學(xué)好數(shù)學(xué)并不難（幾何）

學(xué)好數(shù)學(xué)并不難幾何目錄\h一致家長(zhǎng)：當(dāng)孩子學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)的是什么\h◎數(shù)學(xué)，學(xué)的是情商和智商\h◎永遠(yuǎn)不要直接教孩子做題\h◎知難而喜：培養(yǎng)孩子獨(dú)立解決問題的能力\h二奇妙的幾何學(xué)\h◎沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)\h◎一根細(xì)線量土地\h◎?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)就是構(gòu)建邏輯思維體系\h三世界就是點(diǎn)、線、面\h◎點(diǎn)、線、面到底是什么\h◎點(diǎn)、線、面里的生活哲學(xué)\h◎幾何學(xué)的5條公理\h四初窺幾何證明\h◎解決直角的牛皮：角度和垂直\h◎世界上第一個(gè)幾何證明：對(duì)頂角相等\h◎讓數(shù)學(xué)家頭疼了2000多年的問題：平行公理\h◎讓分土地的工作大大簡(jiǎn)化：平行線的證明\h五從分土地開始\h◎分土地，先關(guān)注三角形的內(nèi)角和外角\h◎著名的三線合一定理\h◎一個(gè)誰都明白的道理：兩點(diǎn)之間直線段最短\h◎用復(fù)雜的過程證明簡(jiǎn)單的道理\h◎三角形全等，該怎么證明\h六尺規(guī)作圖\h◎擺脫牛皮的束縛，自由平分土地：中垂線\h◎幾何圖形和加減乘除的關(guān)系\h◎角平分線\h◎用尺規(guī)作圖解決生活中的問題\h七任意土地的平分\h◎平行線間的距離和任意形狀的面積問題\h◎面積定理：掌握世界上所有圖形的變換方法\h◎保持面積相等的轉(zhuǎn)換規(guī)律：角邊角判定定理\h八幾何證明的思路\h◎雙向思考：任何一種固定的解題思路都是靠不住的\h◎動(dòng)態(tài)看圖：迅速找到核心內(nèi)容\h九圖形縮放\h◎相似定理，你必須知道這三點(diǎn)\h◎判斷相似三角形的三個(gè)條件\h◎尺規(guī)作圖之乘除法\h十圓\h◎圓和角的關(guān)系和幾何學(xué)的三大難題\h◎圓和直線的關(guān)系\h◎幾何作圖之乘方開方\h十一解析幾何基礎(chǔ)\h◎從幾何學(xué)開始，重新認(rèn)識(shí)世界\h◎一只蜘蛛引出解析幾何的發(fā)現(xiàn)\h◎平面直角坐標(biāo)系\h十二函數(shù)圖像\h◎函數(shù)到底是什么\h◎函數(shù)就是加減乘除\h◎線性函數(shù)：通過解析幾何解決實(shí)際問題的方法\h◎線性函數(shù)的應(yīng)用：代數(shù)問題和幾何問題\h十三二次函數(shù)\h◎勾股定理：代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)的巧妙結(jié)合\h◎二次函數(shù)曲線：解析幾何能提供哪些幫助\h◎拋物線的移動(dòng)\h十四函數(shù)變換\h◎函數(shù)的加減法\h◎函數(shù)變換的本質(zhì)：各自發(fā)生毫無影響的自然規(guī)律\h◎函數(shù)的乘法和燈塔背后豐富的世界\h十五最后的總結(jié)\h◎讓數(shù)據(jù)告訴我們宇宙的過去和未來\h◎數(shù)學(xué)是這個(gè)世界的普遍真理嗎一致家長(zhǎng)：當(dāng)孩子學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)的是什么◎數(shù)學(xué)，學(xué)的是情商和智商現(xiàn)在全國(guó)每年有1500多萬個(gè)孩子升入初中，這些孩子分布于全國(guó)各地，他們有著各自不同的家庭環(huán)境，家長(zhǎng)對(duì)孩子的關(guān)注點(diǎn)也不盡相同．除了關(guān)心孩子的身體健康之外，有人關(guān)注孩子的綜合素質(zhì)，關(guān)注孩子的能力；有人關(guān)注孩子的考試成績(jī)，關(guān)注孩子的分?jǐn)?shù)；有人更關(guān)注孩子的生活，關(guān)心孩子的情感，關(guān)心孩子是不是每一天都幸福快樂．這些都體現(xiàn)著家長(zhǎng)對(duì)孩子無微不至的關(guān)愛，但無論家長(zhǎng)關(guān)注什么，都必須重視孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．首先，如果家長(zhǎng)關(guān)注孩子的能力，那么家長(zhǎng)需要知道，孩子在大部分課程中學(xué)的都是知識(shí)，只有兩門課程直接對(duì)應(yīng)著孩子的能力．第一就是語文，它對(duì)應(yīng)著孩子的溝通表達(dá)能力；第二就是數(shù)學(xué)，它對(duì)應(yīng)著孩子的邏輯推理能力、分析判斷能力．無論是在工作中還是在生活中，我們無時(shí)無刻不需要作出自己的分析判斷，面對(duì)同時(shí)要做的兩件事情我們?cè)趺催x擇？選擇好后，具體目標(biāo)怎么確定？定好了目標(biāo)，用什么方式去做？選擇哪些伙伴？需要哪些外部資源？……所有的一切都需要分析判斷．有人說，不對(duì)吧，我們作分析判斷的時(shí)候，用的都是相關(guān)專業(yè)的具體知識(shí)．不錯(cuò)，我們作出任何一個(gè)判斷的時(shí)候，都需要相關(guān)知識(shí)的幫助，但是只有具備良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)、良好的邏輯推理能力，我們才能輕松駕馭這些知識(shí)．為什么數(shù)學(xué)這么重要呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅僅是知識(shí)，更是承載所有其他知識(shí)的框架．其次，如果家長(zhǎng)關(guān)注的只是孩子的分?jǐn)?shù)．那么家長(zhǎng)需要知道，數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)具有復(fù)雜嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有高度的延續(xù)性．孩子在學(xué)習(xí)歷史、地理、生物、政治這些學(xué)科的時(shí)候，如果中間間斷了兩個(gè)月沒有學(xué)習(xí)，幾乎不會(huì)影響他對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)：唐朝的歷史沒學(xué)好，不會(huì)阻礙他學(xué)習(xí)明朝的歷史；初中的時(shí)候沒有學(xué)習(xí)地理，絲毫不影響他工作以后再學(xué)習(xí)地理．但是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)情況卻不是這樣，如果孩子沒有學(xué)會(huì)多項(xiàng)式的乘法，他不可能學(xué)會(huì)因式分解，更不可能學(xué)會(huì)二次方程．因此在初中階段，一個(gè)孩子學(xué)習(xí)歷史、地理、生物、政治等課程的時(shí)候，可能長(zhǎng)期保持七八十分的水平．但是，沒有人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候能夠長(zhǎng)期保持這樣的水平，如果孩子在初一的時(shí)候只能考七八十分，那么初二就是五六十分，初三就是三四十分．如果初中的時(shí)候，孩子沒有好好利用自己的時(shí)間，系統(tǒng)地掌握這門課程，恐怕他以后很難有機(jī)會(huì)完整地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了．最后，如果家長(zhǎng)關(guān)注孩子的生活，關(guān)心孩子是否快樂，那我要告訴家長(zhǎng)，初中數(shù)學(xué)和我們平時(shí)的生活有著非常密切的聯(lián)系，它是一門非常實(shí)用的學(xué)科．關(guān)于這一點(diǎn)，恐怕大多數(shù)家長(zhǎng)都很難認(rèn)同，這些家長(zhǎng)認(rèn)為，我們平常在生活和工作中用到的數(shù)學(xué)只不過是小學(xué)的四則運(yùn)算，初中的代數(shù)、幾何好像從來都沒有用到過．因?yàn)楹苌儆玫?，所以大部分家長(zhǎng)早已把這部分知識(shí)忘得差不多了．但也正因如此，我才更需要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性．我的“學(xué)好教學(xué)并不難”這個(gè)系列課程，會(huì)涉及大量的工作生活中的實(shí)際問題，學(xué)了以后你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來那些看起來不是數(shù)學(xué)問題的問題，背后隱藏的都是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律．現(xiàn)在社會(huì)上普遍存在這樣一種觀點(diǎn)，情商比智商更重要，只要孩子的情商高，在社會(huì)上到處都會(huì)有朋友，遇到任何難題都會(huì)有人幫忙，甚至不用自己去做什么，就會(huì)有人幫忙解決問題．的確，我們無法否認(rèn)情商的重要，更不能否認(rèn)朋友的重要．然而，我們要知道的是：人類最大的無知不在于你不知道什么，而在于你不知道自己不知道什么！這句話說起來有點(diǎn)繞，但蘊(yùn)含的道理卻非常簡(jiǎn)單，那就是：我們普遍缺乏的是發(fā)現(xiàn)問題的能力．在實(shí)際生活中，我們?cè)谟龅絾栴}的時(shí)候，往往會(huì)根據(jù)常識(shí)、習(xí)慣作出判斷（而有時(shí)這樣作出的判斷是錯(cuò)誤的），我們會(huì)誤以為自己知道問題的答案，誤以為自己沒有遇到問題．對(duì)于一個(gè)不知道自己無知的人，就算有再多的朋友，也幫不上什么忙．從平常的生活常識(shí)到頂級(jí)的科學(xué)難題，最難的都是發(fā)現(xiàn)問題！我們先以科學(xué)問題為例：人類在月光之下生活幾十萬年了，我們什么時(shí)候問過自己，月亮為什么不掉下來呢？從來沒有人這樣問過自己，直到牛頓發(fā)出這樣的疑問（并且很快他就找到了答案）．所以，發(fā)現(xiàn)問題要比解決問題難得多．接下來我們?cè)僖陨瞵嵤聻槔骸罢?qǐng)問你的手機(jī)圖標(biāo)該不該分類？”“你的衣服應(yīng)該怎么洗？”“你出去玩的時(shí)間怎么安排？”“你賣東西價(jià)格怎么定呢？”甚至是“孩子挨打了該不該還手呀？”關(guān)于這些問題，很多人會(huì)不假思考地給出一個(gè)答案．但是，我要告訴你，這些都是數(shù)學(xué)問題，只是你不知道自己不知道而已．情商高，可以幫助一個(gè)智商高的孩子取得更大的成就，但情商高不能幫助一個(gè)無知的孩子幸福地生活．只有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才能夠讓我們發(fā)現(xiàn)自己的無知，能夠讓我們具有發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．