學好數(shù)學并不難（幾何）

學好數(shù)學并不難幾何目錄\h一致家長：當孩子學數(shù)學時，學的是什么\h◎數(shù)學，學的是情商和智商\h◎永遠不要直接教孩子做題\h◎知難而喜：培養(yǎng)孩子獨立解決問題的能力\h二奇妙的幾何學\h◎沒有數(shù)字的數(shù)學\h◎一根細線量土地\h◎?qū)W習數(shù)學就是構建邏輯思維體系\h三世界就是點、線、面\h◎點、線、面到底是什么\h◎點、線、面里的生活哲學\h◎幾何學的5條公理\h四初窺幾何證明\h◎解決直角的牛皮：角度和垂直\h◎世界上第一個幾何證明：對頂角相等\h◎讓數(shù)學家頭疼了2000多年的問題：平行公理\h◎讓分土地的工作大大簡化：平行線的證明\h五從分土地開始\h◎分土地，先關注三角形的內(nèi)角和外角\h◎著名的三線合一定理\h◎一個誰都明白的道理：兩點之間直線段最短\h◎用復雜的過程證明簡單的道理\h◎三角形全等，該怎么證明\h六尺規(guī)作圖\h◎擺脫牛皮的束縛，自由平分土地：中垂線\h◎幾何圖形和加減乘除的關系\h◎角平分線\h◎用尺規(guī)作圖解決生活中的問題\h七任意土地的平分\h◎平行線間的距離和任意形狀的面積問題\h◎面積定理：掌握世界上所有圖形的變換方法\h◎保持面積相等的轉(zhuǎn)換規(guī)律：角邊角判定定理\h八幾何證明的思路\h◎雙向思考：任何一種固定的解題思路都是靠不住的\h◎動態(tài)看圖：迅速找到核心內(nèi)容\h九圖形縮放\h◎相似定理，你必須知道這三點\h◎判斷相似三角形的三個條件\h◎尺規(guī)作圖之乘除法\h十圓\h◎圓和角的關系和幾何學的三大難題\h◎圓和直線的關系\h◎幾何作圖之乘方開方\h十一解析幾何基礎\h◎從幾何學開始，重新認識世界\h◎一只蜘蛛引出解析幾何的發(fā)現(xiàn)\h◎平面直角坐標系\h十二函數(shù)圖像\h◎函數(shù)到底是什么\h◎函數(shù)就是加減乘除\h◎線性函數(shù)：通過解析幾何解決實際問題的方法\h◎線性函數(shù)的應用：代數(shù)問題和幾何問題\h十三二次函數(shù)\h◎勾股定理：代數(shù)知識和幾何知識的巧妙結合\h◎二次函數(shù)曲線：解析幾何能提供哪些幫助\h◎拋物線的移動\h十四函數(shù)變換\h◎函數(shù)的加減法\h◎函數(shù)變換的本質(zhì)：各自發(fā)生毫無影響的自然規(guī)律\h◎函數(shù)的乘法和燈塔背后豐富的世界\h十五最后的總結\h◎讓數(shù)據(jù)告訴我們宇宙的過去和未來\h◎數(shù)學是這個世界的普遍真理嗎一致家長：當孩子學數(shù)學時，學的是什么◎數(shù)學，學的是情商和智商現(xiàn)在全國每年有1500多萬個孩子升入初中，這些孩子分布于全國各地，他們有著各自不同的家庭環(huán)境，家長對孩子的關注點也不盡相同．除了關心孩子的身體健康之外，有人關注孩子的綜合素質(zhì)，關注孩子的能力；有人關注孩子的考試成績，關注孩子的分數(shù)；有人更關注孩子的生活，關心孩子的情感，關心孩子是不是每一天都幸福快樂．這些都體現(xiàn)著家長對孩子無微不至的關愛，但無論家長關注什么，都必須重視孩子的數(shù)學學習．首先，如果家長關注孩子的能力，那么家長需要知道，孩子在大部分課程中學的都是知識，只有兩門課程直接對應著孩子的能力．第一就是語文，它對應著孩子的溝通表達能力；第二就是數(shù)學，它對應著孩子的邏輯推理能力、分析判斷能力．無論是在工作中還是在生活中，我們無時無刻不需要作出自己的分析判斷，面對同時要做的兩件事情我們怎么選擇？選擇好后，具體目標怎么確定？定好了目標，用什么方式去做？選擇哪些伙伴？需要哪些外部資源？……所有的一切都需要分析判斷．有人說，不對吧，我們作分析判斷的時候，用的都是相關專業(yè)的具體知識．不錯，我們作出任何一個判斷的時候，都需要相關知識的幫助，但是只有具備良好的數(shù)學素質(zhì)、良好的邏輯推理能力，我們才能輕松駕馭這些知識．為什么數(shù)學這么重要呢？因為數(shù)學不僅僅是知識，更是承載所有其他知識的框架．其次，如果家長關注的只是孩子的分數(shù)．那么家長需要知道，數(shù)學是一個系統(tǒng)性的學科，數(shù)學知識具有復雜嚴密的結構，數(shù)學學習具有高度的延續(xù)性．孩子在學習歷史、地理、生物、政治這些學科的時候，如果中間間斷了兩個月沒有學習，幾乎不會影響他對后續(xù)課程的學習：唐朝的歷史沒學好，不會阻礙他學習明朝的歷史；初中的時候沒有學習地理，絲毫不影響他工作以后再學習地理．但是，學習數(shù)學時情況卻不是這樣，如果孩子沒有學會多項式的乘法，他不可能學會因式分解，更不可能學會二次方程．因此在初中階段，一個孩子學習歷史、地理、生物、政治等課程的時候，可能長期保持七八十分的水平．但是，沒有人在學習數(shù)學的時候能夠長期保持這樣的水平，如果孩子在初一的時候只能考七八十分，那么初二就是五六十分，初三就是三四十分．如果初中的時候，孩子沒有好好利用自己的時間，系統(tǒng)地掌握這門課程，恐怕他以后很難有機會完整地學習數(shù)學了．最后，如果家長關注孩子的生活，關心孩子是否快樂，那我要告訴家長，初中數(shù)學和我們平時的生活有著非常密切的聯(lián)系，它是一門非常實用的學科．關于這一點，恐怕大多數(shù)家長都很難認同，這些家長認為，我們平常在生活和工作中用到的數(shù)學只不過是小學的四則運算，初中的代數(shù)、幾何好像從來都沒有用到過．因為很少用到，所以大部分家長早已把這部分知識忘得差不多了．但也正因如此，我才更需要強調(diào)數(shù)學的實用性．我的“學好教學并不難”這個系列課程，會涉及大量的工作生活中的實際問題，學了以后你就會發(fā)現(xiàn)，原來那些看起來不是數(shù)學問題的問題，背后隱藏的都是簡單的數(shù)學規(guī)律．現(xiàn)在社會上普遍存在這樣一種觀點，情商比智商更重要，只要孩子的情商高，在社會上到處都會有朋友，遇到任何難題都會有人幫忙，甚至不用自己去做什么，就會有人幫忙解決問題．的確，我們無法否認情商的重要，更不能否認朋友的重要．然而，我們要知道的是：人類最大的無知不在于你不知道什么，而在于你不知道自己不知道什么！這句話說起來有點繞，但蘊含的道理卻非常簡單，那就是：我們普遍缺乏的是發(fā)現(xiàn)問題的能力．在實際生活中，我們在遇到問題的時候，往往會根據(jù)常識、習慣作出判斷（而有時這樣作出的判斷是錯誤的），我們會誤以為自己知道問題的答案，誤以為自己沒有遇到問題．對于一個不知道自己無知的人，就算有再多的朋友，也幫不上什么忙．從平常的生活常識到頂級的科學難題，最難的都是發(fā)現(xiàn)問題！我們先以科學問題為例：人類在月光之下生活幾十萬年了，我們什么時候問過自己，月亮為什么不掉下來呢？從來沒有人這樣問過自己，直到牛頓發(fā)出這樣的疑問（并且很快他就找到了答案）．所以，發(fā)現(xiàn)問題要比解決問題難得多．接下來我們再以生活瑣事為例：“請問你的手機圖標該不該分類？”“你的衣服應該怎么洗？”“你出去玩的時間怎么安排？”“你賣東西價格怎么定呢？”甚至是“孩子挨打了該不該還手呀？”關于這些問題，很多人會不假思考地給出一個答案．但是，我要告訴你，這些都是數(shù)學問題，只是你不知道自己不知道而已．情商高，可以幫助一個智商高的孩子取得更大的成就，但情商高不能幫助一個無知的孩子幸福地生活．只有學習數(shù)學，才能夠讓我們發(fā)現(xiàn)自己的無知，能夠讓我們具有發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．以上，我們一起討論了數(shù)學的重要性，從上面的分析可以知道，無論家長關心的是孩子的能力、分數(shù)還是情感，都需要重視孩子的數(shù)學學習．因為，人類最大的無知，是不知道自己不知道什么！但是，我同樣需要說明的是：我這里強調(diào)的數(shù)學，不只是書本上的數(shù)學，我強調(diào)的學好數(shù)學，也不只是必須要讓我們的孩子拿高分！那么什么是數(shù)學，怎么樣學好數(shù)學？作為家長，又怎么樣幫助孩子學數(shù)學呢？很簡單，就是陪孩子一起學習．◎永遠不要直接教孩子做題前面強調(diào)了數(shù)學的重要性，于是家長就發(fā)愁了：“哎呀，數(shù)學很重要，我也知道啊，但是我自己的初中數(shù)學都忘光了，輔導不了孩子了呀，是不是應該給孩子報個輔導班，或者請個家教呀？”