人教版小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)要點(diǎn)歸納

人教版小學(xué)六年級(jí)下冊數(shù)學(xué)要點(diǎn)歸納

一、負(fù)數(shù)

1.正數(shù)、負(fù)數(shù)和0

為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等,

需要用兩種數(shù)。一種是我們以前學(xué)過的數(shù)，如3、500、4.7、這些數(shù)是

O

正數(shù)；另一種是在這些數(shù)的前面添上負(fù)號(hào)“一”的數(shù)，如一3、一500、

-4.7、-］等，這些數(shù)是負(fù)數(shù)。

O

負(fù)數(shù)的讀法是：先讀“負(fù)”，再讀數(shù)，如一3度讀負(fù)三，讀負(fù)八分

O

之三。正數(shù)前面的“+”可以省略不寫。

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

2.用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量

在用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，規(guī)定其中一個(gè)量為正，另一個(gè)

量就為負(fù)。

3.用直線表示正數(shù)和負(fù)數(shù)

用直線表示正數(shù)和負(fù)數(shù)時(shí)，一般先確定0的位置，0右邊的數(shù)是正數(shù)，

左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)。在確定各數(shù)的位置前，還要確定單位長度。如下圖所示。

在實(shí)際問題中，用有正數(shù)和負(fù)數(shù)的直線可以表示距離和相反的方向。

*注意：

(1)、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。

(2)、“相反意義的量”指的是意義相反，與數(shù)值無關(guān)。

(3)、在用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，規(guī)定哪一個(gè)量為正或負(fù)不

是固定不變的，可以根據(jù)實(shí)際情況而定。

二、百分?jǐn)?shù)(二)

1.折扣

商店有時(shí)降價(jià)出售商品，叫做打折扣銷售，俗稱''打折"。幾折就表示

十分之幾，也就是百分之幾十。例如，九折就是原價(jià)的90%,八五折就是

原價(jià)的85%。

2.成數(shù)

農(nóng)業(yè)收成，經(jīng)常用“成數(shù)”來表示。成數(shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的十

分之幾通稱“幾成”。例如，“一成”就是十分之一，改寫成百分?jǐn)?shù)是10%;

“三成五”是十分之三點(diǎn)五，改寫成百分?jǐn)?shù)就是35%。

3.稅率

納稅是根據(jù)國家稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入

的一部分繳納給國家。稅收是國家收入的主要來源之一。國家用收來的稅

款發(fā)展經(jīng)濟(jì)、科技、教育、文化和國防等事業(yè)。因此，每個(gè)公民都有依法

納稅的義務(wù)。稅收主要分為消費(fèi)稅、增值稅、營業(yè)稅和個(gè)人所得稅等幾類。

繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額，應(yīng)納稅額玉各種收入(銷售額、營業(yè)額……)

的比率叫做稅率。

4.利率

人們常常把暫時(shí)不用的錢存入銀行儲(chǔ)蓄起來。儲(chǔ)蓄不僅可以支援國家

建設(shè)，也使得個(gè)人錢財(cái)更安全，還可以增加一些收入。在銀行存款的方式

有多種，如活期、整存整取、零存整取等。存入銀行的錢叫本金；取款時(shí)

銀行多支付的錢叫做利息；單位時(shí)間（如1年、1月、1日等）內(nèi)的利息與

本金的比率叫做利率。利息的計(jì)算公式是：

利息=本金X利率X存期。

根據(jù)國家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化，銀行存款的利率有時(shí)會(huì)有所調(diào)整。

三、圓柱與圓錐

圓柱

（一）、圓柱的認(rèn)識(shí)

