寧夏長慶高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

寧夏長慶高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．三棱錐中，平面且是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．2．若對任意，不等式恒成立，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．4 C．5 D．4．甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待，則甲、乙兩人能見面的概率（）A． B． C． D．5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，則b的值為()A．4 B．3 C．2 D．17．某中學(xué)高一從甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，他們?nèi)〉贸煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．69．記動點(diǎn)P是棱長為1的正方體的對角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時，則的取值范圍為()A． B． C． D．10．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．15二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，若則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.12．已知數(shù)列滿足：，，則_____.13．已知，，則______，______.14．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)________15．已知：，則的取值范圍是__________．16．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐中，，分別為，的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：.18．已知函數(shù)，，（,為常數(shù)）.（1）若方程有兩個異號實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的圖像與軸有3個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．20．某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求圓弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計(jì)算車輛通過隧道的限制高度是多少．21．已知四棱錐中，平面，，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面，并加以證明．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)已知中底面是邊長為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．2、D【解析】

對任意，不等式恒成立，即恒成立，代入計(jì)算得到答案.【詳解】對任意，不等式恒成立即恒成立故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.3、A【解析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當(dāng)直線過點(diǎn)時，得最大值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域和目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線．4、A【解析】設(shè)甲到達(dá)時刻為，乙到達(dá)時刻為，依題意列不等式組為，畫出可行域如下圖陰影部分，故概率為.5、B【解析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．6、C【解析】試題分析：根據(jù)正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正確.考點(diǎn)：1正弦定理;2余弦定理.7、C【解析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．8、C【解析】

由，得，則，利用基本不等式，即可求解．【詳解】由題意，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為5，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【詳解】

由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點(diǎn)評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．10、C【解析】

抽取比例為,，抽取數(shù)量為20,故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

計(jì)算得到，根據(jù)得到范圍.【詳解】兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，則，則，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、【解析】

從開始，直接代入公式計(jì)算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.13、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進(jìn)而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)?，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案為1﹣2i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

由已知條件將兩個角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)，再運(yùn)用三角函數(shù)的值域求解.【詳解】由已知得，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，故?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【詳解】由任意角三角函數(shù)的定義可得：．則故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角和的正切計(jì)算，熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）先證明，再證明平面；（2）先證明平面，再證明.【詳解】證明：（1）因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以.又平面平面.平面平面，所以平面.又平面，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)(3)或【解析】

（1）由題意，可知只要，即可使得方程有兩個異號的實(shí)數(shù)解，得到答案；（2）由題意，得，則，再由的圖象與軸由3個交點(diǎn)，列出相應(yīng)的條件，即可求解.（3）由題意得，分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】由題可得，，與軸有一個交點(diǎn)；與有兩個交點(diǎn)綜上可得:實(shí)數(shù)的取值范圍或【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及分段函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理分類討論及利用函數(shù)的基本性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由中位線的性質(zhì)得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計(jì)算即可.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，由底面是菱形，知是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計(jì)算，在計(jì)算直線與平面所成角時，要注意過點(diǎn)作平面的垂線，構(gòu)造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．20、（1）；（2）3.5【解析】試題分析:（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓一般方程，根據(jù)三點(diǎn)E,F,M坐標(biāo)解出參數(shù)（2）根據(jù)題意求出圓上橫坐標(biāo)等于c點(diǎn)橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)要求在豎直方向上的高度之差至少要有得車輛通過隧道的限制高度試題解析：（1）以所在直線為軸，以所在直線為軸，以1m為單位長度建立直角坐標(biāo)系，則，，，由于所求圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)椋趫A上，所以，解得，，所以圓的方程為．

（2）設(shè)限高為，作，交圓弧于點(diǎn)，則，將的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得，得或（舍），所以（m）．

答：車輛通過隧道的限制高度是米21、（1）見解析（2）存在線段上的中點(diǎn)，使平面，詳見解析【解析】

（1）利用條件判斷CM與PA、AB垂直，由直線與平面垂直的判定定理可證.（2）取