我告訴你，沒必要，原因有兩個：第一，我說的數(shù)學不僅僅是課本上的數(shù)學；第二，數(shù)學分數(shù)的好壞也不是衡量數(shù)學能力的唯一標準．你強迫孩子學習也好，請家教教孩子也好，只能教給孩子知識，教不了孩子能力；只能提高孩子的分數(shù)，提高不了孩子的素質(zhì)！作為家長，我們要做的、我們能做的，其實也只有兩點：第一，讓孩子主動學習；第二，陪孩子一起學習．什么？主動學習？想必很多家長聽到這里都要氣樂了：我的孩子要是能主動學習，我還用操這份閑心嗎？我們家孩子即使挨打都不愿學習，怎么可能主動學習呢？但是，我決不是在開玩笑，我必須再次強調(diào)：主動學習，既是孩子學會數(shù)學的充分條件，又是孩子學會數(shù)學的必要條件．說白了，除了主動學習之外，不需要任何其他條件，孩子就能學好數(shù)學．其中的道理相信大家都能理解，因為我們從來沒見過一個愛學習的孩子學習成績不好的．那么，我們唯一要面對的問題就是如何引導孩子主動學習．首先，我要給您一個建議：在孩子步入初中階段的時候，找個時間，和孩子心平氣和地長談一次，把你所知道的學習的重要性，和孩子一條一條掰開來揉碎了講述一遍．這次長談的具體內(nèi)容并不是最重要的，最重要的是我們對孩子的態(tài)度．無論出現(xiàn)什么樣的情況，都不能向孩子發(fā)脾氣，因為在我們大喊大叫的時候，孩子只會感覺到我們的態(tài)度粗暴，只會感受到我們對他（她）的厭惡，絲毫感受不到我們對他的關心和愛護．我們要通過這樣的長談，讓孩子真切地感受到我們對他（她）的尊重．注意！我提到了“尊重”兩個字，不但孩子要尊重我們，我們也要尊重孩子，尊重孩子的自尊，尊重孩子的愛好，尊重孩子的成長規(guī)律．在相互尊重的前提下，我們和孩子的談話在開放、平和中開始，在語重心長中結束．孩子進入初中階段以后，就要進入青春叛逆期，很快就會長大成人，我們要給孩子一個平等的長談的機會．這樣的長談，不僅對于孩子的學習是重要的，而且對于孩子處理將來在生活中出現(xiàn)的問題也是必要的．現(xiàn)在的社會比較復雜，無論孩子遇到了學校霸凌事件，還是出現(xiàn)了早戀的問題，都需要通過耐心的溝通交流來解決．俗話說，人心都是肉長的．我相信，有了這樣的對話，孩子多多少少都會加深一點對學習重要性的認識，即使不能馬上扭轉(zhuǎn)他的學習態(tài)度，也會有一個良好的開端．當然，這樣的談話次數(shù)不可能很多，有可能只是一年一次，甚至兩三年一次．因此，我相信家長們都能夠抽出一兩個小時的時間，和孩子好好談談學習．但是問題又來了，在我們和孩子談完話以后，孩子都會激動興奮一兩天，然后慢慢就放松了，俗稱三分鐘熱度．在這種情況下，好多家長就開始不耐煩了，開始大聲呵斥孩子：“你讓我感到失望，前兩天剛和你談過話，讓你好好學習，你看看你，才堅持了幾天，像你這樣沒有耐心，沒有毅力，一輩子也沒出息，我以后再也不管你了，你愛學不學！”這樣一呵斥，孩子也會對自己感到失望，很快就會自暴自棄：“看來我真不是學習的料兒，那就算了吧．”于是，我們前面的溝通交流工作就完全失效了．因此，接下來，我要說說第二點，陪孩子一起學習．為什么要陪孩子一起學習？陪孩子一起學習的目的是什么？在我看來，陪孩子一起學習，首先要保持孩子主動學習的勁頭，孩子沒耐性，做事情只有三分鐘熱乎勁這是很正常的，因為孩子還?。侨绻议L都沒有耐性，那就有問題了．陪孩子一起學習，就是培養(yǎng)孩子的耐心！在電影《羞羞的鐵拳》里面，有一個熬鷹的情景，男女主角和老鷹比賽熬夜，誰先眨眼誰就算輸了．我們就是要和孩子比耐心，看誰熬得過誰．不過，這可不是讓孩子天天學習、天天熬夜．對于數(shù)學而言，家長只需要每天陪孩子學習15分鐘就足夠了．為什么呢？因為每天老師在課堂上講的核心內(nèi)容都不會超過10分鐘．但是，我們要知道，每天陪孩子15分鐘這個習慣，是必須要堅持的．有的家長會強調(diào)自己工作忙沒時間，但即便是家里沒時間，你送孩子上學的路上總有時間吧？只要去擠，我不相信父母兩個人在一天里都擠不出15分鐘來，就看你想不想去擠了．而且我還要說明的是，不管你的工作有多忙，不管你一天能掙幾百萬，這15分鐘花得都是最值得的，因為孩子的將來有希望，會比自己事業(yè)的成功帶給你更多的成就感．這時候可能又有家長說了，我陪孩子沒用啊，我自己的初中數(shù)學知識都忘光了，怎么陪他呢？這就是我接下來要講的重點：永遠不要直接教孩子做題．因為能力是教不會的，你教給孩子的，只是知識而已．因此我們每教會孩子一道題，孩子的動手能力就差一點；每教會孩子一道題，孩子的自信心就會少一點．很多家長發(fā)現(xiàn)，越是教孩子學習，孩子越笨；越是教孩子，孩子越學不會．如果你把自己當作孩子的拐棍，那孩子還能學會自己走路嗎？陪孩子學習，究竟應該怎么陪呢？我們只需要做到三點就夠了：第一，和孩子一起學習．比如，和孩子一起讀數(shù)學書，在送孩子上學的路上和他一起聽數(shù)學課程，學完以后和孩子討論一下．第二，讓孩子教你學習，讓孩子給你講講課堂上的內(nèi)容或者講講書里的內(nèi)容．孩子講得對不對不重要，你能不能聽得懂也不重要，只要孩子給你講，他就是在學習、在思考了，他的能力就已經(jīng)在提升了．第三，讓孩子出題，你做！記得在前面我說過，數(shù)學分數(shù)高，并不能證明孩子數(shù)學學得好，那么，怎樣算學得好？我告訴你，會出題就算孩子學得好！孩子學完了二元一次方程，你讓孩子給你出幾道實際生活中遇到的二元一次方程的題目．如果他能很順利地給出題目來，那就算學好了．為一個現(xiàn)有的題目找到答案，不算本事；從沒有問題的地方發(fā)現(xiàn)問題，才算真本事．只有真正把課本知識吃透了，練就自己的真本事，孩子才會擁有學以致用的能力．◎知難而喜：培養(yǎng)孩子獨立解決問題的能力目前，由于受到應試教育的影響，孩子的學習壓力很大，學習任務非常艱巨．很多初中的孩子平時作業(yè)都做不完，常常熬到深夜才能休息．很多孩子連課本上的知識都學不會，常常是一道題卡住了，兩三個小時都做不出來．那么在這樣的條件下，我們又如何培養(yǎng)孩子獨立解決問題的能力呢？這就取決于我們?nèi)绾慰创@個問題了．我要告訴你的是：任何一個初中生，當他遇到一個難題的時候，都需要具備連續(xù)兩三天來解決它的耐心．為什么會這樣呢？我們首先要明白一點，絕大多數(shù)人，一生做好一件事情，就已經(jīng)非常了不起了，這個道理我們不用多講．那么，我們的孩子從學校畢業(yè)以后，他憑什么能一生堅持做好一件事呢？很簡單，當他讀博士的時候，學校會給他三四年的時間，讓他堅持做一個課題．而他憑什么能在讀博士的時候，堅持幾年做一個課題呢？因為他在讀碩士的時候，需要堅持一年做一個課題！而碩士階段他能堅持一年，又是因為他在讀大學本科的時候，畢業(yè)設計是花了三四個月的工夫才做出來的．發(fā)現(xiàn)了沒有？要想有30年做成一件大事的本事，就要有連續(xù)3年聚焦一個課題的本事，就要能夠經(jīng)受一年只做一件事和三四個月只做一件事的考驗．只要按照這個規(guī)律反推一下就會知道：任何一個高中生，都應該具備連續(xù)一周突擊一道數(shù)學題的耐心；而任何一個初中生，則需要具備連續(xù)兩三天面對一道難題的勇氣．如果沒有這樣的耐心、沒有這樣的勇氣，他憑什么考上大學，憑什么成為博士，又憑什么做出一番成就呢？在這樣大是大非的問題上，孩子沒有耐心是可以理解的，但可惜的是，我們作為家長，也沒有耐心，看見孩子有一道題不會了，恨不得馬上教會他．然而，這樣做只會毀了孩子．我們知道，學校的老師拼命給孩子多留作業(yè)，是因為老師之間有著激烈的競爭關系．一般來說，誰給孩子留的作業(yè)多，誰負責的課程成績就會好一點，老師得到的獎勵也就會高一點．基于同樣的原因，那些課外培訓機構的老師們也會以填鴨式的教學方法，硬塞給孩子一些速成的解題思路，因為這樣做有助于孩子分數(shù)的快速提升，自己的培訓機構才能多賺錢．這樣做不是為了孩子的成長，而是為了自己的利益！正是因為如此，各地教育部門才反復下令給孩子減負．而我們作為家長，應該擦亮自己的眼睛，明白孩子真正需要的是什么！當孩子面對一道數(shù)學難題的時候，我們首先要做的是鼓勵孩子，讓他們擁有獨立面對問題的勇氣，讓他們擁有長期面對難題的耐心，不但要做到知難而進，而且要做到知難而喜！是的，知難而喜！面對一道很難的數(shù)學問題的時候，我們的確應該感到高興．無論這道題我們能不能做出來，是不是做對了，都應該感到高興，這里面有三個方面的原因：第一，一道難題可以培養(yǎng)我們的耐心和勇氣．