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廣西賀州市平桂區(qū)高級(jí)中學(xué)新高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°2.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長(zhǎng)度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.3.在四面體中,為正三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.4.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.645.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A. B. C. D.16.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i7.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1088.已知函數(shù)的值域?yàn)?,函?shù),則的圖象的對(duì)稱中心為()A. B.C. D.9.若兩個(gè)非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.10.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.11.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.312.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)f(x)=x2﹣xlnx的圖象在x=1處的切線方程為_____.14.已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中平面,是正三角形,,則該球的表面積為______.15.已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí),則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.16.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證:.19.(12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購買每滿元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次,若擲得點(diǎn)數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng);否則獲得三等獎(jiǎng),結(jié)束抽獎(jiǎng),已知抽獎(jiǎng)箱中裝有個(gè)紅球與個(gè)白球,抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷鰝€(gè)球,若個(gè)球均為紅球,則獲得一等獎(jiǎng),若個(gè)球?yàn)閭€(gè)紅球和個(gè)白球,則獲得二等獎(jiǎng),否則,獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率;若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為,若商場(chǎng)希望的數(shù)學(xué)期望不超過元,求的最小值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線的切線;(2)用表示、中的最大值,設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21.(12分)2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng),治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時(shí),可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后,才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.22.(10分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、B【解析】
為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對(duì)的圓心角,再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長(zhǎng)所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長(zhǎng).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.4、B【解析】
設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,則小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】
先將,化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】分析:化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡(jiǎn)可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.8、B【解析】
由值域?yàn)榇_定的值,得,利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?,又依題意知的值域?yàn)?,所以得,,所以,令,得,則的圖象的對(duì)稱中心為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),考查函數(shù)的對(duì)稱中心,重點(diǎn)考查值域的求解,易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為09、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡(jiǎn)得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.11、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳?yàn)椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。12、B【解析】
展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、x﹣y=0.【解析】
先將x=1代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo),然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),進(jìn)一步求出切線斜率,最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案為:x﹣y=0.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法,利用切點(diǎn)滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
求得等邊三角形的外接圓半徑,利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑,進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心,則球心在其正上方處.設(shè),由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑,所以外接球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15、90°【解析】
易得平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),顯然,PA是圓的直徑時(shí),PA最長(zhǎng);將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),易知,當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時(shí),PA達(dá)到最長(zhǎng),此時(shí),PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其體對(duì)角線為,底面邊長(zhǎng)為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.16、【解析】
將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時(shí),化為,當(dāng)時(shí),不等式化為,無解;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先將縮小即,由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法,證得不等式成立.【詳解】(1)∵,令,得.又,兩式相減,得.∴.(2)∵.又∵,,∴.∴.∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求,考查利用放縮法證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、;.【解析】
設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,求出;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,所以;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,化簡(jiǎn)得,因?yàn)?,解得,即的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,然后根據(jù)可解得實(shí)數(shù)的值;(2)令,,然后對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,結(jié)合和的符號(hào)來確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn),則,即,解得.所以,當(dāng)時(shí),軸為曲線的切線;(2)令,,則,,由,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).,.①當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn);④當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);⑤當(dāng),
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