專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題(江蘇真題15道模擬30道)-2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題（江蘇真題15道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升一、解答題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階方點”．例如，點13,13是函數(shù)y=x圖像的“12(1)在①?2,?12；②(?1,?1)；③(1,1)三點中，是反比例函數(shù)(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖像的“n2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W23．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個新的點P′．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點P在某函數(shù)圖像上運動時，點P′也隨之運動，并且點試根據(jù)下列各題中所給的定點A的坐標(biāo)和角度α的大小來解決相關(guān)問題．

【初步感知】如圖1，設(shè)A(1,1)，α=90°，點P是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的動點，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P1（1）點P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點P（2）若點P′的運動軌跡經(jīng)過點P【深入感悟】（3）如圖2，設(shè)A(0,0)，α=45°，點P反比例函數(shù)y=?1x(x<0)的圖像上的動點，過點P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為【靈活運用】（4）如圖3，設(shè)A(1,?3)，α=60°，點P是二次函數(shù)y=12x2+24．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點（點C與點A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C，一定存在線段AC上的點M、線段BC上的點N和直徑AB上的點P、Q，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．(1)正方形_______“等形點”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求OFOG6．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm，B為母線OC的中點，點A在底面圓周上，AC的長為4πcm．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)AD的長為a，點B在母線OC上，OB=b．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時持續(xù)注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時，4小時后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時，同時保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個容器的水位高度相同，停止注水．在整個注水過程中，當(dāng)注水時間為t時，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②△ABC面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠B（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=①線段PB長的最小值為_______；②若S△PCD=29．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點E到達(dá)點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．10．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中AB長為200厘米，AD長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點P處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于1中的木門，當(dāng)模具換成邊長為303厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中心點P處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進(jìn)行滑動雕刻．但當(dāng)模具的一個頂點與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②11．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點（Q在P、H之間）．我們把點P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點”，把PQ?PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點E的坐標(biāo)為(0,4)，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點A、B、C、D．①過點E畫垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點”是點_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+4，求⊙O關(guān)于直線（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點M(1,4)，點F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以F為圓心，2為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點N(?1,0)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是45，求直線l12．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A、B兩個城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關(guān)于l的對稱點A′，線A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點C′，連接AC（2）如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由），①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．13．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）以下虛線框中為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1~4．