專題05 生活中的軸對稱（考點(diǎn)清單）（解析版）

專題05生活中的軸對稱（考點(diǎn)清單）【考點(diǎn)1】軸對稱圖形【考點(diǎn)2】軸對稱的性質(zhì)【考點(diǎn)3】軸對稱-最短路線問題【考點(diǎn)4】翻折變換(折疊問題)

【考點(diǎn)5】角平分線的性質(zhì)【考點(diǎn)6】線段垂直平分線的性質(zhì)

【考點(diǎn)7】等腰三角形的性質(zhì)【考點(diǎn)8】等邊三角形的性質(zhì)【考點(diǎn)9】作圖-軸對稱變換【考點(diǎn)10】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案

【考點(diǎn)11】出軌作圖-角平分線和垂直平分線

【考點(diǎn)1】軸對稱圖形

1．（2023秋?石景山區(qū)期末）我國在環(huán)保方面取得的成就，為可持續(xù)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．以下四個(gè)環(huán)保標(biāo)志分別是“綠色食品”“節(jié)水”“安全飲品”“循環(huán)再生”，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C．2．（2023秋?海曙區(qū)校級期末）第19屆杭州亞運(yùn)會上，中國運(yùn)動員全力以赴地參賽，最終取得驕人戰(zhàn)績．下列運(yùn)動標(biāo)識中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖形可知，選項(xiàng)B為軸對稱圖形．故選：B．3．（2023秋?徐州期末）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【考點(diǎn)2】軸對稱的性質(zhì)4．（2023秋?嵊州市期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∠A＝45°，∠B′＝110°，則∠C度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．35°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∠B′＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故選：C．5．（2023秋?定南縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則∠CAB'的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故選：A．6．（2023秋?射洪市期末）如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面積是30cm2，△ACD與△AED關(guān)于AD所在的直線成軸對稱，則AE的長度為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面積是30cm2，∴，∴BC＝12cm，∵△ACD與△AED關(guān)于AD所在的直線成軸對稱，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝13cm．故選：B．7．（2023秋?莊浪縣期末）如圖，∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，P1，P2分別是P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周長是5cm，∴P1P2＝5cm．故選：C．8．（2023秋?文登區(qū)期末）如圖的2×5的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解答】解：如圖所示：都是符合題意的圖形．故選：C．9．（2023秋?南康區(qū)期末）如圖，AD是三角形ABC的對稱軸，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，若BD＝2，AD＝3，則圖中陰影部分的面積是3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AD是三角形ABC的對稱軸，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD＝DC，∴S△EFB＝S△EFC，∴S陰影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD?AD＝×2×3＝3．故答案為3．10．（2023秋?信州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，則△DBE的周長為11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案為：11．11．（2023秋?上城區(qū)期末）按如圖的方法折紙，則∠1+∠2＝90°．【答案】90．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠2+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，即∠1+∠2＝90°，故答案為：90．12．（2023秋?雙遼市期末）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點(diǎn)D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝72°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案為：72．【考點(diǎn)3】軸對稱-最短路線問題