以上，我們一起討論了數(shù)學(xué)的重要性，從上面的分析可以知道，無論家長(zhǎng)關(guān)心的是孩子的能力、分?jǐn)?shù)還是情感，都需要重視孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．因?yàn)?，人類最大的無知，是不知道自己不知道什么！但是，我同樣需要說明的是：我這里強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)，不只是書本上的數(shù)學(xué)，我強(qiáng)調(diào)的學(xué)好數(shù)學(xué)，也不只是必須要讓我們的孩子拿高分！那么什么是數(shù)學(xué)，怎么樣學(xué)好數(shù)學(xué)？作為家長(zhǎng)，又怎么樣幫助孩子學(xué)數(shù)學(xué)呢？很簡(jiǎn)單，就是陪孩子一起學(xué)習(xí)．◎永遠(yuǎn)不要直接教孩子做題前面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的重要性，于是家長(zhǎng)就發(fā)愁了：“哎呀，數(shù)學(xué)很重要，我也知道啊，但是我自己的初中數(shù)學(xué)都忘光了，輔導(dǎo)不了孩子了呀，是不是應(yīng)該給孩子報(bào)個(gè)輔導(dǎo)班，或者請(qǐng)個(gè)家教呀？”我告訴你，沒必要，原因有兩個(gè)：第一，我說的數(shù)學(xué)不僅僅是課本上的數(shù)學(xué)；第二，數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的好壞也不是衡量數(shù)學(xué)能力的唯一標(biāo)準(zhǔn)．你強(qiáng)迫孩子學(xué)習(xí)也好，請(qǐng)家教教孩子也好，只能教給孩子知識(shí)，教不了孩子能力；只能提高孩子的分?jǐn)?shù)，提高不了孩子的素質(zhì)！作為家長(zhǎng)，我們要做的、我們能做的，其實(shí)也只有兩點(diǎn)：第一，讓孩子主動(dòng)學(xué)習(xí)；第二，陪孩子一起學(xué)習(xí)．什么？主動(dòng)學(xué)習(xí)？想必很多家長(zhǎng)聽到這里都要?dú)鈽妨耍何业暮⒆右悄苤鲃?dòng)學(xué)習(xí)，我還用操這份閑心嗎？我們家孩子即使挨打都不愿學(xué)習(xí)，怎么可能主動(dòng)學(xué)習(xí)呢？但是，我決不是在開玩笑，我必須再次強(qiáng)調(diào)：主動(dòng)學(xué)習(xí)，既是孩子學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的充分條件，又是孩子學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的必要條件．說白了，除了主動(dòng)學(xué)習(xí)之外，不需要任何其他條件，孩子就能學(xué)好數(shù)學(xué)．其中的道理相信大家都能理解，因?yàn)槲覀儚膩頉]見過一個(gè)愛學(xué)習(xí)的孩子學(xué)習(xí)成績(jī)不好的．那么，我們唯一要面對(duì)的問題就是如何引導(dǎo)孩子主動(dòng)學(xué)習(xí)．首先，我要給您一個(gè)建議：在孩子步入初中階段的時(shí)候，找個(gè)時(shí)間，和孩子心平氣和地長(zhǎng)談一次，把你所知道的學(xué)習(xí)的重要性，和孩子一條一條掰開來揉碎了講述一遍．這次長(zhǎng)談的具體內(nèi)容并不是最重要的，最重要的是我們對(duì)孩子的態(tài)度．無論出現(xiàn)什么樣的情況，都不能向孩子發(fā)脾氣，因?yàn)樵谖覀兇蠛按蠼械臅r(shí)候，孩子只會(huì)感覺到我們的態(tài)度粗暴，只會(huì)感受到我們對(duì)他（她）的厭惡，絲毫感受不到我們對(duì)他的關(guān)心和愛護(hù)．我們要通過這樣的長(zhǎng)談，讓孩子真切地感受到我們對(duì)他（她）的尊重．注意！我提到了“尊重”兩個(gè)字，不但孩子要尊重我們，我們也要尊重孩子，尊重孩子的自尊，尊重孩子的愛好，尊重孩子的成長(zhǎng)規(guī)律．在相互尊重的前提下，我們和孩子的談話在開放、平和中開始，在語重心長(zhǎng)中結(jié)束．孩子進(jìn)入初中階段以后，就要進(jìn)入青春叛逆期，很快就會(huì)長(zhǎng)大成人，我們要給孩子一個(gè)平等的長(zhǎng)談的機(jī)會(huì)．這樣的長(zhǎng)談，不僅對(duì)于孩子的學(xué)習(xí)是重要的，而且對(duì)于孩子處理將來在生活中出現(xiàn)的問題也是必要的．現(xiàn)在的社會(huì)比較復(fù)雜，無論孩子遇到了學(xué)校霸凌事件，還是出現(xiàn)了早戀的問題，都需要通過耐心的溝通交流來解決．俗話說，人心都是肉長(zhǎng)的．我相信，有了這樣的對(duì)話，孩子多多少少都會(huì)加深一點(diǎn)對(duì)學(xué)習(xí)重要性的認(rèn)識(shí)，即使不能馬上扭轉(zhuǎn)他的學(xué)習(xí)態(tài)度，也會(huì)有一個(gè)良好的開端．當(dāng)然，這樣的談話次數(shù)不可能很多，有可能只是一年一次，甚至兩三年一次．因此，我相信家長(zhǎng)們都能夠抽出一兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間，和孩子好好談?wù)剬W(xué)習(xí)．但是問題又來了，在我們和孩子談完話以后，孩子都會(huì)激動(dòng)興奮一兩天，然后慢慢就放松了，俗稱三分鐘熱度．在這種情況下，好多家長(zhǎng)就開始不耐煩了，開始大聲呵斥孩子：“你讓我感到失望，前兩天剛和你談過話，讓你好好學(xué)習(xí)，你看看你，才堅(jiān)持了幾天，像你這樣沒有耐心，沒有毅力，一輩子也沒出息，我以后再也不管你了，你愛學(xué)不學(xué)！”這樣一呵斥，孩子也會(huì)對(duì)自己感到失望，很快就會(huì)自暴自棄：“看來我真不是學(xué)習(xí)的料兒，那就算了吧．”于是，我們前面的溝通交流工作就完全失效了．因此，接下來，我要說說第二點(diǎn)，陪孩子一起學(xué)習(xí)．為什么要陪孩子一起學(xué)習(xí)？陪孩子一起學(xué)習(xí)的目的是什么？在我看來，陪孩子一起學(xué)習(xí)，首先要保持孩子主動(dòng)學(xué)習(xí)的勁頭，孩子沒耐性，做事情只有三分鐘熱乎勁這是很正常的，因?yàn)楹⒆舆€?。侨绻议L(zhǎng)都沒有耐性，那就有問題了．陪孩子一起學(xué)習(xí)，就是培養(yǎng)孩子的耐心！在電影《羞羞的鐵拳》里面，有一個(gè)熬鷹的情景，男女主角和老鷹比賽熬夜，誰先眨眼誰就算輸了．我們就是要和孩子比耐心，看誰熬得過誰．不過，這可不是讓孩子天天學(xué)習(xí)、天天熬夜．對(duì)于數(shù)學(xué)而言，家長(zhǎng)只需要每天陪孩子學(xué)習(xí)15分鐘就足夠了．為什么呢？因?yàn)槊刻炖蠋熢谡n堂上講的核心內(nèi)容都不會(huì)超過10分鐘．但是，我們要知道，每天陪孩子15分鐘這個(gè)習(xí)慣，是必須要堅(jiān)持的．有的家長(zhǎng)會(huì)強(qiáng)調(diào)自己工作忙沒時(shí)間，但即便是家里沒時(shí)間，你送孩子上學(xué)的路上總有時(shí)間吧？只要去擠，我不相信父母兩個(gè)人在一天里都擠不出15分鐘來，就看你想不想去擠了．而且我還要說明的是，不管你的工作有多忙，不管你一天能掙幾百萬，這15分鐘花得都是最值得的，因?yàn)楹⒆拥膶碛邢Ｍ?，?huì)比自己事業(yè)的成功帶給你更多的成就感．這時(shí)候可能又有家長(zhǎng)說了，我陪孩子沒用啊，我自己的初中數(shù)學(xué)知識(shí)都忘光了，怎么陪他呢？這就是我接下來要講的重點(diǎn)：永遠(yuǎn)不要直接教孩子做題．因?yàn)槟芰κ墙滩粫?huì)的，你教給孩子的，只是知識(shí)而已．因此我們每教會(huì)孩子一道題，孩子的動(dòng)手能力就差一點(diǎn)；每教會(huì)孩子一道題，孩子的自信心就會(huì)少一點(diǎn)．很多家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)，越是教孩子學(xué)習(xí)，孩子越笨；越是教孩子，孩子越學(xué)不會(huì)．如果你把自己當(dāng)作孩子的拐棍，那孩子還能學(xué)會(huì)自己走路嗎？陪孩子學(xué)習(xí)，究竟應(yīng)該怎么陪呢？我們只需要做到三點(diǎn)就夠了：第一，和孩子一起學(xué)習(xí)．比如，和孩子一起讀數(shù)學(xué)書，在送孩子上學(xué)的路上和他一起聽數(shù)學(xué)課程，學(xué)完以后和孩子討論一下．第二，讓孩子教你學(xué)習(xí)，讓孩子給你講講課堂上的內(nèi)容或者講講書里的內(nèi)容．孩子講得對(duì)不對(duì)不重要，你能不能聽得懂也不重要，只要孩子給你講，他就是在學(xué)習(xí)、在思考了，他的能力就已經(jīng)在提升了．第三，讓孩子出題，你做！記得在前面我說過，數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)高，并不能證明孩子數(shù)學(xué)學(xué)得好，那么，怎樣算學(xué)得好？我告訴你，會(huì)出題就算孩子學(xué)得好！孩子學(xué)完了二元一次方程，你讓孩子給你出幾道實(shí)際生活中遇到的二元一次方程的題目．如果他能很順利地給出題目來，那就算學(xué)好了．為一個(gè)現(xiàn)有的題目找到答案，不算本事；從沒有問題的地方發(fā)現(xiàn)問題，才算真本事．只有真正把課本知識(shí)吃透了，練就自己的真本事，孩子才會(huì)擁有學(xué)以致用的能力．◎知難而喜：培養(yǎng)孩子獨(dú)立解決問題的能力目前，由于受到應(yīng)試教育的影響，孩子的學(xué)習(xí)壓力很大，學(xué)習(xí)任務(wù)非常艱巨．很多初中的孩子平時(shí)作業(yè)都做不完，常常熬到深夜才能休息．很多孩子連課本上的知識(shí)都學(xué)不會(huì)，常常是一道題卡住了，兩三個(gè)小時(shí)都做不出來．那么在這樣的條件下，我們又如何培養(yǎng)孩子獨(dú)立解決問題的能力呢？這就取決于我們?nèi)绾慰创@個(gè)問題了．我要告訴你的是：任何一個(gè)初中生，當(dāng)他遇到一個(gè)難題的時(shí)候，都需要具備連續(xù)兩三天來解決它的耐心．為什么會(huì)這樣呢？我們首先要明白一點(diǎn)，絕大多數(shù)人，一生做好一件事情，就已經(jīng)非常了不起了，這個(gè)道理我們不用多講．那么，我們的孩子從學(xué)校畢業(yè)以后，他憑什么能一生堅(jiān)持做好一件事呢？很簡(jiǎn)單，當(dāng)他讀博士的時(shí)候，學(xué)校會(huì)給他三四年的時(shí)間，讓他堅(jiān)持做一個(gè)課題．而他憑什么能在讀博士的時(shí)候，堅(jiān)持幾年做一個(gè)課題呢？因?yàn)樗谧x碩士的時(shí)候，需要堅(jiān)持一年做一個(gè)課題！而碩士階段他能堅(jiān)持一年，又是因?yàn)樗谧x大學(xué)本科的時(shí)候，畢業(yè)設(shè)計(jì)是花了三四個(gè)月的工夫才做出來的．發(fā)現(xiàn)了沒有？要想有30年做成一件大事的本事，就要有連續(xù)3年聚焦一個(gè)課題的本事，就要能夠經(jīng)受一年只做一件事和三四個(gè)月只做一件事的考驗(yàn)．