2023-2024學(xué)年江蘇省揚州市各名校高二數(shù)學(xué)下期中易錯題強(qiáng)化訓(xùn)練（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省揚州市各名校高二數(shù)學(xué)下期中易錯題強(qiáng)化訓(xùn)練一．選擇題（共5小題）1．（2023春?高郵市期中）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若直線l與平面α垂直，則實數(shù)x的值為（）A． B．﹣10 C． D．102．（2023春?高郵市期中）（x﹣3y）（x+y）5的展開式中x4y2的系數(shù)是（）A．﹣5 B．5 C．15 D．253．（2023春?高郵市期中）甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A．240 B．192 C．96 D．484．（2023春?泰安期末）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx在區(qū)間[2，4]上存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．[4e4，+∞） B．（2e2，4e4） C．[2e2，+∞） D．（2e2，+∞）

5．（2024?寧波二模）如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2具有相同的焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓x2+y2＝c2上，直線AB與x軸交于點P，直線CP與雙曲線C2交于點Q，記直線AC、AQ的斜率分別為k1、k2，若橢圓C1的離心率為，則k1?k2的值為（）A．2 B． C． D．4二．多選題（共4小題）（多選）6．（2022?杭州模擬）一個不透明的紙箱中放有大小、形狀均相同的10個小球，其中白球6個、紅球4個，現(xiàn)無放回分兩次從紙箱中取球，第一次先從箱中隨機(jī)取出1球，第二次再從箱中隨機(jī)取出2球，分別用A1，A2表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出紅球”；分別用B，C表示事件“第二次取出的都為紅球”，“第二次取出兩球為一個紅球一個白球”．則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．（多選）7．（2023春?高郵市期中）已知圖1中，正方形EFGH的邊長為，A、B、C、D是各邊的中點，分別沿著AB、BC、CD、DA把△ABF、△BCG、△CDH、ΔDAE向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個如圖2所示的多面體，則（）A．平面AEF⊥平面CGH B．直線AF與直線CG所成的角為60° C．直線CG與平面AEF所成角的正切值為 D．多面體ABCD﹣EFGH的體積為（多選）8．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）焦點F的直線與C交于A，B兩點，點A，B在C的準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，B1，∠A1AB的平分線與l相交于點P，O為坐標(biāo)原點，則（）A．AF⊥PF B．三點A、O、B1共線 C．原點O可能是△PAB的重心 D．△OBF可能是正三角形（多選）9．（2023秋?滕州市期中）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，動點P滿足，其中λ∈（0，1），μ∈R，且μ≠0，則（）A．對于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D B．當(dāng)λ+μ＝1時，三棱錐B﹣A1PD的體積為定值 C．當(dāng)時，存在點P，使得∠A1PB＞90° D．當(dāng)時，不存在點P，使得AP⊥平面PCD三．填空題（共4小題）10．（2023春?高郵市期中）已知（m＞1），則的值為．（結(jié)果用數(shù)字作答）

11．（2023春?高郵市期中）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點E是線段DD1的中點，點M是正方形B1BCC1所在平面內(nèi)一動點，若D1M∥平面A1BE，則M點軌跡在正方形B1BCC1內(nèi)的長度為．12．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）已知直線ax+by+c＝0中的a，b，c是取自集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．13．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AB，，AB＝2BC＝2，二面角P﹣AB﹣C的大小為．若三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，則當(dāng)三棱錐P﹣ABC的體積最大時，球O的體積為．