13．（2023秋?陽新縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果點(diǎn)D，E分別為BC，AB上的動點(diǎn)，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8【答案】B【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)A'E⊥AB，交BC于點(diǎn)D.則AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值為A'E．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，AA'＝12，∵S△AA'B＝，∴A'E＝＝＝9.6，即AD+DE的最小值為9.6．故選：B．14．（2023秋?城口縣期末）四邊形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN周長最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為（）A．58° B．64° C．61° D．74°【答案】B【解答】解：如圖，延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對稱，A、A″關(guān)于CD對稱，此時(shí)△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故選：B．15．（2023秋?湖北期末）如圖，∠MON＝45°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，A為OM上一點(diǎn)，B為ON上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．90° C．100° D．135°【答案】B【解答】解：如圖，作出P點(diǎn)關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P1，P2連接P1，P2交OM，ON于A、B兩點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周長最小，由題意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故選：B．16．（2023秋?啟東市期末）如圖，∠AOB＝20°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是邊OB、OA上的動點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β﹣α的值為（）A．10° B．20° C．40° D．60°【答案】C【解答】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故選：C．17．（2023秋?西城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點(diǎn)D，E是邊AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是邊AC，BC上的兩個(gè)動點(diǎn)．當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時(shí)，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°【答案】B【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E'，連接D'E'分別交AC，BC于點(diǎn)M'，N'，連接ME'，ND'，EM'，DN'，則ME＝ME'，ND＝ND'，∴四邊形DEMN的周長＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE長固定，∴點(diǎn)M與M'重合，點(diǎn)N與點(diǎn)N'重合時(shí)，四邊形DEMN的周長最小，此時(shí)∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N，由對稱性和三角形外角性質(zhì)可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），設(shè)DD'與BC交于點(diǎn)H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時(shí)，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故選：B．【考點(diǎn)4】翻折變換(折疊問題)

18．（2023秋?騰沖市期末）如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，已知∠CED'＝50°，則∠AED的大小是（）A．50° B．55° C．65° D．75°【答案】C【解答】解：由折疊的性質(zhì)，∠DEA＝∠AED′，∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°．本題選C．19．（2023秋?荔城區(qū)期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，M為AD邊的中點(diǎn)，將紙片沿BM、CM折疊，使點(diǎn)A落在A1處，點(diǎn)D落在D1處，若∠1＝32°，則∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，∵∠1＝32°，∴∠AMB+∠DMC＝74°，∴∠BMC＝74°+32°＝106°，故選：B．20.（2023秋?驛城區(qū)期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，點(diǎn)B、A′、C′在同一直線上．若∠CBD＝70°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．70°【答案】A【解答】解：由折疊可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，∴∠ABE＝20°，故選：A．21．（2023秋?海滄區(qū)期末）如圖，一張長方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，連接EF．將∠BEF對折，點(diǎn)B落在直線EF上的點(diǎn)B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點(diǎn)A落在直線EF上的A′處，得折痕EN．若∠FEA＝74°，則∠BEM的度數(shù)是（）A．63° B．55° C．53° D．56°【答案】C【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知，∠AEN＝∠NEF，∠BEM＝∠FEM，∵∠FEA+∠FEM+∠BEM＝180°，∴∠BEM＝（180°﹣∠FEA）＝53°．故選：C．22．（2023秋?夏津縣期末）數(shù)學(xué)活動：折紙中的數(shù)學(xué)【知識背景】我們在第四章《幾何圖形初步》中學(xué)習(xí)了角的平分線，并會用折紙的方法作角平分線．如圖4.3﹣11是教材第135頁的探究，將紙片折疊使QP與QR重合，QM是折痕，此時(shí)∠PQM與∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射線QM是∠PQR的平分線．【知識初探】（1）如圖（1），點(diǎn)P，Q分別是長方形紙片ABCD的對邊AB，CD上的點(diǎn)，連結(jié)PQ，將∠APQ和∠BPQ分別對折，使點(diǎn)A，B都分別落在PQ上的A′和B′處，點(diǎn)C落在C′處，分別得折痕PN，PM，則∠NPM的度數(shù)是90°；【類比再探】（2）如圖（2），將長方形ABCD紙片分別沿直線PN，PM折疊，使點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A′，B′處，PA′和PB′不在同一條直線上，且被折疊的兩部分沒有重疊部分．①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度數(shù)；②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度數(shù)（用含α的式子表示）；【拓展探究】（3）將長方形ABCD紙片分別沿直線PN，PM折疊，使點(diǎn)A，B，C分別落在點(diǎn)A'，B'，C′處，PA′和PB′不在同一條直線上，且被折疊的兩部分有重疊部分，如圖（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），請直接寫出∠NPM的度數(shù)（用含α的式子表示）．【答案】（1）90°；（2）①100°；②∠NPM＝90°+；（3）∠NPM＝90°﹣．【解答】解：（1）由折疊可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵∠APN+∠A′PN+∠BPM+∠B′PM＝180°，∴2∠A′PN+2∠B′PM＝180°，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°，即∠NPM＝90°．故答案為：90°；（2）①由折疊可知，∠APA′＝2∠APN＝2∠A′PN＝60°，∠BPB′＝2∠BPM＝2∠B′PM，∵∠A′PB′＝20°，∴∠BPB′＝180°﹣∠APA′﹣∠A′PB′＝100°，∴∠BPM＝∠B′PM＝BPB′＝50°，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝100°；②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），則∠APA′+∠BPB′＝180°﹣α，∴∠A′PN+∠A′PB′＝（∠APA′+∠BPB′）＝90°﹣，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝90°﹣+α＝90°+．（3）由折疊可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵2∠A′PN+2∠B′PM＝180°+α，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°+，∴∠NPM＝∠A′PN+∠B′PM﹣∠A′PB′＝90°+﹣α＝90°﹣．