1.圓柱及其組成部分

圓柱是生活中一種比較常見的立體圖形，它是由3個(gè)面圍成的。圓柱的

上、下兩個(gè)面叫做底面。圓柱周圍的面（上、下底面除外）叫做側(cè)面。圓

柱的兩個(gè)底面之間的距離叫做高。

2.圓柱的特征

圓柱的底面都是圓，并且大小一樣，圓柱的側(cè)面是曲面。

圓柱有無數(shù)條高，并且都相等。

圓柱可由長方形（或正方形）旋轉(zhuǎn)而成（面動(dòng)成體）。

3.圓柱的展開面

圓柱的側(cè)面沿高剪開的展開圖是一個(gè)長方形（或正方形），這個(gè)長方形

（或正方形）的長（或?qū)挘┑扔趫A柱底面的周長，寬（或長）等于圓柱的

高。

當(dāng)圓柱的底面周長和高相等時(shí)，沿高剪開的側(cè)面展開后是一個(gè)正方形。

所以一般說圓柱的展開圖就是上下兩個(gè)圓加中間的側(cè)面展開圖（長方形

或正方形）

（二，圓柱的表面積

1.圓柱的側(cè)面積

把圓柱的側(cè)面展開后得到一個(gè)長方形（可能是正方形），這個(gè)長方形的

長等于圓柱的底面周長（或高），寬等于圓柱的高（或底面周長）。因?yàn)殚L

方形的面積=長乂寬，所以，圓柱的側(cè)面積=底面周長X高。

用字母表示為：$側(cè)=€：11（直接計(jì)算）

=2nrh（利用半徑）

=ndh（利用直徑）

3.圓柱的表面積

圓柱的表面積指它的側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，即圓柱的表面積=圓柱

的側(cè)面積+兩個(gè)底面積。

用字母表示為：$表=S側(cè)+2s底

=2Jirh+2nr2（利用半徑）

=ndh+2n（4）2（利用直徑）

2

=Ch+2n（C/2n）2（利用周長）

（三）、圓柱的體積

圓柱的體積

把圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形，然后把圓柱切開，可以拼成一個(gè)

近似的長方體（不可能為正方體），分成扇形越多，拼成的立體圖形就越接

近于長方形體。這個(gè)長方體的底面積等于圓柱的底面積，高等于圓柱的高。

由長方體的體積=底面積X高可以得到圓柱的體積=底面積X高，用字

2

母表示為V圓柱=Sh=JIrho

圓錐

1.圓錐的認(rèn)識(shí)

圓錐只有一個(gè)底面，底面是個(gè)圓。圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面，展開后為

扇形。從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐有且只有一條高。

2.圓錐的體積

等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積等于圓錐體積的3倍，圓錐的體

積等于圓柱體積g.所以圓錐的體積公式為：

圓錐的體積=底面積X高X'用字母表示為：V圓錐JSh//11r2h（利用半

333

徑）

=1JT（-）2h（利用直徑）

32

=：H（C/2兀）2h（利用底面周長）

四、比例

比例的意義和基本性質(zhì)

1.比例的意義

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。兩個(gè)比的比值是否相等是判定兩

個(gè)比能否組成比例的依據(jù)之一。

2.比例各部分的名稱

組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng),

中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。如:

2.4：1.6=60：40

內(nèi)項(xiàng)

外項(xiàng)

3.比例的基本性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本

性質(zhì)。它是判定兩個(gè)比能否組成比例的另一個(gè)重要依據(jù)。

4.解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這

個(gè)比例中的另一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)的過程叫做解比例。

正比例和反比例

1.成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種

相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)

系叫做正比例關(guān)系。如果用字母y和x表示兩種相關(guān)連的量，用k表示

它們的比值（一定），正比例關(guān)系可以用下面的式子表示：上=k

X

2.成反比例的量

兩種相關(guān)連的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種

相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)

系叫做反比例關(guān)系。它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y

表示兩種相關(guān)連的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關(guān)系可以

用下面的式子表示：xy=k

4.正、反比例的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)

正比例反比例

相

同都是兩種相關(guān)連的量；一種量變化，另一種量也隨著變化。

點(diǎn)

一種量擴(kuò)大（或縮?。硪灰环N量擴(kuò)大（或縮?。?，另一種量也隨

不種量也隨著擴(kuò)大（或縮?。?；著擴(kuò)大（或縮?。?；相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的

同相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定。乘積一定。

點(diǎn)