四．解答題（共5小題）14．（2023春?高郵市期中）如圖，在四面體ABCD中，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝45°，，AB＝AC＝3．（1）求的值；（2）已知F是線段CD中點，點E滿足，求線段EF的長．15．（2023春?高郵市期中）甲、乙兩位同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)文化知識答題游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先回答2道題，至少答對一道題后，乙同學(xué)才有機(jī)會答題，同樣也是兩次答題機(jī)會．兩位同學(xué)每答對一道題可獲得5積分，答錯不得分，甲同學(xué)每道題答對的概率均為，乙同學(xué)每道題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響．（1）求乙同學(xué)有機(jī)會答題的概率；（2）記X為甲和乙同學(xué)一共拿到的積分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

16．（2023秋?杭州期中）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1＝2，D，E分別是線段AC，CC1的中點，C1在平面ABC內(nèi)的射影為D．（1）求證：A1C⊥平面BDE；（2）若點F為棱B1C1的中點，求點F到平面BDE的距離；（3）若點F為線段B1C1上的動點（不包括端點），求銳二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范圍．17．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）如圖，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E，記△ABF，△DEF的面積分別是S1，S2，求的取值范圍．18．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝ax和g（x）＝ex+1+x+b，a，b∈R．（1）若直線y＝f（x）與曲線y＝g（x）在（﹣1，g（﹣1））處相切，求實數(shù)a，b的值；（2）若不等式f（x）≤g（x）恒成立，求的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．【解答】解：由題意得，則（x，﹣1，2）＝λ（1，2，﹣4），即x＝λ，﹣1＝2λ，2＝﹣4λ，解得．故選：A．2．【解答】解：多項式的展開式中含x4y2的項為x﹣3y＝（10﹣15）x4y2＝﹣5x4y2，所以x4y2的系數(shù)為﹣5．故選：A．3．【解答】解：先將甲乙捆綁在一起，然后和余下除丙以外的4人排成一排，最后再將丙插在正中間，同時減去甲、乙在丙兩側(cè)的情況，故不同的坐法的種數(shù)為﹣＝240﹣48＝192．【另解】丙在正中間（4號位），甲乙兩人只能坐12，23，56，67號位，有4種情況，考慮甲乙的順序有種情況，剩下的4個位置其他四人全排列有種情況，故不同的坐法的種數(shù)為4＝192．故選：B．4．【解答】解：因為f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx，所以f'（x）＝xex﹣m，因為f（x）在區(qū)間[2，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以存在x∈[2，4]，使得f′（x）＜0，即m＞xex，令g（x）＝xex，x∈[2，4]，則g'（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，所以g（x）＝xex在[2，4]上單調(diào)遞增，所以，所以m＞2e2，即實數(shù)m的取值范圍為（2e2，+∞）．故選：D．5．【解答】解：由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，（a＞b＞0），雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則a2﹣b2＝s2+t2＝c2，由＝，∴4a2＝5c2，∵c2＝a2﹣b2，∴b2＝a2，故橢圓方程為x2+5y2＝a2，聯(lián)立x2+y2＝c2，可得：4y2＝a2﹣c2＝b2，∴y＝±b，x2＝c2﹣b2＝b2，則A（b，b），由對稱性可知A、C兩點關(guān)于原點對稱，A、B兩點關(guān)于x軸對稱，則B（b，﹣b），C（﹣b，﹣b），∴P（b，0），故kCP＝＝，直線CP：y＝（x﹣b）．將A點代入中得，﹣＝1．①s2+t2＝a2﹣b2＝4b2，②②①結(jié)合得到s2＝3b2或5b2，∵a2＝5b2，顯然s＜a，故s2＝3b2，∴t2＝4b2﹣3b2＝b2故雙曲線的方程為﹣＝1．