只要按照這個(gè)規(guī)律反推一下就會(huì)知道：任何一個(gè)高中生，都應(yīng)該具備連續(xù)一周突擊一道數(shù)學(xué)題的耐心；而任何一個(gè)初中生，則需要具備連續(xù)兩三天面對(duì)一道難題的勇氣．如果沒有這樣的耐心、沒有這樣的勇氣，他憑什么考上大學(xué)，憑什么成為博士，又憑什么做出一番成就呢？在這樣大是大非的問題上，孩子沒有耐心是可以理解的，但可惜的是，我們作為家長(zhǎng)，也沒有耐心，看見孩子有一道題不會(huì)了，恨不得馬上教會(huì)他．然而，這樣做只會(huì)毀了孩子．我們知道，學(xué)校的老師拼命給孩子多留作業(yè)，是因?yàn)槔蠋熤g有著激烈的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系．一般來說，誰給孩子留的作業(yè)多，誰負(fù)責(zé)的課程成績(jī)就會(huì)好一點(diǎn)，老師得到的獎(jiǎng)勵(lì)也就會(huì)高一點(diǎn)．基于同樣的原因，那些課外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師們也會(huì)以填鴨式的教學(xué)方法，硬塞給孩子一些速成的解題思路，因?yàn)檫@樣做有助于孩子分?jǐn)?shù)的快速提升，自己的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)才能多賺錢．這樣做不是為了孩子的成長(zhǎng)，而是為了自己的利益！正是因?yàn)槿绱耍鞯亟逃块T才反復(fù)下令給孩子減負(fù)．而我們作為家長(zhǎng)，應(yīng)該擦亮自己的眼睛，明白孩子真正需要的是什么！當(dāng)孩子面對(duì)一道數(shù)學(xué)難題的時(shí)候，我們首先要做的是鼓勵(lì)孩子，讓他們擁有獨(dú)立面對(duì)問題的勇氣，讓他們擁有長(zhǎng)期面對(duì)難題的耐心，不但要做到知難而進(jìn)，而且要做到知難而喜！是的，知難而喜！面對(duì)一道很難的數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，我們的確應(yīng)該感到高興．無論這道題我們能不能做出來，是不是做對(duì)了，都應(yīng)該感到高興，這里面有三個(gè)方面的原因：第一，一道難題可以培養(yǎng)我們的耐心和勇氣．第二，一道難題可以讓我們把相關(guān)的知識(shí)都調(diào)集到頭腦中，反復(fù)地梳理這些知識(shí)點(diǎn)，最終，即便這道題目沒做出來，我們對(duì)已有知識(shí)的熟練程度也會(huì)大大地增強(qiáng)．第三，一旦解出這道題，與之類似的大多數(shù)難題往往都迎刃而解．但與此相反的是，如果這道題是別人教會(huì)你解的，那么，你可能只會(huì)解這一道題，而且記不住，過幾天就會(huì)忘記．這也是很多家長(zhǎng)都忘了初中數(shù)學(xué)知識(shí)的根本原因．不過，我說要連續(xù)3天面對(duì)一個(gè)問題，只是極特殊的情況，根據(jù)我的常識(shí)，絕大多數(shù)問題，孩子只要堅(jiān)持兩個(gè)小時(shí)以上，都能做出來．知難而喜——我們希望孩子在面對(duì)一切難題的時(shí)候，都能有這樣理性樂觀的態(tài)度．當(dāng)然，如果您的孩子基礎(chǔ)比較差，您可以先選擇一些適合他做的題目來鍛煉他的耐心，不要一開始就讓他接觸太難的問題，這樣孩子的信心可以慢慢被培養(yǎng)起來，不至于受到太大的挫折．其實(shí)一切數(shù)學(xué)問題是有一套通用解決辦法的，那就是：不斷試錯(cuò)，不斷修正，筆耕不輟，其解自得．如果換成大白話就是，只要不斷地做下去，肯定能做出來！這好像只是一句廢話啊，但沒辦法，這就是世界上所有難題的通用解決辦法，無論是數(shù)學(xué)題還是其他難題，都是如此．歷史上，我們就是采用這種辦法來解決難題的．比如圓周率π．沒有人知道π的精確值是多少，也沒有人知道π的計(jì)算公式怎么列，那怎么辦？沒辦法！我們求不出圓的周長(zhǎng)，我們就求三角形的周長(zhǎng)．三角形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)不一樣，這不要緊，我們發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，慢慢改進(jìn)就行了，這就叫試錯(cuò)．我們把三角形的周長(zhǎng)改成六邊形的周長(zhǎng)，雖然六邊形也不對(duì)，但是和三角形相比，它更接近圓了，這就叫不斷修正．繼續(xù)修正下去，我們還可以求解十二邊形的周長(zhǎng)、二十四邊形的周長(zhǎng)．不斷求解下去，我們就可以不斷接近π的真實(shí)值．這個(gè)方法就是著名的割圓術(shù)，祖沖之就是用這種辦法，精確到了圓周率小數(shù)點(diǎn)后面7位數(shù)字．連數(shù)學(xué)家都用這個(gè)辦法，可見，這的確是一種通用的解題思路．現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，在本章之中，我們一起討論了三個(gè)問題：第一，希望作為家長(zhǎng)的您重視孩子數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)；第二，希望您陪伴孩子一起學(xué)習(xí)；第三，希望您培養(yǎng)孩子獨(dú)立解決問題的能力，讓孩子對(duì)解題有足夠的耐心，能做到知難而喜．二奇妙的幾何學(xué)◎沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)我清楚地記得，剛上初中的時(shí)候，數(shù)學(xué)老師一上講臺(tái)就和我們說：“同學(xué)們，從今天開始，我要求大家把自己直尺上的刻度全都磨掉，把你們的三角板和量角器也都收起來，今后我們研究圖形只能用一把沒有刻度的直尺和圓規(guī)．”聽老師這么一說，我就傻了，直尺上有刻度不讓使用，我還怎么知道一個(gè)圖形的長(zhǎng)度，又怎么計(jì)算面積呢？哎，這就是我們要研究的新學(xué)問，它是一種沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)，名叫幾何．\h\h(1)\h什么叫幾何呢？幾何就是多少的意思．多少呀？我不知道，你也不需要知道，我們要在不知道具體數(shù)值的情況下把圖形的學(xué)問研究明白．可是如果我們連個(gè)準(zhǔn)數(shù)都沒有，這不是在瞎研究嗎！是嗎，你確定沒有數(shù)字就研究不明白嗎？你有沒有聽說過鄭人買履的故事呢？春秋時(shí)期，有一個(gè)鄭國(guó)人，到集市上去給自己買鞋，賣鞋的老板問他：“你買多大號(hào)的鞋呀？”他從來沒買過鞋，也不知道自己的鞋號(hào)，于是就回家去拿了一把尺子過來，用這個(gè)尺子，先量了自己的腳，又量了賣的鞋，然后才掏錢買．這個(gè)賣鞋的老板被逗樂了：“你給自己買鞋，還拿什么尺子呀？簡(jiǎn)直是有毛?。　笔聦?shí)證明，沒有準(zhǔn)數(shù)的時(shí)候，也是能干活兒的．想明白了這個(gè)道理，我們回到課堂上來：當(dāng)老師沒收了我們的刻度尺以后，就在黑板左邊畫了一條線，然后就把我叫到了講臺(tái)上，他說：“你能不能在黑板的右邊，用這個(gè)直尺和圓規(guī)畫一條長(zhǎng)度一模一樣的線段呢？”我當(dāng)時(shí)就傻了，我想，我得量一下這條線有多長(zhǎng)呀，不知道多長(zhǎng)，我怎么能畫出一樣長(zhǎng)的呢？不過我還是挺機(jī)靈的，我把這個(gè)尺子抓在手里以后，先把尺子的一端和線的左端對(duì)齊了，然后再順著線段的方向把直尺擺好，最后沿著線段的末端，用粉筆在尺子上做了個(gè)記號(hào)．這樣一來，我就在直尺上標(biāo)記出一個(gè)刻度，于是這條線段的長(zhǎng)度就和我畫的刻度一樣了，這樣我就把那條線畫出來了．可是老師又說了，尺子上不能有刻度，自己畫的刻度也不行！于是我沒辦法了，只能叉開自己的手指，用這個(gè)大拇指和食指當(dāng)尺子，保持住這個(gè)姿勢(shì)不動(dòng)，挪到另一邊去，按手指叉開的長(zhǎng)度畫了一條線段．但是老師又說了：“不許用手！因?yàn)槟愕氖种割^是活動(dòng)的，即使你感覺不到自己的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)變化也是存在的，所以這種方式也是不允許的．”聽到這里，我突然發(fā)現(xiàn)，為什么要用自己的手指呢，這個(gè)圓規(guī)的兩條腿，不就是天然的兩根手指嗎？而且把圓規(guī)叉開到指定的寬度，它就靜止不動(dòng)了．于是我把圓規(guī)的兩條腿叉開，挪到線段上比一比，確定圓規(guī)叉開的長(zhǎng)度和線段長(zhǎng)度一樣了，再按照這個(gè)長(zhǎng)度畫線，結(jié)果就出來了．做完以后，我終于看到了老師滿意的笑容．老師是滿意了，可我還不滿意，于是就反問他：“老師，我們明明可以用尺子直接量一下，你為什么非得讓我用圓規(guī)呀？”老師說：“你用尺子量了長(zhǎng)度，再用這個(gè)長(zhǎng)度去畫線，就好比那個(gè)買鞋的鄭國(guó)人，用尺子量了腳再量鞋，你的腳就在你身上，為什么不能直接用腳量鞋呢？同樣，我的線段就在這里，為什么非要把它變成數(shù)字呢？”直到這時(shí)，我才恍然大悟，原來我們一直引以為豪地在幾何中使用數(shù)字，卻鬧了鄭人買履的“笑話”．研究幾何圖形的時(shí)候就是這樣，雖然我們不一定知道每個(gè)圖形的具體長(zhǎng)度、寬度和角度，但是我們卻可以清晰地知道這些數(shù)值之間的相互關(guān)系．幾何學(xué)要求我們通過直尺和圓規(guī)去認(rèn)識(shí)世界，通過這兩種工具，我們可以更接近事物的本原，更了解事物的真相．幾何學(xué)的本原就是丈量土地的學(xué)問．它發(fā)源于5000年前的古埃及，那時(shí)候人類已經(jīng)掌握了耕種技術(shù)，開啟了農(nóng)業(yè)文明，但尼羅河水經(jīng)常泛濫成災(zāi)，一旦沖毀土地，人們就必須重新丈量土地，于是在這個(gè)過程當(dāng)中，古埃及人就積累了大量的幾何學(xué)知識(shí)．公元前7世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯，把古埃及的幾何知識(shí)帶回了古希臘，同時(shí)，他開始思考這些幾何知識(shí)之間的關(guān)系，并對(duì)部分的定理給出了嚴(yán)格的證明，幾何知識(shí)在古希臘開始孕育發(fā)展．之后畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖都對(duì)幾何學(xué)做了突出的貢獻(xiàn)，到了公元前300年左右，歐幾里得把當(dāng)時(shí)所有的幾何學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，收集整理出一部近代數(shù)學(xué)的奠基之作——《幾何原本》．在《幾何原本》中，歐幾里得首先明確了點(diǎn)、線、面、角等一系列基本圖形的定義，然后從幾條人所共知的、不證自明的公理出發(fā)，通過嚴(yán)格的邏輯推理，將零散的、不連貫的幾何知識(shí)組織起來，告訴我們平面和立體圖形的性質(zhì)和判定方法，以及通過尺規(guī)進(jìn)行平面作圖的方法．