人教A 版選擇性必修第一冊《L 4 空間向量的應(yīng)用》練習(xí)卷

人教A版選擇性必修第一冊《L4空間向量的應(yīng)用》練習(xí)卷（4）

一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知直線/過定點力（2,3,1）,且元=（0,1,1）為直線/的一個方向向量，則點P（4,3,2）到直線/

的距離為（）

A.巫B.立C.巫D.V2

222

2.已知正方體4BCD-EFGH的棱長為1,若尸點在正方體的內(nèi)部且滿足而=：布+;而+；荏,

423

則P點到直線A8的距離為（）

A.-B.叵C.回D,四

61266

3,設(shè)正方體43。。一4/1。14的棱長為4,則點G到平面4/D的距離是（）

A.立B,在C.逋D.隨

3333

4.如圖所示，在長方體ABCD中，AD=4%=1,AB=2,

點E是棱A3的中點，則點E到平面AC%的距離為（）

B.立

2

5.在直三棱柱ABC-A/】Q中，AB=AC=AAr=1,AB1AC,點E為棱441的中點，則點C1到

平面/EC的距離等于（）

A.|B.f7D.1

6.在棱長為1的正方體4BCD-&B1GD1中，平面力與平面&QD的距離為（）

C2V3D

A-TBT.3-f

7.在棱長為2的正方體ABC。一4/停1。，中，E,尸分別為棱

的中點，“為棱AB】上的一點，且4M=4（0<2<2）,設(shè)點N為

ME的中點，則點N到平面的距離為（）

A.V32B.立C.當(dāng)

23DT

8.在正四棱柱力BCD-&BiGA中，AA!=2AB=2,則點&到平面AB/i的距離是（）

.2，「16

BC,TD-

二、填空題（本大題共2小題，共10.0分）

9.在長方體力BCD中,48=3,BC=3,441=4,則點。到平面&￡?iC的距離是.

10.四棱錐P—ABC。的底面為正方形,PD，底面=20=1,

則點B到平面PAC的距離為.

三、解答題（本大題共7小題，共84.0分）

11.如圖，已知正方形ABCZ）的邊長為1,PDABCD,且PD=1,E,尸分別為AB,8C的中

點.

（1）求點D到平面PEF的距離;

（2）求直線AC到平面PEF的距離.

12.如圖，四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PA。為等邊三角形，且平面PAD1底面A8CD,AB=BC=

-AD=1,/.BAD=^ABC=90°.

2

(1)證明：PDLAB；

(2)取AD中點E,求點E到平面PAC的距離.

13.如圖，長方體48CD—a/iGA中，E是棱。C中點，AB=4,BB「BC=2.

(1)求線段BiE的長；

(2)求點6到平面B1ED］的距離.

14.矩形A8C￡＞中，AB=2AD=2,尸為線段DC中點，將AADP沿AP折起，使得平面4DP_L平面

ABCP.

(I)求證：AD1BP；

(□)求點P到平面ADB的距離.

D

15.在棱長為2的正方體4BCD-中，E,歹分別為A。，的中點.

(1)求證：DBi1CD1；

(2)求三棱錐B-EFC的體積.

16.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。是邊長為魚的正方形，P41

BD.

(I)求證：PB=PD；

(兀)若￡,尸分別為PC,AB的中點，EF_L平面尸C。，求點8到平面

尸8的距離.

17.如圖，在正方體力BCD-力iBiQDi中，已知M、N分別為棱A。、的中點.

(1)求證：直線MN〃平面力

(2)若正方體的棱長a=2,求點兒到面AB1。1的距離.

-------答案與解析—

1.答案：A

解析：

本題考查了點到直線的距離，為基礎(chǔ)題.

利用空間向量法求點到直線的距離公式進(jìn)行解答.

解：PA=(-2,0,-1)，\PA\=y/5,或喘=一噂，

I九IN

則點P到直線I的距離為(|西|2-|對=呼.

故選A.

2.答案：A

解析：

本題以正方體中的向量為載體，著重考查了空間向量的數(shù)量積、長度公式和夾角公式的應(yīng)用等知識，

屬于中檔題.

