天津市重點名校2025屆高一下數學期末學業(yè)水平測試試題含解析

天津市重點名校2025屆高一下數學期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，角的對邊分別為，且，則角（）A． B． C． D．2．若直線被圓截得弦長為4，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．3．某班由50個編號為01，02，03，…50的學生組成，現在要選取8名學生參加合唱團，選取方法是從隨機數表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個數字，則該樣本中選出的第8名同學的編號為（）495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877047447672176335025839212067649544354827447A．20 B．25 C．26 D．344．若，，表示三條不重合的直線，，表示兩個不同的平面，則下列命題中，正確的個數是（）①若，，則②，，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面向量，，，，在下列命題中：①存在唯一的實數，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則.正確命題的序號是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③6．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．7．sin480°等于（）A． B． C． D．8．若點共線,則的值為（）A． B． C． D．9．已知向量與的夾角為，，，當時，實數為()A． B． C． D．10．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若，則a>bC．若a3>b3且ab<0，則D．若a2>b2且ab>0，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為.12．一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東方向航行后到達海島，然后從出發(fā)沿北偏東方向航行后到達海島，如果下次直接從沿北偏東方向到達，則______.13．已知數列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．14．已知，則____．15．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所夾的扇形的面積是______．16．正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某體育老師隨機調查了100名同學，詢問他們最喜歡的球類運動，統計數據如表所示.已知最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和.最喜歡的球類運動足球籃球排球乒乓球羽毛球網球人數a201015b5（1）求的值；（2）將足球、籃球、排球統稱為“大球”，將乒乓球、羽毛球、網球統稱為“小球”.現按照喜歡大、小球的人數用分層抽樣的方式從調查的同學中抽取5人，再從這5人中任選2人，求這2人中至少有一人喜歡小球的概率.18．已知函數為奇函數，且，其中，.（1）求，的值.（2）若，，求的值.19．數列中，，（為常數，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.20．已知等差數列中，，，數列中，，其前項和滿足：．（1）求數列、的通項公式；（2）設，求數列的前項和．21．已知數列為遞增的等差數列，，且成等比數列．數列的前項和為，且滿足．（1）求，的通項公式；（2）令，求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據題意結合正弦定理，由題，可得三角形為等邊三角形，即可得解.【詳解】由題：即，中，由正弦定理可得：，即，兩邊同時平方：，由題，所以，即，所以，即為等邊三角形，所以.故選：B【點睛】此題考查利用正弦定理進行邊角互化，根據邊的關系判斷三角形的形狀，求出三角形的內角.2、A【解析】

圓方程配方后求出圓心坐標和半徑，知圓心在已知直線上，代入圓心坐標得滿足的關系，用“1”的代換結合基本不等式求得的最小值．【詳解】圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線被圓截得弦長為4，則圓心在直線上，∴，，又，∴，當且僅當，即時等號成立．∴的最小值是1．故選：A．【點睛】本題考查用基本不等式求最值，解題時需根據直線與圓的位置關系求得的關系，然后用“1”的代換法把湊配出可用基本不等式的形式，從而可求得最值．3、D【解析】

利用隨機數表依次選出8名學生的二位數的編號，超出范圍的、重復的要舍去.【詳解】從隨機數表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個數字，選出來的8名學生的編號分別為：17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；∴樣本選出來的第8名同學的編號為1．故選：D【點睛】本題考查了利用隨機數表法求抽樣編號的問題，屬于基礎題．4、B【解析】

①根據空間線線位置關系的定義判定；②根據面面平行的性質判定；③根據空間線線垂直的定義判定；④根據線面垂直的性質判定．【詳解】解：①若，，與的位置關系不定，故錯；②若，，，則或、異面，故錯；③若，，則或、異面，故錯；④若，，則，故正確．故選：．【點睛】本題考查了空間線面位置關系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．5、D【解析】

