函數(shù)的圖象（教學(xué)案）（解析版）

考情解讀

1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù);

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，并運(yùn)用函數(shù)的圖象解簡(jiǎn)單的方程（不等式）問(wèn)題.

卜重點(diǎn)知識(shí)梳理，

1.描點(diǎn)法作圖

方法步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、

單調(diào)性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；（4）描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.

2.圖象變換

⑴平移變換

|y=/(x)+1|

上碎>0）

移個(gè)單位

1，=&現(xiàn)帛/呼）卜j嘉

（A>0）下碎>0）（人>°）

移個(gè)單位

（2）對(duì)稱變換

G.、關(guān)于x軸對(duì)稱“、

①y=/U）-------->尸—於）；

4°、關(guān)于y軸對(duì)稱.、

②y=/U）-------->y=/-x）；

GC、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

③y=/U）-------->y=-#—x）；

?7=a'（?>0且存1）關(guān)‘''="；物。=108環(huán)（“>0且a^l）.

自、保留*軸上方圖象、］

⑤）‘一段）將*軸下方%象輸折上去y—1Ax）|.

公一、保留y軸右邊圖象，并作其_皿，、

Oy-fix）關(guān)于〉軸蒜油圖象y-■川M）.

（3）伸縮變換;

?>i.橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)町看來(lái)縱坐標(biāo)不變

①y=/U)o<i?l,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)扁二倍,縱坐標(biāo)不變

y=j1ax).

">1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的a倍,橫坐標(biāo)不變

②y=/(x)0<a<l,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái),的°倍,橫坐標(biāo)不變

y=qf(x)-

【必會(huì)結(jié)論】

1.左右平移僅僅是相對(duì)X而言的，即發(fā)生變化的只是X本身，利用“左加右減''進(jìn)行操作.如果X的系

數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來(lái)，再進(jìn)行變換.

2.上下平移僅僅是相對(duì))，而言的，即發(fā)生變化的只是y本身，利用"上減下加''進(jìn)行操作.但平時(shí)我們

是對(duì)y=7(x)中的式x)進(jìn)行操作，滿足“上加下減”.

高頻考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

例1、作出下列函數(shù)的圖象：

⑴尸團(tuán)(2)j-|log2(x+l)h

2x~1

⑶「：rp(4))，=f—2|x|一1.

【解析】(1)先作出的圖象，保留圖象中x>0的部分，再作出的圖象中x>0部分

/nW

關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得的圖象，如圖①實(shí)線部分.

(2)將函數(shù),y=log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù),y

=|log2(x+l)|的圖象，如圖②.

(3)；y=2+士，故函數(shù)圖象可由圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即得，如圖③.

X1X

——]

(4)Vy=2,'.一’且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0,+8)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(一

x+2x—1,x<0,

00,0)上的圖象，得圖象如圖④.

【方法規(guī)律】畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象

的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作

出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

【變式探究】作出下列函數(shù)的圖象：

(l)j=|x—2|?(x+2)；(2)y=|log2(x+l)|；

2x-12

?—4

,2；1I

{—X2+4,X<2,

第(1)題圖第(2)題圖

(2)將函數(shù)y=log2X的圖象向左平移1個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y

=|lOg2(x+l)|的圖象,如圖.

(3)原函數(shù)解析式可化為>，=2+—三，故函數(shù)圖象可由圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單

X1X

位得到，如圖.

(X2—2X—1,x》0,

(4)因?yàn)閥=八且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性

［x+2x—1,x<0,

作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖.

高頻考點(diǎn)二識(shí)圖與辨圖

例2、［2017?全國(guó)卷HI］函數(shù)產(chǎn)l+x+季的部分圖象大致為()

【答案】D

【解析】當(dāng)xf+8時(shí)，0,1+%-*+00,y=l+x+平J-+8,故排除選項(xiàng)B.

當(dāng)0<x<，時(shí)，y=l+x+^4>0,故排除選項(xiàng)A,C.

故選D.

