2025屆江蘇省常州市數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

2025屆江蘇省常州市數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．4 C．5 D．2．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．4．為了解名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為（）A． B． C． D．5．已知為三條不同直線，為三個不同平面，則下列判斷正確的是（）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則6．設(shè)函數(shù)，其中均為非零常數(shù)，若，則的值是（）A．2 B．4 C．6 D．不確定7．米勒問題，是指德國數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大？）米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點(diǎn)，點(diǎn)是邊邊上的一動點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切時(shí)，最大．若，點(diǎn)在軸上，則當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．8．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．如下圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中①②與成角③與為異面直線④以上四個命題中，正確的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程cosx=12．已知，則__________.13．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．14．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．15．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．16．一個封閉的正三棱柱容器，該容器內(nèi)裝水恰好為其容積的一半（如圖1，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖2，一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)、，，則的值是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)向量，，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.19．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象的一個對稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；（3）對于任意的實(shí)數(shù)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.20．已知函數(shù)f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍21．如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成的角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，得最大值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域和目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線．2、C【解析】

首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出的值.【詳解】，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的定義，屬于簡單題.3、C【解析】

利用函數(shù)的性質(zhì)逐個排除即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋逝懦鼳、B.令又，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除D故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，同時(shí)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】試題分析：由題意知，分段間隔為，故選C.考點(diǎn)：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義，屬于中等題.5、C【解析】

根據(jù)線線位置關(guān)系，線面位置關(guān)系，以及面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)由，可得或或與相交；所以A錯誤；B選項(xiàng)，若，，則，或相交，或異面；所以B錯誤；C選項(xiàng)，若，，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可得，所以C正確；D選項(xiàng)，若，，則或，又，則，或相交，或異面；所以D錯誤；故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查線面，面面有關(guān)命題的判定，熟記空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.6、C【解析】

根據(jù)正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，由，可以得到等式，求出的表達(dá)式，結(jié)合剛得到的等式求值即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的外接圓圓心的橫坐標(biāo)，由的外接圓與邊相切于點(diǎn)，可知的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】由于點(diǎn)是邊邊上的一動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于，則直線的方程為：，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于為銳角，點(diǎn)是邊邊上的一動點(diǎn)，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標(biāo)為的外接圓與邊相切于點(diǎn)，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即，解得：或（舍）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題8、D【解析】

將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑2，可得：解得或結(jié)合圖象可得故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力，在解題時(shí)運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式來計(jì)算，數(shù)形結(jié)合求出結(jié)果，本題屬于中檔題9、D【解析】由已知中正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：

由正方體的幾何特征可得：①不平行，不正確；

②AN∥BM，所以，CN與BM所成的角就是∠ANC=60°角，正確；③與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；

④易證，故，正確；故選D．10、D【解析】

根據(jù)線線、線面和面面平行和垂直有關(guān)定理，對選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，兩個平面垂直，一個平面內(nèi)的直線不一定垂直另一個平面內(nèi)的直線，故A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，兩個平面平行，一個平面內(nèi)的直線和另一個平面內(nèi)的直線不一定平行，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，兩條直線都跟同一個平面平行，它們可能相交、異面或者平行，故C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，根據(jù)平行的傳遞性以及面面垂直的判定定理可知，D選項(xiàng)命題正確.綜上所述，本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面平行和垂直有關(guān)定理的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、x|x=2kπ±【解析】

由誘導(dǎo)公式可得cosx=sinπ【詳解】因?yàn)榉匠蘡osx=sinπ所以x=2kπ±π故答案為x|x=2kπ±π【點(diǎn)睛】本題考查解三角函數(shù)的方程，余弦函數(shù)的周期性和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

對已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、.【解析】

由題意得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定出該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)，整理得，對比可得，，即，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，解題時(shí)要結(jié)合遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來求解，同時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、【解析】

設(shè)三棱錐的外接球半徑為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式可計(jì)算出外接球半徑，最后利用球體的表面積公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，的外接圓直徑為，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，平面，，因此，三棱錐的外接球表面積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球，考查球體表面積的計(jì)算，在求解直棱柱后直棱錐的外接球，若底面外接圓半徑為，高為，可利用公式得出外接球的半徑，解題時(shí)要熟悉這些結(jié)論的應(yīng)用.15、【解析】

利用空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)對應(yīng)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)，則，由題意得：，由此能求出的值．【詳解】設(shè)，則，由題意得：，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩線段比值的求法、三棱柱的體積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再構(gòu)造齊次式求解即可；（2）先由向量的模的運(yùn)算求得，再由求解即可.【詳解】解：（1）若，則，得，所以；（2）因?yàn)?，，則，因?yàn)椋?，即，化簡得，即，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，，所以，故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)構(gòu)造齊次式求值，重點(diǎn)考查了兩角差的正弦公式及二倍角公式，屬中檔題.18、（1）見解析；（2）3030【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求出首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，利用即可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明是等差數(shù)列；(2)可將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)合并求和即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，.因?yàn)?，所以是等差?shù)列.（2）法一：，的前2020項(xiàng)和為：法二：，的前2020項(xiàng)和為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，分組求和的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度中等.19、（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）、、；（3）.【解析】

（1）由函數(shù)的最小正周期求出的值，由圖象的對稱軸方程得出的值，從而可求出函數(shù)的解析式；（2）先利用圖象變換的規(guī)律得出函數(shù)的解析式，然后在區(qū)間上解方程可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（3）對分三種情況、、分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出和，可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，.令，即，即函數(shù)的圖象的對稱軸方程為.由于函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，，，，，則，因此，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，得到函數(shù).再將所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù).令，即，化簡得，得或.由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.因此，函數(shù)在上的零點(diǎn)為、、；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，由于，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，由于，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，，此時(shí)，.所以，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)性質(zhì)求解析式、考查三角函數(shù)圖象變換、三角函數(shù)的零點(diǎn)以及三角函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)在動區(qū)間上的最值，要充分考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.20、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本試題組要是考查了三角函數(shù)的運(yùn)用.21、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】

（1）只需證明PO∥BD