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文檔簡介
2025屆江蘇揚州中學高一下數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A=45°,B=30°,b=2,則a=()A.2 B.63 C.222.英國數(shù)學家布魯克泰勒(TaylorBrook,1685~1731)建立了如下正、余弦公式(
)其中,,例如:.試用上述公式估計的近似值為(精確到0.01)A.0.99 B.0.98 C.0.97
D.0.963.已知平面平面,直線平面,直線平面,,在下列說法中,①若,則;②若,則;③若,則.正確結論的序號為()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③4.甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如右圖,甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標準差分別為則()A. B.C. D.5.函數(shù),若方程恰有三個不同的解,記為,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.函數(shù)的值域為A.[1,] B.[1,2] C.[,2] D.[7.已知兩條直線與兩個平面,給出下列命題:①若,則;②若,則;③若,則;④若,則;其中正確的命題個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.48.已知角α的終邊過點P(2sin60°,-2cos60°),則sinα的值為()A. B. C.- D.-9.集合,,則=()A. B. C. D.10.設集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知圓錐的母線長為1,側面展開圖的圓心角為,則該圓錐的體積是______.12.設等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.13.已知,,,的等比中項是1,且,,則的最小值是______.14.=__________.15.已知函數(shù)的圖象關于點對稱,記在區(qū)間的最大值為,且在()上單調遞增,則實數(shù)的最小值是__________.16.在空間直角坐標系中,三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上,為球心,,,,,則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知在四棱錐中,底面是矩形,平面,,分別是,的中點,與平面所成的角的正切值是;(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.18.在中,邊所在的直線方程為,其中頂點的縱坐標為1,頂點的坐標為.(1)求邊上的高所在的直線方程;(2)若的中點分別為,,求直線的方程.19.如圖,已知圓:,點.(1)求經(jīng)過點且與圓相切的直線的方程;(2)過點的直線與圓相交于、兩點,為線段的中點,求線段長度的取值范圍.20.如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側棱底面,垂直于和,為棱上的點,,.(1)若為棱的中點,求證://平面;(2)當時,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(3)在第(2)問條件下,設點是線段上的動點,與平面所成的角為,求當取最大值時點的位置.21.某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進行技術改造,預測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術改造資金的情況下,預計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元;進行技術改造后,在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元,進行技術改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤?
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】
利用正弦定理得到答案.【詳解】asin故答案選C【點睛】本題考查了正弦定理,意在考查學生的計算能力.2、B【解析】
利用題設中給出的公式進行化簡,即可估算,得到答案.【詳解】由題設中的余弦公式得,故答案為B【點睛】本題主要考查了新信息試題的應用,其中解答中理解題意,利用題設中的公式,準確計算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.3、D【解析】
由面面垂直的性質和線線的位置關系可判斷①;由面面垂直的性質定理可判斷②;由線面垂直的性質定理可判斷③.【詳解】平面平面.直線平面,直線平面,,①若,可得,可能平行,故①錯誤;②若,由面面垂直的性質定理可得,故②正確;③若,可得,故③正確.故選:D.【點睛】本題考查空間線線和線面、面面的位置關系,主要是平行和垂直的判斷和性質,考查推理能力,屬于基礎題.4、C【解析】
利用甲、乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計直接求解.【詳解】由甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計圖知:甲組數(shù)據(jù)靠上,乙組數(shù)據(jù)靠下,甲組數(shù)據(jù)相對集中,乙組數(shù)據(jù)相對分散分散布,由甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標準差分別為得,.故選:.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查平均數(shù)、的定義和性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.5、D【解析】
由方程恰有三個不同的解,作出的圖象,確定,的取值范圍,得到的對稱性,利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】設
作出函數(shù)的圖象如圖:由
則當
時
,,
即函數(shù)的一條對稱軸為
,要使方程恰有三個不同的解,則
,
此時
,
關于
對稱,則
當
,即
,則
則
的取值范圍是,選D.【點睛】本題主要考查了方程與函數(shù),數(shù)學結合是解決本題的關鍵,數(shù)學結合也是數(shù)學中比較重要的一種思想方法.6、D【解析】