通過5條公理、5條公設(shè)、119個(gè)定義、465個(gè)命題，構(gòu)建起了一座宏偉的數(shù)學(xué)大廈．《幾何原本》問世以后，通過各種語言出版超過1000個(gè)版本．目前，除了《圣經(jīng)》之外，世界上還沒有任何一種著作擁有如此多的讀者．1607年，徐光啟和意大利傳教士利瑪竇把這部著作的前6卷譯成了中文，并且定名為《幾何原本》．◎一根細(xì)線量土地在實(shí)際生活中，無論是古人丈量土地，還是現(xiàn)代人進(jìn)行工程施工，他們所用的工具其實(shí)都只是一根細(xì)線．他們把線的兩頭一抻，拉直了就可以當(dāng)直尺用，如果按住一頭不動(dòng)，另一頭抻緊了圍著那個(gè)固定點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈，就可以畫出來一個(gè)圓了．也就是說，我們?cè)诎准埳系某咭?guī)作圖，對(duì)古人而言，不過是一根再平凡不過的細(xì)線而已．同時(shí)我們還需要知道，細(xì)線出現(xiàn)得比直尺和圓規(guī)要早得多，不是古人用細(xì)線來模擬直尺和圓規(guī)，而是我們?cè)诩埳贤ㄟ^直尺和圓規(guī)替代了古人所用的細(xì)線．為什么要這么做呢？因?yàn)槲覀冇眉?xì)線在紙上畫圖不方便．明白了這個(gè)道理，我想你就應(yīng)該清楚為什么老師不讓我用帶刻度的尺子．那是因?yàn)檫@細(xì)線上本來就沒有刻度．那么，用細(xì)線來平分土地有什么好處呢？它的好處可就多了：第一，一根細(xì)線是隨處可見的，它的制造成本要比一根帶刻度的皮尺便宜得多；第二，用一根細(xì)線可以在根本不知道土地面積具體是多少的情況下把它給平分了．這兩點(diǎn)就意味著生活在古埃及的人，可以在沒有統(tǒng)一度量衡的條件下，開啟自己的農(nóng)業(yè)文明．什么叫度量衡呢？度量衡就是長(zhǎng)度、體積和重量的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)．要想有統(tǒng)一的度量衡，就必須要人為地明確規(guī)定，多長(zhǎng)叫一尺，多重叫一斤，多少糧食叫一升或一斗．在中國(guó)，統(tǒng)一度量衡這件事情是直到秦代才實(shí)現(xiàn)的，這也是秦始皇的偉大功績(jī)之一．可是你要知道，如果我們到秦始皇那個(gè)年代才學(xué)會(huì)種地，那可就麻煩了，我們必須在沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的條件下，就學(xué)會(huì)平分東西．我們必須懂得，在沒有數(shù)字的條件下，如何利用圖形去認(rèn)識(shí)世界、改造世界！要想徹底地掌握一門學(xué)問，最有效的辦法就是研究這門學(xué)問的歷史，而研究人類歷史，最簡(jiǎn)單的辦法就是研究牙牙學(xué)語的嬰兒的行為習(xí)慣．因?yàn)閶雰菏裁炊疾欢?，通過嬰兒的行為習(xí)慣，我們可以了解人類早期的一些行為．剛學(xué)會(huì)說話的孩子一般都有一個(gè)習(xí)慣，就是喜歡說疊字，比如吃飯，會(huì)說“飯飯”，上廁所會(huì)說“便便”，因?yàn)楹⒆影l(fā)音還不全，這么說話我們都能理解，也沒人笑話這些孩子．可是如果成年人也這么說話，那就有問題了．無論是大人還是孩子，有兩個(gè)詞，我們卻一直都保持了這個(gè)習(xí)慣，那就是“數(shù)數(shù)”和“畫畫”．“數(shù)數(shù)”第一個(gè)字是動(dòng)詞，我們要數(shù)，第二個(gè)字是名詞，我們要數(shù)的對(duì)象是數(shù)字．“畫畫”也是這樣，第一個(gè)“畫”表示動(dòng)作，第二個(gè)“畫”表示對(duì)象和結(jié)果．為什么要研究這兩個(gè)詞匯呢？因?yàn)?，這至少說明了三個(gè)問題：第一，數(shù)數(shù)和畫畫出現(xiàn)的時(shí)間非常非常早．我們之所以用疊字來表示這兩件事，說明在那個(gè)時(shí)候，我們還沒有發(fā)明大量的詞語，所以古人只能像小孩子一樣，用疊字來表示它，這甚至比發(fā)明文字還要早．你發(fā)現(xiàn)沒有，我們管寫字不叫寫寫，也不叫字字，我們管說話，不叫說說，也不叫話話．第二，數(shù)數(shù)和畫畫出現(xiàn)的頻率非常非常高．因?yàn)槲覀兘?jīng)常會(huì)用到，所以即使后來發(fā)明了新的字詞，我們也不會(huì)把它替換掉．比如，我們已經(jīng)發(fā)明“計(jì)”“算”這兩個(gè)字了，數(shù)數(shù)這個(gè)動(dòng)作完全可以說成“計(jì)數(shù)”或者“算數(shù)”，但是我們平常就是不那么說．我們發(fā)明了“繪”“圖”這兩個(gè)字，但是我們平時(shí)也不說“繪畫”和“畫圖”．因?yàn)槲覀儗?duì)這兩個(gè)詞的使用頻率很高，怎樣最方便我們就怎樣叫．這時(shí)候，懂外語的朋友可能會(huì)說了，人家拉丁文、希伯來文可不一定是那么說的呀！這倒沒錯(cuò)，但你要知道，雖然我們中國(guó)的文字很多，可是要論表達(dá)的簡(jiǎn)練和深刻，還沒有哪種文字能和中文相比．第三，通過上面的分析說明，數(shù)數(shù)和畫畫非常重要，它是人類文明的基礎(chǔ)．關(guān)于人類為什么要數(shù)數(shù)我們已經(jīng)說過了，這里不再重復(fù)，那么人類又為什么要畫畫呢？因?yàn)楫嫯嫶砹巳祟惖某橄竽芰Γ蠹叶贾溃覀兩畹倪@個(gè)世界本來是立體的，但是我們畫出來的圖畫卻是平面的，實(shí)際人物和物體都是豐富多彩的，而在畫里我們卻通過線條把它們變成了寥寥幾筆．別看只有寥寥幾筆，這簡(jiǎn)單的幾筆卻勾畫出了人或物的最關(guān)鍵的特征，所以才能讓觀看的人一目了然．因此，想要把一幅畫畫好，必須有高度的抽象概括能力，必須有抓住事物本質(zhì)特征的能力．不管世界有多大，不管年代多么久遠(yuǎn)，我們只要大筆一揮，這個(gè)世界就會(huì)呈現(xiàn)在眾人的面前．圖畫讓我們渺小的身軀，可以通達(dá)大千世界；圖畫讓我們短暫的生命，能夠感受古往今來．隨著歷史的發(fā)展，部分圖畫經(jīng)過進(jìn)一步的抽象和簡(jiǎn)化就變成了文字、變成了數(shù)字、變成了圖形，人類文明也就蓬勃發(fā)展起來了．◎?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)就是構(gòu)建邏輯思維體系在前面的內(nèi)容中，我們提到：埃及的尼羅河經(jīng)常發(fā)水，需要丈量土地，因此而產(chǎn)生了幾何學(xué)，那么為什么古代的中國(guó)和印度就沒有發(fā)展出幾何學(xué)呢？難道黃河和印度不會(huì)發(fā)水嗎？實(shí)際上，只要是大江大河，肯定都會(huì)不定期地發(fā)洪水．我們中華文明從堯舜開始，就治理黃河，折騰了幾千年．可我們也得知道，雖然幾何學(xué)能夠解決分土地的問題，但卻并不是說分土地就只能用幾何．如果你翻開我國(guó)古代的《九章算術(shù)》，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這本書的第一章就是專門研究平分土地的，各種形狀的土地的面積的計(jì)算方法都有記載，只不過它用的是算術(shù)方法而已．那么在平分土地這個(gè)問題上，《九章算術(shù)》和《幾何原本》有什么本質(zhì)區(qū)別呢？一提到數(shù)學(xué)，很多人都會(huì)認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是用來算賬的工具，數(shù)學(xué)書就好比詞典，遇到一個(gè)問題的時(shí)候，只要到數(shù)學(xué)書上去查一個(gè)公式，然后照葫蘆畫瓢就把這個(gè)問題解決了．其實(shí)，在我國(guó)古代，數(shù)學(xué)典籍就像字典一樣．《九章算術(shù)》，就把所有數(shù)學(xué)知識(shí)都按照數(shù)學(xué)的實(shí)際用途分門別類地編好了，分地就看第一章，賣糧食看第二章，收稅就看第六章．但是，如果打開《幾何原本》，立刻就傻眼了，這本書哪是教我分土地的呀？它的目錄里面只寫著命題1、命題2、命題3，它的內(nèi)容就是在這些定理之間繞來繞去地相互證明，根本看不出有任何實(shí)際的用途．那么歐幾里得這是在做什么呢？他要做的是，不僅要讓我們知其然，還要讓我們知其所以然．古希臘人有著很強(qiáng)的思辨能力，從《幾何原本》中可以看到：歐幾里得從幾條基本假設(shè)開始，經(jīng)過了嚴(yán)格的邏輯推理證明，建立起了一個(gè)由幾百條定理、推論組成的知識(shí)體系．從此，那些只靠經(jīng)驗(yàn)和直覺判斷的舊數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)變?yōu)榍逦鞔_、有條不紊、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聰?shù)學(xué)．那么，什么叫邏輯呢？我們又怎樣進(jìn)行推理呢？一個(gè)數(shù)學(xué)定理，又為什么需要證明呢？接下來，我們就一起來討論這些問題．所謂邏輯，就是我們?nèi)祟愓J(rèn)識(shí)世界的思維方式，邏輯推理主要有三種方法：歸納、演繹和類比．所謂歸納就是通過特殊事物得到一般規(guī)律．比如，我們看了很多天鵝都是白色的，于是就歸納出來，天鵝的顏色都是白的．所謂演繹就是根據(jù)一般規(guī)律認(rèn)知特殊的事物．比如，貓是會(huì)捉老鼠的，因?yàn)闇肥且恢回垼运矔?huì)捉老鼠．所謂類比就是拿相似的事物打比方．中國(guó)的古人最擅長(zhǎng)的就是類比證明．像我們平時(shí)所說的天人合一的道理就是類比：天行健，君子就應(yīng)該自強(qiáng)；天無言，君子就應(yīng)該少說話多做事．\h\h(2)\h應(yīng)該說，目前人類的所有知識(shí)，都是通過歸納、演繹和類比的方法得到的．但是，我們同樣應(yīng)該知道的是，無論是哪一種思維方式，它本身都有一定的局限性，其中最不靠譜的就是類比的方法．將兩個(gè)原本就不相同的事物，強(qiáng)行捆綁在一起來解釋是不具備說服力的．那么歸納法又有什么問題呢？它的問題在于以偏概全，我們看見幾千只天鵝是白色的就能證明所有的天鵝都是白的嗎？萬一有你沒見過的黑天鵝呢？最后我們?cè)倏囱堇[法，演繹推理看似嚴(yán)謹(jǐn)，但是它的問題在于，必須要保證前提是對(duì)的．如果前提錯(cuò)了，后邊的推論也就全都錯(cuò)了．那么，既然這三種方法都有問題，我們還能否認(rèn)識(shí)世界呢？認(rèn)真分析一下，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這三種方法之中只有演繹法是相對(duì)靠譜的，只要想盡一切辦法，保障它的前提正確，那么后面的結(jié)論肯定就是正確的．因此，我們需要找出那些比較容易理解的、大家都普遍接受的道理，從這些基本的道理出發(fā)，按照一套標(biāo)準(zhǔn)的邏輯體系，再去推演出其他不太常見的、不太容易被理解的道理．那些簡(jiǎn)單易懂的、大家都普遍認(rèn)可的道理被稱作公理，它們本身是無須證明的；而那些通過邏輯推理被公理證明了的道理，我們把它們叫作定理，一個(gè)定理一旦被證明了，就可以繼續(xù)以它為基礎(chǔ)再去證明其他道理，于是一個(gè)由公理和定理相互交織、相互佐證的知識(shí)體系就這樣被一磚一瓦地搭建起來了．