第二十二章一元二次方程
單元要點分析
教材內(nèi)容
1.本單元教學的主要內(nèi)容.
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應用題.
2.本單元在教材中的地位與作用.
一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，它也是一
種數(shù)學建模的方法.學好一元二次方程是學好二次函數(shù)不可或缺的，是學好高中數(shù)學的奠基工程.應該說,
一元二次方程是本書的重點內(nèi)容.
教學目標
1.知識與技能
了解一元二次方程及有關概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；掌
握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型的方法；應用熟練掌握以上知識解決問題.
2.過程與方法
(1)通過豐富的實例，讓學生合作探討，老師點評分析，建立數(shù)學模型.根據(jù)數(shù)學模型恰如其分地
給出一元二次方程的概念.
(2)結(jié)合八冊上整式中的有關概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等.
(3)通過掌握缺-次項的一元二次方程的解法——直接開方法，導入用配方法解一元二次方程，又
通過大量的練習鞏固配方法解一元二次方程.
(4)通過用已學的配方法解ax2+bx+c=0(aWO)導出解?元二次方程的求根公式，接著討論求根公
式的條件：b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.
(5)通過復習八年級上冊《整式》的第5節(jié)因式分解進行知識遷移，解決用因式分解法解?元二次
方程，并用練習鞏固它.
(6)提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，并用該模型解決實際問題.
3.情感、態(tài)度與價值觀
經(jīng)歷由事實問題中抽象出元二次方程等有關概念的過程，使同學們體會到通過一元二次方程也是刻
畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過
程，使同學們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想：經(jīng)歷設置豐富的問題情景，使學生體會到建立數(shù)學模型解決實際問
題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點
1.一元二次方程及其它有關的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.
3.利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型，并解決這個問題.
教學難點
1.一元二次方程配方法解題.
2.用公式法解一元二次方程時的討論.
3.建立一元二次方程實際問題的數(shù)學模型；方程解與實際問題解的區(qū)別.
教學關鍵
1.分析實際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學模型.
2.用配方法解一元二次方程的步驟.
3.解一元二次方程公式法的推導.
課時劃分
本單元教學時間約需16課時，具體分配如下：
22.1一元二次方程2課時
22.2降次——解一元二次方程7課時
22.3實際問題與一元二次方程4課時
教學活動、習題課、小結(jié)3課時
22.1一元二次方程
第一課時
教學內(nèi)容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念.
教學目標
了解一元二次方程的概念：一般式ax2+bx+c=0（a關0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解
決一些簡單題目.
1.通過設置問題，建立數(shù)學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.
2.一元二次方程的一般形式及其有關概念.
3.解決一些概念性的題目.
4.態(tài)度、情感、價值觀
4.通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情.
重難點關鍵
1.重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題.
2.難點關鍵：通過提出問題，建立?元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元
二次方程的概念.
教學過程
一、復習引入
學生活動：列方程.
問題（1）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、
廣各兒何？”
大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？
如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為尺，根據(jù)題意，得.
整理、化簡，得：.
問題（2）如圖，如果二=烏，那么點C叫做線段AB的黃金分割點.
ABAC
ACB
如果假設AB=1,AC=x,那么BC=,根據(jù)題意，得：.
整理得：.
問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成一個正方形，
那么這個正方形的邊長是多少？
如果假設剪后的正方形邊長為x,那么原來長方形長是,寬是,根據(jù)題意，得：.
整理，得：.
老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學模型，并整理.
二、探索新知
學生活動：請口答下面問題.
（I）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？
（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是兒次？
（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？
老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程.
因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)
的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a^O).這
種形式叫做一元二次方程的一般形式.
一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0(aXO)后，其中ax?是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是
一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.
例1.將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項
系數(shù)及常數(shù)項.
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(a/0).因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必須運用
整式運算進行整理，包括去括號、移項等.
解：去括號，得：
40-16X-10X+4X2=18
移項，得：4X2-26X+22=0
其中二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為-26,常數(shù)項為22.
例2.(學生活動：請二至三位同學上臺演練)將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方
程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項.
