高等數(shù)學(xué)教案提綱

高等數(shù)學(xué)教案提綱Chapter11InfiniteSeries我們都知道，高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容：極限理論和微積分學(xué)。這一章所要討論的無窮級(jí)數(shù)理論，則是更進(jìn)一步地表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的重要工具，它對(duì)于微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展是非常重要的。實(shí)際上我們已經(jīng)知道，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)比值的極限、定積分是一個(gè)和式的極限，因此，我們說極限思想貫穿于微積分學(xué)的始終，而這一章將提供給我們的是一種“函數(shù)逼近”的思想方法。我曾經(jīng)和大家說過：一本書可以很厚，但基本思想方法不會(huì)很多。因此，無論是從思想方法、還是從重要工具的角度，無窮級(jí)數(shù)的理論都將為我們高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來新的精彩，從而為我們的學(xué)習(xí)畫上一個(gè)比較圓滿的句號(hào)。其實(shí)，我們大家對(duì)無窮級(jí)數(shù)并不陌生，我來舉兩個(gè)基本的例子：第一個(gè)，不知道大家是否記得，在第一章講數(shù)列極限時(shí)，我曾舉過《莊子》天下篇中的一個(gè)中國(guó)古典名例“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。記得當(dāng)時(shí)我還曾跟大家開過玩笑，說：“人生太短暫，做不了太多的事情?！钡?，當(dāng)我們有了極限的工具之后，我們卻可以站在有限、把握無窮。這或許就是數(shù)學(xué)的魅力！現(xiàn)在我們換一個(gè)角度來看這個(gè)問題：①SKIPIF1<0；這是我們看出來的，不是我們算出來的，因?yàn)檫@是無窮多項(xiàng)和的形式。如果是：SKIPIF1<0那么，各位：誰能告訴我，這個(gè)和是什么？②SKIPIF1<0大家都認(rèn)識(shí)，如果現(xiàn)在我問：SKIPIF1<0是什么？大家將作何回答？在中學(xué)大家就使用過數(shù)學(xué)用表，求過SKIPIF1<0的近似值，知道這些數(shù)學(xué)用表是怎樣造出來的嗎？想知道嗎？實(shí)際上，SKIPIF1<0真正的數(shù)學(xué)定義應(yīng)該是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。實(shí)際上，我們中學(xué)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)用表，就是取了這個(gè)無限和的前三項(xiàng)就可以造出來?，F(xiàn)在，無論你是在計(jì)算器上、還是在計(jì)算機(jī)里，你所得到的SKIPIF1<0的值都不過是這個(gè)無窮和的有限項(xiàng)的代數(shù)和，而且可以達(dá)到任意高的精確度。這是什么？這就是“函數(shù)的逼近”！我們將在第四節(jié)之后向大家做完整的交待。此外，如果從物理學(xué)的觀點(diǎn)來看，把一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為一系列基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加形式，這是近代物理中分析處理問題時(shí)一個(gè)很基本的思想方法。在第七節(jié)討論傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，大家將會(huì)看到，比如：在無線電技術(shù)中的矩形波函數(shù)，就可以用一系列正弦波的疊加來無限的逼近。這是后話。實(shí)際上，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)當(dāng)中，級(jí)數(shù)理論以其非常重要的基礎(chǔ)地位而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法中非常重要的數(shù)學(xué)工具。所以，很多有關(guān)這方面的問題，我們都將在這一章當(dāng)中得到完滿的回答！但是，可能有的人就會(huì)說了，為什么要把好好的一個(gè)1寫成這種無窮和的形式？這一方面固然是把確定的東西變?yōu)槟撤N不確定的東西，可是另一方面，它卻同時(shí)也就把某些不易掌握的對(duì)象變?yōu)槲覀兯熘倪^程了。這里，用的不過是加、減、乘、除運(yùn)算而已，這是一種思想方法。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中就曾說過：“如果沒有無窮級(jí)數(shù)和二項(xiàng)式定理，我們又能走多遠(yuǎn)呢？”當(dāng)然，我們每個(gè)人都希望能走得更遠(yuǎn)一些，至少是健康些、快樂些、長(zhǎng)久些。下面，我們就來學(xué)習(xí)這章的第一節(jié)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)。§11.1TheConceptandPropertiesoftheConstantSeries本節(jié)教學(xué)目的：理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，無窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件。這就是我們這節(jié)將要介紹的兩個(gè)方面的問題。一TheConceptoftheConstantSeries如果給定一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，則由它構(gòu)成的表達(dá)式(1)SKIPIF1<0就叫做常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。其中第SKIPIF1<0項(xiàng)SKIPIF1<0叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)(GeneralTerm)。這個(gè)無窮多項(xiàng)的和實(shí)際上是形式上的，我們以往研究的都是有限和，那么，這個(gè)無窮的和本質(zhì)的含義是什么？在這個(gè)無窮和當(dāng)中我們看出來它是1，而在后一個(gè)無窮和當(dāng)中我們真的還一時(shí)看不出來。