無論是歐幾里得的《幾何原本》，還是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，都是采用這種結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)有四層境界，其中第一層是對(duì)知識(shí)進(jìn)行分門別類，第二層是在所有的知識(shí)之間建立關(guān)聯(lián)．所謂的公理知識(shí)體系，說的就是這個(gè)意思．雖然《九章算術(shù)》和《幾何原本》中分別記載了幾百個(gè)問題，但是《九章算術(shù)》里邊的問題只有分類，沒有相互關(guān)聯(lián)，而《幾何原本》中的知識(shí)卻是渾然一體的．書中400多個(gè)定理，全部源于5個(gè)公理和5個(gè)公設(shè)推導(dǎo)的結(jié)果．除此之外，書中還涉及100多個(gè)定義．什么叫定義呢？所謂定義就是聲明一下點(diǎn)、線、面、圓、角、平行、垂直這些概念的具體含義．比如，我們對(duì)圓的定義是：到圓心的距離等于半徑的所有點(diǎn)的集合．了解了圓的定義，我們就可以在現(xiàn)實(shí)世界中去尋找符合這個(gè)定義的那些形狀，比如太陽、月亮、盤子、車輪．而后就可以按照?qǐng)A的性質(zhì)，去計(jì)算這些物體的周長(zhǎng)和面積．但是我們也需要知道，從嚴(yán)格意義上講，幾何學(xué)上定義的點(diǎn)、直線、圓這些圖形都是高度抽象、高度理想的，在現(xiàn)實(shí)生活中，既找不到絕對(duì)完美的直線，也找不到絕對(duì)完美的圓．但是，如果忽略一些細(xì)節(jié)，我們還是可以近似地將一些圖形當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)的圖形來處理的．同時(shí)，定義本身也說明了圖形的一些性質(zhì)，比如根據(jù)圓的定義我們可以知道，同一個(gè)圓所有半徑的長(zhǎng)度都是相等的．這個(gè)判斷就既不屬于公理也不屬于定理，它只是定義規(guī)定的一個(gè)內(nèi)部特性，這就像女人的性別都是女的一樣，同樣是無須證明的．定義、定理、公理、公設(shè)所有這些內(nèi)容統(tǒng)稱為命題．那什么叫命題呢？命題就是判斷一件事情的句子．定義這種命題教給我們判斷一個(gè)圖形是什么形狀，幫助我們判斷在一定條件下兩個(gè)圖形之間的相互關(guān)系．所有這些命題通過嚴(yán)密的邏輯推理組織在一起，就構(gòu)成了幾何學(xué)的整體知識(shí)架構(gòu)．\h(1)編者注：如無特別說明，本書中的幾何指歐氏幾何．“它是一種沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)”這句話嚴(yán)格的說法是，幾何是一種不依賴數(shù)字的數(shù)學(xué)．\h(2)編者注：前半句源自“天行健，君子以自強(qiáng)不息；地勢(shì)坤，君子以厚德載物”，后半句源自“天無言而四時(shí)生，地?zé)o語而萬物生”．三世界就是點(diǎn)、線、面◎點(diǎn)、線、面到底是什么子路問孔子，如果衛(wèi)國(guó)的國(guó)王讓您去執(zhí)政，您要做的第一件事是什么呢？孔子說，必也正名乎！他的意思就是，他一定要先給很多詞語下個(gè)準(zhǔn)確的定義，做個(gè)詳細(xì)的解釋．子路一聽就笑了，他在笑孔子的迂腐，他說：“放著那么多正經(jīng)事您不做，為什么要先下定義呢？”孔子鄭重地說：“名不正則言不順，言不順則事不成．”這就是說，如果一件事情沒有明確的定義，一個(gè)官職沒有明確的職責(zé)，我就沒有辦法通過語言下達(dá)明確的指令，事情自然就沒辦法做成了．做事是這樣，做學(xué)問更是這樣．很多人都感覺給詞語下個(gè)定義應(yīng)該是很簡(jiǎn)單的事情，在這個(gè)世界上，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，好就是好，壞就是壞，好像把一個(gè)東西解釋清楚非常容易．你要是這么想，就大錯(cuò)特錯(cuò)了．在古希臘有個(gè)與孔子同時(shí)代的哲學(xué)家叫蘇格拉底，蘇格拉底有一句名言：我唯一知道的是自己一無所知．因?yàn)樵谔K格拉底看來，這個(gè)世界上沒有任何一個(gè)詞是可以真正解釋清楚的，那些自我感覺什么都懂的人，實(shí)際上都只是邏輯不清的自大狂而已．有一次，蘇格拉底和一個(gè)年輕人討論什么叫道德．這個(gè)年輕人說：“誠(chéng)實(shí)就是道德．”于是蘇格拉底反問他：“那如果我在戰(zhàn)場(chǎng)上欺騙了敵人，這算是不道德的嗎？”年輕人答道：“欺騙敵人是道德，欺騙自己人不是．”蘇格拉底問道：“那如果我通過謊話鼓舞士氣，贏得了勝利，那算道德嗎？”年輕人又答：“戰(zhàn)爭(zhēng)是特殊的場(chǎng)合，行騙是不得已的行為，但是我們?cè)谌粘Ｉ钪胁荒苄序_．”蘇格拉底接著問：“如果我的父親病得很重，可是我和他說，你的病不是很嚴(yán)重，好好休息，很快就好了，這算不道德嗎？”年輕人說：“這當(dāng)然算道德了．”這時(shí)候蘇格拉底就說：“既然騙人也算道德，不騙人也算道德，那么到底什么是道德呢？”結(jié)果這個(gè)年輕人只好承認(rèn)，過去我知道什么是道德，但現(xiàn)在我糊涂了．其實(shí)，不僅是“道德”這個(gè)詞，只要你具有蘇格拉底一樣的探究精神，具有打破砂鍋問到底的精神，不斷追問下去，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)詞語的具體含義都是模糊不清的．在我國(guó)百家爭(zhēng)鳴的春秋時(shí)期，有一個(gè)哲學(xué)流派叫作名家．名家的創(chuàng)始人叫惠施，在他看來，正是很多詞語的含義模糊不清，才導(dǎo)致了人與人之間的矛盾沖突，大家表面上說著相同的話，但卻各自具有不同的理解，這種名不符實(shí)的結(jié)果就導(dǎo)致了天下大亂．而要想解決這個(gè)問題，就只能徹底弄清名實(shí)之間的辯證關(guān)系，弄清每一種事物的概念和定義．可見，弄清定義是多么重要！因此，《幾何原本》一開篇就對(duì)點(diǎn)、線、面這種基本的元素做出了定義和說明．那么，什么是點(diǎn)呢？歐幾里得告訴我們：點(diǎn)就是不可分割的最小元素．什么是直線呢？無數(shù)個(gè)點(diǎn)沿著相反的兩個(gè)方向不斷延伸，無限累積起來就是直線．那什么又是面呢？由直線自身均勻分布的只有長(zhǎng)度、寬度而沒有厚度的形狀就是面．看樣子，好像面是由線組成的，線又是由點(diǎn)組成的，那么，這是不是意味著所有的圖形都是由點(diǎn)組成的呢？沒錯(cuò)，要不然歐幾里得怎么說點(diǎn)是不可分割的最小元素呢！但是，為什么如此復(fù)雜的大千世界，卻是由一些微不足道的小點(diǎn)組成的呢？要了解這一點(diǎn)，我們就必須到現(xiàn)場(chǎng)看一看，畫家是怎么畫畫的．我們發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)畫家有了高超的繪畫技巧，無論他眼前的世界多么復(fù)雜，他都可以通過一支筆、一張紙把它呈現(xiàn)出來．我們知道，當(dāng)一支筆落在紙面上的時(shí)候，就能落下一個(gè)點(diǎn)；而當(dāng)這支筆在紙面上移動(dòng)，它就可以畫出一條線；當(dāng)多條線在紙面上相互銜接，就可以組成一個(gè)面；而這些面之間再相互組合起來，我們面前的立體世界就一點(diǎn)一點(diǎn)地呈現(xiàn)出來了．這個(gè)過程說明什么呢？它恰好證明了，我們的世界本來就是由最基本的點(diǎn)組成的．如果不是這個(gè)原因，畫家憑什么能夠通過一支筆和一張紙就把眼前的世界描繪出來了呢？其實(shí)，我們可以感受到，點(diǎn)、線、面、體這些元素并非完全獨(dú)立．雖然我們手中只有一支筆，但是仍然可以繪制出一切，這又是為什么呢？這是因?yàn)?，線是由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，而面是由線的組合產(chǎn)生的，同樣把面累積起來就得到了體．如果不是這樣的話，那我們就不能只用一支筆來繪畫了．我們必須用專用的描點(diǎn)筆畫點(diǎn)，勾線筆畫線，再用刷子或者印章來繪制平面，而繪制立體就只能用刻刀了．事實(shí)證明沒有這個(gè)必要，只需要一支普通的筆就可以做到這一切．而且我們還知道，不僅一張畫的基本元素是點(diǎn)，手機(jī)和電腦的屏幕也都是由許許多多發(fā)光點(diǎn)組成的，這些點(diǎn)發(fā)出不同顏色不同亮度的光，它們相互組合起來，就形成了豐富多彩的圖像和視頻．不僅如此，學(xué)了物理和化學(xué)知識(shí)后我們還了解到，世界上所有的物質(zhì)，不管是一顆恒星還是一?；覊m，不管是空氣還是石頭，本來都是由一些極小的點(diǎn)組成的，這些微小的點(diǎn)我們稱為原子，原子理論是古希臘的德謨克利特提出的，但是這一觀點(diǎn)卻是近代才通過科學(xué)手段加以證實(shí)的．歐幾里得信奉德謨克利特的原子論，所以他才能夠從復(fù)雜的世界中抽象出點(diǎn)的概念，這就是幾何學(xué)中點(diǎn)的概念的源頭．◎點(diǎn)、線、面里的生活哲學(xué)直線是點(diǎn)沿著兩個(gè)相反的方向無限延長(zhǎng)的結(jié)果，因此直線本身是沒有長(zhǎng)度的，或者說直線的長(zhǎng)度是無限的．但是如果我們?cè)谥本€上卡住兩點(diǎn)，那么，由于這兩點(diǎn)的位置固定了，所以它們之間的距離也就固定了下來，于是我們就把卡在兩點(diǎn)之間的這段線叫作線段，而把線段的首、尾兩個(gè)點(diǎn)，叫作線段的端點(diǎn)．而端點(diǎn)之外的兩部分呢？其中每部分仍然是沿著原來直線的方向無限延長(zhǎng)的，這種只有一個(gè)端點(diǎn)的線，很像光線發(fā)射出去的軌跡，所以被叫作射線．可見，點(diǎn)既是組成線的基本元素，又是線的端點(diǎn)和邊界．同時(shí)，我們還知道，當(dāng)兩條直線相交的時(shí)候，會(huì)形成一個(gè)交點(diǎn)，而且只有這一個(gè)交點(diǎn)．那么，現(xiàn)在問題來了，請(qǐng)問幾何圖形是不是只能描繪一個(gè)靜態(tài)的世界呢？如果我們想要描繪動(dòng)態(tài)的世界，描繪人類的活動(dòng)，幾何知識(shí)是不是就幫不上忙了呢？仔細(xì)想想，的確是這個(gè)道理：我們要教孩子孝敬父母，就得用語言表達(dá)；我們要教別人炒菜做飯，就得拍個(gè)視頻演示．點(diǎn)、線、面還真干不了這樣的活兒．嘿嘿，如果你要這么想，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了．點(diǎn)、線、面能做的最重要的事還真不是通過畫圖，而是通過描繪運(yùn)動(dòng)變化，指導(dǎo)人們改變世界！為什么呢？因?yàn)閹缀螆D形中，隱含世界運(yùn)動(dòng)的法則，隱含著做人做事的道理．有人可能會(huì)問，做人做事和幾何圖形有什么關(guān)系呢？接下來我們就一起來分析一下．請(qǐng)問，我們?cè)谧鍪碌臅r(shí)候是不是應(yīng)該按照道理辦呢？那道理中的“道”字又是什么含義呢？“道”難道不是一條線嗎？同樣，我們做人做事，是不是也應(yīng)該符合規(guī)矩？那么這規(guī)矩又是什么呢？規(guī)矩就是圓規(guī)和直尺，也是繪制幾何圖形的常用工具．所以我們才說，沒有規(guī)矩不成方圓．