江西省2023-2024學年高二數(shù)學上學期12月月考模擬試題（含答案）

/江西省2023-2024學年高二數(shù)學上學期12月月考模擬試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號，考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第五章計數(shù)原理中的排列組合（不考二項式定理）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.150° B.120° C.60° D.30°【正確答案】A【分析】將直線方程由一般式轉化為斜截式，從而可得直線斜率，由斜率即可得直線的傾斜角.【詳解】將直線的方程轉化為斜截式方程得，所以直線的斜率為，故傾斜角為150°．故選：A.2.已知，，，若P，A，B，C四點共面，則（）A.3 B. C.7 D.【正確答案】C【分析】利用空間向量四點共面性質求解即可.【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得，，共面，設，則，解得．故選：C.3.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，P為拋物線C上一點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由，利用拋物線的定義求得點P的橫坐標，進而求得縱坐標，然后由求解.【詳解】因為拋物線C：，故由，解得，所以，所以的面積為．故選：D4.已知正方體的棱長為a，點P是平面ABCD內的動點，若點P到直線的距離與到直線CD的距離相等，則點P的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【正確答案】A【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】點P到直線的距離即為AP．在平面ABCD內，點P到直線CD的距離與點P到點A的距離相等，滿足拋物線的定義，所以點P的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故選:A．5.手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力．某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，，，P，Q，M，N分別是棱AB，，，的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】如圖，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，得，，，，所以，，所以，即異面直線PQ與MN所成角的余弦值是．故選：B6.某學校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種【正確答案】C【分析】分兩步進行分析：先將五名教師按要求分成三組，再將分好的三組全排列，分別求出每一步的種數(shù)，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】分兩類，第一類，只有教師夫婦兩人去同一所學校有種，第二類，教師夫婦兩人另加一位教師去同一所學校有種，所以總共有36種．故選：C.7.如圖，正方體的棱長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，過點，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】本題考查空間幾何體的表面積與體積，首先根據(jù)作出圖像，延長EF分別交DA，DC于M，N兩點，連接，分別交，于H，做五邊形．然后根據(jù)正方體性質進行計算最終得截面面積.【詳解】如圖，延長直線EF，分別交DA，DC于M，N兩點，連接，分別交，于H，G兩點，過點，E，F(xiàn)的截面即為五邊形．因為該正方體的棱長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，，故．又因為的三邊長分別為，，，所以，則截面的面積為．故選：D8.曲率半徑可用來描述曲線在某點處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小，已知橢圓：上任意一點處的曲率半徑公式為．若橢圓上任意一點相應的曲率半徑的最大值為，最小值為1，則橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，將化為，構造函數(shù)結合函數(shù)單調性得出的范圍，再令，得出關于的函數(shù)的單調性，即可得出的最值，結合已知列式聯(lián)立即可解出，即可得出答案.【詳解】因為點在橢圓上，則，即，所以，令，構造函數(shù)，，，在定義域上單調遞減，因為，所以當時，即時，取得最大值，即取得最大值，最大值為，令，則關于的函數(shù)在其定義域上單調遞增，則當取得最大值時，取得最大值，最大值為，因為橢圓上任意一點相應的曲率半徑的最大值為，所以，當時，取得最小值，即取得最小值，最小值為，則當取得最小值時，取得最小值，最小值為，因為橢圓上任意一點相應的曲率半徑的最小值為1，所以，聯(lián)立，解得，則橢圓的標準方程為：．故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列排列組合數(shù)中，正確的是（）A. B.C.（m，，） D.（m，，）【正確答案】BCD【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式與性質逐項判斷即可.【詳解】A選項，，故A錯誤；B選項，，故B正確；C選項，由于，故C正確；D選項，左邊，右邊，即左邊＝右邊，所以（m，，），故D正確．故選：BCD.10.已知圓C：，直線l：（），下列說法正確的是（）A.