第二，一道難題可以讓我們把相關的知識都調(diào)集到頭腦中，反復地梳理這些知識點，最終，即便這道題目沒做出來，我們對已有知識的熟練程度也會大大地增強．第三，一旦解出這道題，與之類似的大多數(shù)難題往往都迎刃而解．但與此相反的是，如果這道題是別人教會你解的，那么，你可能只會解這一道題，而且記不住，過幾天就會忘記．這也是很多家長都忘了初中數(shù)學知識的根本原因．不過，我說要連續(xù)3天面對一個問題，只是極特殊的情況，根據(jù)我的常識，絕大多數(shù)問題，孩子只要堅持兩個小時以上，都能做出來．知難而喜——我們希望孩子在面對一切難題的時候，都能有這樣理性樂觀的態(tài)度．當然，如果您的孩子基礎比較差，您可以先選擇一些適合他做的題目來鍛煉他的耐心，不要一開始就讓他接觸太難的問題，這樣孩子的信心可以慢慢被培養(yǎng)起來，不至于受到太大的挫折．其實一切數(shù)學問題是有一套通用解決辦法的，那就是：不斷試錯，不斷修正，筆耕不輟，其解自得．如果換成大白話就是，只要不斷地做下去，肯定能做出來！這好像只是一句廢話啊，但沒辦法，這就是世界上所有難題的通用解決辦法，無論是數(shù)學題還是其他難題，都是如此．歷史上，我們就是采用這種辦法來解決難題的．比如圓周率π．沒有人知道π的精確值是多少，也沒有人知道π的計算公式怎么列，那怎么辦？沒辦法！我們求不出圓的周長，我們就求三角形的周長．三角形的周長和圓的周長不一樣，這不要緊，我們發(fā)現(xiàn)錯了，慢慢改進就行了，這就叫試錯．我們把三角形的周長改成六邊形的周長，雖然六邊形也不對，但是和三角形相比，它更接近圓了，這就叫不斷修正．繼續(xù)修正下去，我們還可以求解十二邊形的周長、二十四邊形的周長．不斷求解下去，我們就可以不斷接近π的真實值．這個方法就是著名的割圓術，祖沖之就是用這種辦法，精確到了圓周率小數(shù)點后面7位數(shù)字．連數(shù)學家都用這個辦法，可見，這的確是一種通用的解題思路．現(xiàn)在我們來總結一下，在本章之中，我們一起討論了三個問題：第一，希望作為家長的您重視孩子數(shù)學的學習；第二，希望您陪伴孩子一起學習；第三，希望您培養(yǎng)孩子獨立解決問題的能力，讓孩子對解題有足夠的耐心，能做到知難而喜．二奇妙的幾何學◎沒有數(shù)字的數(shù)學我清楚地記得，剛上初中的時候，數(shù)學老師一上講臺就和我們說：“同學們，從今天開始，我要求大家把自己直尺上的刻度全都磨掉，把你們的三角板和量角器也都收起來，今后我們研究圖形只能用一把沒有刻度的直尺和圓規(guī)．”聽老師這么一說，我就傻了，直尺上有刻度不讓使用，我還怎么知道一個圖形的長度，又怎么計算面積呢？哎，這就是我們要研究的新學問，它是一種沒有數(shù)字的數(shù)學，名叫幾何．\h\h(1)\h什么叫幾何呢？幾何就是多少的意思．多少呀？我不知道，你也不需要知道，我們要在不知道具體數(shù)值的情況下把圖形的學問研究明白．可是如果我們連個準數(shù)都沒有，這不是在瞎研究嗎！是嗎，你確定沒有數(shù)字就研究不明白嗎？你有沒有聽說過鄭人買履的故事呢？春秋時期，有一個鄭國人，到集市上去給自己買鞋，賣鞋的老板問他：“你買多大號的鞋呀？”他從來沒買過鞋，也不知道自己的鞋號，于是就回家去拿了一把尺子過來，用這個尺子，先量了自己的腳，又量了賣的鞋，然后才掏錢買．這個賣鞋的老板被逗樂了：“你給自己買鞋，還拿什么尺子呀？簡直是有毛病！”事實證明，沒有準數(shù)的時候，也是能干活兒的．想明白了這個道理，我們回到課堂上來：當老師沒收了我們的刻度尺以后，就在黑板左邊畫了一條線，然后就把我叫到了講臺上，他說：“你能不能在黑板的右邊，用這個直尺和圓規(guī)畫一條長度一模一樣的線段呢？”我當時就傻了，我想，我得量一下這條線有多長呀，不知道多長，我怎么能畫出一樣長的呢？不過我還是挺機靈的，我把這個尺子抓在手里以后，先把尺子的一端和線的左端對齊了，然后再順著線段的方向把直尺擺好，最后沿著線段的末端，用粉筆在尺子上做了個記號．這樣一來，我就在直尺上標記出一個刻度，于是這條線段的長度就和我畫的刻度一樣了，這樣我就把那條線畫出來了．可是老師又說了，尺子上不能有刻度，自己畫的刻度也不行！于是我沒辦法了，只能叉開自己的手指，用這個大拇指和食指當尺子，保持住這個姿勢不動，挪到另一邊去，按手指叉開的長度畫了一條線段．但是老師又說了：“不許用手！因為你的手指頭是活動的，即使你感覺不到自己的運動，運動變化也是存在的，所以這種方式也是不允許的．”聽到這里，我突然發(fā)現(xiàn)，為什么要用自己的手指呢，這個圓規(guī)的兩條腿，不就是天然的兩根手指嗎？而且把圓規(guī)叉開到指定的寬度，它就靜止不動了．于是我把圓規(guī)的兩條腿叉開，挪到線段上比一比，確定圓規(guī)叉開的長度和線段長度一樣了，再按照這個長度畫線，結果就出來了．做完以后，我終于看到了老師滿意的笑容．老師是滿意了，可我還不滿意，于是就反問他：“老師，我們明明可以用尺子直接量一下，你為什么非得讓我用圓規(guī)呀？”老師說：“你用尺子量了長度，再用這個長度去畫線，就好比那個買鞋的鄭國人，用尺子量了腳再量鞋，你的腳就在你身上，為什么不能直接用腳量鞋呢？同樣，我的線段就在這里，為什么非要把它變成數(shù)字呢？”直到這時，我才恍然大悟，原來我們一直引以為豪地在幾何中使用數(shù)字，卻鬧了鄭人買履的“笑話”．研究幾何圖形的時候就是這樣，雖然我們不一定知道每個圖形的具體長度、寬度和角度，但是我們卻可以清晰地知道這些數(shù)值之間的相互關系．幾何學要求我們通過直尺和圓規(guī)去認識世界，通過這兩種工具，我們可以更接近事物的本原，更了解事物的真相．幾何學的本原就是丈量土地的學問．它發(fā)源于5000年前的古埃及，那時候人類已經(jīng)掌握了耕種技術，開啟了農(nóng)業(yè)文明，但尼羅河水經(jīng)常泛濫成災，一旦沖毀土地，人們就必須重新丈量土地，于是在這個過程當中，古埃及人就積累了大量的幾何學知識．公元前7世紀，古希臘數(shù)學家泰勒斯，把古埃及的幾何知識帶回了古希臘，同時，他開始思考這些幾何知識之間的關系，并對部分的定理給出了嚴格的證明，幾何知識在古希臘開始孕育發(fā)展．之后畢達哥拉斯、柏拉圖都對幾何學做了突出的貢獻，到了公元前300年左右，歐幾里得把當時所有的幾何學知識融會貫通，收集整理出一部近代數(shù)學的奠基之作——《幾何原本》．在《幾何原本》中，歐幾里得首先明確了點、線、面、角等一系列基本圖形的定義，然后從幾條人所共知的、不證自明的公理出發(fā)，通過嚴格的邏輯推理，將零散的、不連貫的幾何知識組織起來，告訴我們平面和立體圖形的性質(zhì)和判定方法，以及通過尺規(guī)進行平面作圖的方法．通過5條公理、5條公設、119個定義、465個命題，構建起了一座宏偉的數(shù)學大廈．《幾何原本》問世以后，通過各種語言出版超過1000個版本．目前，除了《圣經(jīng)》之外，世界上還沒有任何一種著作擁有如此多的讀者．1607年，徐光啟和意大利傳教士利瑪竇把這部著作的前6卷譯成了中文，并且定名為《幾何原本》．◎一根細線量土地在實際生活中，無論是古人丈量土地，還是現(xiàn)代人進行工程施工，他們所用的工具其實都只是一根細線．他們把線的兩頭一抻，拉直了就可以當直尺用，如果按住一頭不動，另一頭抻緊了圍著那個固定點轉(zhuǎn)一圈，就可以畫出來一個圓了．也就是說，我們在白紙上的尺規(guī)作圖，對古人而言，不過是一根再平凡不過的細線而已．同時我們還需要知道，細線出現(xiàn)得比直尺和圓規(guī)要早得多，不是古人用細線來模擬直尺和圓規(guī)，而是我們在紙上通過直尺和圓規(guī)替代了古人所用的細線．為什么要這么做呢？因為我們用細線在紙上畫圖不方便．明白了這個道理，我想你就應該清楚為什么老師不讓我用帶刻度的尺子．那是因為這細線上本來就沒有刻度．那么，用細線來平分土地有什么好處呢？它的好處可就多了：第一，一根細線是隨處可見的，它的制造成本要比一根帶刻度的皮尺便宜得多；第二，用一根細線可以在根本不知道土地面積具體是多少的情況下把它給平分了．這兩點就意味著生活在古埃及的人，可以在沒有統(tǒng)一度量衡的條件下，開啟自己的農(nóng)業(yè)文明．什么叫度量衡呢？度量衡就是長度、體積和重量的統(tǒng)一標準．要想有統(tǒng)一的度量衡，就必須要人為地明確規(guī)定，多長叫一尺，多重叫一斤，多少糧食叫一升或一斗．在中國，統(tǒng)一度量衡這件事情是直到秦代才實現(xiàn)的，這也是秦始皇的偉大功績之一．