比例的應(yīng)用

（-）比例尺

1.比例尺

在繪制地圖和其他平面圖的時(shí)候，需要把實(shí)際距離按一定的比例

縮?。ɑ驍U(kuò)大），再畫在圖紙上。這時(shí)，就要確定圖上距離和相對應(yīng)的

實(shí)際距離的比。一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例

尺。

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺或

比例尺分為數(shù)值比例尺和線段比例尺。為了計(jì)算方便，一般把比

例尺寫成前項(xiàng)或后項(xiàng)是1的形式。

2.根據(jù)比例尺求圖上距離或?qū)嶋H距離的方法

已知比例尺和圖上距離，求實(shí)際距離，或已知比例尺和實(shí)際距離,

求圖上距離，都可以根據(jù)“圖上距離：實(shí)際距離=比例尺”列方程解答。

還可以運(yùn)用“實(shí)際距離=圖上距離+比例尺”或“圖上距離=實(shí)際距

離X比例尺”，用算術(shù)方法解答。

（-）圖形的放大與縮小/用比例解決問題

1.圖形的放大與縮小

（1）.要把一個(gè)圖形按一定的比放大（縮?。?，只要把圖形的各邊按一

定的比放大（縮?。┘纯?。

（2）.圖形按一定的比放大或縮小后，只是大小發(fā)生變化，形狀不變。

2.用比例解決問題的步驟

（1）弄清題中的的各個(gè)量，找出相關(guān)聯(lián)的兩種量；（2）分析、判斷這

兩種相關(guān)聯(lián)的量所對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值或積是否一定，寫出判斷語；（3）

設(shè)未知數(shù)，列比例式或等積式（反比例），并解答；（4）檢查、驗(yàn)算，然后

寫出答案。

五數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問題

抽屜原理

把三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜，總有某個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)不止一個(gè)，這個(gè)

結(jié)論是很明顯的。但這當(dāng)中卻蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這個(gè)現(xiàn)象就被

稱為抽屜原理。

把不少于（n+1）個(gè)物品分成n類，則總有某一類中至少有2個(gè)物品。

一般地，把不少于（mXn+1）個(gè)物品分成n類，則總有某一類中至少

有（m+1）個(gè)物品。

例1把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至

少有2支鉛筆。

4——（4000）4——（3100）

4——（2200）4——（2111）

抽屜原理1：把m個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（m>n,n是非0自然數(shù)）,

那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。

抽屜原理2：把多于kn個(gè)物體任意放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（k是正整數(shù)），那么

一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)至少（k+1）個(gè)物體。

例2把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放

進(jìn)3本書。為什么？如果有8本書會(huì)怎么樣呢？10本書呢？

分析：7+3=2……1即把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，如果每個(gè)抽屜放進(jìn)2

本書，則還剩下1本書，把剩下的這本書不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)至

少放進(jìn)3本書。

8+3=2...2,即把8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，如果每個(gè)抽屜放進(jìn)2本

書，則還剩下2本書，把剩下的這2本書不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)至

少放進(jìn)3本書。

104-3=3...1,即把10本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，如果每個(gè)抽屜放進(jìn)3

本書，則還剩下1本書，把剩下的這本書不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)至

少放進(jìn)4本書。

例3盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個(gè)，要想摸出的球一定有2

個(gè)同色的，至少要抹出幾個(gè)球？

教你一招：

1.把a(bǔ)個(gè)物體放進(jìn)n（n<a）個(gè)抽屜，如果a-?n=b..c（cWO）.那么一

定有一個(gè)抽屜中至少放進(jìn)（b+1）個(gè)物體。

2.如果有n個(gè)抽屜，要保證在其中一個(gè)抽屜里取到k件相同物品，那

么至少要取出［（k-l）Xn+1］個(gè)物品。

六整理與復(fù)習(xí)

(一)數(shù)與代數(shù)

數(shù)的認(rèn)識(shí)

1?數(shù)的認(rèn)識(shí)

2.數(shù)的意義

(1).整數(shù)

像…-3,-2,-1、0,1,2,3,…這樣的數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)。整數(shù)的個(gè)數(shù)是

無限的。沒有最小的整數(shù)，也沒有最大的整數(shù)。

(2).自然數(shù)

我們在數(shù)物體的個(gè)數(shù)時(shí)，用來表示個(gè)數(shù)的1,2,3,…叫自然數(shù)。一個(gè)

物體也沒有，用0表示。自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。最小的自然數(shù)是0,沒

有最大的自然數(shù)。自然數(shù)是整數(shù)的一部分?！?”是自然數(shù)的單位。

(3).正數(shù)與負(fù)數(shù)

像1(或+1),2,3,…這樣的數(shù)叫做正數(shù)；像-1,-2,-3,…這

樣在正數(shù)的前面添上負(fù)號(hào)“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

(4).分?jǐn)?shù)

①.分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)，

表示其中的一份的數(shù)是這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。

分?jǐn)?shù)還可以用來表示兩個(gè)整數(shù)相除的商，即：a+b=q(bWO).

b

②.分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大

于或等于1。帶分?jǐn)?shù)實(shí)際上就是大于1的假分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。

⑸.小數(shù)

