第七章(下)-二元離散選擇模型

第七章非線性方程模型(下）第一節(jié)二元離散選擇模型第二節(jié)二元離散選擇模型最大似然估計第三節(jié)二元離散模型的評價和參數(shù)的統(tǒng)計檢驗(yàn)第四節(jié)二元離散選擇模型系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義

一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟(jì)背景實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中，人們經(jīng)常遇到選擇問題是否生產(chǎn)或消費(fèi)某種商品，而不是要生產(chǎn)或消費(fèi)多少某種商品的問題人們出行時是選擇乘火車、公共車或小轎車等決策問題第一節(jié)二元離散選擇模型由于購買住房行為要受到許多因素的影響，不僅有家庭收入、房屋價格，還有房屋的所在環(huán)境、人們的購買心理等，所以人們購買住房的心理價位很難觀測到，但我們可以觀察到是否購買了住房，即

希望研究的是買家購買的可能性，即概率研究家庭是否購買住房。員工是否愿意跳槽到另一家公司，取決于薪資、發(fā)展?jié)摿Φ戎T多因素的權(quán)衡。員工跳槽的成本與收益是多少，我們無法知道，但我們可以觀察到員工是否跳槽，即

分析公司員工的跳槽行為。建議對投票者的利益影響是無法知道的，但可以觀察到投票者的行為只有三種，即

對某項建議進(jìn)行投票。從上述被解釋變量所取的離散數(shù)據(jù)看，如果被解釋變量只有兩個選擇，則建立的模型為二元離散選擇模型，又稱二元型響應(yīng)模型；如果變量有多于二個的選擇，則為多元選擇模型。這種二元選擇模型或多元選擇模型，統(tǒng)稱離散選擇模型。主要介紹線性概率模型，Probit模型和Logit模型。二、線性概率模型（一）線性概率模型的概念設(shè)家庭購買住房的選擇主要受到家庭收入水平的影響，則用如下模型表示其中:Xi為家庭的收入水平，Yi為家庭購買住房的選擇令那么被解釋變量Yi的分布為Yi01概率1-PiPi于是

又因?yàn)樗约彝ミx擇購買住房的概率是解釋變量-家庭收入的一個線性函數(shù)。我們稱這一關(guān)系式為線性概率函數(shù)。根據(jù)經(jīng)典線性回歸，我們知道其總體回歸方程是條件期望建立的，這使我們想象可以構(gòu)造線性概率模型

Yi的樣本值是0或1，而預(yù)測值是概率!以Pi=-0.2+0.05Xi為例，說明Xi每增加一個單位，則Yi取1的概率增加0.05?，F(xiàn)在來分析線性概率模型隨機(jī)干擾項ui的分布ui概率1-PiPi擾動項ui的方差為隨機(jī)誤差項ui非正態(tài)且存在異方差性當(dāng)用線性概率模型進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測值落在區(qū)間[0,1]之內(nèi)時，則沒有什么問題；但當(dāng)預(yù)測值落在區(qū)間[0,1]之外時，則會暴露出該模型的嚴(yán)重缺點(diǎn)，線性概率模型的期望性質(zhì)（1）隨著X的增加，Y（概率）增加，但不超過0、1（2）Y與X呈非線性：

隨著X減到很小，P趨于零的隨度越來越慢隨著X增到很大，P趨于1的隨度越來越慢

所以此時必須強(qiáng)令預(yù)測值（概率值）相應(yīng)等于0或1。因此，線性概率模型常常寫成下面的形式此模型由JamesTobin1958年提出。JamesTobin1981年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。由于隨機(jī)干擾項具有異方差性。修正異方差的一個方法就是使用加權(quán)最小二乘估計。但是加權(quán)最小二乘法無法保證預(yù)測值

在

之間，這是線性概率模型的一個嚴(yán)重缺陷。基于上述LPM的缺點(diǎn)，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，原始模型一般不能作為實(shí)際研究二元選擇問題的模型。我們考慮對線性概率模型進(jìn)行一些變換,來克服這些缺點(diǎn)。效用模型