可是你要知道，如果我們到秦始皇那個年代才學會種地，那可就麻煩了，我們必須在沒有統(tǒng)一標準的條件下，就學會平分東西．我們必須懂得，在沒有數(shù)字的條件下，如何利用圖形去認識世界、改造世界！要想徹底地掌握一門學問，最有效的辦法就是研究這門學問的歷史，而研究人類歷史，最簡單的辦法就是研究牙牙學語的嬰兒的行為習慣．因為嬰兒什么都不懂，通過嬰兒的行為習慣，我們可以了解人類早期的一些行為．剛學會說話的孩子一般都有一個習慣，就是喜歡說疊字，比如吃飯，會說“飯飯”，上廁所會說“便便”，因為孩子發(fā)音還不全，這么說話我們都能理解，也沒人笑話這些孩子．可是如果成年人也這么說話，那就有問題了．無論是大人還是孩子，有兩個詞，我們卻一直都保持了這個習慣，那就是“數(shù)數(shù)”和“畫畫”．“數(shù)數(shù)”第一個字是動詞，我們要數(shù)，第二個字是名詞，我們要數(shù)的對象是數(shù)字．“畫畫”也是這樣，第一個“畫”表示動作，第二個“畫”表示對象和結果．為什么要研究這兩個詞匯呢？因為，這至少說明了三個問題：第一，數(shù)數(shù)和畫畫出現(xiàn)的時間非常非常早．我們之所以用疊字來表示這兩件事，說明在那個時候，我們還沒有發(fā)明大量的詞語，所以古人只能像小孩子一樣，用疊字來表示它，這甚至比發(fā)明文字還要早．你發(fā)現(xiàn)沒有，我們管寫字不叫寫寫，也不叫字字，我們管說話，不叫說說，也不叫話話．第二，數(shù)數(shù)和畫畫出現(xiàn)的頻率非常非常高．因為我們經(jīng)常會用到，所以即使后來發(fā)明了新的字詞，我們也不會把它替換掉．比如，我們已經(jīng)發(fā)明“計”“算”這兩個字了，數(shù)數(shù)這個動作完全可以說成“計數(shù)”或者“算數(shù)”，但是我們平常就是不那么說．我們發(fā)明了“繪”“圖”這兩個字，但是我們平時也不說“繪畫”和“畫圖”．因為我們對這兩個詞的使用頻率很高，怎樣最方便我們就怎樣叫．這時候，懂外語的朋友可能會說了，人家拉丁文、希伯來文可不一定是那么說的呀！這倒沒錯，但你要知道，雖然我們中國的文字很多，可是要論表達的簡練和深刻，還沒有哪種文字能和中文相比．第三，通過上面的分析說明，數(shù)數(shù)和畫畫非常重要，它是人類文明的基礎．關于人類為什么要數(shù)數(shù)我們已經(jīng)說過了，這里不再重復，那么人類又為什么要畫畫呢？因為畫畫代表了人類的抽象能力．大家都知道，我們生活的這個世界本來是立體的，但是我們畫出來的圖畫卻是平面的，實際人物和物體都是豐富多彩的，而在畫里我們卻通過線條把它們變成了寥寥幾筆．別看只有寥寥幾筆，這簡單的幾筆卻勾畫出了人或物的最關鍵的特征，所以才能讓觀看的人一目了然．因此，想要把一幅畫畫好，必須有高度的抽象概括能力，必須有抓住事物本質(zhì)特征的能力．不管世界有多大，不管年代多么久遠，我們只要大筆一揮，這個世界就會呈現(xiàn)在眾人的面前．圖畫讓我們渺小的身軀，可以通達大千世界；圖畫讓我們短暫的生命，能夠感受古往今來．隨著歷史的發(fā)展，部分圖畫經(jīng)過進一步的抽象和簡化就變成了文字、變成了數(shù)字、變成了圖形，人類文明也就蓬勃發(fā)展起來了．◎?qū)W習數(shù)學就是構建邏輯思維體系在前面的內(nèi)容中，我們提到：埃及的尼羅河經(jīng)常發(fā)水，需要丈量土地，因此而產(chǎn)生了幾何學，那么為什么古代的中國和印度就沒有發(fā)展出幾何學呢？難道黃河和印度不會發(fā)水嗎？實際上，只要是大江大河，肯定都會不定期地發(fā)洪水．我們中華文明從堯舜開始，就治理黃河，折騰了幾千年．可我們也得知道，雖然幾何學能夠解決分土地的問題，但卻并不是說分土地就只能用幾何．如果你翻開我國古代的《九章算術》，就會發(fā)現(xiàn)這本書的第一章就是專門研究平分土地的，各種形狀的土地的面積的計算方法都有記載，只不過它用的是算術方法而已．那么在平分土地這個問題上，《九章算術》和《幾何原本》有什么本質(zhì)區(qū)別呢？一提到數(shù)學，很多人都會認為，數(shù)學就是用來算賬的工具，數(shù)學書就好比詞典，遇到一個問題的時候，只要到數(shù)學書上去查一個公式，然后照葫蘆畫瓢就把這個問題解決了．其實，在我國古代，數(shù)學典籍就像字典一樣．《九章算術》，就把所有數(shù)學知識都按照數(shù)學的實際用途分門別類地編好了，分地就看第一章，賣糧食看第二章，收稅就看第六章．但是，如果打開《幾何原本》，立刻就傻眼了，這本書哪是教我分土地的呀？它的目錄里面只寫著命題1、命題2、命題3，它的內(nèi)容就是在這些定理之間繞來繞去地相互證明，根本看不出有任何實際的用途．那么歐幾里得這是在做什么呢？他要做的是，不僅要讓我們知其然，還要讓我們知其所以然．古希臘人有著很強的思辨能力，從《幾何原本》中可以看到：歐幾里得從幾條基本假設開始，經(jīng)過了嚴格的邏輯推理證明，建立起了一個由幾百條定理、推論組成的知識體系．從此，那些只靠經(jīng)驗和直覺判斷的舊數(shù)學，轉(zhuǎn)變?yōu)榍逦鞔_、有條不紊、邏輯嚴謹?shù)男聰?shù)學．那么，什么叫邏輯呢？我們又怎樣進行推理呢？一個數(shù)學定理，又為什么需要證明呢？接下來，我們就一起來討論這些問題．所謂邏輯，就是我們?nèi)祟愓J識世界的思維方式，邏輯推理主要有三種方法：歸納、演繹和類比．所謂歸納就是通過特殊事物得到一般規(guī)律．比如，我們看了很多天鵝都是白色的，于是就歸納出來，天鵝的顏色都是白的．所謂演繹就是根據(jù)一般規(guī)律認知特殊的事物．比如，貓是會捉老鼠的，因為湯姆是一只貓，所以它也會捉老鼠．所謂類比就是拿相似的事物打比方．中國的古人最擅長的就是類比證明．像我們平時所說的天人合一的道理就是類比：天行健，君子就應該自強；天無言，君子就應該少說話多做事．\h\h(2)\h應該說，目前人類的所有知識，都是通過歸納、演繹和類比的方法得到的．但是，我們同樣應該知道的是，無論是哪一種思維方式，它本身都有一定的局限性，其中最不靠譜的就是類比的方法．將兩個原本就不相同的事物，強行捆綁在一起來解釋是不具備說服力的．那么歸納法又有什么問題呢？它的問題在于以偏概全，我們看見幾千只天鵝是白色的就能證明所有的天鵝都是白的嗎？萬一有你沒見過的黑天鵝呢？最后我們再看演繹法，演繹推理看似嚴謹，但是它的問題在于，必須要保證前提是對的．如果前提錯了，后邊的推論也就全都錯了．那么，既然這三種方法都有問題，我們還能否認識世界呢？認真分析一下，我們就會發(fā)現(xiàn)，在這三種方法之中只有演繹法是相對靠譜的，只要想盡一切辦法，保障它的前提正確，那么后面的結論肯定就是正確的．因此，我們需要找出那些比較容易理解的、大家都普遍接受的道理，從這些基本的道理出發(fā)，按照一套標準的邏輯體系，再去推演出其他不太常見的、不太容易被理解的道理．那些簡單易懂的、大家都普遍認可的道理被稱作公理，它們本身是無須證明的；而那些通過邏輯推理被公理證明了的道理，我們把它們叫作定理，一個定理一旦被證明了，就可以繼續(xù)以它為基礎再去證明其他道理，于是一個由公理和定理相互交織、相互佐證的知識體系就這樣被一磚一瓦地搭建起來了．無論是歐幾里得的《幾何原本》，還是牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》，都是采用這種結構．數(shù)學知識的學習有四層境界，其中第一層是對知識進行分門別類，第二層是在所有的知識之間建立關聯(lián)．所謂的公理知識體系，說的就是這個意思．雖然《九章算術》和《幾何原本》中分別記載了幾百個問題，但是《九章算術》里邊的問題只有分類，沒有相互關聯(lián)，而《幾何原本》中的知識卻是渾然一體的．書中400多個定理，全部源于5個公理和5個公設推導的結果．除此之外，書中還涉及100多個定義．什么叫定義呢？所謂定義就是聲明一下點、線、面、圓、角、平行、垂直這些概念的具體含義．比如，我們對圓的定義是：到圓心的距離等于半徑的所有點的集合．了解了圓的定義，我們就可以在現(xiàn)實世界中去尋找符合這個定義的那些形狀，比如太陽、月亮、盤子、車輪．而后就可以按照圓的性質(zhì)，去計算這些物體的周長和面積．但是我們也需要知道，從嚴格意義上講，幾何學上定義的點、直線、圓這些圖形都是高度抽象、高度理想的，在現(xiàn)實生活中，既找不到絕對完美的直線，也找不到絕對完美的圓．但是，如果忽略一些細節(jié)，我們還是可以近似地將一些圖形當作標準的圖形來處理的．