既然做人做事的道理就是一條線，規(guī)矩就是幾何圖形，那么具體的一件事又是什么呢？世界上發(fā)生的任何一件事，是不是只能發(fā)生在一個(gè)時(shí)間、一個(gè)地點(diǎn)呢？照這樣看來，它就只能是線上的一個(gè)點(diǎn)了！很好，我們繼續(xù)往下分析：請(qǐng)問一條線上有幾個(gè)點(diǎn)？根據(jù)幾何知識(shí)我們知道，一條線上會(huì)有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)．沒錯(cuò)，但是既然一條線上有很多個(gè)點(diǎn)，那么如果我們只遵循一個(gè)道理的話，能決定一件事具體該怎么做嗎？別急，讓我們把思路重新整理一下：一個(gè)道理就是一條線，一件事就是一個(gè)點(diǎn)，一條線上又有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，那就說明按照一個(gè)道理，一件事不可能只有一種做法！以孝敬父母這件事為例：你給父母買點(diǎn)東西叫孝敬父母，我?guī)透改父牲c(diǎn)活叫孝敬父母，他陪父母多聊聊天也叫孝敬父母．同樣，如果把這個(gè)道理反過來，能不能說，只要你給父母買東西，就證明你孝順父母呢？或者只要你不陪父母聊天就證明你不孝順呢？當(dāng)然不能了！為什么？因?yàn)樾㈨樃改傅姆绞接泻芏?，你怎么能只看見人家不聊天就說人家不孝順呢？那么，既然道理決定不了一件事怎么做，我們是不是就可以不按道理做事了呢？也不對(duì)！雖然一條線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，但是這并不表示我們可以為所欲為，因?yàn)檫€有好多的點(diǎn)不在這條線上．同樣，雖然一個(gè)道理不能明確告訴我們?cè)撟鍪裁矗鼌s可以告訴我們什么是不能做的．比如，一個(gè)孝敬父母的人是不能虐待老人的，因此某個(gè)人只要虐待老人，就足以證明他是不孝順的人．因?yàn)榕按改高@件事不在孝道允許的范圍之內(nèi)，或者說，這個(gè)點(diǎn)就不在孝順的這條線上．那么，當(dāng)我們真的要決定做一件事的時(shí)候，又該怎么判斷呢？根據(jù)幾何知識(shí)“兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)”的原理，我們可以知道：雖然一個(gè)道理決定不了某件事具體怎么做，但是如果有多個(gè)道理存在，我們就可以做出決定了．比如，冬天到了，你要孝敬父母，可以給父母買件羽絨服，這就是由兩個(gè)道理、兩個(gè)條件共同決定的．這就是說，雖然一個(gè)道理不能決定一件事怎么做，但是我們?cè)谟龅綄?shí)際問題的時(shí)候，總會(huì)遇到兩個(gè)道理、三個(gè)道理并存的情況，因此我們就可以做出決定了．同樣，兩點(diǎn)確定一條直線的道理告訴我們：當(dāng)我們判斷一個(gè)人的時(shí)候，不要過早地下結(jié)論，我們既不能因?yàn)橐粋€(gè)人做錯(cuò)了一件事就徹底否定他，也不能因?yàn)橐粋€(gè)人做了一件好事就全面肯定他，只有經(jīng)過多次觀察，才能全面了解一個(gè)人的品性．但是社會(huì)上的很多人，就是不懂得這個(gè)道理，他們會(huì)死抱著一個(gè)道理不放，比如，買了日本品牌的車就是不愛國(guó)；你不送我禮物就是對(duì)我不好．他們看不見這個(gè)世界上還有其他的道理，不懂得要多個(gè)道理才能決定一件事具體該怎么做．我們把這種行為叫作一竿子打翻一船人！這一根竿子不就是一根線嗎？你手里拿著一根線一劃拉，不就形成了一個(gè)面嗎？所以我們才說這種人說話辦事不動(dòng)腦子，你這一句話說出來，打擊面太大了．瞧見沒有，這里的打擊面，是不是就是那一竿子瞎劃拉出來的呢？以上，就是點(diǎn)、線、面教給我們的做人、做事的道理．不過必須要說明的是，我們今天的這些結(jié)論，同樣只是借助類比的方法分析了人類的社會(huì)活動(dòng)，應(yīng)該說這并不是一套嚴(yán)格的證明過程，所以不能生搬硬套地使用．難道這幾何知識(shí)只能通過類比的方法來指導(dǎo)人類社會(huì)嗎？當(dāng)然不是，現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)學(xué)就可以把人類活動(dòng)變成一些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，再通過數(shù)學(xué)解析，把它變成幾何圖形．關(guān)于這部分內(nèi)容要到解析幾何的部分才能講述，這里只做一個(gè)大概的類比．在實(shí)際生活中，還必須結(jié)合實(shí)際情況，具體問題具體分析．◎幾何學(xué)的5條公理在我整理的所有初中數(shù)學(xué)的課程當(dāng)中，幾何學(xué)的知識(shí)架構(gòu)是我認(rèn)為最難講的．為什么呢？因?yàn)閹缀螌W(xué)的知識(shí)是渾然一體的，要對(duì)這門學(xué)問做出絕對(duì)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而又完美的分類，幾乎是不可能的．這并不是說幾何知識(shí)不能分類，而是它的分類方法實(shí)在是太多了，具體的分類方式至少有十幾種，而且還沒有哪一種方案是絕對(duì)完美的．以一個(gè)最簡(jiǎn)單的問題為例：把平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、菱形這四個(gè)幾何圖形做個(gè)分類．可以按直角分類，把長(zhǎng)方形和正方形分一組；還可以按照等邊分類，把正方形和菱形分一組．盡管我們可以按照現(xiàn)行教科書的分類方法，把長(zhǎng)方形和菱形都?xì)w屬到平行四邊形中，但這樣一來我們就發(fā)現(xiàn)，無論把正方形歸屬到長(zhǎng)方形那邊還是歸屬到菱形這邊都不是太合適．別急，我的分類方法還沒完呢？我可以認(rèn)為一切圖形都是由正方形變化得到的：長(zhǎng)方形是正方形水平拉長(zhǎng)以后的結(jié)果；菱形是正方形傾斜扭轉(zhuǎn)以后的結(jié)果；平行四邊形呢，又是長(zhǎng)方形傾斜后的結(jié)果．雖然分類方法如此眾多，但是卻沒有任何一種分類方法是完美無缺的．這才僅僅4個(gè)圖形就讓人如此暈頭轉(zhuǎn)向，《幾何原本》中有400多個(gè)定理呢！誰能告訴我，應(yīng)該怎么分類才最合適？沒辦法，因?yàn)閹缀螌W(xué)原本就是一個(gè)整體，而分類就意味著要把很多知識(shí)割裂開來看待．那么，歐幾里得的《幾何原本》是按照什么方式敘述的呢？它基本上是按照這些命題之間的依賴關(guān)系敘述的，先講簡(jiǎn)單的命題，再講復(fù)雜的命題，同時(shí)兼顧一下不同的形狀．中學(xué)教科書中則完全是按照幾何圖形分類的：先講平行線，而后是三角形、四邊形、圓形．這樣的分類方法是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒀驖u進(jìn)的，這種方式不但符合做學(xué)問的需要，也適應(yīng)教學(xué)和考試的要求．但它的缺點(diǎn)也很明顯，那就是枯燥乏味．我深知，沒有多少人有耐心能夠從頭到尾地把《幾何原本》讀完．那么，與之相對(duì)的另一個(gè)思路，就是完全實(shí)用化的思路，我可以分別講看圖和作圖，分別講求長(zhǎng)度、求面積、求體積的方法，然后再講一些日常生活和工作的例子．但是，如果這樣講述，我就把一本《幾何原本》，硬生生地講成了《九章算術(shù)》．如此，不但幾何學(xué)中的美感蕩然無存，而且也絲毫不能提升學(xué)生的邏輯推理能力．怎么樣把學(xué)術(shù)性和實(shí)用性結(jié)合起來，怎么樣使課程編排兼具知識(shí)性和趣味性，怎么樣讓孩子愛上數(shù)學(xué)，這才是我的最終目的．我絞盡腦汁地思來想去，最終決定：不做嚴(yán)格的分類！這也算無招勝有招吧．我的具體思路是這樣的：我要從《幾何原本》的幾個(gè)公理和公設(shè)出發(fā)，從人類最早使用幾何學(xué)的起點(diǎn)出發(fā)，沿著歷史一路走來，一邊解決具體問題，一邊把這些幾何定理重新發(fā)現(xiàn)一遍，再在中間穿插一些解題思路，最后再講一些現(xiàn)代生活中的具體應(yīng)用．應(yīng)該說，這個(gè)思路是沒有什么章法可言的，但是我認(rèn)為這樣講是合適的，因?yàn)榇鷶?shù)知識(shí)就像一座莊嚴(yán)的宮殿，欣賞代數(shù)的美就得站得高高的，從上至下宏觀地看待；幾何知識(shí)就像一座瑰麗奇妙的蘇州園林，只要能夠身臨其境，無論從哪個(gè)角度看，我們都能發(fā)現(xiàn)它獨(dú)特的美．而如果看幾何知識(shí)像欣賞代數(shù)一樣，只是站在高高的位置上看一張平面圖，就感受不到幾何應(yīng)有的美感和趣味了．因此，在后續(xù)的幾何學(xué)課程中，我會(huì)徐徐展開人類歷史的畫卷，像講故事一樣把幾何的定理的始末緣由娓娓道來．那么，現(xiàn)在就讓我們回到5000年前的古埃及，面對(duì)剛剛被尼羅河水沖刷得一干二凈的廣袤原野，我們拿著手中的繩子，準(zhǔn)備重新把土地分給大家．當(dāng)面對(duì)一望無際的原野時(shí)，我們首先應(yīng)該想到的，不是歐幾里得的幾條定義和公理，而是一個(gè)更基礎(chǔ)的問題，什么叫面積？歐幾里得沒有給出面積的定義，我們得自己找！我們知道，平分土地的目的是耕種，那么簡(jiǎn)單地說，所謂面積相等，就是說兩塊土地里能夠種下的糧食一樣多．因?yàn)榉N糧食的時(shí)候，種子都是按照行列的方式播種的，所以，我們就可以按照植株的行列數(shù)的乘積來衡量一塊土地的大?。?yàn)橥恋厥且粋€(gè)平面，又因?yàn)樗枰L(zhǎng)、寬的乘積來計(jì)算大小，所以我們就把長(zhǎng)、寬的乘積叫作土地的面積．那么，如何判斷土地面積是否相等呢？最直接的辦法就是種好莊稼看一看，如果種的植株一樣多，那就是一樣的．可惜這樣的辦法行不通，因?yàn)槲覀儾荒茉诜滞恋刂胺N莊稼，而且植株的距離可能會(huì)稍微有點(diǎn)差別，以它為基準(zhǔn)是不精確的．那么，如何判斷面積是否相等呢？最簡(jiǎn)單的方法就是：如果兩塊土地的形狀大小完全一樣，我們就可以認(rèn)為它們的面積是相等的．但什么叫完全一樣呢？如果我們能夠把一塊土地搬起來，挪到另一塊土地上，兩塊土地能夠嚴(yán)絲合縫地相互重疊，那我們就認(rèn)為這兩塊土地的大小是完全相等的．沒錯(cuò)，相互重合的兩個(gè)圖形全等，這就是第一條最基本最重要的公理．可問題在于，土地是搬不動(dòng)的，那怎么辦？很簡(jiǎn)單，我們可以把一塊巨大的牛皮蒙在這塊土地上，把它裁剪成這塊土地的形狀，按照牛皮的大小形狀重新劃出一塊土地，那么這兩塊土地的形狀肯定也是一樣的．不錯(cuò)，這就是第二條公理：與同一個(gè)物體（這里是牛皮）相等的兩個(gè)物體彼此也相等，在代數(shù)里我們?cè)?jīng)學(xué)過等式的傳遞性，它在幾何學(xué)里就是第二公理．可是，土地太大了，一張牛皮蒙不下，怎么辦？用幾張牛皮合起來也是一樣的，這就是第三條公理：整體等于部分之和．那么，如果幾張牛皮也不能把整塊土地蓋住，我們可不可以用這幾張牛皮覆蓋兩次呢？第一次都覆蓋住一部分土地，然后，挪到另一個(gè)地方再根據(jù)牛皮的樣式劃出同樣的一塊土地；而后再來一次，把土地的另一部分也這樣挪動(dòng)過來，聽起來也是可以的，因?yàn)閮纱我?guī)劃的土地分別等于原來的土地的一部分，所以它們的和應(yīng)該也是相等的．等量加等量和相等，等量減等量差也相等，這又是兩條獨(dú)立的公理．于是，歐幾里得的5條公理，\h\h(1)\h全部都在這里了：（1）相互覆蓋的圖形是全等的；（2）與同一事物相等的兩個(gè)事物彼此也相等；（3）整體等于部分之和；（4）等量加等量，和相等；（5）等量減等量，差相等．其實(shí)，看了這5條公理，我倒覺得歐幾里得挺笨的，他只算了等量的加減，沒有關(guān)心等量的乘除，而且他應(yīng)該把這幾條公理合并成一條，那就是：任何等量經(jīng)過相同的變化以后結(jié)果仍然相等．這句話看起來很眼熟，這又是什么呢？它就是我們學(xué)過的等式的協(xié)變性！不錯(cuò)，這就是《幾何原本》的5條基本公理告訴我們的一切．簡(jiǎn)單來說，它告訴了我們什么是相等，以及等式的傳遞性和協(xié)變性．當(dāng)古埃及人拿著牛皮在地面上忙得不亦樂乎的時(shí)候，忽然有一個(gè)智者哈哈大笑了起來：“你們可真笨，為什么非要用整張牛皮覆蓋住這些土地呢？”那么，關(guān)于平分土地，他又有哪些更好的辦法呢？\h(1)編者注：歐幾里得在《幾何原本》中得出的5條公理原文如下：