①.小數(shù)的意義

像3.45,0.85,2.60,1.2,36.6,…這樣的數(shù)叫做小數(shù)。小數(shù)由整數(shù)部

分、小數(shù)點(diǎn)和小數(shù)部分組成。

②.小數(shù)的分類

有限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。如4.28是

有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。如兀是無

限小數(shù)。

③.循環(huán)小數(shù)和循環(huán)節(jié)

循環(huán)小數(shù)：一個(gè)小數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)

字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)。

循環(huán)節(jié)：一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，就是

這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。

(6).百分?jǐn)?shù)

表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫百分率或百

分比。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，它表示兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系，不表示

具體的數(shù)量，所以百分?jǐn)?shù)后面不帶單位名稱。

3.十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和數(shù)位順序表

(1).十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十的技術(shù)方

法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4.數(shù)的讀法和寫法

(1).整數(shù)的讀法和寫法

讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀，每級(jí)末尾不管有幾個(gè)0,都不

讀出來，其他數(shù)位上有一個(gè)0或連續(xù)幾個(gè)0,都之都一個(gè)零。

寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，

就在那個(gè)數(shù)位上寫0占位。

(2).分?jǐn)?shù)的讀法和寫法

讀法：先讀分母，再讀“分之”，最后讀分子。讀帶分?jǐn)?shù)時(shí)先讀整數(shù)部

分，再讀分?jǐn)?shù)部分，中間加一個(gè)“又”字。

寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，在寫分母，最后寫分子。寫帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要先寫整

數(shù)部分，再寫分?jǐn)?shù)部分

(3).小數(shù)的讀法和寫法

讀法：整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法來讀(整數(shù)部分是0的讀作“零”),

小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分一般依次讀出每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

寫法：整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫(整數(shù)部分是零的寫作“0”)，小

數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位的右下角，小數(shù)部分依次寫出每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。寫循環(huán)小

數(shù)時(shí)，可以只寫一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上各記一

個(gè)圓點(diǎn)。

(4).百分?jǐn)?shù)的讀法和寫法

讀法：先讀百分號(hào)，讀作“百分之”，再讀百分號(hào)前面的數(shù)。

寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加“％”。

(5).正負(fù)數(shù)的讀法和寫法

正數(shù)的讀法：“+”讀作“正”，正號(hào)后面是幾就讀幾。

負(fù)數(shù)的讀法：“-”讀作“負(fù)”負(fù)號(hào)后面是幾就讀幾。

正、負(fù)數(shù)的寫法：正數(shù)就在前面加“+”，也可以省略不寫；負(fù)數(shù)則在

數(shù)的前面寫“-不能省略。

5.數(shù)的大小比較

(1).整數(shù)的大小比較

比較兩個(gè)整數(shù)的大小，如果位數(shù)不同，那么數(shù)位多的數(shù)就大；如果位

數(shù)相同，就從高位比起，最高位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；如果最高位上的

數(shù)相同，就比較下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)。

(2).小數(shù)的大小比較

比較兩個(gè)小數(shù)的大小，先看它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就

大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)相同

的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大……依此類推。

(3).分?jǐn)?shù)的大小比較

分母相同的小數(shù)，分子大的分?jǐn)?shù)就大；分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分

數(shù)就大；分子和分母都不相同的分?jǐn)?shù)，先通分，再比較大小，或?qū)⑺鼈兊?/p>

分子變成同一分子再比較。

(4).分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、小數(shù)的混合比較，一般先將它們統(tǒng)一化成小數(shù)，

然后按小數(shù)的大小比較方法進(jìn)行比較。

6.分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外),

分?jǐn)?shù)的大小不變。

小數(shù)的基本性質(zhì)：小數(shù)的末尾添上0或去掉0,小數(shù)的大小不變。

7.小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律

小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位、兩位、三位……該數(shù)就擴(kuò)大到原數(shù)的10倍、100

倍、1000倍……小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位、兩位、三位……該數(shù)就縮小到原數(shù)

的1/10,1/100,1/1000.......