究竟什么時(shí)候它可以代表這樣一個(gè)確定的數(shù)，什么時(shí)候它又什么都不代表？這個(gè)就涉及到級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念。這里，我們同樣可以先把無窮級(jí)數(shù)的形式寫出來SKIPIF1<0，然后，我讓SKIPIF1<0趨向無窮大，所以說，要想研究無限，我們呢從有限來看有限的變化趨勢(shì)。這樣，什么叫無窮級(jí)數(shù)？無非是SKIPIF1<0越取越多，一直到無窮大。這就寫成了一個(gè)極限的形式，而極限對(duì)我們來說相對(duì)是比較熟悉的內(nèi)容。這時(shí)如果我把級(jí)數(shù)的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和拿來，命名為：(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0稱為級(jí)數(shù)(1)的前SKIPIF1<0項(xiàng)部分和(PartialSum)。那么，這時(shí)候，我們看到了：這個(gè)級(jí)數(shù)究竟代表什么就和它的極限建立起來了聯(lián)系。即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則它們就構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：SKIPIF1<0，通常稱為級(jí)數(shù)(1)的部分和數(shù)列。SKIPIF1<0，當(dāng)然，我們也有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。即，給定級(jí)數(shù)SKIPIF1<0，就有部分和數(shù)列SKIPIF1<0；反之，給定數(shù)列SKIPIF1<0，就有以SKIPIF1<0為部分和數(shù)列的級(jí)數(shù)這樣一來，級(jí)數(shù)這無窮多項(xiàng)的和是什么？就與部分和數(shù)列SKIPIF1<0的極限建立起了密切的聯(lián)系。即：如果數(shù)列SKIPIF1<0存在極限，SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0收斂。當(dāng)著這個(gè)數(shù)列是收斂的時(shí)候，哇！這個(gè)級(jí)數(shù)就代表了一個(gè)確定的數(shù)值，從而級(jí)數(shù)SKIPIF1<0；如果數(shù)列SKIPIF1<0的極限不存在，則稱數(shù)列SKIPIF1<0發(fā)散，從而級(jí)數(shù)SKIPIF1<0不知道會(huì)是什么，可能是無窮大，也可能什么都不代表。如果我們順便說點(diǎn)題外的話，這種發(fā)散的特性在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中也同樣有重要的應(yīng)用，比如，在密碼學(xué)中，規(guī)律性強(qiáng)的密碼不是好的密碼，唰的一下就被別人破譯了，你們家的那點(diǎn)事別人都知道了。這還是小事，要是國(guó)家的大事就慘了。這樣，對(duì)于一個(gè)無窮級(jí)數(shù)它的這兩種發(fā)展趨勢(shì)，我們按照數(shù)列的收斂與發(fā)散情況就可以很容易的、平行的把它推廣到無窮級(jí)數(shù)當(dāng)中去。這就是我們要介紹的：DefinitionTheinfiniteseriesSKIPIF1<0convergesandhassumSKIPIF1<0ifthesequenceofpartialsumsSKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0,thatisSKIPIF1<0.IfSKIPIF1<0diverges,thentheseriesSKIPIF1<0diverges.Adivergentserieshasnosum.定義如果級(jí)數(shù)SKIPIF1<0的部分和數(shù)列SKIPIF1<0有極限SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則稱無窮級(jí)數(shù)SKIPIF1<0收斂，這時(shí)極限SKIPIF1<0叫做這級(jí)數(shù)的和，并寫成SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0沒有極限，則稱無窮級(jí)數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散。顯然，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和SKIPIF1<0是級(jí)數(shù)和SKIPIF1<0的近似值，它們之間的差值：SKIPIF1<0叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)(RemainderTerm)。用近似值SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0所產(chǎn)生的誤差是這個(gè)余項(xiàng)的絕對(duì)值，即誤差是SKIPIF1<0。從上述定義可知，級(jí)數(shù)與數(shù)列極限有著緊密的聯(lián)系。給定級(jí)數(shù)SKIPIF1<0，就有部分和數(shù)列SKIPIF1<0；反之，給定數(shù)列SKIPIF1<0，就有以SKIPIF1<0為部分和數(shù)列的級(jí)數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。按定義，級(jí)數(shù)SKIPIF1<0與數(shù)列SKIPIF1<0同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，且在收斂時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。數(shù)列與級(jí)數(shù)的如此密切的關(guān)系（你中有我，我中有你）表明：對(duì)于數(shù)列極限的一些結(jié)果，無窮級(jí)數(shù)都有相應(yīng)的結(jié)果。但是，在很多情況下，很難把級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列寫成一個(gè)易求極限的表達(dá)式，而級(jí)數(shù)采用無窮多項(xiàng)相加這一特殊形式，具有明顯的直觀性，使用起來更方便。因此，數(shù)列極限的研究，并不能代替級(jí)數(shù)的研究。我們既要看到它們本質(zhì)上、內(nèi)在上的聯(lián)系。又要注意到它們形式上、方法上的區(qū)別。