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=22AC2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.943.93.2（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，選取上表中BC和AC+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；①設(shè)BC=x,AC+BC=y，以(x,y)為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點；②連線；觀察思考（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所面的圖像，猜想．當(dāng)x=時，y最大；（4）進(jìn)一步C猜想：若Rt△MBC中，∠C=90°，斜邊AB=2a(a為常數(shù)，a>0），則BC=時，AC+BC最大．推理證明（5）對（4）中的猜想進(jìn)行證明．問題1．在圖①中完善2的描點過程，并依次連線；問題2．補(bǔ)全觀察思考中的兩個猜想：3_______4_______問題3．證明上述5中的猜想：問題4．圖②中折線B?E?F?G?A是一個感光元件的截面設(shè)計草圖，其中點A,B間的距離是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光線從AB區(qū)域射入，∠BNE=60°14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD中，AB=5cm，點P為對角線AC上的一點，且AP=25cm.如圖①，動點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運動(不包含點C).設(shè)動點M的運動時間為t(s)，ΔAPM的面積為S(cm2)，S與(1)直接寫出動點M的運動速度為cm/s，BC的長度為cm;(2)如圖③，動點M重新從點A出發(fā)，在矩形邊上，按原來的速度和方向勻速運動.同時，另一個動點N從點D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運動，設(shè)動點N的運動速度為vcm/s.已知兩動點M、N經(jīng)過時間xs在線段BC上相遇(不包含點C)，動點M、N相遇后立即停止運動，記此時ΔAPM與ΔDPN的面積為①求動點N運動速度vcm/s②試探究S1?S2是否存在最大值.若存在，求出

15．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）【概念認(rèn)知】：城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定義兩點間距離：d(A，B)＝【數(shù)學(xué)理解】：（1）①已知點A(﹣2，1)，則d(O，A)＝；②函數(shù)y=?2x+4(0≤x≤2)的圖像如圖①所示，B是圖像上一點，d(O，B)＝3，則點B的坐標(biāo)是．（2）函數(shù)y=4（3）函數(shù)y=x【問題解決】：（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由）【專項突破】深挖考點考向，揭示內(nèi)涵實質(zhì)一．解答題（共30小題）1．（2023?濱?？h模擬）如圖1，直線l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點A、B、D的拋物線W叫做直線l的關(guān)聯(lián)拋物線，而直線l叫做拋物線W的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知直線l1：y＝﹣3x+3，求直線l1的關(guān)聯(lián)拋物線W1的表達(dá)式；（2）若拋物線，求它的關(guān)聯(lián)直線l2的表達(dá)式；（3）如圖2，若直線l3：y＝kx+4（k＜0），G為AB中點，H為CD中點，連接GH，M為GH中點，連接OM．若，求直線l3的關(guān)聯(lián)拋物線W3的表達(dá)式；（4）在（3）的條件下，將直線CD繞著C點旋轉(zhuǎn)得到新的直線l4：y＝mx+n，若點P（x1，y1）與點Q（x2，y2）分別是拋物線W3與直線l4上的點，當(dāng)0≤x≤2時，|y1﹣y2|≤4，請直接寫出m的取值范圍．2．（2023?淮安二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點定義為這個函數(shù)圖象上的“互反點”．例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點P（﹣1，1），則P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點”．（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在“互反點”？如果存在，求出“互反點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y＝（x＜0），y＝x+b的圖象上的“互反點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時，求b的值；（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動點，過Q作直線l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x≥m）的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”時，直接寫出m的取值范圍．3．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意的三個點A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的“三點矩形”．在點A，B，C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點A，B，C的“最佳三點矩形”．如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點A，B，C的“三點矩形”，矩形IJCH是點A，B，C的“最佳三點矩形”．如圖2，已知M（4，1），N（﹣2，3），點P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，則點M，N，P的“最佳三點矩形”的周長為，面積為；②若m＝2，點M，N，P的“最佳三點矩形”的面積為24，求n的值；（2）若點P在直線y＝﹣2x+5上．①求點M，N，P的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時m的取值范圍；②當(dāng)點M，N，P的“最佳三點矩形”為正方形時，求點P的坐標(biāo)；（3）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2+bx+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點M，N，P的“最佳三點矩形”面積為12時，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接寫出拋物線的解析式．4．（2023?江都區(qū)一模）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函數(shù)的為（只填序號即可），其上確界為；（2）若反比例函數(shù)y＝（a≤x≤b，a＞0）的上確界是b+1，且該函數(shù)的最小值為2，求a、b的值；（3）如果函數(shù)y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值．5．（2023?如東縣一模）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點O互為“伴隨函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點P（m，3）互為“伴隨函數(shù)”．若當(dāng)m＜x＜7時，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N關(guān)于點C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．6．