用表示第

i個個體選擇1的效用，表示第

i個個體選擇0的效用。其效用均為隨機(jī)變量，于是有將(1)-(2)，得記則有

格林稱該模型為潛回歸當(dāng)效用差不大于零，則應(yīng)該選“0”這是二元選擇模型的切入點(diǎn)。稱為潛在變量。這個變量是不可觀測的。通過將自變量與事件發(fā)生的概率聯(lián)系起來了當(dāng)效用差大于零，則應(yīng)該選“1”作為研究對象的二元選擇模型Yi和的關(guān)系為：則很明顯，我們要得到事件發(fā)生的概率就必須知道隨機(jī)干擾項ui*的概率分布，通常假定ui*服從下列三種分布，于是我們便得到了Probit、Logit模型和Extreme模型：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布邏輯分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布曲線logistic分布曲線極值分布三、Probit模型在最終的效用模型中，假定ui*的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則該模型稱為Probit模型。Probit模型的另一種表述為：四、Logit模型在最終的效用模型中，假定ui*的分布為邏輯分布，則該模型稱為Logit模型。Logit模型的另一種表述為：其中為機(jī)會概率比（簡稱機(jī)會比），即事件發(fā)生與不發(fā)生所對應(yīng)的概率之比。邏輯斯蒂回歸模型五、Extreme模型在最終的效用模型中，假定ui*的分布為極值分布，則該模型稱為Extreme模型。第二節(jié)二元離散選擇模型最大似然估計下面我們來構(gòu)造二元離散選擇模型的似然函數(shù)。這是二元離散選擇模型最關(guān)鍵的問題。我們假設(shè)有以Y軸為對稱的概率密度函數(shù)f（.），則于是模型的似然函數(shù)為基本思想是：當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。而不是像最小二乘估計法旨在得到使得模型能最好地擬合樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)估計量極大似然估計：模型的似然函數(shù)為Yi01概率1-PiPi兩邊同時取自然對數(shù)，則對數(shù)似然函數(shù)最大化的條件是于是我們選擇F不同的形式得到不同的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵弧ogit模型的最大似然估計對于Logit模型，我們有：密度函數(shù)分布函數(shù)帶入(*)式，我們得到：然后運(yùn)用迭代法來估計系數(shù)。Logistic回歸參數(shù)的極大似然估計值有如下性質(zhì)（1）極大似然估計為一致估計，當(dāng)樣本容量很大時，模型的參數(shù)估計值將比較接近真值;

（2）極大似然估計為漸進(jìn)有效的，當(dāng)樣本容量增大時,參數(shù)估計的方差相對縮小,當(dāng)樣本容量時，極大似然的方差不大于用其它方法得到的參數(shù)估計的方差;

（3）極大似然估計為漸進(jìn)正態(tài)的，當(dāng)樣本容量較大時，可以采用正態(tài)假設(shè)來構(gòu)造模型參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)與估計參數(shù)的置信區(qū)間等。,參數(shù)

的置信區(qū)間為:由于超大樣本條件下具有漸進(jìn)正態(tài)分布，因此

漸進(jìn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其中是的標(biāo)準(zhǔn)誤差，對于給定的顯著性水平二、Probit模型、Extreme模型的最大似然估計如果是正態(tài)分布，則對數(shù)似然函數(shù)為Probit模型、Extreme模型的最大似然估計就是使上式有最大值時的。具體求解過程這里不再贅述。如果是極值分布，則對數(shù)似然函數(shù)為

在例子中分析了某種教學(xué)方法對學(xué)生成績的有效性。因變量(Grade)表示學(xué)生在接受新教學(xué)方法后成績是否得到提高，如果提高，則Grade=1；未提高，則Grade=0。同時使用學(xué)生平均學(xué)分成績GPA、調(diào)查測試之前學(xué)生的期初考試分?jǐn)?shù)SE和個性化教學(xué)系統(tǒng)PSI作為學(xué)生成績的預(yù)測單元，即解釋變量。其中，如果對受調(diào)查學(xué)生采用新的教學(xué)方法，則PSI=1；若沒有采用新的教學(xué)方法，則PSI=0。學(xué)校對32位學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到表1所示的數(shù)據(jù)。例1考慮Greene給出的斯佩克特和馬澤歐(1980)的例子。根據(jù)這些解釋變量，建立度量學(xué)習(xí)效果模型其中，是的不可觀測的潛在變量。Logit模型估計結(jié)果表達(dá)式1.Logit模型的建立與估計Probit模型估計結(jié)果表達(dá)式2.Probit模型的建立與估計ExtremeValue模型估計結(jié)果表達(dá)式3.ExtremeValue模型的建立與估計