因為函數(shù),平方求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)的性質求出的值域.【詳解】函數(shù)定義域為:,因為,又,所以的值域為.故選D.【點睛】本題考查函數(shù)的值域,此題也可用三角換元求解.求函數(shù)值域常用方法:單調性法,換元法,判別式法,反函數(shù)法,幾何法,平方法等.7、A【解析】
結合線面平行定理和舉例判斷.【詳解】若,則可能平行或異面,故①錯誤;若,則可能與的交線平行,故②錯誤;若,則,所以,故③正確;若,則可能平行,相交或異面,故④錯誤;故選A.【點睛】本題線面關系的判斷,主要依據(jù)線面定理和舉例排除.8、D【解析】
利用特殊角的三角函數(shù)值得出點的坐標,然后利用正弦的定義,求得的值.【詳解】依題意可知,所以,故選D.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義,考查特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎題.9、C【解析】
根據(jù)交集定義直接求解可得結果.【詳解】根據(jù)交集定義知:故選:【點睛】本題考查集合運算中的交集運算,屬于基礎題.10、B【解析】
先求得集合,再結合集合的交集的概念及運算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以.故選:B.【點睛】本題主要考查了集合的交集的運算,其中解答中正確求解集合B,結合集合的交集的概念與運算求解是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)題意得,解得,求得圓錐的高,利用體積公式,即可求解.【詳解】設圓錐底面的半徑為,根據(jù)題意得,解得,所以圓錐的高,所以圓錐的體積.【點睛】本題主要考查了圓錐的體積的計算,以及圓錐的側面展開圖的應用,其中解答中根據(jù)圓錐的側面展開圖,求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.12、【解析】試題分析:設等比數(shù)列的公比為,由得,,解得.所以,于是當或時,取得最大值.考點:等比數(shù)列及其應用13、4【解析】
,的等比中項是1,再用均值不等式得到答案.【詳解】,的等比中項是1當時等號成立.故答案為4【點睛】本題考查了等比中項,均值不等式,意在考查學生的綜合應用能力.14、2【解析】由對數(shù)的運算性質可得到,故答案為2.15、【解析】,所以,又,得,所以,且求得,又,得單調遞增區(qū)間為,由題意,當時,。點睛:本題考查三角函數(shù)的化簡及性質應用。本題首先考查三角函數(shù)的輔助角公式應用,并結合對稱中心的性質,得到函數(shù)解析式。然后考察三角函數(shù)的單調性,利用整體思想求出單調區(qū)間,求得答案。16、【解析】
首先根據(jù)坐標求出三棱錐的體積,再計算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標系,如圖所示由圖知:平面,...故答案為:【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球,根據(jù)題意建立空間直角坐標系為解題的關鍵,屬于中檔題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,通過證明四邊形是平行四邊形,證得,從而證得平面.(2)連接,證得為與平面所成角.根據(jù)的值求得的長,作出二面角的平面角并證明,解直角三角形求得二面角的正切值.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.∵是中點∴又是的中點,∴∴,從而四邊形是平行四邊形,故又平面,平面,∴(2)∵平面,∴是在平面內的射影為與平面所成角,四邊形為矩形,∵,∴,∴過點作交的延長線于,連接,∵平面據(jù)三垂線定理知.∴是二面角的平面角易知道為等腰直角三角形,∴∴=∴二面角的正切值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面角的定義和應用,考查面面角的正切值的求法,考查邏輯推理能力和空間想象能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)由題易知邊上的高過,斜率為3,可得結果.(1)求得點A的坐標可得點E的坐標,易知直線EF和直線AB的斜率一樣,可得方程.【詳解】(1)邊上的高過,因為邊上的高所在的直線與所在的直線互相垂直,故其斜率為3,方程為:(2)由題點坐標為,的中點是的一條中位線,所以,,其斜率為:,所以的斜率為所以直線的方程為:化簡可得:.【點睛】本題考查了直線方程的求法,主要考查直線的點斜式方程,以及化簡為一般式,屬于基礎題.19、(1)或;(2).【解析】試題分析:(1)設直線方程點斜式,再根據(jù)圓心到直線距離等于半徑求斜率;最后驗證斜率不存在情況是否滿足題意(2)先求點的軌跡:為圓,再根據(jù)點到圓上點距離關系確定最值試題解析:(1)當過點直線的斜率不存在時,其方程為,滿足條件.當切線的斜率存在時,設:,即,圓心到切線的距離等于半徑3,,解得.切線方程為,即故所求直線的方程為或.(2)由題意可得,點的軌跡是以為直徑的圓,記為圓.則圓的方程為.從而,所以線段長度的最大值為,最小值為,所以線段長度的取值范圍為.20、(1)見解析;(2);(3)即點N在線段CD上且【解析】
(1)取線段SC的中點E,連接ME,ED.可證是平行四邊形,從而有,則可得線面平行;(2)以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,求出兩平面與平面的法向量,由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)設,其中,求出,由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結論.【詳解】(1)證明:取線段SC的中點E,連接ME,ED.在中,ME為中位線,∴且,∵且,∴且,∴四邊形AMED為平行四邊形.∴.∵平面SCD,平面SCD,∴平面SCD.(2)解:如圖所示以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則,,,,,由條件得M為線段SB近B點的三等分點.于是,即,設平面AMC的一個法向量為,則,將坐標代入并取,得.另外易知平面SAB的一個法向量為,所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為.(3)設,其中.由于,所以.所以,可知當,即時分母有最小值,此時有最大值,此時,,即點N在線段CD上且.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查求二面角與線面角.求空間角時,一般建立空間直角坐標系,由平面法向量的夾角求得二面角,由直線的方向向量與平面法向量的夾角與線面角互余可求得線面角.21、(1),(2),(3)至少經(jīng)過4年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的
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