聯(lián)立CP：y＝（x﹣b）與﹣＝1，化為76x2+4bx﹣255b2＝0，設(shè)Q（x0，y0），解得x0＝b，y0＝﹣b，∴Q（b，﹣b），∴k1＝kAC＝，k2＝kAQ＝，∴k1k2＝．故選：B．二．多選題（共4小題）6．【解答】解：由題意得，P（A1）＝，P（A2）＝，A選項，P（A2B）＝＝，P（B|A2）＝，A正確；B選項，P（A1C）＝＝，P（C|A1）＝，B正確；C選項，P（B|A1）＝，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝＝，C錯誤；D選項，P（A2C）＝，D正確．故選：ABD．7．【解答】解：取CD、AB的中點O、M，連接OH、OM，如圖，∵A、B、C、D是正方形EFGH各邊的中點，則CH＝DH，O為CD的中點，∴OH⊥CD．∵平面CDH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，OH?平面CDH，∴OH⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∵O、M分別為CD、AB的中點，則OC∥BM且OC＝BM，且∠OCB＝90°，所以四邊形OCBM為矩形，所以O(shè)M⊥CD，以點O為坐標(biāo)原點，OM、OC、OH所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），E（1，﹣1，1），F(xiàn)（2，0，1），G（1，1，1），H（0，0，1）．選項A，設(shè)平面AEF的一個法向量為，由，取z1＝1，則x1＝1，y1＝﹣1，則．設(shè)平面CGH的一個法向量為，由，取z2＝1，可得x2＝1，y2＝﹣1則，，所以平面AEF與平面CGH不垂直，故A錯誤；選項B，，所以直線AF與CG所成的角為60°，故B正確；選項D，以ABCD為底面，以|OH|為高將幾何體ABCD﹣EFGH補(bǔ)成長方體ABCD﹣A1B1C1D1，則E、F、G、H分別為A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中點，因為AB＝1，OH＝，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為V＝12×＝，＝＝，因此，多面體ABCD﹣EFGH的體積為＝，故D錯誤；選項C，，設(shè)直線CG與平面AEF所成角為θ，則，所以，故C正確．故選：BC．8．【解答】解：如圖，由拋物線定義知|AA1|＝|AF|，又AP平分∠A1AB，∴△AFP≌△AA1P，∴∠AFP＝∠AA1P＝90°，即AF⊥PF，A正確；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為，代入C的方程得y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，，點，直線OA斜率，直線OB1的斜率，∴A、O、B1三點共線，B正確；若原點O是△PAB的重心，而點P的橫坐標(biāo)為，則，即，又，又p＞0，∴，C錯誤；∵，∴△OBF不可能是正三角形，D錯誤．故選：AB．9．【解答】解：對于A選項，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、A1（0，0，a）、B1（a，0，a），設(shè)平面A1B1D的法向量為，則，取y1＝1，可得＝（0，1，1），因為，，設(shè)平面ACP的法向量為，則，取x2＝1，可得＝（1，﹣1，1），因為，即，對于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D，A對；對于B選項，當(dāng)λ+μ＝1時，點P（λa，a，μa），設(shè)平面A1BD的法向量為，則，取x3＝1，可得，且，所以，點P到平面A1BD的距離為，又因為△A1BD的面積為定值，故三棱錐P﹣A1BD的體積為定值，B對；對于D選項，當(dāng)時，，假設(shè)存在點P，使得AP⊥平面PCD，因為DC?平面PCD，則AP⊥DC，，則，可得λ＝0，與題設(shè)條件不符，假設(shè)不成立，故當(dāng)時，不存在點P，使得AP⊥平面PCD，D正確；對于C選項，當(dāng)時，則，則，，故∠A1PB為銳角，C錯誤．故選：ABD．三．填空題（共4小題）10．【解答】解：（m＞1），則m+2m﹣1＝5，解得m＝2，則＝＝＝＝＝126．故答案為：126．11．【解答】解：根據(jù)題意，取BB1的中點P，連接CP、PD1和CD1，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，易得BA1∥CD1，則CD1∥平面A1BE，P為BB1的中點，E為線段DD1的中點，易得CP∥A1E，則CP∥平面A1BE，而CP∩CD1＝C，則平面PCD1∥平面A1BE，若D1M∥平面A1BE，則M∈平面PCD1，又由M∈平面B1BCC1，則M的軌跡為線段PC，又由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則CP＝＝，即M點軌跡在正方形B1BCC1內(nèi)的長度為．故答案為：．12．【解答】解：設(shè)傾斜角為θ，則tanθ＝﹣＞0．a(chǎn)b＜0．