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第2課時函數(shù)的最大（?。┲?/p>

【學習目標】1.了解函數(shù)的最大（小）值的概念及其幾何意義.2.會借助單調性求最值.3.掌握求二

次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法.

知識梳理梳理教材夯實基礎

知識點一函數(shù)的最大值與最小值

最大值最小值

一般地，設函數(shù)y=/（x）的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：DxG/,都有

條件本）三M本）副

Jxo^I,使得"o)=M

結論稱M是函數(shù)y=#x）的最大值稱M是函數(shù)y=*x）的最小值

幾何意義ZU）圖象上最高點的縱坐標ZU）圖象上最低點的縱坐標

思考1若函數(shù)兀則M一定是函數(shù)的最大值嗎？

『答案』不一定，只有定義域內(nèi)存在一點xo,使./Uo）=M時，M才是函數(shù)的最大值，否

則不是.如犬x）=-成立，但3不是/U）的最大值，0才是它的最大值.

思考2若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間『〃，人』上單調遞增，則1x）在區(qū)間『a,〃』上的最大值與最小

值分別是多少？

『答案』最大值為大與，最小值為人”）.

知識點二求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出y=/（x）的圖象，觀察最高點與最低點，最高（低）點的縱坐標即為函數(shù)的最大

（?。┲?

2.運用己學函數(shù)的值域.

3.運用函數(shù)的單調性：

⑴若y=/（x）在區(qū)間hl,bl上單調遞增，則ymax=flQ，

）"min=

⑵若y=/（x）在區(qū)間『a,bl上單調遞減，則Vm“=Aa），

_Xmin—fib、.

4.分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€.

—預習小測自我檢驗—

1.函數(shù)/U）在『一2,2』上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為，最大值為.

-2

『答案』一12

『解析』由圖可知，圖象最低點的縱坐標為一1,圖象最高點的縱坐標為2,所以函數(shù)的

最大值為2,最小值為-1.

2.函數(shù)Kr）=|x|,『一1,3」，則火x）的最大值為.

『答案』3

『解析』根據(jù)圖象（圖略）可知，火X）max=3.

3.函數(shù)>=占在『2,3』上的最大值為.

『答案』1

『解析』：丫二占在『2,3』上單調遞減，.力2=/（2）=1.

4.函數(shù)y=2f+2,x￡R的最小值是.

『答案』2

題型探究探究重點提升素養(yǎng)

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、圖象法求函數(shù)的最值（值域）

例1求函數(shù)y=^+l|—b一2|的最大值和最小值.

-3,xW—1,

解y=|x+l|一|x—2|="2x—l,-1令<2,作出函數(shù)的圖象，由圖可知，『一3,3」.

、3,工22.

儼一x,0WxW2,

跟蹤訓練1已知函數(shù)/（x）=工。求函數(shù)於）的最大值、最小值.

1,x>2,

[x—1

解作出兀0的圖象如圖.

由圖象可知，當x=2時，./）取最大值為2；

當x=T時，取最小值為一"

所以J（x）的最大值為2,最小值為一；.

二、利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值

例2已知函數(shù)卸x）=『十；XGn,+8）.

（1）當a=T時，求函數(shù)./（X）的最小值；

⑵若對任意的xG『1,+8）,式x）>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解（1）當時，式x）=--------=1+套+2.

任取Xl,X2^F1,+°°）,且X1<X2，

所以7U1）一/（12）=（無1一玄）（1一日;），

因為X1<X2且樂>1,X2>1,

所以Xi—X2<0,X]X2>1.

所以4X1）勺（X2）,

即函數(shù)式X）在『1,+8）上單調遞增.

所以函數(shù)於）在『1,+8）上的最小值為

17

11）=1+/+2=5.

;

（2）因為y（x）=->0在/1,+8）上恒成立,

所以f+2x+〃>o在n,+8)上恒成立.

記〉=*+2%+〃，xG[1,+°°),

所以y=(x+Ip+a-1在『1,十8)上單調遞增，

故當x=l時，y取得最小值，最小值為3+a

所以當3+。>0,即a>~3時，40>0恒成立，

所以實數(shù)a的取值范圍為(-3,+8).

(學生)

反思感悟利用函數(shù)的單調性求最值的關注點

(1)若函數(shù)yfx)在區(qū)間『〃，人』上單調遞增，則式x)的最大值為最小值為/(a).

(2)若函數(shù))'=y(x)在區(qū)間Ta,feJJ上單調遞減，則式x)的最大值為/(a),最小值為人6).