【考點(diǎn)5】角平分線的性質(zhì)

23．（2023秋?哈密市期末）三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【解答】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．故選：C．24．（2023秋?興隆縣期末）如圖，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，點(diǎn)E是射線OB上的動點(diǎn)，則PE的最小值為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，過點(diǎn)P作PE'⊥OB于點(diǎn)E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值為3cm．故選：B．25．（2023秋?保定期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積是（）A．30 B．15 C．20 D．27【答案】B【解答】解：過D作DH⊥AB于H，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DH＝DC＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面積＝AB?DH×10×3＝15．故選：B．26．（2023秋?韶關(guān)期末）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【解答】解：過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周長是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故選：B．27．（2023秋?曹縣期末）如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點(diǎn)P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：（1）PE＝PF；（2）點(diǎn)P在∠COD的平分線上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分線，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正確；（2）與（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴點(diǎn)P在∠COD的平分線上，∴（2）正確；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）錯(cuò)誤；故選：C．28．（2023秋?東城區(qū)期末）如圖，△ABC的外角的平分線BD與CE相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AC的距離為3，則點(diǎn)P到AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE相交于點(diǎn)P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故選：C．29．（2023秋?銅官區(qū)期末）如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)有（）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處．故選：D．【考點(diǎn)6】線段垂直平分線的性質(zhì)

30．（2023秋?欽州期末）如圖，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，△BCE的周長是15，則AC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵△BCE的周長是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，則，解得，AC＝9，BC＝6，故選：D．31．（2023秋?寧津縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若△ABC周長為16，AC＝6，則DC為（）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周長為16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故選：A．32．（2023秋?丹江口市期末）如圖，∠BAC＝140°，若DM和EN分別垂直平分AB和AC，則∠DAE等于（）A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分別垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故選：A．33．（2023秋?嵩縣期末）如圖，兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【答案】C【解答】解：獵狗到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：C．34．（2023秋?天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長為6．（1）AD與BD的數(shù)量關(guān)系為AD＝BD．（2）求BC的長．（3）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為16，求OA的長．【答案】（1）AD＝BD；（2）6；（3）5．【解答】解：（1）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，故答案為：AD＝BD；（2）∵l2是線段AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∵△ADE的周長為6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∵l2是線段AC的垂直平分線，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周長為16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．

【考點(diǎn)7】等腰三角形的性質(zhì)