（2023?如皋市一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點M（x1，y1），N（x2，y2），若x1﹣x2＝y(tǒng)1﹣y2，則稱點M，N互為正等距點，|y1﹣y2|叫做點M，N的正等距．特別地，一個點與它本身互為正等距點，且正等距為0．例如，點（﹣2，3），（1，6）互為正等距點，兩點的正等距為3．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，1）．（1）判斷反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上是否存在點A的正等距點？若存在，求出該點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（2）若與點A的正等距等于4的點恰好落在直線y＝kx+2上，求k的值；（3）若拋物線y＝﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）上存在點A的正等距點B，且點A，B的正等距不超過1，請直接寫出a的取值范圍．7．（2023?常州模擬）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為（只填序號即可），其上確界為；（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值．8．（2023?梁溪區(qū)校級二模）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，規(guī)定：（1）符號[a，b，c]稱為該拋物線的“拋物線系數(shù)”；（2）如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．完成下列問題：（1）若一條拋物線的系數(shù)是[﹣1，0，m+1]，則此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（含參數(shù)m），當(dāng)m滿足時，此拋物線沒有“拋物線三角形”；（2）若拋物線y＝x2+bx的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求出該拋物線的“拋物線系數(shù)”；（3）若一條拋物線的系數(shù)是[a，﹣4a，c]（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點C，頂點為D，已知S△ABD：S四邊形ABCD＝1：4，且tan∠ACB＝．求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．9．（2023?鹽都區(qū)二模）將拋物線y＝ax2的圖象（如圖1）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖象（如圖2），記為C：y2＝x．【概念與理解】將拋物線y1＝4x2和y2＝x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖象，記為：C1：；C2：．【猜想與證明】在平面直角坐標(biāo)系中，點M（x，0）在x軸正半軸上，過點M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點A、B，交拋物線C2于點C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x＝1時，＝；當(dāng)x＝2時，＝；（2）猜想：對任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的猜想；若不成立，請說明理由．【探究與應(yīng)用】（3）利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；（4）若△AOB和△COD中有一個是直角三角形時，求△COD與△AOB面積之差；【聯(lián)想與拓展】（5）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0＜m＜n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過點M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點A、B，交拋物線C4于點C、D．過點A作x軸的平行線交拋物線C4于點E，過點D作x軸的平行線交拋物線C3于點F．對于x軸上任取一點P，均有△PAE與△PDF面積的比值1：3，請直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是．10．（2023?廣陵區(qū)校級三模）【探究】如圖1，點N（m，n）是拋物線上的任意一點，l是過點（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點N作直線NH⊥l，垂足為H．①計算：m＝0時，NH＝；m＝4時，NO＝．②猜想：m取任意值時，NONH（填“＞”、“＝”或“＜”）．【定義】我們定義：平面內(nèi)到一個定點F和一條直線l（點F不在直線l上）距離相等的點的集合叫做拋物線，其中點F叫做拋物線的“焦點”，直線l叫做拋物線的“準(zhǔn)線”．如圖1中的點O即為拋物線y1的“焦點”，直線l：y＝﹣2即為拋物線y1的“準(zhǔn)線”．可以發(fā)現(xiàn)“焦點”F在拋物線的對稱軸上．【應(yīng)用】（1）如圖2，“焦點”為F（﹣4，﹣1）、“準(zhǔn)線”為l的拋物線與y軸交于點N（0，2），點M為直線FN與拋物線的另一交點．MQ⊥l于點Q，直線l交y軸于點H．①直接寫出拋物線y2的“準(zhǔn)線”l：；②計算求值：＝；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心，半徑為1的⊙O與x軸分別交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），直線與⊙O只有一個公共點F，求以F為“焦點”、x軸為“準(zhǔn)線”的拋物線的表達(dá)式．11．（2023?武進(jìn)區(qū)二模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形；（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點上；（3）如圖3，已知四邊形ABCD是以AB為鄰余線的鄰余四邊形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的長度．12．（2023?工業(yè)園區(qū)模擬）【理解概念】如果一個矩形的一條邊與一個三角形的一條邊能夠重合，且三角形的這條邊所對的頂點恰好落在矩形這條邊的對邊上，則稱這樣的矩形為這個三角形的“矩形框”．如圖①，矩形ABDE即為△ABC的“矩形框”．（1）三角形面積等于它的“矩形框”面積的；（2）鈍角三角形的“矩形框”有個；【鞏固新知】（3）如圖①，△ABC的“矩形框”ABDE的邊AB＝6cm，AE＝2cm，則△ABC周長的最小值為cm；（4）如圖②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周長；【解決問題】（5）如圖③，銳角三角形木板ABC的邊AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出該木板的“矩形框”周長的最小值．13．（2023?姑蘇區(qū)一模）定義：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，則∠B+∠C＝°；（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，在OA上取點E，使得DE＝OE，連接DE并延長交AC于點F，∠AED＝3∠EAF．求證：四邊形BCFD是半對角四邊形；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G，OH＝2，DH＝6．①連接OC，若將扇形OBC圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為；②求△ABC的面積．14．（2023?