線性回歸模型中的可決系數(shù)R2不再適用于測度離散選擇模型的擬合優(yōu)度。原因是離散選擇模型的R2不可能接近1（因?yàn)閅i的觀測值只取0或1，而Yi的預(yù)測值是概率）。目前最常用的是McFadden(1974)提出的McFadden-R2，它是一種替代R2的度量擬合優(yōu)度的較好方法。第三節(jié)二元離散模型的評價和參數(shù)的統(tǒng)計檢驗(yàn)一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（一）

McFadden-R2McfaddenR-squared：麥克法登似然比率指數(shù)（likelihoodRatioIndex）其被定義為:其中：是當(dāng)前模型對數(shù)似然函數(shù)的最大值(Loglikelihood),表示無約束模型的極大似然函數(shù)值；僅僅包含常數(shù)項和誤差項的零模型估計結(jié)果的對數(shù)似然函數(shù)的最大值(Restr.loglikelihood)，表示約束模型()的極大似然函數(shù)值。如果，解釋變量的作用不顯著，極大化過程顯示所估計參數(shù)的任何變化都不會引起對數(shù)似然函數(shù)的變化，則；如果，所估計的似然函數(shù)對樣本中每一個因變量的預(yù)測是完全準(zhǔn)確的，則。如果在方程定義對話框的解釋變量列表中不包含常數(shù)項，則估計結(jié)果中不顯示McfaddenR-squared統(tǒng)計量。將與實(shí)際的Y值比較，就可以得到模型預(yù)測的正確率。當(dāng)，令，當(dāng)，令。（二）期望-預(yù)測表檢驗(yàn)(模型正確預(yù)測觀測值的百分比來測度擬合優(yōu)度)檢驗(yàn)原理：檢查的方法是，選取適當(dāng)?shù)慕財嘀悼茨Ｐ皖A(yù)測值

,檢查一下Y=1或Y=0的概率的正確性來判斷模型擬合的好壞。

對于二元選擇模型，與經(jīng)典模型中采用的變量顯著性t檢驗(yàn)類似，可以通過極大似然估計時給出的z統(tǒng)計量檢驗(yàn)系數(shù)的顯著性。二、參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（一）Z檢驗(yàn)對模型中參數(shù)顯著性檢驗(yàn)還可使用Wald檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計量為：（二）Wald檢驗(yàn)在

下，W漸近服從自由度為1的

分布。因此，可根據(jù)

分布表，在給定的顯著性水平

下，得到相應(yīng)的臨界值，從而判斷參數(shù)的顯著性。統(tǒng)計學(xué)上已經(jīng)證明，在大樣本情況下，兩個模型之間如果具有嵌套關(guān)系，則兩個模型之間的對數(shù)似然值乘以-2的結(jié)果之差近似服從

分布。這一統(tǒng)計量就是似然比統(tǒng)計量。（三）似然比檢驗(yàn)零假設(shè):

備擇假設(shè):

式中X1是保留的變量向量；X2是省略的變量向量。

式中：分別為H0情形和

H1情形下的似然函數(shù)值的估計量。

LR統(tǒng)計量服從分布，自由度為中的變量數(shù)目。例2仍考慮Greene給出的斯佩克特和馬澤歐(1980)的例子。以Logit模型的估計結(jié)果為例類似R2類似F檢驗(yàn)概率的預(yù)測值小于等于截斷值0.5的這一組中觀測數(shù)據(jù)共21個，其中分組正確的有18個，分組不正確的有3個；概率的預(yù)測值大于截斷值0.5的這一組中觀測數(shù)據(jù)共11個，其中分組不正確的有3個，分組正確的有8個。因變量取0的觀測值共有21個，根據(jù)Logit模型所預(yù)測的概率，因變量Grade=0預(yù)測正確的觀測值是18，模型分組恰當(dāng)率為85.71%；因變量取1的觀測值共有11個，根據(jù)Logit模型所預(yù)測的概率，因變量Grade=1預(yù)測正確的觀測值是8，模型分組恰當(dāng)率為72.73%。同時，

Logit模型預(yù)測正確的總比率為81.25%截斷值P=0.5期望-預(yù)測表檢驗(yàn)Wald檢驗(yàn)第四節(jié)二元離散選擇模型系數(shù)的解釋一、參數(shù)估計量反映解釋變量X對潛在變量