同時，定義本身也說明了圖形的一些性質(zhì)，比如根據(jù)圓的定義我們可以知道，同一個圓所有半徑的長度都是相等的．這個判斷就既不屬于公理也不屬于定理，它只是定義規(guī)定的一個內(nèi)部特性，這就像女人的性別都是女的一樣，同樣是無須證明的．定義、定理、公理、公設所有這些內(nèi)容統(tǒng)稱為命題．那什么叫命題呢？命題就是判斷一件事情的句子．定義這種命題教給我們判斷一個圖形是什么形狀，幫助我們判斷在一定條件下兩個圖形之間的相互關系．所有這些命題通過嚴密的邏輯推理組織在一起，就構成了幾何學的整體知識架構．\h(1)編者注：如無特別說明，本書中的幾何指歐氏幾何．“它是一種沒有數(shù)字的數(shù)學”這句話嚴格的說法是，幾何是一種不依賴數(shù)字的數(shù)學．\h(2)編者注：前半句源自“天行健，君子以自強不息；地勢坤，君子以厚德載物”，后半句源自“天無言而四時生，地無語而萬物生”．三世界就是點、線、面◎點、線、面到底是什么子路問孔子，如果衛(wèi)國的國王讓您去執(zhí)政，您要做的第一件事是什么呢？孔子說，必也正名乎！他的意思就是，他一定要先給很多詞語下個準確的定義，做個詳細的解釋．子路一聽就笑了，他在笑孔子的迂腐，他說：“放著那么多正經(jīng)事您不做，為什么要先下定義呢？”孔子鄭重地說：“名不正則言不順，言不順則事不成．”這就是說，如果一件事情沒有明確的定義，一個官職沒有明確的職責，我就沒有辦法通過語言下達明確的指令，事情自然就沒辦法做成了．做事是這樣，做學問更是這樣．很多人都感覺給詞語下個定義應該是很簡單的事情，在這個世界上，對就是對，錯就是錯，好就是好，壞就是壞，好像把一個東西解釋清楚非常容易．你要是這么想，就大錯特錯了．在古希臘有個與孔子同時代的哲學家叫蘇格拉底，蘇格拉底有一句名言：我唯一知道的是自己一無所知．因為在蘇格拉底看來，這個世界上沒有任何一個詞是可以真正解釋清楚的，那些自我感覺什么都懂的人，實際上都只是邏輯不清的自大狂而已．有一次，蘇格拉底和一個年輕人討論什么叫道德．這個年輕人說：“誠實就是道德．”于是蘇格拉底反問他：“那如果我在戰(zhàn)場上欺騙了敵人，這算是不道德的嗎？”年輕人答道：“欺騙敵人是道德，欺騙自己人不是．”蘇格拉底問道：“那如果我通過謊話鼓舞士氣，贏得了勝利，那算道德嗎？”年輕人又答：“戰(zhàn)爭是特殊的場合，行騙是不得已的行為，但是我們在日常生活中不能行騙．”蘇格拉底接著問：“如果我的父親病得很重，可是我和他說，你的病不是很嚴重，好好休息，很快就好了，這算不道德嗎？”年輕人說：“這當然算道德了．”這時候蘇格拉底就說：“既然騙人也算道德，不騙人也算道德，那么到底什么是道德呢？”結果這個年輕人只好承認，過去我知道什么是道德，但現(xiàn)在我糊涂了．其實，不僅是“道德”這個詞，只要你具有蘇格拉底一樣的探究精神，具有打破砂鍋問到底的精神，不斷追問下去，你就會發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)詞語的具體含義都是模糊不清的．在我國百家爭鳴的春秋時期，有一個哲學流派叫作名家．名家的創(chuàng)始人叫惠施，在他看來，正是很多詞語的含義模糊不清，才導致了人與人之間的矛盾沖突，大家表面上說著相同的話，但卻各自具有不同的理解，這種名不符實的結果就導致了天下大亂．而要想解決這個問題，就只能徹底弄清名實之間的辯證關系，弄清每一種事物的概念和定義．可見，弄清定義是多么重要！因此，《幾何原本》一開篇就對點、線、面這種基本的元素做出了定義和說明．那么，什么是點呢？歐幾里得告訴我們：點就是不可分割的最小元素．什么是直線呢？無數(shù)個點沿著相反的兩個方向不斷延伸，無限累積起來就是直線．那什么又是面呢？由直線自身均勻分布的只有長度、寬度而沒有厚度的形狀就是面．看樣子，好像面是由線組成的，線又是由點組成的，那么，這是不是意味著所有的圖形都是由點組成的呢？沒錯，要不然歐幾里得怎么說點是不可分割的最小元素呢！但是，為什么如此復雜的大千世界，卻是由一些微不足道的小點組成的呢？要了解這一點，我們就必須到現(xiàn)場看一看，畫家是怎么畫畫的．我們發(fā)現(xiàn)，只要一個畫家有了高超的繪畫技巧，無論他眼前的世界多么復雜，他都可以通過一支筆、一張紙把它呈現(xiàn)出來．我們知道，當一支筆落在紙面上的時候，就能落下一個點；而當這支筆在紙面上移動，它就可以畫出一條線；當多條線在紙面上相互銜接，就可以組成一個面；而這些面之間再相互組合起來，我們面前的立體世界就一點一點地呈現(xiàn)出來了．這個過程說明什么呢？它恰好證明了，我們的世界本來就是由最基本的點組成的．如果不是這個原因，畫家憑什么能夠通過一支筆和一張紙就把眼前的世界描繪出來了呢？其實，我們可以感受到，點、線、面、體這些元素并非完全獨立．雖然我們手中只有一支筆，但是仍然可以繪制出一切，這又是為什么呢？這是因為，線是由點的運動產(chǎn)生的，而面是由線的組合產(chǎn)生的，同樣把面累積起來就得到了體．如果不是這樣的話，那我們就不能只用一支筆來繪畫了．我們必須用專用的描點筆畫點，勾線筆畫線，再用刷子或者印章來繪制平面，而繪制立體就只能用刻刀了．事實證明沒有這個必要，只需要一支普通的筆就可以做到這一切．而且我們還知道，不僅一張畫的基本元素是點，手機和電腦的屏幕也都是由許許多多發(fā)光點組成的，這些點發(fā)出不同顏色不同亮度的光，它們相互組合起來，就形成了豐富多彩的圖像和視頻．不僅如此，學了物理和化學知識后我們還了解到，世界上所有的物質(zhì)，不管是一顆恒星還是一?；覊m，不管是空氣還是石頭，本來都是由一些極小的點組成的，這些微小的點我們稱為原子，原子理論是古希臘的德謨克利特提出的，但是這一觀點卻是近代才通過科學手段加以證實的．歐幾里得信奉德謨克利特的原子論，所以他才能夠從復雜的世界中抽象出點的概念，這就是幾何學中點的概念的源頭．◎點、線、面里的生活哲學直線是點沿著兩個相反的方向無限延長的結果，因此直線本身是沒有長度的，或者說直線的長度是無限的．但是如果我們在直線上卡住兩點，那么，由于這兩點的位置固定了，所以它們之間的距離也就固定了下來，于是我們就把卡在兩點之間的這段線叫作線段，而把線段的首、尾兩個點，叫作線段的端點．而端點之外的兩部分呢？其中每部分仍然是沿著原來直線的方向無限延長的，這種只有一個端點的線，很像光線發(fā)射出去的軌跡，所以被叫作射線．可見，點既是組成線的基本元素，又是線的端點和邊界．同時，我們還知道，當兩條直線相交的時候，會形成一個交點，而且只有這一個交點．那么，現(xiàn)在問題來了，請問幾何圖形是不是只能描繪一個靜態(tài)的世界呢？如果我們想要描繪動態(tài)的世界，描繪人類的活動，幾何知識是不是就幫不上忙了呢？仔細想想，的確是這個道理：我們要教孩子孝敬父母，就得用語言表達；我們要教別人炒菜做飯，就得拍個視頻演示．點、線、面還真干不了這樣的活兒．嘿嘿，如果你要這么想，那就大錯特錯了．點、線、面能做的最重要的事還真不是通過畫圖，而是通過描繪運動變化，指導人們改變世界！為什么呢？因為幾何圖形中，隱含世界運動的法則，隱含著做人做事的道理．有人可能會問，做人做事和幾何圖形有什么關系呢？接下來我們就一起來分析一下．請問，我們在做事的時候是不是應該按照道理辦呢？那道理中的“道”字又是什么含義呢？“道”難道不是一條線嗎？同樣，我們做人做事，是不是也應該符合規(guī)矩？那么這規(guī)矩又是什么呢？規(guī)矩就是圓規(guī)和直尺，也是繪制幾何圖形的常用工具．所以我們才說，沒有規(guī)矩不成方圓．既然做人做事的道理就是一條線，規(guī)矩就是幾何圖形，那么具體的一件事又是什么呢？世界上發(fā)生的任何一件事，是不是只能發(fā)生在一個時間、一個地點呢？照這樣看來，它就只能是線上的一個點了！很好，我們繼續(xù)往下分析：請問一條線上有幾個點？根據(jù)幾何知識我們知道，一條線上會有無數(shù)多個點．沒錯，但是既然一條線上有很多個點，那么如果我們只遵循一個道理的話，能決定一件事具體該怎么做嗎？別急，讓我們把思路重新整理一下：一個道理就是一條線，一件事就是一個點，一條線上又有無數(shù)個點，那就說明按照一個道理，一件事不可能只有一種做法！以孝敬父母這件事為例：你給父母買點東西叫孝敬父母，我?guī)透改父牲c活叫孝敬父母，他陪父母多聊聊天也叫孝敬父母．同樣，如果把這個道理反過來，能不能說，只要你給父母買東西，就證明你孝順父母呢？或者只要你不陪父母聊天就證明你不孝順呢？當然不能了！為什么？因為孝順父母的方式有很多，你怎么能只看見人家不聊天就說人家不孝順呢？那么，既然道理決定不了一件事怎么做，我們是不是就可以不按道理做事了呢？