米的48兩地同時(shí)沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往8

地、/地。甲每小時(shí)行32千米，乙每小時(shí)行48千米。甲、乙各有一個(gè)對(duì)講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于20千

米時(shí)，兩人可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問：

(1)兩人出發(fā)后多久可以開始用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)？

(2)他們用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長時(shí)間相遇？

(3)他們可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長時(shí)間？

4、（迎春杯初試）甲、乙兩車同時(shí)從2城市出發(fā)駛向距離300千米遠(yuǎn)的6城市.已知甲車比乙車晚出發(fā)1個(gè)

小時(shí)，但提前1個(gè)小時(shí)到達(dá)6城市.那么，甲車在距離8城市千米處追上乙車.

5、（走美杯決賽）甲、乙二人分別從山頂和山腳同時(shí)出發(fā)，沿同一山道行進(jìn)。兩人的上山速度都是20米/分，

下山的速度都是30米/分。甲到達(dá)山腳立即返回，乙到達(dá)山頂休息