(3)若函數(shù)y=/(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出

最大(小)值.函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值.

(4)如果函數(shù)定義域為閉區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調性，還要考慮端點處的函

數(shù)值或者發(fā)展趨勢.

跟蹤訓練2已知函數(shù)/(x)=x+%

⑴求證於)在“，+8)上單調遞增；

(2)求yu)在『1,4」上的最大值及最小值.

⑴證明設

則式制)-A》2)=(X|+()-(及+9

（為―X2）（X1X2-1）

X\X2

,.,1WXI<X2,?'-Xi—X2<0,X\X2>\,.".X\X2~l>0,

.（X1-X2）（X|X2~~1）<0

)

'?X\X2即人》)勺^2.

，小)在n,+8)上單調遞增.

(2)解由(1)可知兀0在『1,4』上單調遞增，

...當x=i時，./U)取得最小值，最小值為yu)=2,

17

當x=4時，氏r)取得最大值，最大值為次4)=彳.

綜上所述，,")在『1,4』上的最大值是,，最小值是2.

三、函數(shù)最值的實際應用

例3某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,

'1,

400x一材，0WxW400,

己知總收益滿足函數(shù)：R(x)=J2其中x是儀器的月產(chǎn)量.

.80000,x>400,

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)兀力

(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益=總成本+利潤)

解(1)設月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100x,

(1

-彳/+3期一20000,04W400,

從而_/U)=j2

60000-100x,x>400.

(2)當0Wx<400時，X%)=-1(X-300)2+25000；

當x=300時，4x)a=250>0,

當x>400時，/(x)=60000—100x單調遞減，

於)<60000-100X400<25000.

當x=300時，25000.

即每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大，最大利潤為25000元.

(學生)

反思感悟解決函數(shù)最值應用題的方法

(1)解實際應用題時要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關系

式，分析函數(shù)的性質，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍.

(2)實際應用問題中，最大利泗、用料最省等問題常轉化為求函數(shù)最值來解決，本題轉化為二

次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思想使問題得到解決.

跟蹤訓練3將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品

每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應為多少元？最大利潤為多少？

解設售價為x元，利潤為y元，單個漲價(尤一50)元，銷量減少10(x—50)個，

銷量為500—10(》-50)=(1000—10幻個，

則y=(X—40)(1000—1Ox)=-10(x-70)2+9000.

故當x=70時，y,?ax=9000.

即售價為70元時，利潤最大，最大利潤值為9000元.

核心素養(yǎng)之直觀想象?--------------------------

分類討論求二次函數(shù)的最值

典例求—25一1在區(qū)間『0,2』上的最大值M(a)和最小值皿a).

解f(x)=(x—a)2—]—a2,對稱軸為x=".

(1)當時，由圖①可知，,/(X)在區(qū)間『0,2』上單調遞增，

所以_/(X)min=y(0)=-1,火X)max=7(2)=3—4a

(2)當OWaWl時，由圖②可知，對稱軸在區(qū)間『0,2』內(nèi),

所以/(X)min=/B)=—1—〃，_/(X)max=/(2)=3—4a.

(3)當l<a<2時，由圖③可知，對稱軸在區(qū)間『0,2』內(nèi)，

所以火X)min=/3)=—1—廿，式X)max=/(0)=-1.

(4)當。>2時，由圖④可知，?r)在『0,2』上單調遞減，

所以./U)min=/(2)=3—4a,y(X)max=KO)=-1.

綜上，M(〃)=,

『素養(yǎng)提升』(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關，求解時要

注意這兩個因素.

(2)利用二次函數(shù)圖象，進行分類討論，提升直觀想象的數(shù)學素養(yǎng).

隨堂演練基礎鞏.固學以致用

--------------------N--------------------

1.函數(shù)火X)的圖象如圖所示，則其最大值、最小值分別為()

B./(0),

D.旭),/3)

『解析』觀察函數(shù)圖象可知，凡r)的最大值、最小值分別為/(0),

2.設函數(shù)式x)=2r—l(x<0),則兀v)()

A.有最大值

B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既無最大值又無最小值

『答案』D

『解析』；段)在(一8,0)上單調遞增，

.\儂勺(0)=-1.

3.函數(shù)y=f—2x,xG[0,3]的值域為()

A.[0,3jB.F-1,OJ

c.r—i,+°°)D.r—1,3j

『答案』D

『解析』,函數(shù)y=*—2x=(x—Ip—1