分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+l)2+(x-2)(x+2)=1化成ax?+bx+c=O(a/0)的形式.
解：去括號，得：
X2+2X+1+X2-4=1
移項，合并得：2X2+2X-4=0
其中：二次項2x2,二次項系數(shù)2；一次項2x,一次項系數(shù)2；常數(shù)項-4.
三、鞏固練習
教材P32練習1、2
四、應用拓展
例3.求證：關于x的方程(n?-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程.
分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明n?-8m+17W0即可.
證明：m2-8m+17=(m-4)2+1
,/(m-4)2>0
(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0
不論m取何值，該方程都是一元二次方程.
五、歸納小結(jié)(學生總結(jié)，老師點評)
本節(jié)課要掌握：
(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=O(a^O)和二次項、二次項系
數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用.
六、布置作業(yè)
1.教材P34習題22.1k2.
2.選用作業(yè)設計.
作業(yè)設計
一、選擇題
1.在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是().
①3x2+7=。②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2--=0
X
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.px2-3x+p2-q=0是關于x的一元二次方程，則().
A.p=lB.p>0C.pWOD.p為任意實數(shù)
二、填空題
1.方程3x2-3=2x+l的二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為
2.一元二次方程的一般形式是.
3.關于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是.
三、綜合提高題
1.a滿足什么條件時，關于x的方程a(x2+x)=V3x-(X+1)是一元二次方程？
2.關于x的方程(2m2+m)xm+=3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？
3.一塊矩形鐵片，面積為In?,長比寬多3m,求鐵片的長，小明在做這道題時，是這樣做的：
設鐵片的長為X,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道鐵片的長
到底是多少，下面是他的探索過程:
第一步：
X1234
X2-3X-1-3-3
所以，<x<
第二步：
X3.13.23.33.4
X2-3X-1-0.96-0.36
所以，<x<
(1)請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；
(2)通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數(shù)部分為,十分位為
答案：
-、1.A2.B3.C
二、1.3,-2,-4
2.ax+bx+c=O(a#0)
3.aHl
三、1.化為：ax2+(a-V3+l)x+l=0,所以，當a#0時是一元二次方程.
+1=2
2.可能，因為當《?，
2"+mw0
當m=l時，該方程是一元二次方程.
3.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3,4(2)3,3
22.1一元二次方程
第二課時
教學內(nèi)容
1.一元二次方程根的概念；
2.根據(jù)題意判定?個數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目.
教學目標
了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問
題.
提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的?般形式，列式求解：由解給出根的概念；再由
根的概念判定一個數(shù)是否是根.同時應用以上的幾個知識點解決一些具體問題.
重難點關鍵
1.重點：判定一個數(shù)是否是方程的根；
2.難點關鍵：由實際問題列出的?元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.
教學過程
一、復習引入
學生活動：請同學獨立完成下列問題.
問題1.如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻匕梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,那么梯子的
底端距墻多少米？
設梯子底端距墻為xm,那么，
根據(jù)題意，可得方程為
整理，得.
列表：
根據(jù)題意，得
整理，得.
列表：
X01234567891011
老師點評（略）
二、探索新知
提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？
老師點評:(1)問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解.
(3)如果拋開實際問題，問題(1)中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解.
為了與以前所學的一元一次方程等只有一個解的區(qū)別，我們稱：
?元二次方程的解叫做一元二次方程的根.
回過頭來看：x2-36=0有兩個根，一個是6,另一個是一6,但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12
的根也滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是
否確實是實際問題的解.
例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.
解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=2或x=-3是一元二次方程
2X2+10X+12=0的兩根.
例2.你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？
(1)X2-64=0(2)3X2-6=0(3)x2-3x=0
分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義.
解：(1)移項得x?=64
根據(jù)平方根的意義，得：x=±8
即Xi=8,X2=-8
(2)移項、整理，得X2=2
根據(jù)平方根的意義，得x=±J5
即X|=,X2=->/2
(3)因為x?-3x=x(x-3)
所以X2-3X=0,就是x(x-3)=0
所以x=0或x-3=0
即X|=0,X2=3
三、鞏固練習
教材P33思考題練習1、2.