（1）等于同量的量彼此相等；

（2）等量加等量，其和仍相等；

（3）等量減等量，其差仍相等；

（4）彼此能夠重合的物體是全等的；

（5）整體大于部分．

為了便于理解，作者在本書中對(duì)順序進(jìn)行了調(diào)整，并對(duì)內(nèi)容進(jìn)行微調(diào)，書中第（3）條“整體等于部分之和”為原文第（5）條的延伸．四初窺幾何證明◎解決直角的牛皮：角度和垂直古埃及人開始用牛皮覆蓋住地面的方式來平分土地，可是有一位智者發(fā)出了不同的聲音：我們?yōu)槭裁捶且谜麖埮Ｆぐ训孛嫔w住呢？要想讓土地的面積相等，只需要長(zhǎng)、寬分別相等就行了．我們完全可以把牛皮搓成牛皮繩，直接用4根牛皮繩圍著土地的邊緣轉(zhuǎn)一圈，把4條邊的長(zhǎng)度都用繩子記錄下來，不就可以了嗎？大家一想：好像也對(duì)，于是很快就都學(xué)會(huì)了這種新辦法，這樣一來就省得折騰那么多張牛皮了，分地的效率也大大提高了！事實(shí)上也沒有那么多塊牛皮可以用，現(xiàn)在我可以告訴你，用整張牛皮蒙住地面的辦法壓根就沒有發(fā)生過．這只是為了講清楚歐幾里得的5條公理虛構(gòu)出來的故事而已．但是，我們剛才提到的用繩子分別測(cè)量邊長(zhǎng)的辦法，可是一直在古埃及流行了好多好多年的．盡管這種辦法是錯(cuò)誤的！它的問題在于：只用繩子量取了土地的四邊長(zhǎng)度，并不能保證土地的形狀是完全一樣的，如果這塊土地不是長(zhǎng)方形的，換句話說，如果長(zhǎng)邊、寬邊不是完全垂直的，那么用這種辦法得到的圖形，它就不是完全相等的．我們?cè)谛W(xué)的時(shí)候?qū)W過，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，但是平行四邊形的面積，可不等于長(zhǎng)乘寬，而是等于長(zhǎng)乘高．可是古代埃及人，他們并不懂得這個(gè)道理．同時(shí)我要說明的是，如果平行四邊形只是傾斜了一點(diǎn)點(diǎn)，它的面積和長(zhǎng)方形的面積差得并不多．比如，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)角度是80度時(shí)，看上去傾斜度就很大了，但是它的面積和斜邊為寬度的長(zhǎng)方形差距卻不到2％．這一點(diǎn)微弱的差別很容易被忽略，所以在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，古埃及人沒有發(fā)現(xiàn)這種方式存在的問題．然而，歷史在發(fā)展，人類在進(jìn)步，隨著測(cè)量精度的不斷提高，他們就慢慢感覺出來了，雖然長(zhǎng)寬一樣，但是這個(gè)傾斜著的土地它好像就是不如長(zhǎng)方形的地種出來的糧食多．于是，大家都不愿意要平行四邊形的土地了，大家都希望能把土地分割得方方正正的．可問題是，要想把土地分割成長(zhǎng)方形，我們就得保證土地的4個(gè)角都是直角．那么新的問題來了，我們用牛皮和繩子，怎么樣才能做出完美的直角呢？這時(shí)，又有一個(gè)人發(fā)明了一個(gè)好辦法：首先他把一張牛皮上下對(duì)折一下，于是就會(huì)在牛皮上折出一條直線的折痕來，然后他再把這張牛皮左右對(duì)折一下，對(duì)折的時(shí)候把原來折的那條水平線對(duì)齊了，這樣就又折出一條新的折痕來．（如圖4－1）經(jīng)常玩折紙的人，應(yīng)該很容易理解我的意思，其實(shí)就是通過兩條折痕，在白紙上折出一個(gè)十字來．現(xiàn)在就好辦了，這個(gè)十字中的任何一個(gè)角都是直角了．這種操作本身很簡(jiǎn)單，大家很容易掌握，可是我要問：為什么通過這種辦法得到的角就是直角呢？其中的關(guān)鍵在于，我們?cè)谡叟Ｆさ臅r(shí)候，是把前面的那條折痕對(duì)齊了的，既然是對(duì)齊了，那就說明折出來的兩個(gè)角是相等的，在此過程中我們利用的是幾何學(xué)的第一公理：相互覆蓋的兩個(gè)東西相等．那么，這兩個(gè)相等的角又分別是多少呢？由于這兩個(gè)角的角度加起來是一個(gè)平角，所以它們的大小就是平角的一半，180度的一半是90度，所以它們當(dāng)然就都是直角了．在這個(gè)過程當(dāng)中，我們可以發(fā)現(xiàn)，任何一張牛皮、任何一張紙，只要是按照這種辦法對(duì)齊了折兩次，他們得到的角都是直角，角的度數(shù)也都是一樣的．這就是歐幾里得的第一個(gè)重要的公設(shè)：凡是直角都相等！\h\h(1)\h圖4－1不過古埃及人可不懂這么多，它們只知道靠著折疊牛皮的辦法，就可以快速得到直角了，然后只要帶有十字折痕的牛皮，往地上一扔，只要土地的長(zhǎng)、寬兩條邊和十字對(duì)齊了，那就說明這個(gè)土地是方的．這塊牛皮好不容易被細(xì)繩取代了，但因?yàn)橐鉀Q直角的問題，它又重新走回來了，看來分土地還是離不開牛皮的幫助．古埃及人可以不管直角是什么，但是我們卻不能不管，現(xiàn)在我們需要繼續(xù)研究幾何問題：直角的定義是什么？除了直角之外，還有哪些角？小學(xué)的時(shí)候我們就學(xué)過，角是射線圍著它的端點(diǎn)轉(zhuǎn)出來的結(jié)果．如果這條射線轉(zhuǎn)了一整圈，那就是360度，叫作周角；如果只轉(zhuǎn)了半圈，就形成了一條直線，這樣的角度是周角的一半，因此就是180度，180度的角叫作平角．平角的一半就是90度，90度的角就叫直角．但是，我們之前說過，幾何學(xué)是沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)，因此，我們不能通過90度來定義直角，那應(yīng)該怎么表達(dá)呢？歐幾里得的定義是：當(dāng)兩條直線相交時(shí)，如果相交所得的兩個(gè)鄰角相等，那么它們兩個(gè)就都是直角．很明顯，他是通過平角的一半定義直角的．同時(shí)他還指出：成直角的兩條直線相互垂直，其中任意一條都叫作另一條的垂線．那么，如果這個(gè)角度小于直角呢？就叫作銳角．為什么叫銳角？因?yàn)檫@個(gè)角度看起來比較尖，比較銳利．反之，如果這個(gè)角度大于直角，就叫作鈍角．這些知識(shí)都是我們小學(xué)的時(shí)候就掌握了的，現(xiàn)在新的問題來了，兩條直線相交以后會(huì)產(chǎn)生4個(gè)角，這些角之間有什么關(guān)系呢？如圖4－2所示，AB和CD兩條直線相交，產(chǎn)生了一個(gè)X形：其中上下的兩個(gè)角∠1和∠3共用了同一個(gè)頂點(diǎn)，還共用了兩條直線，這個(gè)狀態(tài)看起來是針鋒相對(duì)的，就像兩個(gè)牛犄角對(duì)著頂在了一起，所以我們就把這對(duì)角叫作對(duì)頂角．同樣，左右兩邊的∠2和∠4也是對(duì)頂角．只要是共用一個(gè)頂點(diǎn)，共用兩條線的一對(duì)角都叫對(duì)頂角．那么，像∠1和∠2這樣緊挨在一起的又是什么關(guān)系呢？由于∠1和∠2是一條直線被另一條直線裁成兩半了，又因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)彼此緊鄰著，所以我們就把這樣的一對(duì)角叫作鄰補(bǔ)角．因?yàn)榭梢云闯梢粋€(gè)平角，所以兩個(gè)鄰補(bǔ)角之和等于180度．圖4－2這個(gè)鄰補(bǔ)角等于180度很容易理解，那么對(duì)頂角∠1和∠3是什么關(guān)系呢？憑直覺我們都能想到，這兩個(gè)角肯定是相等的關(guān)系．但是為什么兩條直線相交以后，產(chǎn)生的對(duì)頂角就一定是相等的呢？◎世界上第一個(gè)幾何證明：對(duì)頂角相等根據(jù)我們的直覺，兩個(gè)針鋒相對(duì)的對(duì)頂角，它們的大小應(yīng)該是相等的，但是為什么這兩個(gè)角會(huì)相等呢？有人說，這很簡(jiǎn)單，我們有幾何學(xué)的第一公理，只要把這兩個(gè)角度折過來相互覆蓋一下不就知道了嗎？我們還可以用剪刀把一個(gè)角剪下來，和另一個(gè)角拼合在一起，如果這兩個(gè)角相互覆蓋，就是相等的呀！沒錯(cuò)，你提出的這種方法確實(shí)能證明這兩個(gè)角是相等的．但我要讓你證明的是：世界上所有的對(duì)頂角都是相等的．這又該怎么證明呢？瞧見沒有，有意思的事兒來了，我們可以肯定的是，無論你在紙上畫出多少個(gè)對(duì)頂角來，你都可以通過測(cè)量或者通過剪切的方式證明它們是相等的．但問題是，世界上有無數(shù)對(duì)的對(duì)頂角，你要經(jīng)過多少次的驗(yàn)證，才能證明世界上所有的對(duì)頂角都是相等的呢？凡是直角都相等，這已經(jīng)是一個(gè)無須證明的公設(shè)了．那么，對(duì)頂角相等也是一個(gè)無須證明的公理嗎？因?yàn)?，?duì)頂角相等看起來也是簡(jiǎn)單直白的．而且我們還可以通過圖4－3物理模擬的方法來體驗(yàn)一下對(duì)頂角的變化：圖4－3我們?cè)趦筛髯又虚g釘上個(gè)釘子，用這個(gè)活動(dòng)的十字架來模擬一下兩條直線相交的效果．做好了以后，我們可以按住一根棍子不動(dòng)，慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)另一根棍子，于是我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這兩根棍子之間的兩對(duì)對(duì)頂角要么一起增大，要么一起減小．開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩根棍子是重合的，我們也可以認(rèn)為兩根棍子的夾角是0度；當(dāng)兩根棍子慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直的時(shí)候呢，角度都變成了90度；然后我們繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，等兩根棍子再次重合的時(shí)候，我們又可以認(rèn)為角度變成了180度．可見，無論角度具體是多少，反正這對(duì)頂著的兩個(gè)角，就應(yīng)該是相等的．那么，我們是否可以因此判定世界上所有對(duì)頂角都相等呢？不能！為什么呀？因?yàn)?