8.數(shù)的改寫

(1).把多位數(shù)改寫成以“萬”或“億”為單位的數(shù)。

①.直接改寫：先把原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)4位或8位(小數(shù)部分末尾

的0要?jiǎng)澋?，再在數(shù)后面寫上“萬”或“億"，中間要用“=”連接。

②.省略尾數(shù)改寫成近似數(shù)：先用“四舍五入”法省略萬位或億位后面

的尾數(shù)，再在這個(gè)數(shù)的后面寫上“萬”或“億”，中間要用“勺”連接。

(2).求小數(shù)的近似數(shù)

根據(jù)要求，要把小數(shù)保留到哪一位，就把這一位后面的尾數(shù)按照“四

舍五入“法省略，中間用“Q”連接。

(3).假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)之間的互化

①.假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，用假

分?jǐn)?shù)的分子除以分母，如果分子是分母的倍數(shù)，所得的商就是整數(shù)；如果

分子不是分母的倍數(shù)，所得的商就是帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分，余數(shù)就是分?jǐn)?shù)部分

的分子，分母不變。

②.整數(shù)化成假分?jǐn)?shù)的方法：把整數(shù)(0除外)化成假分?jǐn)?shù)，用指定的

分母(0除外)作分母，用分母和整數(shù)的乘積作分子。

(4).分?jǐn)?shù)、小數(shù)與百分?jǐn)?shù)之間的互化

小數(shù)分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)

9.數(shù)的整除

(1).整除的意義

整數(shù)a除以整數(shù)b(bWO),出得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)時(shí)，我們就說

a能被b整除(也可以說b能整除a)。

(2).因數(shù)和倍數(shù)

如果a+b=c(a、b、c均為整數(shù)，且bWO),我們就說a是b和c的倍

數(shù)，b和c是a的因數(shù)。

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是L最大的因數(shù)是

它本身；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)數(shù)無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有

最大的倍數(shù)。

(3).奇數(shù)和偶數(shù)

整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)(0也是偶數(shù))，其他不是2的倍數(shù)的數(shù)

叫奇數(shù)。

(4).2,5,3的倍數(shù)的特征

個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)；個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍

數(shù)；一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

(5).質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)

一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素

數(shù))；一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是4.沒有最大

的質(zhì)數(shù)，也沒有最大的合數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

(6).最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的那個(gè)公因數(shù)叫

做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的那個(gè)公倍數(shù)叫

做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

(7).最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法

①.如果較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)，則較大的數(shù)就是它們的最小公

倍數(shù)，較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。

②.如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)是它們的乘積，它

們的最大公因數(shù)是1.

③.如果兩個(gè)數(shù)具有公共質(zhì)因數(shù)，那么，它們各自的質(zhì)因數(shù)和公共質(zhì)因

數(shù)的乘積就是它們的最小公倍數(shù)；它們的最大公因數(shù)是它們公共質(zhì)因數(shù)的

乘積。

數(shù)的運(yùn)算

1.四則運(yùn)算的意義

加法的意義：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

減法的運(yùn)算：已知一個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的

運(yùn)算。

整數(shù)乘法的意義：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。

小數(shù)乘法的意義：小數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同；一個(gè)數(shù)

乘小數(shù)，就是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾……是多少。

分?jǐn)?shù)乘法的意義：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同；一個(gè)數(shù)

乘分?jǐn)?shù)，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

除法的意義：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的

運(yùn)算。

2.四則運(yùn)算的計(jì)算法則

整數(shù)加、減法的計(jì)算法則：把相同的數(shù)位對齊，從低位算起。哪一位

上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)1;哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退1,

在本位上加10再減。

小數(shù)加、減法的計(jì)算法則：把小數(shù)點(diǎn)對齊，再按照整數(shù)加、減法的法

則進(jìn)行計(jì)算。

分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算法則：當(dāng)分母相同時(shí)，把分子直接相加減；分母

不同時(shí)，要先通分，再相加減。

整數(shù)乘法的計(jì)算法則：相同的數(shù)位對齊，從末位算起。分別用一個(gè)因

數(shù)的每一位去乘另一個(gè)因數(shù)，用這個(gè)因數(shù)的哪一位去乘，得數(shù)的末位就和

那一位對齊。

整數(shù)除法的計(jì)算法則：從被除數(shù)的最高位除起，除到被除數(shù)的那一位,

上就寫在那一位上面，每次除后余下的數(shù)必須比除數(shù)小。

分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作

分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作

分母。

分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒

數(shù)。

小數(shù)乘法的計(jì)算法則：先按整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看兩個(gè)因

數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起向左邊數(shù)出幾位，然后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

小數(shù)除法的計(jì)算法則：除數(shù)是整數(shù)時(shí)，按整數(shù)除法的法則計(jì)算，上的

小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊；除數(shù)是小數(shù)時(shí)，先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，

使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)