的邊際影響二元選擇模型中所估計的參數(shù)不能被解釋為自變量對因變量的邊際效應(yīng)，對系數(shù)的解釋比較復(fù)雜。解釋變量X首先對潛在變量產(chǎn)生影響，的大小影響Y的取值。因此，X是間接影響觀察到的Y的取值。二、預(yù)測概率解釋變量X是直接影響Y取1時的概率。當(dāng)被估計出來之后，我們可以對每個個體i預(yù)測其

的概率，即變量的偏影響標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和邏輯分布的概率密度函數(shù)都是關(guān)于0點(diǎn)對稱的，在0點(diǎn)取得最大值，因此，自變量對概率的偏影響在0處達(dá)到最大。在二元選擇模型中，我們并不感興趣X如何對產(chǎn)生影響，而感興趣的是X如何對Y產(chǎn)生影響，即X如何對Y的期望以及的概率產(chǎn)生影響。對于一個連續(xù)變量，我們所定義的邊際效果為三、邊際效果注意到密度函數(shù)是非負(fù)的，所以正值意味增加將會增加的概率；負(fù)值則意味著相反的結(jié)果。f是密度函數(shù)（一）對于Logit模型密度函數(shù)邊際效果（二）對于Probit模型密度函數(shù)邊際效果（二）對于Probit模型密度函數(shù)邊際效果（二）對于Probit模型密度函數(shù)邊際效果（二）對于Probit模型密度函數(shù)邊際效果（三）對于Extreme模型密度函數(shù)四、殘差序列通過Procs/MakeResidualSeries選項產(chǎn)生下面三種殘差類型中的一種類型。GPA系數(shù)估計值為2.826，意味著當(dāng)其他解釋變量保持不變時，GPA每增加一個單位，Logit估計值平均增加約2.83個單位，同時GPA的系數(shù)為正也表明增加GPA，將增加Grade取1的概率。例2

以例1的Logit回歸模型估計結(jié)果為例方程中每個斜率系數(shù)都是一個偏斜率系數(shù)，它度量了在其余回歸元不變的條件下，某個解釋變量的值變動一個單位所引起的Logit估計值的變化。模型預(yù)測有兩種選擇：一是因變量的擬合概率(Probability)，即；二是潛變量的擬合值，即的擬合值。利用上式，給出當(dāng)SE保持不變時，新教學(xué)法對學(xué)生學(xué)習(xí)成績影響的概率。調(diào)查測試之前學(xué)生的期初考試分?jǐn)?shù)SE取均值(21.938)當(dāng)PSI=0時當(dāng)PSI=0時

案例分析點(diǎn)擊forecast分別預(yù)測隱變量和概率值。Logit模型估計結(jié)果如下（EViews命令：Quick,estimateequation選Logit）第五節(jié)受限因變量模型

現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中，有時會遇到這樣的問題，因變量是連續(xù)的，但是受到某種限制，也就是說所得到的因變量的觀測值來源于總體的一個受限制的子集，并不能完全反映總體的實(shí)際特征，那么通過這樣的樣本觀測值來推斷總體的特征就需要建立受限因變量模型(limiteddependentvariablemodels)。本節(jié)研究兩類受限因變量模型，即審查回歸模型(censoredregressionmodels)和截斷回歸模型(truncatedregressionmodels)。審查(censored)也叫做刪失，是把小于或大于某一點(diǎn)的數(shù)值用改點(diǎn)數(shù)值替代，雖然沒有觀測值從樣本中被系統(tǒng)地刪除，但樣本中的一些信息被系統(tǒng)地抑制了。例如，限量商品的需求函數(shù)模型截斷(truncated)也就做截尾，是指“掐頭”或者“去尾”，某個刪截點(diǎn)之上或之下的觀測值數(shù)據(jù)得不到或故意舍棄的一種回歸模型。例如，某種產(chǎn)品，見到的只是分等級的合格品，不合格品已經(jīng)看不到，被舍棄?；蛘咭跃用袷杖霝橐蜃兞?，其他影響因素為解釋變量建立居民收入模型，只在收入處于某一數(shù)值以上或某一數(shù)值以下的個體中抽取觀測值。74（一）審查回歸模型（Tobit模型）1．模型的形式考慮下面的潛在因變量回歸模型