無論a取何值，直線l與圓C相交B.直線l被圓C截得的最短弦長為4C.若，則圓C關于直線l對稱的圓的方程為D.直線l的方程能表示過點的所有直線的方程【正確答案】AC【分析】由直線l恒過的定點與圓的位置關系判斷A；借助圓的性質求出最短弦長判斷B；求出原點關于直線l的對稱點坐標判斷C；舉例說明即可判斷D.【詳解】對于A，直線l變形為，由，解得，即直線l恒過定點，顯然該定點在圓C內，因此直線l與圓C相交，A正確；對于B，定點與圓心的距離為，由圓的性質知，當時，直線l被圓C截得的弦長最短為，B錯誤；對于C，當時，直線l為，設圓心關于直線對稱的點為，則，解得，即，則圓C關于直線l對稱的圓方程為，C正確；對于D，直線過點，該直線不能被直線的方程表示，D錯誤.故選：AC11.在棱長為2的正方體中，M，N兩點在線段上運動，且，Q在線段上運動，則下列結論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.在平面內存在點P，使得平面BMNC.E點在正方形（包括邊界）內運動，且直線DE與直線成30°角，則線段EM長度的最小值為D.與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】BD【分析】根據(jù)線面關系，結合三棱錐等體積轉化求解三棱錐的體積即可判斷A；根據(jù)面面平行，線線平行關系，確定平面，從而可得與平面平行，即可判斷B；根據(jù)線面關系，線線關系即可得的運動軌跡，從而可得EM長度的最小值，即可判斷C；利用三棱錐等體積轉化確定點到平面的距離h，從而可得點Q到平面的距離，即可求與平面所成角的正弦值的取值范圍可判斷D.【詳解】對于A，連接交于點O，則，連接，，所以為的高，且，所以．又平面，所以，所以A錯誤；對于B，連接,平面BMN與平面為同一個平面，在正方體中，有，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即平面所以當點P在上時，總有平面，從而有平面BMN，所以B正確；對于C，因為直線DE與直線成30°角，，所以直線DE與直線成30°角，又因為E點在正方形（包括邊界）內運動，且該正方體的棱長為2，所以E在正方形（包括邊界）內的運動軌跡是以為圓心，以為半徑的段圓弧，而M點在線段上運動，所以線段EM長度的最小值為，所以C錯誤；對于D，因為正方體的棱長為2，所以正的面積．連接交于O點，顯然點O是線段的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離h，在三棱錐中，由，得，即，解得，可知點Q到平面的距離為．在中，點與斜邊上的點Q的距離，所以直線與平面所成角的正弦值，所以D正確．故選：BD.12.已知拋物線（）上任意一點處的切線方程可以表示為．直線，，分別與該拋物線相切于點，，，，相交于點D，與，分別相交于點P，Q，則下列說法正確的是（）A.點D落在一條定直線上B.若直線AB過該拋物線的焦點，則C.D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)已知得出直線的方程，根據(jù)已知聯(lián)立方程組求解得出的坐標，即可判斷A項；設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出，進而求解化簡，即可判斷B；根據(jù)拋物線的定義得出，代入即可判斷C；根據(jù)都在上，化簡即可得出.進而即可得出，進而得出D項.【詳解】由題知：，：，：，聯(lián)立方程組，解得兩直線的交點為．同理，.對于A，點不在一條定直線上運動，A錯誤；對于B，若直線AB過拋物線的焦點，設直線斜率為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，有，可得.又是兩個交點，所以是方程的兩個解，則，所以，故，B正確；對于C，因為，，所以，C正確；對于D，因都在上，所以，，所以，.同理都在上，所以有，，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓：與圓：的位置關系是_________．【正確答案】相交【詳解】圓：化為標準方程：，則其圓心，半徑，圓：化為標準方程：，則其圓心，半徑，則兩圓心距離，故兩圓相交，故相交.14.已知空間向量，，的模長分別為2，2，3，且兩兩夾角均為，點G為的重心，則_________．【正確答案】##【分析】由向量線性運算結合向量在幾何中的應用可得答案.【詳解】因為G為的重心，所以，所以，所以，，所以．故15.2023年10月11日，他在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推進鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨一無二的“中國最美的符號”．當?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個小區(qū)域中，規(guī)定每個區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）【正確答案】48【分析】分2、4顏色相同和2、4顏色不相同兩種情況進行討論，由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】分兩類：第一類，2、4顏色相同有種；第二類，2、4顏色不相同有種．共種,故48.16.已知直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于點，（不重合）線段的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為_________．【正確答案】【分析】由已知結合直線垂直的斜率關系和直線過的點根據(jù)直線的點斜式方程得出線段的垂直平分線的方程，即可聯(lián)立兩直線得出的中點坐標為，設，，分別代入雙曲線方程后作差整理得出，再根據(jù)線段中點與端點坐標關系與兩點的斜率公式得出，，，即可得出，在根據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入即可得出答案.