幾位（位數(shù)不夠時(shí)，末尾用“0”補(bǔ)足），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則

進(jìn)行計(jì)算。

3.0與1四則運(yùn)算中的特殊性

a+0=aa-0=aa-a=0aX0=0aXl=aa+l=a0-ra=0

14-a=la+a=l（a作除數(shù)時(shí)不為0,0不能作除數(shù)）

a

4.四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系

運(yùn)算各部分之間的關(guān)系

加法加數(shù)+加數(shù)=和一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)

減法被減數(shù)-減數(shù)=差減數(shù)=被減數(shù)-差被減數(shù)=減數(shù)+差

乘法因數(shù)X因數(shù)=積一個(gè)因數(shù)=積+另一個(gè)因數(shù)

除法被除數(shù)+除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)+商被除數(shù)=除數(shù)X商

運(yùn)用四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系可以對四則運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)算。

5.四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

（1）.四則混合運(yùn)算分為兩級(jí)：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算；乘法和除

法叫做第二級(jí)運(yùn)算。

（2）.四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

①.在沒有括號(hào)的算式里，如果只含有同級(jí)運(yùn)算，要從左往右依次計(jì)算;

如果含有兩級(jí)運(yùn)算，要先算第二級(jí)運(yùn)算（乘、除），再算第一級(jí)運(yùn)算（加、

減）。

②.再有括號(hào)的算式里，要先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最

后算括號(hào)外面的。

6.運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算

(1).加法交換律

兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。用字母表示為：a+b=b+a。

(2).加法結(jié)合律

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。

用字母表示為：(a+b)+c=a+(b+c)。

(3).乘法交換律

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。用字母表示為：a

Xb=bXa.

(4).乘法結(jié)合律

兩個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。

用字母表示為：(aXb)Xc=aX(bXc)o

(5).乘法分配律

一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，然后

把所得的積相加。用字母表示為：(a+b)Xc=ac+bco

(6).減法的運(yùn)算性質(zhì)

一個(gè)數(shù)連續(xù)減兩個(gè)數(shù)，等于這個(gè)數(shù)減這兩個(gè)數(shù)的和。用字母表示為：

a-b-c=a-(b+c)。

(7).除法的運(yùn)算性質(zhì)

一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)非零的數(shù)，等于這個(gè)數(shù)除以這兩個(gè)數(shù)的積。用字

母表示為：a+b+c=a+(bXc)(bWO,cWO)。

(8).商不變的性質(zhì)

被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)(0除外)，商不變。

7.估算

(1).根據(jù)算式中各數(shù)的特點(diǎn)，估算時(shí)一般是將其中的的數(shù)看作與之接

近的整數(shù)或整十、整百、整千……的數(shù)，使原式通過口算便可以求出得數(shù)。

由于得數(shù)是近似值，所以計(jì)算時(shí)要用“弋”連接算式與得數(shù)。

(2).取近似值時(shí)，一般有以下幾種方法

①.四舍五入法：要保留到哪一位，就看它的后一位，不夠5舍去，夠

5進(jìn)1,這種方法叫做四舍五入法。

②.進(jìn)一法：在取近似值時(shí)，把多余部分去掉后，在保留部分的末位加

1,這種方法叫做進(jìn)一法。

③.去尾法：在取近似值時(shí)，把多余部分去掉后，所保留部分不變，這

種方法叫做去尾法。

8.解決實(shí)際問題的一般步驟

(1).理解題意，弄清楚問題和已知信息。

(2).分析數(shù)量關(guān)系，明確已知量和未知量，以及已知量和未知量之間

的關(guān)系，找到解題的途徑，確定先算什么，再算什么。

(3).列式計(jì)算，即根據(jù)分析解題計(jì)劃，確定每一步應(yīng)該怎樣算，列出

算式，并計(jì)算出來。

(4).驗(yàn)算作答，檢驗(yàn)列式過程是否合理，結(jié)果是否正確，與原題的條

件是否相符，最后寫出答語。

式與方程

1.用字母表示數(shù)

用字母或含有字母的式子可以表示數(shù)，也可以表示數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和

計(jì)算公式等，為研究和解決問題帶來很多方便。

2.在含有字母的式子里應(yīng)注意的事項(xiàng)

(1).字母與字母、字母與數(shù)字之間的乘號(hào)可以記作“?”或省略不寫。但

要注意，在省略乘號(hào)的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)把數(shù)字寫在字母的前面。

(2).用字母表示除法、分?jǐn)?shù)或比時(shí)，表示除數(shù)、分母以及比的后項(xiàng)的字

母不能為0.