，剛才通過兩根棍子模擬兩直線相交的時(shí)候，沒有使用任何的公理和公設(shè)．這個(gè)效果模擬得再好，也只能作為一個(gè)類比，而不是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明．要想證明世界上所有的對(duì)頂角相等，只能從原來的幾條公理中把它推導(dǎo)出來．那么，對(duì)頂角相等又該怎么證明呢？如圖4－2所示，在AB、CD相交形成的X形中，上下兩個(gè)角∠1和∠3，是一對(duì)對(duì)頂角；左右兩個(gè)角∠2和∠4，也是一對(duì)對(duì)頂角．要想證明對(duì)頂角相等，就必須找到支撐這個(gè)結(jié)論的已知條件和已有的公理定理．那我們就得好好看一看，在這個(gè)兩直線相交形成的X形上，還有哪些條件與此問題有關(guān)，同時(shí)再認(rèn)真想一想，我們已經(jīng)學(xué)過的那些公理之中，有沒有哪個(gè)公理是和對(duì)頂角有關(guān)系的．現(xiàn)在我們就來尋找一下相關(guān)的條件．因?yàn)閷?duì)頂角相等是我們要證明的結(jié)論，所以在找尋已知條件的時(shí)候我們就要先從其他角度找起，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在并不知道對(duì)頂角是什么關(guān)系，所以上下的∠1和∠3就先不看了，我們看看上邊的∠1和左邊的∠4是什么關(guān)系？顯然，它們是一對(duì)鄰補(bǔ)角．因?yàn)樗鼈兿喈?dāng)于直線CD被直線AB切分開了，所以∠1和∠4相加肯定等于一個(gè)平角．我們接著再往下看，下邊的∠3和左邊的∠4是什么關(guān)系呢？也是一對(duì)鄰補(bǔ)角，∠3和∠4拼合起來以后，就是從左上到右下的直線AB，因此∠3和∠4相加也等于一個(gè)平角．現(xiàn)在就有意思了，左邊的∠4和上、下兩個(gè)角都有關(guān)系，它和上邊的∠1是鄰補(bǔ)角，相加等于一個(gè)平角，和下邊的∠3相加也是一個(gè)平角．∠4分別加上∠3和∠1以后，都等于平角，那是不是說明∠3和∠1是相等的呢？不對(duì)！因?yàn)楣砝镱^沒有這么一條．公理里頭說的是等量加等量和相等，并沒有說如果等量加上不同的兩個(gè)東西以后相等，這兩個(gè)東西也就相等．那怎么辦？我們可以把等式變個(gè)形，左邊∠4加上邊的∠1等于平角，是不是也可以寫成∠1＝平角－∠4呢？同理，左邊的∠4加下邊的∠3等于平角，也可以寫作∠3＝平角－∠4，∠1和∠3都等于平角減∠4，這符合哪條公理呢？等量減等量差相等．于是我們就知道了，上下兩個(gè)角一定是相等的．對(duì)頂角相等被證明了嗎？沒有，以上只是我們的思路，接下來，我們就寫出第一個(gè)嚴(yán)格的證明過程：∵∠1＋∠4＝∠COD＝180°，∴∠1＝180°－∠4．∵∠3＋∠4＝∠AOB＝180°，∴∠3＝180°－∠4．又∵∠1＝180°－∠4（已證），∴∠1＝∠3．以上就是一個(gè)幾何定理的完整的證明過程．在這個(gè)過程中，我們所有的根據(jù)都是來源于基本的公理，推理過程的先后順序也是嚴(yán)密的、無懈可擊的．你別看這個(gè)過程很簡(jiǎn)單，這可是數(shù)學(xué)家泰勒斯在公元前7世紀(jì)才證明了的．在此之前，沒有任何人知道為什么對(duì)頂角是相等的．通過這個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，我們可以感受到古希臘數(shù)學(xué)家那種一絲不茍的精神．以后我們?cè)谧鲎C明題的時(shí)候，也要時(shí)刻提醒自己，每一步的根據(jù)是什么，不能無中生有地編造一個(gè)定理，也不能在證明過程中跳過幾個(gè)步驟，即使這些步驟是顯而易見的，也必須一條一條地給出詳細(xì)說明．這時(shí)候，也可能會(huì)有人提出質(zhì)疑，人家讓你證明世界上所有的對(duì)頂角相等，你不也只是證明了紙上畫的一對(duì)對(duì)頂角嗎？證明過程的精妙就在這里了，雖然我在紙上只是畫了一個(gè)圖，但是因?yàn)槲覜]有說自己畫的角的大小是多少，因此，我所證明的不僅是我畫的這一張圖，這一對(duì)角．在圖中我們用到的所有條件，都是世界上任何一組對(duì)頂角擁有的基本條件，因此雖然我證明的是一對(duì)對(duì)頂角相等，但它們可以代表世界上所有的對(duì)頂角都相等．這就是沒有數(shù)字的數(shù)學(xué)，這就是我們?cè)诓恢澜嵌仁嵌嗌俚臈l件下，仍然可以知道兩個(gè)角是相等的．如果我們不用這種邏輯證明，而采用量角器測(cè)量或者采用覆蓋法驗(yàn)證，那就只能驗(yàn)證某兩個(gè)具體的角是相等的，而無法證明世界上所有的對(duì)頂角都相等．可能也有人會(huì)說，對(duì)頂角相等這么明白的事實(shí)，即使不用證明，我們心里也是清楚的．還真不是這樣．要知道，從最基本的公理出發(fā)，僅僅是定理就400多個(gè)，從這400多個(gè)定理再次出發(fā)，間接證明的現(xiàn)象何止幾千幾萬，而要想讓那些看起來不是很直觀的定理得到證明，就必須在這些看起來很明白的定理上下足功夫．這叫不積跬步，無以至千里．◎讓數(shù)學(xué)家頭疼了2000多年的問題：平行公理有一個(gè)讓數(shù)學(xué)家們頭疼了2000多年的一個(gè)問題：平行！我們小學(xué)時(shí)就學(xué)過畫平行線，為什么平行還會(huì)讓人頭疼呢？因?yàn)槠叫惺撬卸x中最難說清的．《幾何原本》上的定義是：在同一平面上，永不相交的兩條直線就叫作平行直線．這句話聽起來還是可以理解的，因?yàn)橹本€是無限長(zhǎng)的，如果這兩條直線不平行，只要它們不斷地延長(zhǎng)下去，間距肯定會(huì)不斷地收緊變窄，最后一定會(huì)相交．所以我們說，同一平面內(nèi)，不相交的線是平行線．然而，難點(diǎn)是我怎么知道兩條直線是平行的呢？難道真的要把兩條直線無限地延長(zhǎng)嗎？如果這兩條直線只是非常接近于平行，我們就得延長(zhǎng)到宇宙的另一頭才能看到它們相交，那不累死了呀！因此，我們只能通過別的辦法判定．什么辦法？歐幾里得給出的辦法是：讓這兩條直線和第三條直線相交．如果相交以后，在同一側(cè)內(nèi)的兩個(gè)角加起來等于180度，這兩條直線就平行．這就是《幾何原本》的最后一條公設(shè)——第五公設(shè)的等價(jià)命題．到現(xiàn)在，我們已經(jīng)把歐幾里得的五條公設(shè)全部說清楚了：第一，兩點(diǎn)之間只能畫一條直線，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)定線；第二，直線無限長(zhǎng)；第三，給定半徑和圓心可以畫個(gè)圓；第四，所有的直角都相等；第五，兩直線被第三條直線所截，如果相交在同一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角相加等于平角，這兩條直線就是相互平行的．\h\h(2)\h和前幾條公設(shè)相比，第五條的描述太復(fù)雜了，所以這也是最讓人頭疼的一條公設(shè)．第五公設(shè)之所以讓人頭疼，就是因?yàn)樗惶庇^，于是很多數(shù)學(xué)家就想辦法把它從公設(shè)里頭剔除掉，如果能夠通過其他的公理把它給證明了，把它降級(jí)為一個(gè)定理就更好了．可惜的是，2000多年過去了，沒有任何人取得成功．不但沒人成功，反而有人證明了第五公設(shè)不可能通過別的公理證明！而且還有人陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了不遵循第五公設(shè)的新的幾何學(xué)，關(guān)于第五公設(shè)有意思的故事有很多，即使講一天也講不完，所以我們就不展開討論了．目前我們學(xué)的還是歐氏幾何，所以我們只能先把它當(dāng)作一個(gè)公設(shè)給記住了．接下來，我們就研究一下兩條平行線被第三條直線所截的情況．我們知道，兩條直線相交可以產(chǎn)生四個(gè)角，那么如果兩條平行直線被第三條直線所截就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，產(chǎn)生八個(gè)角，如圖4－4所示．我們的故事就從這三條線和八個(gè)角的關(guān)系開始了．圖4－4兩條相互平行的水平直線被一條斜線所截后，產(chǎn)生了從∠1到∠8的八個(gè)角，圖中∠4和∠6的關(guān)系就是第五公設(shè)所說的，在截線同一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角，因?yàn)樗鼈兌荚诮鼐€的右側(cè)，而且在平行線的內(nèi)側(cè)，所以它們兩者之間的關(guān)系叫作同旁內(nèi)角．當(dāng)然，在它們對(duì)面的∠3和∠5也是一對(duì)同旁內(nèi)角，因?yàn)樗鼈兺诮鼐€的左側(cè)，并且也在平行線的內(nèi)側(cè)．根據(jù)第五公設(shè)，我們可以推導(dǎo)出：如果兩直線平行，同旁內(nèi)角相加就等于180度．同旁內(nèi)角相加等于180度就能證明兩直線平行，簡(jiǎn)稱同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．這就是平行線的判定定理．同理，既然這種方法能夠判定平行了，那么是不是說兩條直線平行，它產(chǎn)生的同旁內(nèi)角就一定互補(bǔ)呢？沒錯(cuò)！兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這也是一條定理，叫平行線的性質(zhì)定理．性質(zhì)定理和判定定理有什么區(qū)別？性質(zhì)定理是在已經(jīng)知道這兩條直線平行的條件下，可以由此得出哪些角的關(guān)系；而判定定理是說，在不知道這兩條直線平行的情況下，應(yīng)該通過什么條件才能判斷兩條直線平行．那么，是不是只要把判定定理反過來就可以得到性質(zhì)定理呢，是的！比如，四個(gè)角是直角就可以判斷一個(gè)四邊形是長(zhǎng)方形．那反過來長(zhǎng)方形肯定是四個(gè)角相等的．但是，性質(zhì)定理反過來能得到判定定理嗎？這就不一定了，因?yàn)閳D形的性質(zhì)不止一個(gè)，比如正方形的性質(zhì)既有四條邊相等，也包含四個(gè)角相等．我們不能根據(jù)其中的一個(gè)條件就判定某個(gè)圖形一定是正方形！好了，接下來我們繼續(xù)討論平行的問題．在一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的圖形上，如何快速找出同旁內(nèi)角呢？我們可以借助圖4－5中的字母或者漢字的幫助學(xué)習(xí)一下．圖4－5在大寫的英文字母“E”中，由于有上下兩組平行線存在，因此我們至少可以找到三組同旁內(nèi)角：“E”字圖中的∠1和∠2，∠3和∠4，以及∠1和∠4，都是同旁內(nèi)角的關(guān)系；同樣，在漢字“山”字形的內(nèi)部，也有著同樣的三組同旁內(nèi)角．由于我們心中對(duì)這些常用字母和漢字有著非常深刻的印象，因此，在面對(duì)一個(gè)復(fù)雜圖形的時(shí)候，可以利用這些符號(hào)快速捕捉到圖形的特征．說完了字母“E”和漢字“山”，我們?cè)僬f說字母“F”．在一個(gè)大寫的“F”中，同樣存在水平的兩條平行線被一條斜線截?cái)嗟那闆r．在“F”中，兩條水平線中間的∠1和∠2，仍然是同旁內(nèi)角的關(guān)系，兩者之和仍然是180度，但是，在“F”中下面的∠3和上面的∠1又有什么關(guān)