新吳區(qū)二模）定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖a所示．操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處，折痕為AH．操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為矩形．（1）證明：四邊形ABCD為矩形；（2）點M是邊AB上一動點．①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；②若AM＝AD，點N在邊BC上，當(dāng)△DMN的周長最小時，求的值；③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝2，則DR的最小值＝．15．（2023?通州區(qū)一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），給出如下定義：若x，y滿足|xy|＝2|x|+2|y|，且xy≠0，則稱點P為平衡點．例如，點是平衡點．（1）P1（2，2）和P2（，﹣5）兩點中，點是平衡點；（2）若平衡點P在一次函數(shù)的圖象上，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OC＝6．反比例函數(shù)的圖象交邊BC于點D，交邊AB于點E若D，E兩點均為平衡點．求∠ODE的正切值．16．（2023?淮安區(qū)模擬）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對記作canB，這時canB＝＝．容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值是一一對應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：（1）can30°＝，若canB＝1，則∠B＝°．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長．17．（2023?廣陵區(qū)一模）學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：（1）sad60°的值為．A．B．1C．D．2（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是．（3）已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．18．（2023?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．19．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．20．（2023?常州一模）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P、Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M、N間的“圖距離“，記作d（M，N）．已知點A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）d（點O，△ABC）；（2）線段L是直線y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的長度最長時，求線段L兩個端點的橫坐標(biāo)；（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值范圍．21．（2023?秦淮區(qū)二模）【概念認(rèn)識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．22．（2023?常熟市模擬）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．23．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）如果三角形的兩個內(nèi)角a與β叫滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝．（2）如圖（1），AB是半圓的直徑，AB＝10，BC＝6，C是半圓上的點，D是上的點，BD交AC于點E．①若D是的中點．則圖中共有對“準(zhǔn)互余三角形”；②當(dāng)△DEC是“準(zhǔn)互余三角形”時，求CE的長；③如圖（2）所示，若F是上的點（不與B、C重合），G為射線AF上一點，且滿足∠CBG＝2∠CAB．當(dāng)△ABG是“準(zhǔn)互余三角形”時，求AG的長．24．（2023?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是，A，B為⊙O外兩點，AB＝2．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點A′，B′分別為點A，B的對應(yīng)點），線段AA′長度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．（1）如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是；在點P1，P2，P3，P4中，連接點A與點的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；（2）若點A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點A′的坐標(biāo)為；（3）如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個動點，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是；請你在圖2中畫出d取得最小值時的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．25．（2023?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個單位后，使某圖形上所有點在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0），則⊙O對線段AB的“最近覆蓋距離”為3．【概念理解】（1）⊙O對點（3，4）的“最近覆蓋距離”為．（2）如圖②，點P是函數(shù)y＝2x+4圖象上一點，且⊙O對點P的“最近覆蓋距離”為3，則點P的坐標(biāo)為．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，若一次函數(shù)y＝kx+4的圖象上存在點C，使⊙O對點C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，將⊙O對線段DE的“最近覆蓋距離”記為d，則d的取值范圍是．26．（2023?金壇區(qū)二模）對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關(guān)于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標(biāo)是；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關(guān)于⊙T的“倍距點”，求t的值．27．（2023?高郵市校級模擬）A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是；②若在直線y＝2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊）．現(xiàn)有點M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．28．（2023秋?潤州區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′＝2r，則稱P′為點P關(guān)于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關(guān)于⊙C的反稱點P′的示意圖．