四、應用拓展
例3.要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應該怎樣剪？
設長為xcm,則寬為(x-5)cm
列方程x(x-5)=150,BPx2-5x-150=0
請根據(jù)列方程回答以下問題：
(1)x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由.
(2)完成下表：
X1011121314151617.??
X2-5X-150
(3)你知道鐵片的長x是多少嗎？
分析：x2-5x-15O=O與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式
的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法——“夾逼”方法求出該方程的根.
解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,則寬(x-5)<0,不合題意.
x不可能等于10.理由：如果x=10,則面積X2-5X-150=-100,也不可能.
(2)
X1011121314151617......
X2-5X-150-100-84-66-46-2402654......
(3)鐵片長x=15cm
五、歸納小結(jié)(學生歸納，老師點評)
本節(jié)課應掌握：
(1)一元二次方程根的概念及它與以前的解的相同處與不同處；
(2)要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根；
(3)要會用一些方法求一元二次方程的根.
六、布置作業(yè)
1.教材P34復習鞏固3、4綜合運用5、6,7拓廣探索8、9.
2.選用課時作業(yè)設計.
作業(yè)設計
一、選擇題
1.方程x(x-1)=2的兩根為().
A.Xi=O,X2=lB.X|=0,X2=-lC.xi=l>X2=2D.X|=-l,x2=2
2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().
2
一D.X]=a\X2=b
A.Xi=b,X2=aB.xt=b,X2=C.X|=a,X2=
a
fZ70
3.已知x=-l是方程ax,bx+cX)的根(b#0),則J—+—=().
h
A.1B.-1C.0D.2
二、填空題
1.如果X2-81=0,那么X2-81=0的兩個根分別是X|=,X2=
2.已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為.
3.方程(x+l)2+V2X(x+1)=0,那么方程的根X|=;X2=.
三、綜合提高題
1.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一個根，求(a-b)?+4ab的值.
2.如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)中的二次項系數(shù)與常數(shù)項之和等于一次項系數(shù),
求證：-1必是該方程的一個根.
r2_1尤2_]
3.在一次數(shù)學課外活動中，小明給全班同學演示了一個有趣的變形，即在一)2-2X-~-+1=0,
r2_]
令-----=y,則有y2-2y+l=0,根據(jù)上述變形數(shù)學思想(換元法)，解決小明給出的問題：在(x?」)?+(x?/)
=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的根.
答案：
一、1.D2.B3.A
二、1.9,-92.-133.-I,1-V2
三、1.由已知，得a+b=-3,原式=(a+b)2=(-3)2=9.
2.a+c=b,a-b+c=O,把x=-1代入得
ax24-bx+c=aX(-1)2+bX(-1)+c=a-b+c=O,
A-l必是該方程的一根.
3.Sy=x2-1,貝II『+丫=0,yi=O,丫2=?1，
即當X2-l=0,X]=l,X2=-l；
當y2=-l時，x2-l=-l,x2=0,
X3=X4=0,
**.X]=1,x2=-l,X3=X4=0是原方程的根.
22.2.1直接開平方法
教學內(nèi)容
運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.
教學目標
理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題.
提出問題，列出缺?詼項的一元二次方程ax2+c=O,根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移
到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重難點關鍵
1.重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.
2.難點與關鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n
(n20)的方程.
教學過程
一、復習引入
學生活動：請同學們完成下列各題
問題1.填空
(1)X2-8X+=(x-)2；(2)9X2+12X+(3X+)2；(3)x2+px+(x+)
2
問題2.如圖，在AABC中，/B=90°,點P從點B開始，沿AB邊向點B以Icm/s的速度移動，
點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點同
時出發(fā)，幾秒后aPBQ的面積等于8cm2?
c
老師點評：
問題1：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(K)2￡.
22
問題2：設x秒后aPBO的面積等于8cm2
則PB=x,BQ=2x
依題意，得：—x,2x=8
2
X2=8
根據(jù)平方根的意義，得*=±2啦
BPX1=2V2,X2=-2V2
可以驗證，2夜和-2拉都是方程2x?2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值.