也不對！雖然一條線上有無數(shù)個點，但是這并不表示我們可以為所欲為，因為還有好多的點不在這條線上．同樣，雖然一個道理不能明確告訴我們該做什么，但它卻可以告訴我們什么是不能做的．比如，一個孝敬父母的人是不能虐待老人的，因此某個人只要虐待老人，就足以證明他是不孝順的人．因為虐待父母這件事不在孝道允許的范圍之內(nèi)，或者說，這個點就不在孝順的這條線上．那么，當我們真的要決定做一件事的時候，又該怎么判斷呢？根據(jù)幾何知識“兩條直線相交只有一個交點”的原理，我們可以知道：雖然一個道理決定不了某件事具體怎么做，但是如果有多個道理存在，我們就可以做出決定了．比如，冬天到了，你要孝敬父母，可以給父母買件羽絨服，這就是由兩個道理、兩個條件共同決定的．這就是說，雖然一個道理不能決定一件事怎么做，但是我們在遇到實際問題的時候，總會遇到兩個道理、三個道理并存的情況，因此我們就可以做出決定了．同樣，兩點確定一條直線的道理告訴我們：當我們判斷一個人的時候，不要過早地下結論，我們既不能因為一個人做錯了一件事就徹底否定他，也不能因為一個人做了一件好事就全面肯定他，只有經(jīng)過多次觀察，才能全面了解一個人的品性．但是社會上的很多人，就是不懂得這個道理，他們會死抱著一個道理不放，比如，買了日本品牌的車就是不愛國；你不送我禮物就是對我不好．他們看不見這個世界上還有其他的道理，不懂得要多個道理才能決定一件事具體該怎么做．我們把這種行為叫作一竿子打翻一船人！這一根竿子不就是一根線嗎？你手里拿著一根線一劃拉，不就形成了一個面嗎？所以我們才說這種人說話辦事不動腦子，你這一句話說出來，打擊面太大了．瞧見沒有，這里的打擊面，是不是就是那一竿子瞎劃拉出來的呢？以上，就是點、線、面教給我們的做人、做事的道理．不過必須要說明的是，我們今天的這些結論，同樣只是借助類比的方法分析了人類的社會活動，應該說這并不是一套嚴格的證明過程，所以不能生搬硬套地使用．難道這幾何知識只能通過類比的方法來指導人類社會嗎？當然不是，現(xiàn)代的經(jīng)濟學就可以把人類活動變成一些經(jīng)濟指標，再通過數(shù)學解析，把它變成幾何圖形．關于這部分內(nèi)容要到解析幾何的部分才能講述，這里只做一個大概的類比．在實際生活中，還必須結合實際情況，具體問題具體分析．◎幾何學的5條公理在我整理的所有初中數(shù)學的課程當中，幾何學的知識架構是我認為最難講的．為什么呢？因為幾何學的知識是渾然一體的，要對這門學問做出絕對科學嚴謹而又完美的分類，幾乎是不可能的．這并不是說幾何知識不能分類，而是它的分類方法實在是太多了，具體的分類方式至少有十幾種，而且還沒有哪一種方案是絕對完美的．以一個最簡單的問題為例：把平行四邊形、長方形、正方形、菱形這四個幾何圖形做個分類．可以按直角分類，把長方形和正方形分一組；還可以按照等邊分類，把正方形和菱形分一組．盡管我們可以按照現(xiàn)行教科書的分類方法，把長方形和菱形都歸屬到平行四邊形中，但這樣一來我們就發(fā)現(xiàn)，無論把正方形歸屬到長方形那邊還是歸屬到菱形這邊都不是太合適．別急，我的分類方法還沒完呢？我可以認為一切圖形都是由正方形變化得到的：長方形是正方形水平拉長以后的結果；菱形是正方形傾斜扭轉(zhuǎn)以后的結果；平行四邊形呢，又是長方形傾斜后的結果．雖然分類方法如此眾多，但是卻沒有任何一種分類方法是完美無缺的．這才僅僅4個圖形就讓人如此暈頭轉(zhuǎn)向，《幾何原本》中有400多個定理呢！誰能告訴我，應該怎么分類才最合適？沒辦法，因為幾何學原本就是一個整體，而分類就意味著要把很多知識割裂開來看待．那么，歐幾里得的《幾何原本》是按照什么方式敘述的呢？它基本上是按照這些命題之間的依賴關系敘述的，先講簡單的命題，再講復雜的命題，同時兼顧一下不同的形狀．中學教科書中則完全是按照幾何圖形分類的：先講平行線，而后是三角形、四邊形、圓形．這樣的分類方法是嚴謹?shù)?、循序漸進的，這種方式不但符合做學問的需要，也適應教學和考試的要求．但它的缺點也很明顯，那就是枯燥乏味．我深知，沒有多少人有耐心能夠從頭到尾地把《幾何原本》讀完．那么，與之相對的另一個思路，就是完全實用化的思路，我可以分別講看圖和作圖，分別講求長度、求面積、求體積的方法，然后再講一些日常生活和工作的例子．但是，如果這樣講述，我就把一本《幾何原本》，硬生生地講成了《九章算術》．如此，不但幾何學中的美感蕩然無存，而且也絲毫不能提升學生的邏輯推理能力．怎么樣把學術性和實用性結合起來，怎么樣使課程編排兼具知識性和趣味性，怎么樣讓孩子愛上數(shù)學，這才是我的最終目的．我絞盡腦汁地思來想去，最終決定：不做嚴格的分類！這也算無招勝有招吧．我的具體思路是這樣的：我要從《幾何原本》的幾個公理和公設出發(fā)，從人類最早使用幾何學的起點出發(fā)，沿著歷史一路走來，一邊解決具體問題，一邊把這些幾何定理重新發(fā)現(xiàn)一遍，再在中間穿插一些解題思路，最后再講一些現(xiàn)代生活中的具體應用．應該說，這個思路是沒有什么章法可言的，但是我認為這樣講是合適的，因為代數(shù)知識就像一座莊嚴的宮殿，欣賞代數(shù)的美就得站得高高的，從上至下宏觀地看待；幾何知識就像一座瑰麗奇妙的蘇州園林，只要能夠身臨其境，無論從哪個角度看，我們都能發(fā)現(xiàn)它獨特的美．而如果看幾何知識像欣賞代數(shù)一樣，只是站在高高的位置上看一張平面圖，就感受不到幾何應有的美感和趣味了．因此，在后續(xù)的幾何學課程中，我會徐徐展開人類歷史的畫卷，像講故事一樣把幾何的定理的始末緣由娓娓道來．那么，現(xiàn)在就讓我們回到5000年前的古埃及，面對剛剛被尼羅河水沖刷得一干二凈的廣袤原野，我們拿著手中的繩子，準備重新把土地分給大家．當面對一望無際的原野時，我們首先應該想到的，不是歐幾里得的幾條定義和公理，而是一個更基礎的問題，什么叫面積？歐幾里得沒有給出面積的定義，我們得自己找！我們知道，平分土地的目的是耕種，那么簡單地說，所謂面積相等，就是說兩塊土地里能夠種下的糧食一樣多．因為種糧食的時候，種子都是按照行列的方式播種的，所以，我們就可以按照植株的行列數(shù)的乘積來衡量一塊土地的大?。驗橥恋厥且粋€平面，又因為它需要長、寬的乘積來計算大小，所以我們就把長、寬的乘積叫作土地的面積．那么，如何判斷土地面積是否相等呢？最直接的辦法就是種好莊稼看一看，如果種的植株一樣多，那就是一樣的．可惜這樣的辦法行不通，因為我們不能在分土地之前種莊稼，而且植株的距離可能會稍微有點差別，以它為基準是不精確的．那么，如何判斷面積是否相等呢？最簡單的方法就是：如果兩塊土地的形狀大小完全一樣，我們就可以認為它們的面積是相等的．但什么叫完全一樣呢？如果我們能夠把一塊土地搬起來，挪到另一塊土地上，兩塊土地能夠嚴絲合縫地相互重疊，那我們就認為這兩塊土地的大小是完全相等的．沒錯，相互重合的兩個圖形全等，這就是第一條最基本最重要的公理．可問題在于，土地是搬不動的，那怎么辦？很簡單，我們可以把一塊巨大的牛皮蒙在這塊土地上，把它裁剪成這塊土地的形狀，按照牛皮的大小形狀重新劃出一塊土地，那么這兩塊土地的形狀肯定也是一樣的．不錯，這就是第二條公理：與同一個物體（這里是牛皮）相等的兩個物體彼此也相等，在代數(shù)里我們曾經(jīng)學過等式的傳遞性，它在幾何學里就是第二公理．可是，土地太大了，一張牛皮蒙不下，怎么辦？用幾張牛皮合起來也是一樣的，這就是第三條公理：整體等于部分之和．那么，如果幾張牛皮也不能把整塊土地蓋住，我們可不可以用這幾張牛皮覆蓋兩次呢？第一次都覆蓋住一部分土地，然后，挪到另一個地方再根據(jù)牛皮的樣式劃出同樣的一塊土地；而后再來一次，把土地的另一部分也這樣挪動過來，聽起來也是可以的，因為兩次規(guī)劃的土地分別等于原來的土地的一部分，所以它們的和應該也是相等的．等量加等量和相等，等量減等量差也相等，這又是兩條獨立的公理．于是，歐幾里得的5條公理，\h\h(1)\h全部都在這里了：（1）相互覆蓋的圖形是全等的；（2）與同一事物相等的兩個事物彼此也相等；（3）整體等于部分之和；（4）等量加等量，和相等；（5）等量減等量，差相等．其實，看了這5條公理，我倒覺得歐幾里得挺笨的，他只算了等量的加減，沒有關心等量的乘除，而且他應該把這幾條公理合并成一條，那就是：任何等量經(jīng)過相同的變化以后結果仍然相等．這句話看起來很眼熟，這又是什么呢？它就是我們學過的等式的協(xié)變性！不錯，這就是《幾何原本》的5條基本公理告訴我們的一切．簡單來說，它告訴了我們什么是相等，以及等式的傳遞性和協(xié)變性．當古埃及人拿著牛皮在地面上忙得不亦樂乎的時候，忽然有一個智者哈哈大笑了起來：“你們可真笨，為什么非要用整張牛皮覆蓋住這些土地呢？”那么，關于平分土地，他又有哪些更好的辦法呢？\h(1)編者注：歐幾里得在《幾何原本》中得出的5條公理原文如下：