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，①分別判斷點M（3，1），N（，0），T（﹣1，）關(guān)于⊙O的反稱點是否存在？若存在，直接求其坐標(biāo)；②將⊙O沿x軸水平向右平移1個單位為⊙O′，點P在直線y＝﹣x+1上，若點P關(guān)于⊙O′的反稱點P′存在，且點P′不在坐標(biāo)軸上，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣x+12與x軸，y軸分別交于點A、B，點E與點D分別在點A與點B的右側(cè)2個單位，線段AE、線段BD都是水平的，若四邊形ABDE四邊上存在點P，使得點P關(guān)于⊙C的反稱點P′在⊙C的內(nèi)部，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．29．（2023秋?秦淮區(qū)校級月考）【數(shù)學(xué)概念】我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形．例如，如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙M，且每條邊均與⊙P相切，切點分別為E，F(xiàn)，G，H，因此該四邊形是雙圓四邊形．【性質(zhì)初探】（1）雙圓四邊形的對角的數(shù)量關(guān)系是，依據(jù)是．（2）直接寫出雙圓四邊形的邊的性質(zhì)．（用文字表述）（3）在圖①中，連接GE，HF，求證GE⊥HF．【揭示關(guān)系】（4）根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示．【特例研究】（5）已知P，M分別是雙圓四邊形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若AB＝1，∠BCD＝60°，∠B＝90°，則PM的長為．30．（2023秋?廣陵區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，則稱點P為線段AB的“等角點”．顯然，線段AB的“等角點”有無數(shù)個，且A、B、P三點共圓．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點”？如果有，求出“等角點”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸正半軸上運動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標(biāo)為．2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題13新定義材料閱讀類創(chuàng)新題（江蘇真題15道模擬30道）【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升一、解答題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階方點”．例如，點13,13是函數(shù)y=x圖像的“12(1)在①?2,?12；②(?1,?1)；③(1,1)三點中，是反比例函數(shù)(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖像的“n答案:(1)②③(2)3或?1；(3)1分析：（1）根據(jù)“n階方點”的定義逐個判斷即可；（2）如圖作正方形，然后分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據(jù)“2階方點”有且只有一個判斷出所經(jīng)過的點的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出a的值，并舍去不合題意的值即可得；（3）由二次函數(shù)解析式可知其頂點坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動，作出簡圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過點（n，－n）和點（－n，n）時為臨界情況，求出此時n的值，由圖象可得n的取值范圍．【詳解】（1）解：∵點?2,?12到∴不是反比例函數(shù)y=1∵點(?1,?1)和點(1,1)都在反比例函數(shù)y=1∴(?1,?1)和(1,1)是反比例函數(shù)y=1故答案為：②③；（2）如圖作正方形，四個頂點坐標(biāo)分別為（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），當(dāng)a＞0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，則y=ax?3a+1過點（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入y=ax?3a+1得：2=?2a?3a+1，解得：a=?1把（2，－2）代入y=ax?3a+1得：?2=2a?3a+1，解得：a=3；當(dāng)a＜0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax?3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，則y=ax?3a+1過點（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax?3a+1得：2=2a?3a+1，解得：a=?1；把（－2，－2）代入y=ax?3a+1得：?2=?2a?3a+1，解得：a=3綜上，a的值為3或?1；（3）∵二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的頂點坐標(biāo)為（n∴二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的頂點坐標(biāo)在直線y∵y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1∴二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1的圖象與以頂點坐標(biāo)為（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n如圖，當(dāng)y=?(x?n)2?2n+1過點（n將（n，－n）代入y=?(x?n)2?2n+1解得：n=1，當(dāng)y=?(x?n)2?2n+1過點（－n將（－n，n）代入y=?(x?n)2?2n+1解得：n=14或由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?(x?n)2?2n+1圖象的“n階方點”一定存在，n【點睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“n階方點”的幾何意義，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2答案:（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)y=x2?x的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）b=43或?23分析：（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(3，3)，B(b2，b（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，∴函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；∵函數(shù)y=x2?x，令y=x，則x解得：x1∴函數(shù)y=x（2）∵函數(shù)y=3x，令y=x，則解得：x=3∴函數(shù)y=3x的“等值點”為A(3，∵函數(shù)y=?x+b，令y=x，則x=?x+b，解得：x=b∴函數(shù)y=?x+b的“等值點”為B(b2，b△ABC的面積為12即b2解得：b=43或?2（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于x=m對稱，∴函數(shù)W的解析式為y=x令y=x，則x2?2=x，即解得：x1∴函數(shù)y=x令y=x，則(2m?x)2?2=x，即當(dāng)m≥2時，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個“等值點”的情況；當(dāng)?1<m<2時，觀察圖象，恰有2個“等值點”；當(dāng)m<?1時，∵W1的圖象上恰有2個“等值點”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒有“等值點”，∴△=?