【變式探究】⑴（2016?全國(guó)I卷）函數(shù)尸2?一e”在［-2,2］的圖象大致為（）

（2）（2015?全國(guó)II卷）如圖，長(zhǎng)方形A8CD的邊48=2,BC=1,。是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC,CD

與DA運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P至Ij4,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)火x）,則y=/（x）的圖象大致為（）

【解析】(1求x)=2?-e叫xG[—2,2]是偶函數(shù),

又/(2)=8-e2G(0,I),排除選項(xiàng)A,B.

設(shè)g(x)=2f—e"x>0,則g，(x)=4x—e'.

又g'(0)V。，gQ)>。，

?，.ga)在(o,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，

.；/U)=2f—/在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C,故選D.

(2)當(dāng)1時(shí)，./(x)=tanx+q4+tan%,圖象不會(huì)是直線段，從而排除A,C.

當(dāng)xG_4>卦寸,局=/(竽)=1+小,

^=2<2.72^2<1+^5,

???{$《；)=/(￥)，從而排除D,故選B.

【答案】⑴D(2)B

【方法規(guī)律】函數(shù)圖象的識(shí)辨

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);

(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;

(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);

(5)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.

【變式探究】(1)函數(shù))，=10g2(|x|+l)的圖象大致是()

1,1,,_

(2)己知a是常數(shù)，函數(shù)式》)=可/+](1—“x+2的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所不，則函數(shù)g(x)=|a*

一2|的圖象可能是()

【解析】(l)y=log2(國(guó)+1)是偶函數(shù),當(dāng)xK)時(shí)，y=log2(x+1)是增函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),只有

選項(xiàng)B滿足.

(2)由_/(的=3'+3(1~a)x2-ax-h2,得f(x)=x2+(l—a)x—a,

根據(jù)y=/(x)的圖象知一」a

->0,/.a>l.

2

則函數(shù)g(x)=|/-2|的圖象是由函數(shù)y="的圖象向下平移2個(gè)單位，然后將x軸下方的圖象翻折到x

軸上方得到的，故選D.

【答案】(1)B(2)D

高頻考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

例3、(1)若方程x2一|x|+a=l有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

⑵己知函數(shù)加力fs。in呼jrx,0,<x；<“l(fā),若a，b,c互不相等'且所=則a+b+c的取值范圍

是()

A.(1,2015)B.(1,2016)

C.[2,2016]D.(2,2016)

【答案】(1)(1,%(2)D

【解析】⑴方程解的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x2—|x|的圖象與直線y=l—a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖:

易知—(<1—a<0.1<a<*

(2)作出函數(shù)的圖象，直線y=m交函數(shù)圖象如圖，不妨設(shè)a<b<c,由正弦曲線的對(duì)稱性，可得A(a,m)

與B(b,m)關(guān)于直線x=；對(duì)稱，因此a+b=l,當(dāng)直線y=m=l時(shí)，由log2015x=l,解得x=2015.若滿足

f(a)=f(b)=f(c),且a.b,c互不相等，由a<b<c可得l<c<2015,因此可得2<a+b+c<2016,即a+b+

ce(2,2016).故選D.

y

2■-

【感悟提升】(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于己知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性

質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)

關(guān)系.

(2)利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問(wèn)題，方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式f(x)<g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了數(shù)

形結(jié)合思想.

|lgx|,x>0,

【變式探究】已知於)=則函數(shù)y=?Ax)—3於)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

2W,x<0,

【解析】

由2fyx)-3J(x)+1=0得加r)=；或_/(x)=I

作出函數(shù)y=/(x)的圖象.

由圖象知與y=/(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，y=］與y=/(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).

因此函數(shù)y=2/(x)—Mx)+1的零點(diǎn)有5個(gè).

【答案】5

高頻考點(diǎn)四函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想

if—11

例4、已知函數(shù)」的圖象與函數(shù)丫=丘的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

【解析】函數(shù)y=；_]的定義域?yàn)椋ㄓ。?所以當(dāng)x>l時(shí)，y=x+I,當(dāng)一K1時(shí)，y=-x—],當(dāng)讓

一1時(shí)，y=x+l,圖象如圖所示，

由圖象可知當(dāng)0<%<2且上1時(shí)兩函數(shù)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,1)0(1,2).