分別以AB、AD,AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系，可得向量荏，喬的坐標(biāo)，可以分別計

算出它們的長度.然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到荏?荏=],再用向量的夾角公式得到

COS4PAB=瑞薔=高，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到Sin/PAB=焉，最后可求出P點到直線AB

的距離為|都|?sinZ.PAB=|.

解:分別以A8、AD,AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系如圖：

???正方體48CD-的棱長為1

???AB=(1,0,0)

???AP=-AB+-AD+-AE,

423

--Q=G抬)可得國=」針+針+針=等

???AB-AP=lx-+Oxi+Ox-=-,

4234

又荏?AP=畫網(wǎng)cosNPAB,

一一3

AB-AP4_9

???cosZ-PAB=

冏網(wǎng)―VW_V181

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin"4B=V1-cos2zPXB=磊.

.-.P點到直線AB的距離為|布|.sm^PAB=需?湍j=，

故選A.

3.答案：D

解析：

本題考查了利用空間向量求點、線、面之間的距離，屬中檔題.

以。為原點，DA,DC,DDi所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，點到平面&BD的距離

是其畢，計算即可.

同

解：如圖，以。為原點，DA,DC,DA所在直線為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則G(0,4，4),4(4,0,4),B(4,4,0),=(4,-4,0),DB=(4,4,0).

設(shè)平面4BD的法向量為元=(久,y,z),貝J元,吧二°,

In-DB=0

(4x+4z=0

?,(4%+4y=O'

令z=1,得元=1).

Q到平面&BD的距離d=叵票=*=券

故選D

4.答案:C

解析：

本題主要考查空間直角坐標(biāo)系和點到平面的距離的計算，屬于基礎(chǔ)題.

先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面4CD1的法向量元=(2,1,2),再求點E到平面AC4的距離.

解：如圖，以。為坐標(biāo)原點，直線D4,DC,DDi分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則心(0,0,

1),￡(1,1,0),2(1,0,0),C(0,2,0).

從而庠=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),麗=(—1,0,1),

設(shè)平面ACD1的法向量為元=(a力，c),

則竹堂。即「+240,

(n-ADr-0—a+c=(),

，二a=2b、人

得令a=2,則記=(2,1,2).

a—c.

所以點E到平面AC%的距離為

=\D^n\=2+1-2)

\n\RA

故答案為：C

5.答案:C

解析：

本題考查點到平面的距離的求法，考查利用空間向量解決點到面的距離問題，是中檔題.

以A為原點，AB,AC,44i所在直線分別為x,?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出

點G到平面的距離.

解：???在直三棱柱ABC—4/iG中，AB=AC=AAX=1,ABLAC,

???以A為原點，AB,AC,44i所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

,??點E為棱441的中點，

???6(0,1,1),81(1,0,1),F(0,0,C(0,b0),

EC】=(0,1,1)>EB]=(1,0,|),=(0,1，-1),

設(shè)平面&EC的法向量元=(久,》z),

(n-EB；—x+-z=0

則《一J，取刀=1,得元=(1,—1,-2),

rn.■EC=y--z=0

.??點G到平面ZE。的距離為：

6.答案：B

解析：解：連接D/,與面4B1C與平面AQD分別交于M,N.

???DDI1平面；.DD11AC,又,:AC1BD,AC1平

面OiDB

BD]1AC,

同理可證又4CnABi=4BD1\MABrC-,

同理可證，BD11面GAD；.MN為平面481c與平面41G。的距

離

???△2&C為正三角形，邊長為企，三棱錐B-AB】C為正三棱錐,

M為△2%(?的中心，MX=yXV2=y

22

BM=<AB-AM=與同理求出=BM=~,又BD、=回：.MN=BD1-%N-BM=與

故選：B.

連接可以證明與面ABiC,面4GD都垂直，設(shè)分別交于M,N,MN為平面48道與平面的

距離.可求D]N=BM=爭從而MN=BDi-BM-D1N=*

本題考查平行平面的距離計算,采用了間接法,轉(zhuǎn)化為點面距離.本題中蘊(yùn)含著兩個結(jié)論①平面

與〃平面4G。②平面281c與平面面將體對角線分成三等分.