整理得：8m+9<0，解得：m<?9綜上，m的取值范圍為m<?98或【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個新的點P′．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點P在某函數(shù)圖像上運動時，點P′也隨之運動，并且點試根據(jù)下列各題中所給的定點A的坐標(biāo)和角度α的大小來解決相關(guān)問題．

【初步感知】如圖1，設(shè)A(1,1)，α=90°，點P是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的動點，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P1（1）點P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點P（2）若點P′的運動軌跡經(jīng)過點P【深入感悟】（3）如圖2，設(shè)A(0,0)，α=45°，點P反比例函數(shù)y=?1x(x<0)的圖像上的動點，過點P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為【靈活運用】（4）如圖3，設(shè)A(1,?3)，α=60°，點P是二次函數(shù)y=12x2+2答案:（1）(1,3)；（2）y=12x+3分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得AP1=AP1（2）根據(jù)題意得出P2（3）先根據(jù)y=?xy=?1x(x<0)計算出交點坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)x≤?1時，先證明△PQA≌△P′MA(AAS)再計算△OM（4）先證明△OAB為等邊三角形，再證明△C′AO≌△CAB(SAS)，根據(jù)在Rt△C′GB中，∠C′GB=90°?∠C′B【詳解】（1）由題意可得:A∴P′1故答案為：(1,3)；（2）∵P′P2坐標(biāo)為∵P1(?1,1)，∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為y=kx+b則?k+b=1∴k=∴原一次函數(shù)表達(dá)式為y=1（3）設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點，則y=?x解得N(?1,1)①當(dāng)x≤?1時作PQ⊥x軸于Q∵∠QAM=∠PO∴∠PAQ=∠∵PM⊥AM∴∠∴在△PQA和△P∠PQA=∠∴△PQA≌△S即S△OM②當(dāng)-1<x<0時作PH⊥于y軸于點H∵∠PO∴∠PON=∠∴∠M=45°?∠∴∠POH=∠PO=45°?∠∴∠POH=∠OM在△POH和△OP∠PHO=∠OM∴△PHO≌△O∴S△（4）連接AB，AC，將B，C繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得B′，C′，作AH⊥x∵A(1,3)∴OH=BH=1∴OA=AB=OB=2∴△OAB為等邊三角形，此時B′與O重合，即連接C′O∴∠CAB=∠∴在△C′AOC∴△∴C′O=CB=1∴作C′G⊥y在Rt△C∴C∴OG=32，即C′1設(shè)過P且與B′C′平行的直線∵S∴當(dāng)直線l與拋物線相切時取最小值則y=即3∴1當(dāng)Δ=0時，得b=∴y=設(shè)l與y軸交于T點∵S∴S==【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的幾何意義、兩函數(shù)的交點問題，函數(shù)的最小值的問題，靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點O是圓心，直徑AB的長是12cm，C是半圓弧上的一點（點C與點A、B不重合），連接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，則△ABC是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為6cm(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C，一定存在線段AC上的點M、線段BC上的點N和直徑AB上的點P、Q，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm答案:(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解分析：（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；（3）當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)CM=13CA，CN=13CB，可證MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作MD⊥AB于點D，NE⊥AB于點E，∴MN=MP=NQ=4cm∵M(jìn)N∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和RtΔMP=NQMD=NE∴RtΔMDP?∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵M(jìn)P=NQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵M(jìn)N=MP，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用上述知識解決問題．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點．若△OAB≌△OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”．(1)正方形_______“等形點”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求OFOG答案:(1)不存在，理由見詳解(2)4(3)1分析：（1）根據(jù)“等形點”的概念，采用反證法即可判斷；（2）過A點作AM⊥BC于點M，根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC（3）根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進(jìn)而有OE=OH，可得OF=【詳解】（1）不存在，理由如下：假設(shè)正方形ABCD存在“等形點”點O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，點O在邊BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴DO∥∵O點在BC上，∴DO與BC交于點O，∴假設(shè)不成立，故正方形不存在“等形點”；（2）如圖，過A點作AM⊥BC于點M，如圖，∵O點是四邊形ABCD的“等形點”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD=42，OA=5，BC∴AB=CD=42，OA=OC∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM∴AB2?B解得：a=3，即MO=3，∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=∴在Rt△AMC中，AC=A即AC的長為45（3）如圖，∵O點是四邊形EFGH的“等形點”，∴△OEF≌△OGH，∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，∵EH∥∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，∴根據(jù)∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，∴OE=OH，∵OF=OH，OE=OG，∴OF=OG，∴OFOG【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，充分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm，B為母線OC的中點，點A在底面圓周上，AC的長為4πcm．