Example1討論等比級(jí)數(shù)（GeometricSeries）SKIPIF1<0的斂散性，其中SKIPIF1<0為公比。解當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0的極限不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。綜上，等比級(jí)數(shù)（GeometricSeries）SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)收斂；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)發(fā)散。如：SKIPIF1<0（前面是看出來的，現(xiàn)在是嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的）；SKIPIF1<0發(fā)散等等。等比級(jí)數(shù)既簡(jiǎn)單又常用，后面會(huì)看到：根據(jù)它的斂散性可以推斷出很多其他級(jí)數(shù)的斂散性，我們應(yīng)當(dāng)熟記它的斂散性。Example2TheTheoryofSpringBall（彈力球問題）：一個(gè)彈力球有這樣的性質(zhì)：當(dāng)它從高度SKIPIF1<0處落到硬地面后，總可以回跳到前一次高度的SKIPIF1<0倍處，其中SKIPIF1<0?；靥鸷笥致湎拢恢比绱诉\(yùn)動(dòng)。求此球在運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)過的總距離SKIPIF1<0（假設(shè)彈力球總是垂直運(yùn)動(dòng)）。解根據(jù)題意我們可以建立此問題的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型：SKIPIF1<0。如果進(jìn)一步求此球在運(yùn)動(dòng)過程中所花的總時(shí)間SKIPIF1<0？留給大家做課外練習(xí)。SKIPIF1<0。其中由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等等。更多深入、有趣的應(yīng)用例子大家將在后繼的象“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”等課程中接觸到。特別地，如果你能有幸地被選拔為我們學(xué)校參加每年一度的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽隊(duì)員，經(jīng)過相對(duì)系統(tǒng)的訓(xùn)練，那你肯定就會(huì)更深刻地體會(huì)到什么是學(xué)數(shù)學(xué)、什么是用數(shù)學(xué)，什么是“書到用時(shí)方恨少。”期待并努力吧！Example3證明：調(diào)和級(jí)數(shù)(HarmonicSeries)SKIPIF1<0是發(fā)散的。證明：用反證法。假若調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，設(shè)它的部分和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0。顯然，對(duì)它的部分和SKIPIF1<0，也有SKIPIF1<0。于是SKIPIF1<0。但另一方面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，與假設(shè)矛盾。這矛盾說明調(diào)和級(jí)數(shù)SKIPIF1<0必定發(fā)散。Example4判別級(jí)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的斂散性。解由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則由定義可知，原級(jí)數(shù)收斂。Example5判別級(jí)數(shù)SKIPIF1<0的斂散性。解由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知原級(jí)數(shù)收斂。對(duì)于本題，雖然后面會(huì)有更簡(jiǎn)潔的解法，但本題解法在于復(fù)習(xí)部分分式的技巧。如果級(jí)數(shù)為：SKIPIF1<0，其斂散性如何？（只分析，不詳解）解由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故原級(jí)數(shù)收斂。顯然運(yùn)算技巧更高一籌。二NecessaryConditionforConvergenceTheorem(NecessaryConditionforConvergence)IftheseriesSKIPIF1<0converges,thenSKIPIF1<0.定理（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)SKIPIF1<0收斂，則SKIPIF1<0。證明設(shè)級(jí)數(shù)SKIPIF1<0的部分和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。兩點(diǎn)說明：1、定理的逆否命題（級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件）是：對(duì)級(jí)數(shù)SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，則級(jí)數(shù)SKIPIF1<0必定發(fā)散。因此，級(jí)數(shù)收斂的必要條件是我們今后審斂時(shí)第一件要做的事情。例如：級(jí)數(shù)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以此級(jí)數(shù)發(fā)散。2、特別值得注意的是：定理的逆命題不成立。即，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于0并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件。有些級(jí)數(shù)雖然一般項(xiàng)趨于0，但仍然是發(fā)散的。最典型的例子就是：調(diào)和級(jí)數(shù)SKIPIF1<0，雖然它的一般項(xiàng)趨于0，但前面已經(jīng)證明它是發(fā)散的。三PropertiesofConvergentSeries給定的級(jí)數(shù)是否收斂？收斂級(jí)數(shù)的和有什么性質(zhì)？這是無窮級(jí)數(shù)的基本問題。應(yīng)予以更多的注意。