【答案】(0,l)U(l,2)

【變式探究】已知函數(shù)人》)=僅一2|+1,g(x)="若方程y(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取

值范圍是()

A(0,I)B6，1)C.(1,2)

D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】由己知，函數(shù)外)=|%—2|+1與g(x)=履的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫圖可知當(dāng)直線介于人y=\

x,/2：y=x之間時(shí)，符合題意.故選B.

真題感悟

1.【2019年高考全國(guó)I卷】已知a=log2（）.2,。=202,c=0.20-3,則（）

A.a<h<cB.a<c<b

C.c<a<hD.b<c<a

【答案】B

02

［解析】a=log20.2<log?1=0,人=2->2°=1,

0<C=0.203<0.2°=1,即0<C<1,

則a<c</?.

故選B.

02

2.【2019年高考天津】已知。=log52,Z?=log050.2,c=0.5,則的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】因?yàn)閍=log52<logsJ^=g,

。=logo.5°2>logos0.25=2，

0.5'<c=0.5°2<0.5°.即;<c<l，

所以avccb.

故選A.

3.(2018?天津卷)已知〃=log2e,h=\n2,c=log-4，則mb,c的大小關(guān)系為()

2J

\.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】法一因?yàn)椤?k)g2e>l,Z?=ln2G(0,I),c=log5=log23>k)g2e=a>l,所以

法二Iog2g=log23,如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2X,y=lnx的圖象，由圖知

4.（2018,全國(guó)卷III）設(shè)。=10go,2。.3,Z?=log20.3,則（）

A.a+h<ab<0B.ah<a+h<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析「】:4=logo?。。>logo21=0,。=log2（）.3<log21=0,I.4〃V0.??,"=,+g=logo,3。.2+logo.32

=logo,30.4,1=logo.30.3>logo,30.4>logo.31=0,

a+b,

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0,

ab

5.（2018?全國(guó)I卷）已知函數(shù)yU）=log2（x2+a）.若式3）=1,則。=.

【答案】-7

【解析】由-3）=1得log2（32+a）=L所以9+〃=2,解得〃=—7.

6.（2018?全國(guó)卷HI）設(shè)a=logo.20.3,/?=log20.3,則（）

A.B.ab〈a+b<0

C.a+h<0<ahD.ah<0<a+h

【答案】B

【解析】???〃=logo.20.3>log（）.21=0,〃=log20.3Vlog?1=0,.'."VO.;;y='+g=logo3（）.2+log（）32

=log0.30.4,1=logo,30.3>log030.4>logo.31=0,

a+b,?

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0,

ab

7.(2017?全國(guó)I卷汜知函數(shù)Ax)=lnx+ln(2—x),則()

A危)在(0,2)上單調(diào)遞增

B/)在(0,2)上單調(diào)遞減

C.y=?r)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

D.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

【答案】C

【解析】由題意知，/(x)=1nx+1n(2-x)的定義域?yàn)?0,2),Xx)=lnW2-jr)］=ln［-(x-l)2+l］,由復(fù)合

函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)7(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，所以排除A,B；又/(2—x)=ln(2一

x)+lnx=/(x),所以人為的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，C正確，D錯(cuò)誤.

1.12016高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)y=2V—陰在［—2,2］的圖像大致為

【答案】D

【解析】函數(shù)f(x)=2x2-e岡在［-2,2］上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)?(2)=8-e2,0<8-e2<l,

所以排除A、B選項(xiàng)；當(dāng)xe［0,2］時(shí)，/'(x)=4x-e*有一零點(diǎn)，設(shè)為天，當(dāng)xe(0,x())時(shí)，/(工)為減

函數(shù)，當(dāng)xe(%,2)時(shí)，為增函數(shù).故選D。

2.【2016年高考北京】設(shè)函數(shù)/(幻=卜一力""".

—2x,x>a

①若a=0,則f(x)的最大值為；

②若/(無(wú))無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】2,(-oo,-l).