2
所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2.
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了X2=8,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=+2V2,如果X換元為2t+L即(2t+l)
2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢？
(學生分組討論)
老師點評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=±20
即2t+l=2jE,2t+l=-2V2
方程的兩根為力=J5—,t2=-V2—
22
例1：解方程：X2+4X+4=1
分析：很清楚，x?+4x+4是?個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.
解：由已知，得：(x+2)2=1
直接開平方，得：x+2=±l
即x+2=1,x+2=-1
所以，方程的兩根7=-1,X2=-3
例2.市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m?提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.
分析：設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x)；二年后
人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解：設每年人均住房面積增長率為x,
則:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接開平方，得l+x=±1.2
即l+x=L2,l+x=-1.2
所以，方程的兩根是Xi=0.2=20%,X2—2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，X2=-2.2應舍去.
所以，每年人均住房面積增長率應為20%.
（學生小結(jié)）老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？
共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)
化思想”.
三、鞏固練習
教材P36練習.
四、應用拓展
例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平
均增長率是多少？
分析：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x,那么二月份的營業(yè)額就應該是（1+x）,三月份的
營業(yè)額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+X）2.
解：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為X.
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）當成一個數(shù)，配方得：
1,3,
（l+x+-）2=2.56,即（x+-）2=2.56
22
333
x+—=+1.6,即x+—=16x+—=-1.6
222
方程的根為Xi=10%,X2=-3.1
因為增長率為正數(shù)，
所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應掌握：
由應用直接開平方法解形如x2=p（p20）,那么x=±4P轉(zhuǎn)化為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p
（p》0）,那么mx+n=±C，達到降次轉(zhuǎn)化之目的.
六、布置作業(yè)
1.教材P45復習鞏固1、2.
2.選用作業(yè)設計：
一、選擇題
1.若x?-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是()?
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根為().
A.3B.-3C.±3D.無實數(shù)根
2
3.用配方法解方程x2--x+l=0正確的解法是（）.
3
,181,2V2
A.(x--)2=-,x=-+----
3933
1Q
B.(x--)2=一2,原方程無解
39
C.汨)
/2、251
D.(x--)=1,X]=-，X2=?一
333
二、填空題
1.若8x2-16=0,則x的值是.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么，這個一元二次方程的兩根是
3.如果a、b為實數(shù)，滿足J3a+4+b2-12b+36=0,那么ab的值是
三、綜合提高題
1.解關于x的方程(x+m)2=n.
2.某農(nóng)場要建?個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的?邊靠墻(墻長25m),另三邊用木欄圍成，木欄長40m.
(1)雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？
(2)雞場的面積能達到210m2嗎？
3.在一次手工制作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個矩形方框，并
且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框，并說明你制作的理由嗎？
答案：
一、1.B2.D3.B
二、1.土夜2.9或-33.-8
三、1.當n與0時，x+m=±y/n,X|=Vn-m,X2=-V?-m.當n<0時，無解
2.(1)都能達到.設寬為x,則長為40-2x,
依題意，得：x(40-2x)=180
整理，得：X2-20X+90=0,X]=10+JF5,X2=1O-VTO；
同理x(40-2x)=200,xi=X2=10，長為40?20=20.
(2)不能達到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-10<0,無解，即不能達到.
3.因要制矩形方框，面積盡可能大，
所以，應是正方形，即每邊長為1米的正方形.
22.2.2配方法
第1課時
重難點關鍵
1.重點：講清“直接降次有困難，如X2+6X-16=0的一元二次方程的解題步驟.
2.難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.
教學過程
一、復習引入
(學生活動)請同學們解下列方程
(1)3X2-1=5(2)4(x-1)<9=0(3)4x2+16x+16=9
老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p》0)的形式，那么可得
x=±y[pmx+n=±y[p
如：4X2+16X+16=(2X+4)2
二、探索新知
列出下面二個問題的方程并回答：
(1)列出的經(jīng)化筒為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面三個方程的解法呢？
問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳
跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑乂調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”.
