高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專題12雙曲線綜合大題學(xué)生版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

專題12雙曲線綜合大題【題型一】軌跡：交軌法與代入法【典例分析】已知反比例函數(shù)的圖象是以軸與軸為漸近線的等軸雙曲線.(1)求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)、是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡思維：（1）直譯法：干脆將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：假如能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿意某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿意的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的干脆關(guān)系難以找到時(shí)，往往先找尋、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.【變式訓(xùn)練】1.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線上．(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的方程；(3)若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．2..已知曲線C上隨意一點(diǎn)滿意方程.(1)求曲線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C在y軸右側(cè)交點(diǎn)為E、F，求線段中點(diǎn)G的軌跡方程.【題型二】常規(guī)韋達(dá)定理應(yīng)用【典例分析】已知點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)設(shè)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值.，【提分秘籍】基本規(guī)律利用韋達(dá)定理解大題（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式訓(xùn)練】已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為．點(diǎn)在第一象限的雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線切線與直線交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)已知斜率為的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，若直線，的斜率互為相反數(shù)，求的面積．【題型三】定點(diǎn)1：直線定點(diǎn)【典例分析】已知雙曲線．(1)求雙曲線C的離心率；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【提分秘籍】基本規(guī)律直線過(guò)定點(diǎn)基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).【變式訓(xùn)練】.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)，垂直于軸的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線和曲線交于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【題型四】定點(diǎn)2：等角定點(diǎn)【典例分析】已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F與點(diǎn)的連線與其一條漸近線平行.(1)求雙曲線C的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A?B，試問(wèn)是否存在確定點(diǎn)P，使恒成立，若存在，懇求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【提分秘籍】基本規(guī)律等角定點(diǎn)思維：基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②得到韋達(dá)定理的形式；③角度相等，多可以轉(zhuǎn)化為斜率相等或者相反等關(guān)系利用韋達(dá)定理表示出等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).【變式訓(xùn)練】已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，離心率為2，直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，證明：在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得．【題型五】定點(diǎn)3：圓定點(diǎn)【典例分析】已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若動(dòng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【提分秘籍】基本規(guī)律圓過(guò)定點(diǎn)思維：1.可以依據(jù)特別性，計(jì)算出定點(diǎn)，然后證明2.利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計(jì)算2.利用對(duì)稱性，可以猜想出定點(diǎn)，并證明。4.通過(guò)推導(dǎo)求出定點(diǎn)（計(jì)算推導(dǎo)難度較大）【變式訓(xùn)練】設(shè)為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知，若直線分別交直線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變更時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【題型六】定直線【典例分析】設(shè)是雙曲線的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為3.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，摸索究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，懇求出該定直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練】已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.海南省?？谥袑W(xué)2025屆高三上學(xué)期9月摸底考試數(shù)學(xué)試題【題型七】定值【典例分析】．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.【變式訓(xùn)練】已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【題型八】面積最值【典例分析】已知橢圓上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C．①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；②求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程．【提分秘籍】基本規(guī)律圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過(guò)數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為(3)三角形恒過(guò)某定點(diǎn)，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為（4）四邊形面積，留意依據(jù)題中條件，干脆求面積或者轉(zhuǎn)化為三角形面積求解?！咀兪接?xùn)練】橢圓上有兩點(diǎn)和，．點(diǎn)A關(guān)于橢圓中心的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)是否存在一個(gè)點(diǎn)，滿意，若滿意求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍．【題型九】參數(shù)最值與范圍【典例分析】設(shè)A，B為雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形．(1)求雙曲線C的離心率；(2)已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變更時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍．【變式訓(xùn)練】已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過(guò)F與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，；(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【題型十】與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用題【典例分析】某高校的志愿者服務(wù)小組確定開(kāi)發(fā)一款“貓捉老鼠”的嬉戲．如圖所示，A，B兩個(gè)信號(hào)源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l與直線AB的夾角為45°，機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿意接收到點(diǎn)A的信號(hào)比接收到點(diǎn)B的信號(hào)晚一秒（注：信號(hào)每秒傳播米）．在時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離點(diǎn)O為4米.(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；(2)嬉戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過(guò)1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng):時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．假如機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？【變式訓(xùn)練】某團(tuán)隊(duì)在O點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處分別設(shè)有A、B兩站點(diǎn)，測(cè)量距離時(shí)發(fā)覺(jué)一點(diǎn)P滿意千米，且以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為x軸正半軸，北側(cè)為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在點(diǎn)O的北偏東60°方向上．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)該團(tuán)隊(duì)又在O點(diǎn)南側(cè)、北側(cè)15千米處分別設(shè)有C，D兩站點(diǎn)，測(cè)量距離時(shí)發(fā)覺(jué)一點(diǎn)Q滿意千米，千米，求（精確到1米）和Q點(diǎn)的位置（精確到1°）．培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．求滿意下列條件的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與雙曲線有相同漸近線，且焦距為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.2．已知，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意直線PA和直線PB的斜率之積為1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.3．雙曲線，右焦點(diǎn)為.(1)若雙曲線為等軸雙曲線，且過(guò)點(diǎn)，求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，求雙曲線的離心率.4．已知雙曲線C：（，），第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在C上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別記為，，且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C的離心率；(2)若的面積為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)．(1)求；(2)求△AOB的面積；(3)求證：．培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1．已知圓錐曲線C的方程為．(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；(2)若雙曲線與直線有公共點(diǎn)且實(shí)軸長(zhǎng)最長(zhǎng)，求此雙曲線的方程．2．已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線與軸交于定點(diǎn).3．已知雙曲線，雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓的圓心在軸正半軸上，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與雙曲線的右支交于A、兩點(diǎn)．(1)當(dāng)是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求的面積；(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求直線的方程；(3)求證：直線與圓相切．4．已知雙曲線是其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．是位于雙曲線右支上一點(diǎn)，平面內(nèi)還存在滿意．(1)若的坐標(biāo)為，求的值；(2)若，且，試推斷是否位于雙曲線上，并說(shuō)明理由；(3)若位于雙曲線上，試用表示，并求出時(shí)的值．5．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿意：．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，求雙曲線C的方程．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)滿意，記點(diǎn)的軌跡.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的角平分線為直線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.2．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過(guò)原點(diǎn)作相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設(shè)直線與兩漸近線分別交于，兩點(diǎn)，是否存在直線使，為線段的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知雙曲線C的離心率，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)T是y軸上的點(diǎn)，過(guò)T作兩直線分別交雙曲線C的左支于P、Q兩點(diǎn)和A、B兩點(diǎn)，若，P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為M，A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原