其中：

是比例系數(shù)；y*是潛在變量。被觀察的數(shù)據(jù)y與潛在變量y*的關(guān)系如下：

75

換句話說，yi*的所有負(fù)值被定義為0值。我們稱這些數(shù)據(jù)在0處進(jìn)行了左截取（審查）（leftcensored）。而不是把觀測不到的yi*的所有負(fù)值簡單地從樣本中除掉。此模型稱為規(guī)范的審查回歸模型，也稱為Tobit模型。更一般地，可以在任意有限點(diǎn)的左邊和右邊截取（審查），即

其中：，代表截?。▽彶椋c(diǎn)，是常數(shù)值。如果沒有左截取(審查)點(diǎn)，可以設(shè)為。如果沒有右截取(審查)點(diǎn)，可以設(shè)為。規(guī)范的Tobit模型是具有和的一個特例。

77

2．審查回歸模型的極大似然估計

與前邊介紹的幾個模型類似，可以采用極大似然法估計審查回歸模型的參數(shù)，對數(shù)似然函數(shù)為

求上式的最大值即可得參數(shù)

,

的估計。這里f,F分別是u的密度函數(shù)和分布函數(shù)。78

特別地，對于Tobit模型，設(shè)u～N(0,1)，這時對數(shù)似然函數(shù)為

上式是由兩部分組成的。第一部分對應(yīng)沒有限制的觀測值，與經(jīng)典回歸的表達(dá)式是相同的；第二部分對應(yīng)于受限制的觀測值。因此，此似然函數(shù)是離散分布與連續(xù)分布的混合。將似然函數(shù)最大化就可以得到參數(shù)的極大似然估計。估計值的解釋80審查模型的實(shí)例

本例研究已婚婦女工作時間問題，利用mroz.raw中數(shù)據(jù)，其中y表示已婚婦女工作時間，x1～x4分別表示已婚婦女的未成年子女個數(shù)、年齡、受教育的年限和丈夫的收入。只要已婚婦女沒有提供工作時間，就將工作時間作零對待，符合審查回歸模型的特點(diǎn)。

81（二）截斷回歸模型

截斷問題，形象地說就是掐頭或者去尾。即在很多實(shí)際問題中，不能從全部個體中抽取因變量的樣本觀測值，而只能從大于或小于某個數(shù)的范圍內(nèi)抽取樣本的觀測值，此時需要建立截斷因變量模型。例如，在研究與收入有關(guān)的問題時，收入作為被解釋變量。從理論上講，收入應(yīng)該是從零到正無窮，但實(shí)際中由于各種客觀條件的限制，只能獲得處在某個范圍內(nèi)的樣本觀測值。這就是一個截斷問題。截斷回歸模型的形式如下：

其中：yi

只有在時才能取得樣本觀測值，,為兩個常數(shù)。對于截斷回歸模型，仍然可以采用極大似然法估計模型的參數(shù)，只不過此時極大似然估計的密度函數(shù)是條件密度。

83（三）估計審查回歸模型

1.模型的估計

打開Equation對話框，從EquationSpecification對話框所列估計方法中選擇CENSORED估計方法。在EquationSpecification區(qū)域，輸入被審查的因變量的名字及一系列回歸項。審查回歸模型的估計只支持列表形式的設(shè)定。

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按照要求在編輯欄的左編輯區(qū)（Left）和右編輯區(qū)（Right）輸入臨界點(diǎn)表達(dá)式。注意如果在編輯區(qū)域留下空白，EViews將假定該種類型的觀測值沒有被審查。而一般的左邊和右邊審查由下式給出：

左編輯區(qū)：右編輯區(qū)：例如，在規(guī)范的Tobit模型中，數(shù)據(jù)在0值左邊審查，在0值右邊不被審查。這種情況可以被指定為：左編輯區(qū)：0

右編輯區(qū)：[blank]

85（2）臨界點(diǎn)通過潛在變量產(chǎn)生并且只對被審查的觀測值個體已知

在一些情況下，假設(shè)臨界點(diǎn)對于一些個體（和不是對所有的觀察值都是可觀察到的）是未知的，此時可以通過設(shè)置0-1虛擬變量（審查指示變量）來審查數(shù)據(jù)。

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