（1）等于同量的量彼此相等；

（2）等量加等量，其和仍相等；

（3）等量減等量，其差仍相等；

（4）彼此能夠重合的物體是全等的；

（5）整體大于部分．

為了便于理解，作者在本書中對順序進行了調(diào)整，并對內(nèi)容進行微調(diào)，書中第（3）條“整體等于部分之和”為原文第（5）條的延伸．四初窺幾何證明◎解決直角的牛皮：角度和垂直古埃及人開始用牛皮覆蓋住地面的方式來平分土地，可是有一位智者發(fā)出了不同的聲音：我們?yōu)槭裁捶且谜麖埮Ｆぐ训孛嫔w住呢？要想讓土地的面積相等，只需要長、寬分別相等就行了．我們完全可以把牛皮搓成牛皮繩，直接用4根牛皮繩圍著土地的邊緣轉(zhuǎn)一圈，把4條邊的長度都用繩子記錄下來，不就可以了嗎？大家一想：好像也對，于是很快就都學會了這種新辦法，這樣一來就省得折騰那么多張牛皮了，分地的效率也大大提高了！事實上也沒有那么多塊牛皮可以用，現(xiàn)在我可以告訴你，用整張牛皮蒙住地面的辦法壓根就沒有發(fā)生過．這只是為了講清楚歐幾里得的5條公理虛構出來的故事而已．但是，我們剛才提到的用繩子分別測量邊長的辦法，可是一直在古埃及流行了好多好多年的．盡管這種辦法是錯誤的！它的問題在于：只用繩子量取了土地的四邊長度，并不能保證土地的形狀是完全一樣的，如果這塊土地不是長方形的，換句話說，如果長邊、寬邊不是完全垂直的，那么用這種辦法得到的圖形，它就不是完全相等的．我們在小學的時候?qū)W過，長方形的面積等于長乘寬，但是平行四邊形的面積，可不等于長乘寬，而是等于長乘高．可是古代埃及人，他們并不懂得這個道理．同時我要說明的是，如果平行四邊形只是傾斜了一點點，它的面積和長方形的面積差得并不多．比如，當平行四邊形的一個角度是80度時，看上去傾斜度就很大了，但是它的面積和斜邊為寬度的長方形差距卻不到2％．這一點微弱的差別很容易被忽略，所以在相當長的時間內(nèi)，古埃及人沒有發(fā)現(xiàn)這種方式存在的問題．然而，歷史在發(fā)展，人類在進步，隨著測量精度的不斷提高，他們就慢慢感覺出來了，雖然長寬一樣，但是這個傾斜著的土地它好像就是不如長方形的地種出來的糧食多．于是，大家都不愿意要平行四邊形的土地了，大家都希望能把土地分割得方方正正的．可問題是，要想把土地分割成長方形，我們就得保證土地的4個角都是直角．那么新的問題來了，我們用牛皮和繩子，怎么樣才能做出完美的直角呢？這時，又有一個人發(fā)明了一個好辦法：首先他把一張牛皮上下對折一下，于是就會在牛皮上折出一條直線的折痕來，然后他再把這張牛皮左右對折一下，對折的時候把原來折的那條水平線對齊了，這樣就又折出一條新的折痕來．（如圖4－1）經(jīng)常玩折紙的人，應該很容易理解我的意思，其實就是通過兩條折痕，在白紙上折出一個十字來．現(xiàn)在就好辦了，這個十字中的任何一個角都是直角了．這種操作本身很簡單，大家很容易掌握，可是我要問：為什么通過這種辦法得到的角就是直角呢？其中的關鍵在于，我們在折牛皮的時候，是把前面的那條折痕對齊了的，既然是對齊了，那就說明折出來的兩個角是相等的，在此過程中我們利用的是幾何學的第一公理：相互覆蓋的兩個東西相等．那么，這兩個相等的角又分別是多少呢？由于這兩個角的角度加起來是一個平角，所以它們的大小就是平角的一半，180度的一半是90度，所以它們當然就都是直角了．在這個過程當中，我們可以發(fā)現(xiàn)，任何一張牛皮、任何一張紙，只要是按照這種辦法對齊了折兩次，他們得到的角都是直角，角的度數(shù)也都是一樣的．這就是歐幾里得的第一個重要的公設：凡是直角都相等！\h\h(1)\h圖4－1不過古埃及人可不懂這么多，它們只知道靠著折疊牛皮的辦法，就可以快速得到直角了，然后只要帶有十字折痕的牛皮，往地上一扔，只要土地的長、寬兩條邊和十字對齊了，那就說明這個土地是方的．這塊牛皮好不容易被細繩取代了，但因為要解決直角的問題，它又重新走回來了，看來分土地還是離不開牛皮的幫助．古埃及人可以不管直角是什么，但是我們卻不能不管，現(xiàn)在我們需要繼續(xù)研究幾何問題：直角的定義是什么？除了直角之外，還有哪些角？小學的時候我們就學過，角是射線圍著它的端點轉(zhuǎn)出來的結果．如果這條射線轉(zhuǎn)了一整圈，那就是360度，叫作周角；如果只轉(zhuǎn)了半圈，就形成了一條直線，這樣的角度是周角的一半，因此就是180度，180度的角叫作平角．平角的一半就是90度，90度的角就叫直角．但是，我們之前說過，幾何學是沒有數(shù)字的數(shù)學，因此，我們不能通過90度來定義直角，那應該怎么表達呢？歐幾里得的定義是：當兩條直線相交時，如果相交所得的兩個鄰角相等，那么它們兩個就都是直角．很明顯，他是通過平角的一半定義直角的．同時他還指出：成直角的兩條直線相互垂直，其中任意一條都叫作另一條的垂線．那么，如果這個角度小于直角呢？就叫作銳角．為什么叫銳角？因為這個角度看起來比較尖，比較銳利．反之，如果這個角度大于直角，就叫作鈍角．這些知識都是我們小學的時候就掌握了的，現(xiàn)在新的問題來了，兩條直線相交以后會產(chǎn)生4個角，這些角之間有什么關系呢？如圖4－2所示，AB和CD兩條直線相交，產(chǎn)生了一個X形：其中上下的兩個角∠1和∠3共用了同一個頂點，還共用了兩條直線，這個狀態(tài)看起來是針鋒相對的，就像兩個牛犄角對著頂在了一起，所以我們就把這對角叫作對頂角．同樣，左右兩邊的∠2和∠4也是對頂角．只要是共用一個頂點，共用兩條線的一對角都叫對頂角．那么，像∠1和∠2這樣緊挨在一起的又是什么關系呢？由于∠1和∠2是一條直線被另一條直線裁成兩半了，又因為它們兩個彼此緊鄰著，所以我們就把這樣的一對角叫作鄰補角．因為可以拼成一個平角，所以兩個鄰補角之和等于180度．圖4－2這個鄰補角等于180度很容易理解，那么對頂角∠1和∠3是什么關系呢？憑直覺我們都能想到，這兩個角肯定是相等的關系．但是為什么兩條直線相交以后，產(chǎn)生的對頂角就一定是相等的呢？◎世界上第一個幾何證明：對頂角相等根據(jù)我們的直覺，兩個針鋒相對的對頂角，它們的大小應該是相等的，但是為什么這兩個角會相等呢？有人說，這很簡單，我們有幾何學的第一公理，只要把這兩個角度折過來相互覆蓋一下不就知道了嗎？我們還可以用剪刀把一個角剪下來，和另一個角拼合在一起，如果這兩個角相互覆蓋，就是相等的呀！沒錯，你提出的這種方法確實能證明這兩個角是相等的．但我要讓你證明的是：世界上所有的對頂角都是相等的．這又該怎么證明呢？瞧見沒有，有意思的事兒來了，我們可以肯定的是，無論你在紙上畫出多少個對頂角來，你都可以通過測量或者通過剪切的方式證明它們是相等的．但問題是，世界上有無數(shù)對的對頂角，你要經(jīng)過多少次的驗證，才能證明世界上所有的對頂角都是相等的呢？凡是直角都相等，這已經(jīng)是一個無須證明的公設了．那么，對頂角相等也是一個無須證明的公理嗎？因為，對頂角相等看起來也是簡單直白的．而且我們還可以通過圖4－3物理模擬的方法來體驗一下對頂角的變化：圖4－3我們在兩根棍子中間釘上個釘子，用這個活動的十字架來模擬一下兩條直線相交的效果．做好了以后，我們可以按住一根棍子不動，慢慢轉(zhuǎn)動另一根棍子，于是我們就會發(fā)現(xiàn)，這兩根棍子之間的兩對對頂角要么一起增大，要么一起減小．開始轉(zhuǎn)動時，兩根棍子是重合的，我們也可以認為兩根棍子的夾角是0度；當兩根棍子慢慢轉(zhuǎn)動到垂直的時候呢，角度都變成了90度；然后我們繼續(xù)轉(zhuǎn)動，等兩根棍子再次重合的時候，我們又可以認為角度變成了180度．可見，無論角度具體是多少，反正這對頂著的兩個角，就應該是相等的．那么，我們是否可以因此判定世界上所有對頂角都相等呢？不能！為什么呀？因為，剛才通過兩根棍子模擬兩直線相交的時候，沒有使用任何的公理和公設．這個效果模擬得再好，也只能作為一個類比，而不是一個嚴謹?shù)倪壿嬜C明．要想證明世界上所有的對頂角相等，只能從原來的幾條公理中把它推導出來．那么，對頂角相等又該怎么證明呢？如圖4－2所示，在AB、CD相交形成的X形中，上下兩個角∠1和∠3，是一對對頂角；左右兩個角∠2和∠4，也是一對對頂角．要想證明對頂角相等，就必須找到支撐這個結論的已知條件和已有的公理定理．那我們就得好好看一看，在這個兩直線相交形成的X形上，還有哪些條件與此問題有關，同時再認真想一想，我們已經(jīng)學過的那些公理之中，有沒有哪個公理是和對頂角有關系的．