7.答案：D

Z

解析：解：以。為原點，D4為x軸，0c為y軸,

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

E(2,0,1),M(2,尢2),N(2,號),A(0,0,2),F(2,2,

1)，

EF=(0,2,0),西=(—2,0,1),EN=(O.pj),

設(shè)平面DiEF的法向量元=(x,y,z),

則尸土2y=0，取久=1,得元=(1,0,

[n,ED]=—2x+z=0

，

2)X

???點N到平面AEF的距離為：

,_\EN-n\_1_V5

故選：D.

以。為原點，ZM為x軸，OC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點N

到平面的距離.

本題考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

8.答案：A

解析：解：AABiDi中，ABX=AD1=V5,BrDr=V2,

.■.A481%的邊/Di上的高為J（遮）2_（m2=乎，

c1/7T3VI3

???S—BWi=-Xv2X—=

設(shè)義到平面的距禺為h,則匕1TBl%=3I=2,

1111

又以!—3^Ai41B1D1,44]=,義5*1*1*2=],

解得八=|.

故選：A.

計算AABiDi的面積，根據(jù)唳1-4B1D1=匕-4笆0計算點41到平面48也的距離.

本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計算，屬于中檔題.

9.答案:y

解析：

本題考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

Z

以。為原點，D4為x軸，。。為y軸，DD1為A

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求

出點D到平面4。停的距離.

解：以。為原點，D4為x軸，0c為y軸，DD1

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

0(0,0,0),4式3,0,4),。式0,0,4),C(0,3,>v

x

0)，

D^D=(0,0,-4),Mi=0),D1C=(0,3,—4),

設(shè)平面&。道的法向量元=(z)，

則儼,M；=3久=0,

=4,得元=(0,4,3),

[n-DrC=3y-4z=0

二點D到平面a/iC的距離:

,|D7D-n|12

d=k=W

故答案為：裝.

10.答案:省

3

解析：解：以。為坐標(biāo)原點，以D4為x軸，以DC為y軸,

以。尸為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

???四棱錐P-4BCD的底面為正方形，

PD底面ABCD,PD=AD=1,

.??4(1,0,0),0),

C(0,l,0),P(0,0,1),

AP=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),

AB=(0,1,0)，

設(shè)平面P4C的法向量元=(x,y,z),則元.都=0，n-AC^0,

(—x+z=0

n

{—x+y=0=(1,1,1),

.?.點B到平面PAC的距離d=曾=粵=包

\n\V33

故答案為：如.

3

以。為坐標(biāo)原點，以為x軸，以。C為y軸，以。P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

能求出點B到平面PAC的距離.

本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題

時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用.

11.答案：解：(1)建立如圖坐標(biāo)系，皿4(1,0,0),

11

F61,0),P(0,0,1)

.??前=(一義，,0)，P￡=

設(shè)平面的法向量為元=(x,y,z),

f11

——%+-y=0

則2i2

x+-y—z=0

I2

故記=(2,2，3),

點。到平面PEF的距離d=臀=辭=卷內(nèi)；

(2)vAC//EF

???直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距離

,------->1

又AE=(0,5,0)

???點A到平面PEF的距離為d=塔"=3=旦.

\n\V1717

解析：(1)建立如圖坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求出點。到平面尸所的距離；

(2)禾!|用4C〃EF,可得直線AC到平面尸￡尸的距離也即是點A到平面尸￡尸的距離.

本題考查點D到平面PE尸的距離、直線AC到平面PEF的距離，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分

析解決問題的能力，屬于中檔題.

z

12.答案：證明：(/)???平面PHD，平面ABC。，且平

面PADn平面4BCD=AD,

Xv^BAD=90°,ABI5??PAD.

■：PDc[SjPAD

：.PDLAB.

(〃)以A。的中點E為原點，EC為x軸，ED為y

軸，EP為z軸，建立空間直角標(biāo)系，

￡(0,0,0),P(0,0,V3),4(0,—1,0),C(l,0,0),

X

PE=(0,0,-V3),PA=(0,-l,-V3)>PC=(1,0，

—V3),

設(shè)平面PAC的法向量元=Q,y,z),

則pt-~PA=-y-V3z=0

取2=1,得元=(V3,-V3,l)>

-PC=x—V3z=0

???點石到平面所的距離d=甯=卻率

解析：(/)取的中點E,連結(jié)PE,CE,通過平面PAD1平面ABC。，推出B4〃CE,CE1PE,

證明BA1PE,然后證明BA1平面PAD,由此能證明P。1AB.