(3).用字母表示運(yùn)算結(jié)果時(shí)，必須是最簡明的式子。

3.等式與方程

(1).表示相等關(guān)系的式子叫做等式。

(2).含有未知數(shù)的等式叫做方程。

(3).等式與方程的區(qū)別和聯(lián)系：

①方程必須是等式，等式不一定是方程；②方程必須含有未知數(shù)，等式可

以不含有未知數(shù)。

4.等式的性質(zhì)

(1).等式兩邊加上或減去同一個(gè)數(shù)，左右兩邊仍然相等。

(2).等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，左右兩邊仍然相

等。

5.方程的解和解方程

(1).使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

(2).求方程的解的過程叫做解方程。解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)。

6.列方程解決實(shí)際問題的一般步驟

（1）.弄清題意，找出未知數(shù)，并用字母X表示（也可以間接設(shè)某個(gè)量為

X,再通過這個(gè)量去求未知數(shù)）；

（2）.分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，并列出方程；

（3）.解方程，求出未知數(shù)的值；

（4）.檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，并寫出答語。

比和比例

1.比和比例的聯(lián)系與區(qū)別

比比例

意表示兩個(gè)數(shù)相除表示兩個(gè)比相等的式子

義

9：6=1.59：6=3：2

各部前項(xiàng)比號(hào)后項(xiàng)比值內(nèi)項(xiàng)

分名外項(xiàng)

稱

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積

基除外），比值不變

本

性

質(zhì)化簡比的依據(jù)解比例的依據(jù)

2.比和分?jǐn)?shù)、除法的聯(lián)系

聯(lián)系

例子

各部分名稱

分5

數(shù)分子-（分?jǐn)?shù)線）分母分?jǐn)?shù)值8

除

法被除數(shù)+（除號(hào)）除數(shù)商0.625

比

前項(xiàng)：（比號(hào)）后項(xiàng)比值5：8

3.求比值與化簡比

求比值：根據(jù)比的意義，用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，結(jié)果是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、小

數(shù)或分?jǐn)?shù)。

化簡比：根據(jù)比的基本性質(zhì)，把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以相同的數(shù)（0

除外），結(jié)果是一個(gè)比，它的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)。

4.比例尺

一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。既：

圖上距離：實(shí)際距離二比例尺或圖上距離/實(shí)際距離=比例尺

比例尺分為數(shù)值比例尺和線段比例尺。

5.正比例和反比例

正比例的意義：兩種相關(guān)連的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如

果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們

的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表示為：上=k（一定）（xNO）

X

兩種相關(guān)連的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種相對應(yīng)

的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)

系。它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表示為：xy=k（一定）

（二）空間與圖形

圖形的認(rèn)識(shí)與測量

1.圖形的分類

2.平面圖形的認(rèn)識(shí)

（1）直線、射線、線段

圖示延伸性端點(diǎn)個(gè)數(shù)可否度量聯(lián)系

直線—向兩端無限延伸沒有端點(diǎn)不可度量

都是直的，線段向

一端無限延伸形成射

—

射線向一端無限延伸1個(gè)端點(diǎn)不可度量線，線段向兩端無限

延伸形成直線。

線段—無法延伸2個(gè)端點(diǎn)可以度量

（2）.相交與平行

①在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行。

②在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩條直線相交。當(dāng)兩條直線

相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這

兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。

③在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。平行線之間的距離處處相

等。

④點(diǎn)到直線的距離：從直線外的一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段的長度，

叫做這點(diǎn)倒直線的距離。

（3）.角

①角的意義：從一點(diǎn)引出兩條射線就組成一個(gè)角。角的大小與邊的長短無

關(guān)，只與兩邊張開的大小有關(guān)。

②角的分類

角銳角直角鈍角平角周角

圖

示

大于0°大于90°

大

小于90°90°小于180°180°360°

小

(4).三角形

①三角形的意義：由三條線段首尾相連圍成的封閉圖形叫做三角形。

②三角形各部分的名稱：圍成三角形的三條線段叫做三角形的邊；每兩條

邊的交點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；每兩條邊所形成的角叫做三角形的內(nèi)角。一個(gè)三角

形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)和三個(gè)內(nèi)角。從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊作一條垂線,

頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。

③三角形的特征：三角形具有穩(wěn)定性。

④三角形的分類

I按角來分

名銳角三角形直角三角形鈍角三角形

稱

圖

形

特三個(gè)角都是銳角有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是鈍角

征

n按邊來分

名不等邊三角形等腰三角形

稱

圖

形

特三條邊都不相等有兩條邊相等三條邊都相等

征

⑤三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和是180°。

(5).四邊形

①平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形

的兩組對邊分別平行且相等，對角相等。

②長方形：長方形是特殊的平行四邊形，它的兩組對邊分別平行且相等，

四個(gè)角都是直角。

③正方形：正方形是特殊的長方形，它的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

④梯形：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰

梯形。有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形。

(6).圓

圓是平面上的一種曲線圖形，圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等。圓中

心的一點(diǎn)叫做圓心。圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。通過圓心并且兩端都

在圓上的線段叫做直徑。

3.平面圖形的周長和面積

4.立體圖形的認(rèn)識(shí)

(1).長方體和正方體

相同點(diǎn)不同點(diǎn)

名頂

立體圖形面棱面的特點(diǎn)面的大小棱長從不同的方向上

稱點(diǎn)看到的形狀

長

6各面，一般都是相對的棱的長度從上、下、前、后、

長方形(特殊情況相對的面的相等。長方體的棱左、右看，一般都

方下有2個(gè)相對的面積相等長總和是4會(huì)看到長方形，特

面是正方形)(a+b+h)殊情況可能看到

一個(gè)正方形

體

6128

個(gè)條個(gè)

正

6各面都是完全6個(gè)面的面積12條棱的長度都從上、下、前、后、

方相同的的正方形都相等相等。正方形的棱左、右看，都會(huì)看

長總和是12a到一個(gè)正方形

體

（2）.圓和圓錐

名

立體圖形特征從不同方向上看到的形狀

稱

圓1.圓柱有3個(gè)面，上、下2個(gè)底面是大小相同的圓，

側(cè)面是曲面1.從上或下看，會(huì)看到一個(gè)

2.圓柱兩底面之間的距離叫做高，它有無數(shù)條高圓

3.圓柱沿側(cè)面上的高展開后是長方形（或正方形）2.從側(cè)面看，會(huì)看到一個(gè)長

柱4.以長方形或正方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱方形（或正方形）

圓1.圓錐有2個(gè)面，它的底面是圓，側(cè)面是曲面1.從上面看，會(huì)看到“”

2.圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫做高，圓錐只有一2.從下面看，會(huì)看到一個(gè)圓

條高3.從側(cè)面看。會(huì)看到一個(gè)三角

3.以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐形

錐

5.立體圖形的表面積和體積

立體圖形表面積計(jì)算公式體積計(jì)算公式

S=(ab+ah+bh)X2V=abh

S=6a2V=a3

V=S底h

S=2nrh+2nr2V=nr2h

—

V=-Sh=-nr2h

33

圖形的運(yùn)動(dòng)

1.圖形的幾種運(yùn)動(dòng)

(1).平移：物體或圖形再同一平面內(nèi)沿直線運(yùn)動(dòng)，而本身沒有發(fā)生方

向上的改變，像這樣的物體或圖形所做的運(yùn)動(dòng)叫做平移。

平移的兩個(gè)因素：①平移的方向；②平移的距離。

(2).旋轉(zhuǎn)：物體或圖形繞著一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸運(yùn)動(dòng)，像這樣的物體或圖

形所做的運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。

旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：①旋轉(zhuǎn)點(diǎn)或軸；②旋轉(zhuǎn)方向(逆時(shí)針方向或順時(shí)

針方向)；③旋轉(zhuǎn)角度。

(3).軸對稱：如果把一個(gè)圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完

全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對稱圖形，折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

(4).圖形的放大和縮?。嚎梢园岩粋€(gè)圖形的各條邊按一定的比進(jìn)行放

大或縮小，從而得到該圖形的放大圖形或縮小圖形。

(5).平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱不改變圖形的形狀和大小；圖形的放大和縮

小只改變圖形的大小，不改變圖形的形狀。

2.利用圖形的運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)圖案

我們可以利用軸對稱的方法剪出圖案，也可以利用旋轉(zhuǎn)的方法設(shè)計(jì)

圖案，還可以按一定的比例將一個(gè)圖形放大或縮小，再利用平移做出美麗

的圖案。這里的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、放大、縮小和平移都是設(shè)計(jì)