現(xiàn)在我們就來尋找一下相關的條件．因為對頂角相等是我們要證明的結論，所以在找尋已知條件的時候我們就要先從其他角度找起，因為我們現(xiàn)在并不知道對頂角是什么關系，所以上下的∠1和∠3就先不看了，我們看看上邊的∠1和左邊的∠4是什么關系？顯然，它們是一對鄰補角．因為它們相當于直線CD被直線AB切分開了，所以∠1和∠4相加肯定等于一個平角．我們接著再往下看，下邊的∠3和左邊的∠4是什么關系呢？也是一對鄰補角，∠3和∠4拼合起來以后，就是從左上到右下的直線AB，因此∠3和∠4相加也等于一個平角．現(xiàn)在就有意思了，左邊的∠4和上、下兩個角都有關系，它和上邊的∠1是鄰補角，相加等于一個平角，和下邊的∠3相加也是一個平角．∠4分別加上∠3和∠1以后，都等于平角，那是不是說明∠3和∠1是相等的呢？不對！因為公理里頭沒有這么一條．公理里頭說的是等量加等量和相等，并沒有說如果等量加上不同的兩個東西以后相等，這兩個東西也就相等．那怎么辦？我們可以把等式變個形，左邊∠4加上邊的∠1等于平角，是不是也可以寫成∠1＝平角－∠4呢？同理，左邊的∠4加下邊的∠3等于平角，也可以寫作∠3＝平角－∠4，∠1和∠3都等于平角減∠4，這符合哪條公理呢？等量減等量差相等．于是我們就知道了，上下兩個角一定是相等的．對頂角相等被證明了嗎？沒有，以上只是我們的思路，接下來，我們就寫出第一個嚴格的證明過程：∵∠1＋∠4＝∠COD＝180°，∴∠1＝180°－∠4．∵∠3＋∠4＝∠AOB＝180°，∴∠3＝180°－∠4．又∵∠1＝180°－∠4（已證），∴∠1＝∠3．以上就是一個幾何定理的完整的證明過程．在這個過程中，我們所有的根據(jù)都是來源于基本的公理，推理過程的先后順序也是嚴密的、無懈可擊的．你別看這個過程很簡單，這可是數(shù)學家泰勒斯在公元前7世紀才證明了的．在此之前，沒有任何人知道為什么對頂角是相等的．通過這個嚴謹?shù)淖C明過程，我們可以感受到古希臘數(shù)學家那種一絲不茍的精神．以后我們在做證明題的時候，也要時刻提醒自己，每一步的根據(jù)是什么，不能無中生有地編造一個定理，也不能在證明過程中跳過幾個步驟，即使這些步驟是顯而易見的，也必須一條一條地給出詳細說明．這時候，也可能會有人提出質(zhì)疑，人家讓你證明世界上所有的對頂角相等，你不也只是證明了紙上畫的一對對頂角嗎？證明過程的精妙就在這里了，雖然我在紙上只是畫了一個圖，但是因為我沒有說自己畫的角的大小是多少，因此，我所證明的不僅是我畫的這一張圖，這一對角．在圖中我們用到的所有條件，都是世界上任何一組對頂角擁有的基本條件，因此雖然我證明的是一對對頂角相等，但它們可以代表世界上所有的對頂角都相等．這就是沒有數(shù)字的數(shù)學，這就是我們在不知道角度是多少的條件下，仍然可以知道兩個角是相等的．如果我們不用這種邏輯證明，而采用量角器測量或者采用覆蓋法驗證，那就只能驗證某兩個具體的角是相等的，而無法證明世界上所有的對頂角都相等．可能也有人會說，對頂角相等這么明白的事實，即使不用證明，我們心里也是清楚的．還真不是這樣．要知道，從最基本的公理出發(fā)，僅僅是定理就400多個，從這400多個定理再次出發(fā)，間接證明的現(xiàn)象何止幾千幾萬，而要想讓那些看起來不是很直觀的定理得到證明，就必須在這些看起來很明白的定理上下足功夫．這叫不積跬步，無以至千里．◎讓數(shù)學家頭疼了2000多年的問題：平行公理有一個讓數(shù)學家們頭疼了2000多年的一個問題：平行！我們小學時就學過畫平行線，為什么平行還會讓人頭疼呢？因為平行是所有定義中最難說清的．《幾何原本》上的定義是：在同一平面上，永不相交的兩條直線就叫作平行直線．這句話聽起來還是可以理解的，因為直線是無限長的，如果這兩條直線不平行，只要它們不斷地延長下去，間距肯定會不斷地收緊變窄，最后一定會相交．所以我們說，同一平面內(nèi)，不相交的線是平行線．然而，難點是我怎么知道兩條直線是平行的呢？難道真的要把兩條直線無限地延長嗎？如果這兩條直線只是非常接近于平行，我們就得延長到宇宙的另一頭才能看到它們相交，那不累死了呀！因此，我們只能通過別的辦法判定．什么辦法？歐幾里得給出的辦法是：讓這兩條直線和第三條直線相交．如果相交以后，在同一側(cè)內(nèi)的兩個角加起來等于180度，這兩條直線就平行．這就是《幾何原本》的最后一條公設——第五公設的等價命題．到現(xiàn)在，我們已經(jīng)把歐幾里得的五條公設全部說清楚了：第一，兩點之間只能畫一條直線，簡稱兩點定線；第二，直線無限長；第三，給定半徑和圓心可以畫個圓；第四，所有的直角都相等；第五，兩直線被第三條直線所截，如果相交在同一側(cè)的兩個內(nèi)角相加等于平角，這兩條直線就是相互平行的．\h\h(2)\h和前幾條公設相比，第五條的描述太復雜了，所以這也是最讓人頭疼的一條公設．第五公設之所以讓人頭疼，就是因為它不太直觀，于是很多數(shù)學家就想辦法把它從公設里頭剔除掉，如果能夠通過其他的公理把它給證明了，把它降級為一個定理就更好了．可惜的是，2000多年過去了，沒有任何人取得成功．不但沒人成功，反而有人證明了第五公設不可能通過別的公理證明！而且還有人陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了不遵循第五公設的新的幾何學，關于第五公設有意思的故事有很多，即使講一天也講不完，所以我們就不展開討論了．目前我們學的還是歐氏幾何，所以我們只能先把它當作一個公設給記住了．接下來，我們就研究一下兩條平行線被第三條直線所截的情況．我們知道，兩條直線相交可以產(chǎn)生四個角，那么如果兩條平行直線被第三條直線所截就會有兩個交點，產(chǎn)生八個角，如圖4－4所示．我們的故事就從這三條線和八個角的關系開始了．圖4－4兩條相互平行的水平直線被一條斜線所截后，產(chǎn)生了從∠1到∠8的八個角，圖中∠4和∠6的關系就是第五公設所說的，在截線同一側(cè)的兩個內(nèi)角，因為它們都在截線的右側(cè)，而且在平行線的內(nèi)側(cè)，所以它們兩者之間的關系叫作同旁內(nèi)角．當然，在它們對面的∠3和∠5也是一對同旁內(nèi)角，因為它們同在截線的左側(cè)，并且也在平行線的內(nèi)側(cè)．根據(jù)第五公設，我們可以推導出：如果兩直線平行，同旁內(nèi)角相加就等于180度．同旁內(nèi)角相加等于180度就能證明兩直線平行，簡稱同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．這就是平行線的判定定理．同理，既然這種方法能夠判定平行了，那么是不是說兩條直線平行，它產(chǎn)生的同旁內(nèi)角就一定互補呢？沒錯！兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，這也是一條定理，叫平行線的性質(zhì)定理．性質(zhì)定理和判定定理有什么區(qū)別？性質(zhì)定理是在已經(jīng)知道這兩條直線平行的條件下，可以由此得出哪些角的關系；而判定定理是說，在不知道這兩條直線平行的情況下，應該通過什么條件才能判斷兩條直線平行．那么，是不是只要把判定定理反過來就可以得到性質(zhì)定理呢，是的！比如，四個角是直角就可以判斷一個四邊形是長方形．那反過來長方形肯定是四個角相等的．但是，性質(zhì)定理反過來能得到判定定理嗎？這就不一定了，因為圖形的性質(zhì)不止一個，比如正方形的性質(zhì)既有四條邊相等，也包含四個角相等．我們不能根據(jù)其中的一個條件就判定某個圖形一定是正方形！好了，接下來我們繼續(xù)討論平行的問題．在一個相對復雜的圖形上，如何快速找出同旁內(nèi)角呢？我們可以借助圖4－5中的字母或者漢字的幫助學習一下．圖4－5在大寫的英文字母“E”中，由于有上下兩組平行線存在，因此我們至少可以找到三組同旁內(nèi)角：“E”字圖中的∠1和∠2，∠3和∠4，以及∠1和∠4，都是同旁內(nèi)角的關系；同樣，在漢字“山”字形的內(nèi)部，也有著同樣的三組同旁內(nèi)角．由于我們心中對這些常用字母和漢字有著非常深刻的印象，因此，在面對一個復雜圖形的時候，可以利用這些符號快速捕捉到圖形的特征．說完了字母“E”和漢字“山”，我們再說說字母“F”．在一個大寫的“F”中，同樣存在水平的兩條平行線被一條斜線截斷的情況．在“F”中，兩條水平線中間的∠1和∠2，仍然是同旁內(nèi)角的關系，兩者之和仍然是180度，但是，在“F”中下面的∠3和上面的∠1又有什么關