【詳解】直線與線段的垂直平分線垂直，則線段的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線過點線段的垂直平分線為：，即，聯(lián)立，解得：即的中點坐標為，設，，則，兩式作差可得，的中點坐標為，的斜率為1，，，，則，所以雙曲線C的離心率．故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)．（1）偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？（結果用數(shù)字表示）（2）若數(shù)字1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？（結果用數(shù)字表示）【正確答案】（1）144（2）96【分析】（1）利用插空法可解；（2）首先將1、2全排列，再將3、5選一個數(shù)插入中間位置，組成一個大元素，再與其他3個數(shù)字全排列即可【小問1詳解】首先將奇數(shù)全排列，再利用插空法，可得：當偶數(shù)不能相鄰時，不同的六位數(shù)有個．【小問2詳解】首先將1、2全排列，再將3、5選一個數(shù)插入中間位置，組成一個大元素，所以數(shù)字1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)不同的六位數(shù)有個．18.已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點．（1）求圓C的標準方程；（2）若過點的直線l被圓C截得的弦長為6，求直線l的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)已知求出過點，且與直線垂直的直線的方程.與直線聯(lián)立即可得出圓心，根據(jù)兩點間的距離公式可得出半徑；（2）當斜率存在，根據(jù)點斜式方程得出直線方程.進而由點到直線的距離公式得出，根據(jù)垂徑定理得出方程，求解得出的值，代入方程即可得出答案；當斜率不存在時，得出直線方程，驗證即可得出答案.【小問1詳解】設過點，且與直線垂直直線的方程為，又該直線過點，所以，所以，即直線方程為，根據(jù)圓的性質可知，該直線經(jīng)過圓心.由，解得，所以圓心，半徑．故圓C的標準方程為．【小問2詳解】①若斜率存在，則設過點的直線l的斜率為k，則直線l的方程為，即，所以圓心到直線l的距離．又，，由垂徑定理可得，即，整理得，解得，此時直線l的方程為；②若斜率不存在，則直線l的方程為，弦心距為2，半徑，弦長為，符合題意．綜上，直線l的方程為或．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，，E為線段PD的中點，已知，，．（1）證明：平面ACE．（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】證明：如圖1，連接BD交AC于點H，連接HE．圖1因為AB∥DC，，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以H是AC的中點，又E為線段PD的中點，所以HE∥BD．又平面ACE，平面ACE，所以PB∥平面ACE．【小問2詳解】解：因為AB⊥平面PAD，所以作Ax⊥AP，建立如圖2所示的空間直角坐標系．圖2由已知，，，得，，，，，，．設平面PCD的法向量為，即，不妨?。?，所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．20.已知雙曲線C：的漸近線方程為，實軸長為2．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線l與雙曲線C相切，且與雙曲線C的兩條漸近線相交于P，Q兩點，求△POQ（O為坐標原點）的面積．【正確答案】20.21.【分析】（1）根據(jù)漸近線和實軸長，求出可得雙曲線的標準方程；（2）討論直線的斜率是否存在，且當直線的斜率存在時，設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)雙曲線與直線相切，找到參數(shù)之間的關系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，最后求得面積.【小問1詳解】（1）由題意得，解得，所以雙曲線C的標準方程為．【小問2詳解】（2）當直線l的斜率不存在時，不妨設直線l與雙曲C的右支相切，此時，，．當直線l的斜率存在時，直線l的方程可設為，設，，聯(lián)立方程組，得．因為直線l與雙曲線C相切，所以，所以．聯(lián)立方程組，解得，同理聯(lián)立方程組，解得，點O到直線l的距離，所以綜上所述，的面積為.21.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是菱形，，，平面ABCD．（1）證明：．（2）棱BC上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）BC上存在點E使得二面角的余弦值為，【分析】（1）利用題設條件證明線面垂直即得結論；（2）通過建系，表示相關點坐標，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用空間兩向量夾角的余弦公式求得參數(shù)，即得線段長.【小問1詳解】證明：如圖，連接AC，，因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC．因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為且，平面，所以BD⊥平面．因為平面，所以．小問2詳解】取BC中點Q，連接AQ，因為