集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中元素是相反數(shù)．（1）c＝0，a有兩種取法，b有兩種取法，排除1個重復(fù)（2x﹣2y＝0與x﹣y＝0為同一直線），故這樣的直線有2×2﹣1＝3條；（2）c≠0，則a＝1，b＝﹣2與a＝2，b＝﹣1以及a＝﹣1，b＝2，或a＝﹣2，b＝1時，c有2種取法，滿足題目要求的直線有4×2＝8條．a(chǎn)＝1，b＝﹣1與a＝2，b＝﹣2以及a＝﹣1，b＝1，或a＝﹣2，b＝2時，c有兩種取法，但是化簡后與上面的直線相同，從而，符合要求的直線有3+8＝11條．故答案為：11．13．【解答】解：設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為H，連接AH，考慮到二面角P﹣AB﹣C的大小為，則點H與點C在直線AB的兩側(cè)，因為PH⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PH⊥AB，又PA⊥AB，PA∩PH＝P，PA，PH?平面PAH，所以AB⊥平面PAH，AH?平面PAH，所以∠PAH為二面角P﹣AB﹣C的平面角的補(bǔ)角，所以，又，所以PH＝AH＝2，從而三棱錐P﹣ABC的高為2．又△ABC的面積．所以當(dāng)AB⊥BC時，△ABC的面積最大，最大值為1，所以當(dāng)AB⊥BC時，三棱錐P﹣ABC的體積最大，因此點C和點P在圖中兩全等長方體構(gòu)成的大長方體的體對角線的頂點上，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，因為球O的球心O與△ABC的外接圓的圓心的連線垂直平面ABC，△ABC為AC為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的圓心為AC的中點，所以球O的球心O在底面ABC內(nèi)的射影為線段AC的中點，于是設(shè)．又A（0，0，0），P（﹣2，0，2），由|OA|＝|OP|，得，解得z＝，則球O的半徑R＝，所以球O的體積．故答案為：5π．四．解答題（共5小題）14．【解答】解：（1）在四面體ABCD中，解：（1）設(shè)＝，＝＝，則||＝||＝3，||＝，＜，＞＝∠BAC＝60°，＜，＞＝∠BAD＝45°，＜，＞＝∠CAD＝45°，＝（﹣）?（﹣）＝（﹣）?（﹣）＝?﹣?﹣?+＝||?||cos45°﹣||?||cos60°﹣||?||cos45°+||2＝3×﹣32×﹣3×+32＝；（2）由（1）知，因為＝2，則＝＝，因為F是CD中點，則＝＝（﹣＝﹣，如圖，于是＝++＝﹣++﹣＝﹣++，因||2＝（﹣++）2＝++﹣?﹣?+?＝×9+×9+×2﹣×9×cos60°﹣×3×ccos45°+×3×ccos45°＝，即有||＝，所以線段EF的長為．15．【解答】解：（1）乙同學(xué)有機(jī)會答題的概率為．（2）X的所有可能取值為0，5，10，15，20，，，，，，所以X的分布列為：X05101520P．16．【解答】證明：（1）法一：連結(jié)AC1，∵△ABC為等邊三角形，D為AC中點，∴BD⊥AC，又C1D⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴C1D⊥BD∵AC∩C1D＝D，AC，C1D?平面AA1C1C∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C?平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，由題設(shè)知四邊形AA1C1C為菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分別為AC，CC1中點，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE?平面BDE，∴A1C⊥平面BDE．法二：由C1D⊥平面ABC，BD，AC?平面ABC，∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，又△ABC為等邊三角形，D為AC中點，∴BD⊥AC，則以D為坐標(biāo)原點，所在直線為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，∵，∴BD⊥A1C，DE⊥A1C又∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE?平面BDE，∴A1C⊥平面BDE．解：（2）由（1）坐標(biāo)法得，平面BDE的一個法向量為，∵∴點到F到平面BDE的距離d＝＝＝．解：（3）∵，設(shè)，則，∴，∴，∴；由（1）知A1C⊥平面BDE，∴平面BDE的一個法向量設(shè)平面FBD的法向量，則?＝0，?＝0，即，令，則a＝0，c＝﹣λ，∴，∴|cos＜＞|＝＝＝＝?，令3﹣λ＝t∈（2，3），則λ＝3﹣t，∴|cos＜＞|＝?＝?＝?，∵，∴，∴|cos＜＞|∈（，），即銳二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范圍為．17．【