實(shí)際上，整個(gè)級(jí)數(shù)部分的內(nèi)容也主要圍繞這兩個(gè)問題展開的。一般說來，級(jí)數(shù)的前SKIPIF1<0項(xiàng)部分和SKIPIF1<0的通式是難以寫出的，因此，根據(jù)定義判斷級(jí)數(shù)的收斂性以及求收斂級(jí)數(shù)的和是困難的。而判定一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂或發(fā)散，顯然是級(jí)數(shù)理論中的重要問題。譬如，從級(jí)數(shù)的和來看，欲求其和，首先需判定收斂，若判定了收斂，即使難以求精確和，也可以取足夠多項(xiàng)的部分和作為和數(shù)相當(dāng)好的近似值。為了更深入地研究級(jí)數(shù)收斂性的判別（簡(jiǎn)稱判斂）問題，我們先介紹級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。Property1IfSKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0,thenSKIPIF1<0alsoconverges,andSKIPIF1<0.性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)SKIPIF1<0收斂于和SKIPIF1<0，則級(jí)數(shù)SKIPIF1<0也收斂，且其和為SKIPIF1<0。Property2IfSKIPIF1<0、SKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0andSKIPIF1<0respectively,thenSKIPIF1<0alsoconverges,andSKIPIF1<0.性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別收斂于和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則級(jí)數(shù)SKIPIF1<0也收斂，且其和為SKIPIF1<0。性質(zhì)2也說成：兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。說明：與極限的運(yùn)算法則相類似，我們可有（簡(jiǎn)言之）：“兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的代數(shù)和級(jí)數(shù)必收斂；一收斂級(jí)數(shù)與一發(fā)散級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的代數(shù)和級(jí)數(shù)必發(fā)散；兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的代數(shù)和級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?！贝蠹易约喝フ撟C或舉出反例。Property3Deleting,addingandalteringthefinitetermsoftheinfiniteserieskeeptheconvergenceoftheseries.性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。說明：必須注意的是，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，和是會(huì)改變的。這條性質(zhì)可以使得我們?cè)谛枰臅r(shí)候，可以人為地對(duì)級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)加以改造（這條性質(zhì)也表明級(jí)數(shù)太“偉大了”）。Property4Thetermsofaconvergentseriescanbegroupedinanyway(providedthattheorderofthetermsismaintained),AndthenewseriesSKIPIF1<0willconvergewiththesamesumastheoriginalseries.性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)SKIPIF1<0收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)（不改變?cè)瓉淼捻樞颍┮彩諗?，且其和不變。證明設(shè)級(jí)數(shù)SKIPIF1<0的部分和為SKIPIF1<0，加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)（相應(yīng)于前SKIPIF1<0項(xiàng)）的部分和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依次類推有SKIPIF1<0。可見，數(shù)列SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的一個(gè)子數(shù)列。由數(shù)列SKIPIF1<0的收斂性以及收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系可知，數(shù)列SKIPIF1<0必定收斂，且有SKIPIF1<0，即加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，且其和不變。注意：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，則不能斷定去括號(hào)后原來的級(jí)數(shù)也收斂。例如，級(jí)數(shù)SKIPIF1<0收斂于零，但級(jí)數(shù)SKIPIF1<0確是發(fā)散的。根據(jù)性質(zhì)4可得如下Corollary如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原來的級(jí)數(shù)也發(fā)散。事實(shí)上，倘若原來級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)性質(zhì)4知道，加括號(hào)后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了。四CauchyConvergenceCriteriaTheorem(CauchyConvergenceCriteria)TheseriesSKIPIF1<0convergesifandonlyifforanySKIPIF1<0,thereisanaturalnumberN,suchthatforanySKIPIF1<0,andany