【解析】如圖，作出函數(shù)g(x)=%3—3x與直線y=—2x的圖象，它們的交點(diǎn)是

A(-1,2),0(0,0),3(1,-2),由ga)=3d-3,知x=1是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，

①當(dāng)。=0時(shí)，/(幻=/一3樂(lè)x40,由圖象可知/(x)的最大值是/(一1)=2；

-2x,x>Q

②由圖象知當(dāng)“2-1時(shí)，/(x)有最大值/(—1)=2；只有當(dāng)a<—1時(shí)，tz3-3a<-2?,/(%)無(wú)

最大值，所以所求。的取值范圍是(-8,—1).

IxI尤〈"2

3.【2016高考山東】已知函數(shù)=-其中相>(),若存在實(shí)數(shù)乩使得關(guān)于x

x-2nvc+4m,x>m

的方程/(X)=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

【答案】(3,+oo)

【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示:

由圖所示，要f（x）=b有三個(gè)不同的根，需要紅色部分圖像在深藍(lán)色圖像的下方，即

|/7T|>rrT—2m-m+4m,m2—3m>0>解得機(jī)>3。

/（3口

【2015高考安徽，理9】函數(shù)（X+C）的圖象如圖所示,

則下列結(jié)論成立的是（）

（A）”0,力>（）,c<0（B）〃>（）,c>0

（C）Q<0,力>0,c<0（D）。<0,〃<（）,c<0

【答案】C

（.ax+bb

"1x+c）2n八n/（0）=->0

【解析】由及圖象可知，xw-c,-c>0,則c<0；當(dāng)x=0時(shí)，C,

x=>0

所以沙>°；當(dāng)y=。，ax+b=Q,所以a,所以。<0故。<0,b>0,c<0,選c.

【2015高考新課標(biāo)2,理10］如圖，長(zhǎng)方形48。°的邊43=2,BC=1,。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿

著邊BC,與OA運(yùn)動(dòng)，記NB°P=x.將動(dòng)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/（月，則

丁=/（好的圖像大致為（）

、

1金士二，1￡*^~^~^x1X“3「AX

424K424"424"424"

(A)(B)(C)(D)

【答案】B

0＜〈萬(wàn)

即__4時(shí)，PA+PB=Vtan2x+4H-tanx,當(dāng)

【解析】由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),

22

三&x嘉,x豐三PA+PB=J(——―1)+1+J(—'―+1)+1

點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即442時(shí)，VtanxvtanA:,當(dāng)

n3乃,/_________

X——I---WXKTTI0

2時(shí)，尸A+〃8=2V2；當(dāng)點(diǎn)p在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4時(shí)rA+rt>—vtanX+4—t

?！?汽、、

X=_f(一)>/(-)

從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線2對(duì)稱，且42,且軌跡非線型，故選B.

(2014?福建卷)若函數(shù)y=log,Ma>0,且#1)的圖像如圖所示,則下列函數(shù)圖像正確的是()

y

\y=logax

上卡

AB

【答案】B【解析】由函數(shù)y=logd的圖像過(guò)點(diǎn)(3,1),得。=3.選項(xiàng)A中的函數(shù)為y=G);則其

函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)B中的函數(shù)為y=Y,則其函數(shù)圖像正確；選項(xiàng)C中的函數(shù)為y=(-x)3,則其函數(shù)

圖像不正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)為y=log3(—x)，則其函數(shù)圖像不正確.

(2014?湖北卷)已知函數(shù)段)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)近0時(shí)，加)=界一自+僅一謁一3/).若

VxGR,勺(x),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A[T|]B「小，*]

c(-iI]D「坐,用

【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)后0時(shí)，J(x)=^(\x—a2\+\x-2a2\—3a2),所以當(dāng)Ogg/時(shí)，兀r)=g

當(dāng)cT<x<2a2時(shí)，

7U)=~^+2a2-x—3a2)=—cT；

當(dāng)定2小時(shí)，

y(x)=—a2+x—2a1—3a2)=x-3?2.

一x,OS爛

綜上，7U)=<