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)AD的長為a，點B在母線OC上，OB=b．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．答案:（1）作圖如圖所示；（2）①h+l；②見解析．分析：（1）根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長與母線長求出∠AOC，進(jìn)而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點到圓錐頂點的距離都等于母線長，因此只要螞蟻從點A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路徑長即為圓柱的高h(yuǎn)加上圓錐的母線長l；②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線段GC的長后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進(jìn)一步可以表示出BG、GA，根據(jù)B、G、A三點共線，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長，最后依次代入前面線段表達(dá)式中即可求出最短路徑長．【詳解】解：（1）如圖所示，線段AB即為螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑；設(shè)∠AOC=n°，∵圓錐的母線長為12cm，AC的長為4πcm∴12πn180∴n=60；連接OA、CA，∵OA=OC=12，∴△OAC是等邊三角形，∵B為母線OC的中點，∴AB⊥OC，∴AB=OA×sin（2）①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑為：先沿著過A點且垂直于地面的直線爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點O上，因此，最短路徑長為h+l②螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑（G點為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過的點，圖中兩個C點為圖形展開前圖中的C點）；求最短路徑的長的思路如下：如圖，連接OG，并過G點作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，OG=OC=l，GF=h，OB=b，由AD的長為a，得展開后的線段AD=a，設(shè)線段GC的長為x，則GC的弧長也為x，由母線長為l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足為E，因為OB=b，可由三角函數(shù)求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，因為兩點之間線段最短，∴A、G、B三點共線，利用勾股定理可以得到：AB2=AH2將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長．【點睛】本題考查的是曲面上的最短路徑問題，涉及到圓錐和圓柱以及它們的組合體上的最短路徑問題，解題過程涉及到“兩點之間、線段最短”以及勾股定理和三角函數(shù)等知識，本題為開放性試題，答案形式不唯一，對學(xué)生的空間想象能力以及圖形的感知力要求較高，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時持續(xù)注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時，4小時后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時，同時保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個容器的水位高度相同，停止注水．在整個注水過程中，當(dāng)注水時間為t時，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．答案:（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①a=37.5；②?=?1分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可直接得出正方形ABCD的邊長AB=10，即可求出容器甲的容積；連接FH，由圓周角定理的推論可知FH為直徑，即FH=10，再在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理即可求出EF和EH的長，即可求出容器乙的容積．（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為100平方米，容器乙的底面積為40平方米．①當(dāng)t=4時，根據(jù)題意即可求出此時?的值，即得出M點坐標(biāo)．由MN平行于橫軸，即得出N點坐標(biāo)，即6小時后高度差仍為?米，由此即可列出關(guān)于a的等式，解出a即可．②設(shè)注水b小時后，?乙??甲=0，根據(jù)題意可列出關(guān)于b的等式，解出b即得到P【詳解】（1）由圖知，正方形ABCD的邊長AB=10，∴容器甲的容積為102如圖，連接FH，∵∠FEH=90°，∴FH為直徑．在Rt△EFH中，EF=2EH，F(xiàn)H=10，根據(jù)勾股定理，得EF=45，EH=2∴容器乙的容積為25（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為10×10=100平方米，容器乙的底面積為①當(dāng)t=4時，?=4×25∵M(jìn)N平行于橫軸，∴M4，1.5，N由上述結(jié)果，知6小時后高度差仍為1.5米，∴25×640解得a=37.5．②設(shè)注水b小時后，?乙??解得b=9，即P9，0設(shè)線段PN所在直線的解析式為?=kt+m，∵N6，1.5、P9，0在直線∴1.5=6k+m0=9k+m解得：k=?1∴線段PN所在直線的解析式為?