大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的1的平方，另一隊猴子數(shù)是12,那么猴子總
8
數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？
問題2：如圖，在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直
的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為SOOOnA道路的寬為多少？
老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：
x=(-x)2+12
8
整理得：X2-64X+768=0
問題2：設道路的寬為x,則可列方程:(20-x)(32-2x)=500
整理，得：X2-36X+70=0
(1)列出的經(jīng)化簡為般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平
方式而后二個不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們
就來講如何轉(zhuǎn)化：
X2-64X+768=0移項fx=2-64x=-768
-64
兩邊加(——)2使左邊配成x?+2bx+b2的形式X2-64X+322=-768+1024
2
左邊寫成平方形式f(x-32)2=256降次fx-32=±16即x-32=16或x-32=-16
解一次方程一XI=48,X2=16
可以驗證：xi=48,X2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.
學生活動：
例1.按以上的方程完成X2-36X+70=0的解題.
老師點評：X2-36X=-70，X2-36X+182=-70+324，(X-18)2=254,X-18=±—254,x-18=j254或x-18=-j254，
Xi-34,X2比2.
可以驗證x產(chǎn)34,X2-2都是原方程的根，但x、34不合題意，所以道路的寬應為2.
例2.解下列關于x的方程
(1)X2+2X-35=0(2)2X2-4X-1=0
分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上.
解：(1)X2-2X=35X2-2X+12=35+1(X-1)2=36x-l=±6
x-l=6,x-l=-6
X]=7,X2=-5
2
可以,驗證xj=7,X2=-5都是X+2X-35=0的兩根.
/、2121
(2)x~-2x?一=0x~-2x=—
22
i3
x2-2x+l2=—+1(x-1)2=一
22
,,V6V6
x-l=±---x-l=------,x-l=----
222
V6屈
X]=1+---，x?=1---
22
可以驗證：X|=l+——?X2=l-J^■都是方程的根.
22
三、鞏固練習
教材P38討論改為課堂練習，并說明理由.
教材P39練習12.⑴、(2).
四、應用拓展
例3.如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發(fā)分別沿
AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是lm/s,兒秒后APCQ的面積為Rt^ACB面積的一半.
分析：設x秒后4PCQ的面積為RtAABC面積的一半，4PCQ也是直角三角形.根據(jù)已知列出等式.
解：設x秒后4PCQ的面積為RtZSACB面積的一半.
根據(jù)題意，得：一(8-x)(6-x)=—X—X8X6
222
整理,得：X2-14X+24=0
(x-7)也25即X|=12,X2=2
xi=12,X2=2都是原方程的根，但幣=12不合題意，舍去.
所以2秒后4PCQ的面積為RtAACB面積的一半.
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應掌握：
左邊不含有x的完全平方形式，左邊是非負數(shù)的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式,
右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程.
一、選擇題
1.將二次三項式x2-4x+l配方后得().
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
2.已知X2-8X+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().
A.X2-8X+(-4)2=31B.X2-8X+(-4)2=1
C.X2+8X+42=1D.X2-4X+4=-11
3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(mWO)的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于().
A.1B.-1C.1或9D.-1或9
二、填空題
1.方程x2+4x-5=0的解是.
J-2_2
2.代數(shù)式一一的值為0,則x的值為
x2-l------------
3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設x+y=z,則原方程可變?yōu)?所以求出z的
值即為x+y的值，所以x+y的值為.
三、綜合提高題
1.已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.
2.如果x2-4x+y'+6y+Jz+2+13=0,求(xy)”的值.
3.新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調(diào)研表明：當銷售價為2900元時，平均
每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤
平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？
答案：
一、1.B2.B3.C
二、1.X|=l,X2=-52.23.Z2+2Z-8=0,2,-4
三、1.(x-3)(x-1)=0,X|=3,X2=l,
??.三角形周長為9(???X2=1,?,?不能構(gòu)成三角形)
2.(x-2)2+(y+3)2+Vz+2=0,
x=2,y=?3,z=-2,(xy)z=(-6)
36
2900—x
3.設每臺定價為x,貝I」：(x-2500)(8+--------X4)=5000,
50
X2-5500X+7506250=0,解得x=2750
22.2.2配方法
第2課時
教學內(nèi)容
給出配方法的概念，然后運用配方法解?元二次方程.