分別根據向量的平行、模、數量積即可解決?！驹斀狻慨敒榱阆蛄繒r不滿足，①錯；當為零向量時④錯，對于⑤：兩個向量相乘，等于模相乘再乘以夾角的余弦值，與有可能夾角不一樣或者的模不一樣，兩個向量相等要保證方向、模都相同才可以，因此選擇D【點睛】本題主要考查了向量的共線，零向量。屬于基礎題。6、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．7、D【解析】試題分析：因為，所以選D.考點：誘導公式，特殊角的三角函數值.8、A【解析】

通過三點共線轉化為向量共線，即可得到答案.【詳解】由題意，可知，又，點共線，則，即，所以，故選A.【點睛】本題主要考查三點共線的條件，難度較小.9、B【解析】

利用平面向量數量積的定義計算出的值，由可得出，利用平面向量數量積的運算律可求得實數的值.【詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數，考查計算能力，屬于基礎題.10、C【解析】

根據不等式的性質，對A、B、C、D四個選項通過舉反例進行一一驗證．【詳解】A．若a＞b，則ac2＞bc2（錯），若c=0，則A不成立；B．若，則a＞b（錯），若c＜0，則B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，則（對），若a3＞b3且ab＜0，則D．若a2＞b2且ab＞0，則（錯），若，則D不成立．故選：C．【點睛】此題主要考查不等關系與不等式的性質及其應用，例如舉反例法求解比較簡單．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】試題分析：設圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點：圓柱的體積12、【解析】

首先根據余弦定理求出，在根據正弦定理求出，即可求出【詳解】有題知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實際應用，熟練掌握公式為解題的關鍵，屬于中檔題.13、【解析】

根據數列的規(guī)律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項中的第項，則分子為，從而得到結果.【詳解】當時，；當時，的分母為：又的分子為：本題正確結果：【點睛】本題考查根據數列的規(guī)律求解數列中的項，關鍵是能夠根據分子的變化特點確定的取值.14、【解析】

由于，則，然后將代入中，化簡即可得結果.【詳解】，，，故答案為.【點睛】本題考查了同角三角函數的關系，屬于基礎題.同角三角函數之間的關系包含平方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.15、【解析】

先求出扇形的半徑，再求這個圓心角所夾的扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查扇形的半徑和面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和，以及總人數列方程組求解；（2）利用分層抽樣，抽取的5人中，3人喜歡大球，2人喜歡小球，根據古典概型求解概率.【詳解】（1）由題最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和，所以，解得：，所以；（2）由題可得：喜歡大球的60人，喜歡小球的40人，按照分層抽樣抽取5人，其中喜歡大球的3人記為，喜歡小球的2人記為，從中任取2人，情況為:共10種，這兩人中，至少一人喜歡小球的情況:共7種，所以所求概率為；【點睛】此題考查統計與概率相關知識，涉及分層抽樣和求古典概型，關鍵在于弄清基本事件總數和某一事件包含的基本事件個數.18、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據奇函數性質得y2＝cos(2x＋θ)為奇函數，解得θ＝，再根據解得a（2）根據條件化簡得sinα＝，根據同角三角函數關系得cosα，最后根據兩角和正弦公式求sin的值試題解析：(1)因為f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數，而y1＝a＋2cos2x為偶函數，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，因為f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，從而cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.19、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結合可求出的值；（2）可知，，即可證明結論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因為，所以滿足題意.（2）因為，所以.則.，因為，，所以，所以.（3）由，可得，從而，所以.因為，所以，所以.，，，,當n=1時，,故；當n=2時，，；當n≥3時，，則，.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式和數列的求和，考查了不等式的證明，考查了學生的邏輯推理能力與計算能力，屬于難題.20、（1）（2）【解析】試題分析：(1)對于求得首項和公差即可求得數列的通項公式，對于，利用遞推關系求解數列的通項公式即可；(2)利用數列的特點錯位相減求解數列的前n項和即可.試題解析：(I)①②①-②得,為等比數列,(II)由兩式相減，得點睛：一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用