(〃)以A。的中點E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EP為z軸，建立空間直角標(biāo)系，利用向量法能

求出點E到平面PAC的距離.

本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

13.答案：解：(1)以4為原點，以所在直線為無軸，以4

所在直線為y軸，以所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則有4(4,0,0),。式0,2,0),D(0,2,

2)，

C(4,2,2),E(2,2,2),6(4,2,0),...(2分)

B^E=(-2,2,2),…(3分)

\B^E\=V(-2)2+22+22=2V3....(5^)

(2)^^=(—4,2,0),享=(—2,2,2),=(0,2,0),

設(shè)平面&ED1的法向量元=(x,y,z),

貝/元,B]D；=-4x+2y=0,

In-BrE=-2x+2y+2z=0

取x=1,得元=(1,2,-1),

???點的到平面/ED]的距離d=叵第=2=乎.

解析：(1)以41為原點，以A/1所在直線為尤軸，以所在直線為y軸，以4遇所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出|瓦后|.

(2)求出平面ZE/的法向量，利用向量法能求出點G到平面BiEDi的距離.

本題考查線段長的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法

的合理運用.

14.答案：(1)證明：：48=24。=2,則有4P=a,BP=42,

滿足4P2+BP2=4^2,BPLAP,

?.?平面4DP1平面ABCP,平面力DPn平面ABCP=AP.

BP1平面ADP,

???ADu平面ADP,BPLAD.

（口）解：以P為原點，PA、PB為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系P-久yz,如圖,

21(72,0,0),。(鄂，亨),B(0,V2,0),P(0,0,0),

則a=(:0,—產(chǎn))，麗=(—日,/,—孝)，DP=(-^,0,-f),

設(shè)平面ABD的法向量元=(x,y,z),

n-1)A=-x——z=0

則122，取Z=l,得元=(1,1,1),

^.pB=__x+V2y-Tz=0

.?.點P到平面ADB的距離d=喀=噌=理

解析：本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

（1）推導(dǎo)出8。1小5,從而8PL平面ADP,由此能證明BP14D.

（n）以P為原點，PA、PB為X軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系P-xyz,利用向量法能求出點

尸到平面ADB的距離.

15.答案：（本小題滿分12分）

證明：（1）在棱長為2的正方體A8C。一月iBiGA中，

B1C11面"也。，CD1u面CC也D,CD11B?,

CCi。1p是正方形，???DCr1CD1,

又DC]CBig=C1,CDrJ"平面DBiG，

又DBiu平面DBG，???DBi1CD"...（6分）

解：（2）F到平面BEC的距離BBi=2,

1一

S^BEC=5、2*2=2,

三棱錐B-EFC的體積/_EFC=VF-BEC=j-ShBEC-BBr=*...（12分）

解析：(1)推導(dǎo)出CD】1BiG，DGlCDi，從而CD11平面DBiG，由此能證明。當(dāng)1

(2)三棱錐B-EFC的體積/_EFC=/_BEC?由此能求出結(jié)果.

本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中

線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用.

16.答案：證明：(1)連接AC,BD交于點O,連結(jié)P0.

?.?底面A8CD是正方形，

AC1BD,OB=OD.

又PAJ.BD,PAu平面P4C,ACu平面PAC,PACiAC=A,

BD_L平面PAC,■■■POu平面PAC,

：.BDA.PO.

又。B=OD,

PB=PD.

解:(2)設(shè)尸。的中點為0,連接A。，EQ,

貝“EQ//CD,EQ=|CD,XAF//CD,AF=^AB=\CD,

：.EQ//AF,EQ=AF,

四邊形AQE尸為平行四邊形，??.EF〃4Q,

???EF1平面PCD,：.AQ1平面PCD,

???4Q1PD,???Q是尸。的中點,

AP=AD=V2.

???AQ1平面PCD,,-,AQ1CD,

又力。1CD,AQCtAD=A,

CD_L平