教學目標
了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.
通過復習上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目.
重難點關鍵
1.重點：講清配方法的解題步驟.
2.難點與關鍵：把常數(shù)項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項系數(shù)-半的平方.
教具、學具準備
小黑板
教學過程
一、復習引入
(學生活動)解下列方程：
(1)X2-8X+7=0(2)X2+4X+1=0
老師點評：我們前一節(jié)課，已經(jīng)學習了如何解左邊含有x的完全平方形式，右邊是非負數(shù)，不可以
直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.
解：(1)X2-8X+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9
x-4=±3即xi=7,x2=l
(2)X2+4X=-1X2+4X+22=-1+22
(x+2)2=3即x+2=±G
XI=A/3-2,X2=-A/3-2
二、探索新知
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.
例1.解下列方程
(1)X2+6X+5=0(2)2X2+6X-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完
全平方.
解:(1)移項，得：X2+6X=-5
配方：X2+6X+32=-5+32(X+3)2=4
由此可得:x+3=±2,即Xi=-1,X2=-5
(2)移項，得：2X2+6X=-2
二次項系數(shù)化為1，得：X2+3X=-1
配方X2+3X+(-)2=-1+(-)2(x+-)2=一
2224
,3_^V5_V53_V53
由此可得XH---i--->即X]=------，X2---------
222222
(3)去括號,整理得:X2+4X-1=0
移項，得x，4x=l
配方，得(x+2)2=5
x+2=±V5,即xi=^5-2,X2—V5-2
三、鞏固練習
教材P39練習2.(3)、(4)、(5)、(6).
四、應用拓展
例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
分析：因為如果展開(6x+7)2,那么方程就變得很復雜，如果把(6x+7)看為一個數(shù)y,那么(6x+7)
2=y2,其它的3x+4=4(6x+7)+-,x+l=-(6x+7)因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化,
2266
我們把它稱為換元法.
解：設6x+7=y
E1111
貝lj3x+4=—y+—,x+l=-y?一
2266
依題意，得：y2(—y^—)(—y—)=6
2266
去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72
y2(y2-l)=72,y4-y2=72
、
(/y2—1)2=——289
24
y?=9或y2=-8(舍)
/.y=±3
2
當y=3時t，6x+7=36x=-4x=-—
當y=-3時、6x+7=-36x=-l0x=--
3
25
所以，原方程的根為Xj=,X2=
33
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.
2.作業(yè)設計
一、選擇題
.4_
1.配方法解方程2x2--x?2=0應把它先變形為（）.
3
/1、28/2、2
A.（X--）~=—B.（X--）~=0
393
2.下列方程中，一定有實數(shù)解的是().
A.x2+l=0B.(2x+l)2=0
C.(2x+1)2+3=0D.(—x-a)2=a
2
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,則x+y+z的值是().
A.1B.2C.-1D.-2
二、填空題
1.如果X2+4X-5=0,則*=.
2.無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是數(shù).
3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x與y的關系是.
三、綜合提高題
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0(2)x2+3=2也x
2.已知：x2+4x+y2-6y+13=0,求當工學的值.
x+y
3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡
快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價?元，商場平均每天可多
售出2件.
①若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？
②每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？請你設計銷售方案.
答案：
一、1.D2.B3.B
_十5
一、1.1,-52.正3.x-y=—
4
4413
三、1.(1)y2-2y--=0,y2-2y=§,(y-1)2=—,
,.713_V13V13
y-i=±3，yi=3+1,ya=i——
(2)X2-25/3x=-3(x-VJ)2=0,X]=X2=5/3
2.(x+2)2+(y-3)2=0,xi=-2,yz=3,
.百個_一2-6_8
??區(qū)I式=-----------
1313
3.(1)設每件襯衫應降價x元，則(40-x)(20+2x)=1200,
X2-30X+200=0.XI=10,X2=20
(2)設每件襯衫降價x元時，商場平均每天贏利最多為y,
WiJy=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)
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