35．（2023秋?江陵縣期末）一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的周長為（）A．13cm B．17cm C．7cm或13cm D．不確定【答案】B【解答】解：當(dāng)3cm是腰時(shí)，3+3＜7，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去；當(dāng)7cm是腰時(shí)，周長＝7+7+3＝17cm．故它的周長為17cm．故選：B．36．（2023秋?建華區(qū)期末）若等腰三角形中有一個(gè)角為50度，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，則頂角為：180°﹣50°×2＝80°；②50°為頂角；所以頂角的度數(shù)為50°或80°．故選：D．37．（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且AE＝AD，則∠AED的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，故選：C．38．（2023秋?敘州區(qū)期末）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當(dāng)固定點(diǎn)B，C到桿腳E的距離相等，且B，E，C在同一直線上時(shí)，電線桿DE就垂直于BC．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）A．等邊對等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形“三線合一” D．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：C．39．（2023秋?自貢期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，連接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，則∠DAC為（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故選：C．40．（2023秋?延邊州期末）【數(shù)學(xué)知識】等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)非常重要．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，若∠C＝58°，則∠BAD的度數(shù)為32°；【數(shù)學(xué)應(yīng)用】如圖②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分別為△ABC和△AEF的中線，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度數(shù)；【拓展】如圖③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分別為△ABC和△ABE的中線，AD與BE交于點(diǎn)O，若∠AOF＝69°，則∠CAE的度數(shù)為42°．【答案】【數(shù)學(xué)知識】32°；【數(shù)學(xué)應(yīng)用】67°；【拓展】42°．【解答】解：【數(shù)學(xué)知識】∵AB＝AC，AD是中線，∠C＝58°，∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝32°，故答案為：32°；【數(shù)學(xué)應(yīng)用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分別為△ABC和△AEF的中線，∴，∠EAG＝∠EAF，∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，∴∠DAG＝55°+12°＝67°；【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分別為△ABC和△ABE的中線，∴AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，∴∠AOF+∠OAF＝90°，∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，故答案為：42°．【考點(diǎn)8】等邊三角形的性質(zhì)

41．（2022春?沂源縣期末）如圖，a∥b，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線b上，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，過C作CM∥直線l，∵直線l∥直線m，∴直線l∥直線m∥CM，∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，∴∠1＝∠MCB＝20°，∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，故選：C．42．（2023秋?老河口市期末）如圖所示，△ABC是邊長為20的等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則BE+CF＝（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【解答】解：設(shè)BD＝x，則CD＝20﹣x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°?BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故選：B．43．（2023秋?萬州區(qū)期末）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故選：B．44．（2023秋?岑溪市期末）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3、…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A9B9A10的邊長為（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1，∴△A9B9A10的邊長為29﹣1＝28＝256．故選：D．45．（2023秋?海南期末）如圖，在等邊△ABC中AB＝4，BD是AC邊上的高，點(diǎn)E在BC的延長線上，∠ACB＝2∠E，則BE的長為（）A．4.5 B．5 C．6 D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故選：C．46．（2023秋?靖宇縣期末）如圖，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間最小的三角形的邊長是3，則六邊形的周長為（）A．90 B．60 C．50 D．30【答案】A【解答】解：設(shè)等邊△ABC的邊長為a．∵9個(gè)三角形都是等邊三角形，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，GF＝HF＝MG＝a+6，MN＝MW＝a+9．∵NW＝NA+AW，∴a+9＝2a．∴a＝9．∴拼成的六邊形的周長為：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9＝7a+27＝63+27＝90．故選：A．47．（2023秋?鄒平市期末）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，DB'、EB'分別交邊AC于點(diǎn)F、G．如果測得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝84°．【答案】84°．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠GEC＝36°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，由翻折的性質(zhì)得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∴∠BDE＝∠FDE＝48°，∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．故答案為：84°．【考點(diǎn)9】作圖-軸對稱變換

48．（2023秋?哈密市期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1的各頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2；（3）在x軸上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，請標(biāo)出P點(diǎn)，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，0）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．（3）如圖，點(diǎn)P即為所求，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．故答案為：（2，0）．49．（2023秋?和平縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，4），點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，畫出△ABC；（2）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′；（3）在y軸上存在一點(diǎn)D，使得S△ACD＝S△ABC，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（