=?1【點睛】本題考查圓的內(nèi)接和外切四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意畫出圖形求出兩個容器的各邊長和理解題意找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②△ABC面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠B（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=①線段PB長的最小值為_______；②若S△PCD=2答案:（1）①2；②3+2；（2）見解析；（3）①97?5分析：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，證明△OBC是等邊三角形，可得半徑；②過點O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，以BC為底，則當(dāng)A與D重合時，△ABC的面積最大，求出OE，根據(jù)三角形面積公式計算即可；（2）延長BA′，交圓于點D，連接CD，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；（3）①根據(jù)tan∠DPC=43，連接PD，設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，12PD為半徑畫圓，可得點P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ，與圓Q交于P′，可得BP′即為BP的最小值，再計算出BQ和圓②根據(jù)AD，CD和S△PCD=23S△PAD推出點P在∠ADC的平分線上，從而找到點P的位置，過點C作CF⊥【詳解】解：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，即半徑為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC=2，∴當(dāng)點A到BC的距離最大時，△ABC的面積最大，如圖，過點O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE=BO2?B∴DE=3+2∴△ABC的最大面積為12×2×3（2）如圖，延長BA′，交圓于點D，連接CD，∵點D在圓上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如圖，當(dāng)點P在BC上，且PC=32∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC=CDPC=4連接PD，設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，12PD∴當(dāng)點P在優(yōu)弧CPD上時，tan∠DPC=43，連接BQ，與圓Q交于P此時BP′即為BP的最小值，過點Q作QE⊥BE，垂足為E，∵點Q是PD中點，∴點E為PC中點，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=∴BE=BC-CE=3-34=9∴BQ=BE2+Q∵PD=CD2+P∴圓Q的半徑為12∴BP′=BQ-P′Q=97?54，即BP的最小值為②∵AD=3，CD=2，S△PCD則CDAD∴△PAD中AD邊上的高=△PCD中CD邊上的高，即點P到AD的距離和點P到CD的距離相等，則點P到AD和CD的距離相等，即點P在∠ADC的平分線上，如圖，過點C作CF⊥PD，垂足為F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF=22=2∵tan∠DPC=CFPF=4∴PF=32∴PD=DF+PF=2+32【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，知識點較多，難度較大，解題時要根據(jù)已知條件找到點P的軌跡．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點E到達(dá)點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．答案:（1）1；（2）3；（3）323；（4）3分析：（1）由ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，可證ΔABE≌ΔCBF即可；（2）連接CF，ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，可證ΔABE≌ΔCBF，可得∠BCF=∠ABC，又點E在C處時，CF=AC，點E在A處時，點F與C重合．可得點F運動的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點H，連接HN，由ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，可證ΔDBM≌ΔHBN，可得NH⊥BC．又點M在C處時，HN=CD=332，點M在D處時，點N與H重合．可求點N（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的BC上運動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+BO2=BC2即，可求x=322，點G【詳解】解:（1）∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE=1；（2）連接CF，∵ΔABC、ΔBEF是等邊三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC，∴CF//AB，又點E在C處時，CF=AC，點E在A處時，點F與C重合．∴點F運動的路徑的長=AC=3；（3）取BC中點H，連接HN，∴BH=1∴BH=1∵CD⊥AB，∴BD=1∴BH=BD，∵ΔABC、ΔBMN是等邊三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴ΔDBM≌ΔHBN，∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又點M在C處時，HN=CD=332，點M在D處時，點N∴點N所經(jīng)過的路徑的長=CD=3（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的BC上運動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2+B∴x=3點G所經(jīng)過的路徑長為BC長=14點H在以BC中點為圓心，BC長為直徑的弧BN上運動，點H所經(jīng)過的路徑長為BN的長度，∵點G運動圓周的四分之一，∴點H也運動圓周的四分一，點H所經(jīng)過的路徑長為BN的長=14故答案為34π；【點睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．10．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中AB長為200厘米，AD長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點P處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于1中的木門，當(dāng)模具換成邊長為303厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中心點P處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進(jìn)行滑動雕刻．但當(dāng)模具的一個頂點與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②答案:（1）480cm；（2）雕刻所得圖案的草圖見解析，圖案的周長為600?120分析：（1）過點P作PE⊥CD,求出PE，進(jìn)而求得該圖案的長和寬，利用長方形的周長公式即可解答；（2）如圖，過P作PQ⊥CD于Q，連接PG,先利用等邊三角形的性質(zhì)求出PQ、PG及∠PGE，當(dāng)移動到點P'時，求得旋轉(zhuǎn)角和點P旋轉(zhuǎn)的路徑長，用同樣的方法繼續(xù)移動，即可畫出圖案的草圖，再結(jié)合圖形可求得所得圖案的周長．【詳解】1如圖，過點P作PE⊥CD,垂足為E∵P是邊長為30cm的正方形模具的中心，∴PE=15cm,同理：A′B′與A'D'與AD之間的距離為15cm,B'C′與BC∴A'B'=C'D'=200?15?15=170cm,B'C'=A'D'=100?15?15=70cm,∴C答：圖案的周長為480cm．2如圖，連接PE、PF、PG,過點P作PQ⊥CD，垂足為Q∵P是邊長為30cm的等邊三角形模具的中心，∴PE=PG=PF,∠PGF=30°∵PQ⊥GF,∴GQ=QF=15∴PQ=CQ?tan30°=15cm,PG=CQ當(dāng)三角形EFG向上平移至點G與點D重合時，由題意可得：△E'F′G′使得E'G'與AD邊重合∴DP'繞點D順時針旋