復數(shù)知識點匯編-2023-2024學年高一數(shù)學下學期備考期末復習（人教A版2019必修第二冊）

《人教A版必修二知識點匯總》第7章《復數(shù)》知識點匯總7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念1.復數(shù)的概念（1）定義形如a+bia，b∈R的數(shù)叫做復數(shù)，其中這樣，方程x2＝-1在復數(shù)集（2）表示方法復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z=a+bia，溫馨提示:①i2=-1；②i和實數(shù)之間能進行加法、乘法運算；(3)實部a∈實例運用例1說出下列復數(shù)的實部和虛部：-2+13i，2+i，22，解：-2+13i的實部為2+i的實部為22的實部為2-3i的實部為0i的實部為0，虛部為1；0的實部為0，虛部為0；2.復數(shù)相等的充要條件（1）設a，b即“兩個復數(shù)相等的充要條件是它們的實部與虛部對應相等.”（2）特別地，a＋bi＝0?a＝（3）實例運用例2求滿足下列條件的實數(shù)x，y的值：①(x解：由題意可得x解得x②(x解：由題意可得x解得x3.復數(shù)的分類（1）實數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)的概念與充要條件對于復數(shù)a①當且僅當b=0時，它是實數(shù)；例如：2,-②當且僅當a＝b=0時，③當b≠0時，它叫做虛數(shù);例如：2-3④當a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).例如（2）復數(shù)的分類由上探究可知，復數(shù)a+（3）實例運用例3當實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z=m+1+(m-1)i是下列數(shù)?

解：（1）當虛部m-1=0，即m=1時，（2）當虛部m-1≠0，即m（3）當實部m+1=0虛部m-1≠7.1.2復數(shù)的幾何意義1.復平面的概念如圖,點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z＝a通過建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．例如，復平面內的原點(0,0)表示實數(shù)0,實軸上的點(2,0)表示實數(shù)2,虛軸上的點(0,-1)表示純虛數(shù)-i,點注1：實軸上的點都表示實數(shù)；注2：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).2.復數(shù)的幾何意義（1）復數(shù)的幾何意義一——用點表示復數(shù)由復平面的概念引入可知：每一個復數(shù)，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的復數(shù)和它對應．由此可知，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內的點按如下方式建立了一一對應關系:注：這是復數(shù)的第一種幾何意義——用點表示復數(shù).（2）復數(shù)的幾何意義二——用向量表示復數(shù)如圖，設復平面內的點Z表示復數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量OZ由點Z因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系(實數(shù)0與零向量對應)，即注：這是復數(shù)的第二種幾何意義——用起點為坐標原點的平面向量表示復數(shù).3.復數(shù)的模如圖，當我們用向量OZ表示復數(shù)z＝規(guī)定：向量OZ的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作|即|簡稱為：“一個復數(shù)的模等于它實部與虛部的平方和再開算術平方根.”注：特別地，當b=0時，那么z＝a＋bi簡稱為：“實數(shù)的模等于這個實數(shù)的絕對值.”4.共軛復數(shù)（1）定義如圖，一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)注：特別地，虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．例如3+5i與3-5i（2）表示復數(shù)z的共軛復數(shù)用z表示，即如果z＝（3）性質共軛復數(shù)復數(shù)z與z5.實例運用例3設復數(shù)z1=4+3i，z2=4-3i．

（1）在復平面內畫出復數(shù)z1，z2對應的點和向量;解:（1）如圖，復數(shù)z1,z2對應的點分別為Z1(4,3)，Z2(4,-3)，對應的向量分別為O（2）∵已知z1=4+3i，∴||故|7.2.1復數(shù)的加、減運算及其幾何意義1.復數(shù)加法的運算（1）復數(shù)加法的運算法則規(guī)定：設z1＝aaa簡述為：“兩個復數(shù)相加，實部與實部相加作為和的實部，虛部與虛部相加作為和的虛部.”例如(2+3注：由復數(shù)的加法法則可以看出（1）兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù)；（2）特別地，當z1,（2）復數(shù)加法的運算律根據(jù)復數(shù)加法的運算法則可知：對任意的z1（1）交換律：z1（2）結合律：z1注：實數(shù)集中加法的交換律、結合律在復數(shù)集中仍然成立，且實數(shù)集中的移項法則（移正為負、移負為正）在復數(shù)集中仍然成立.（3）復數(shù)加法的幾何意義如圖所示，設復數(shù)z1＝a+bi，z1+z2.復數(shù)的減法運算（1）復數(shù)的減法法則規(guī)定：復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi記作：x+yiaa簡述為：“兩個復數(shù)相減，實部與實部相減作為差的實部，虛部與虛部相減作為差的虛部.”（2）復數(shù)減法的幾何意義如圖所示，設復數(shù)z1＝a+bi，z1-z3.實例運用例1計算2+4i+3解：原式=(2+3)+[4+(-4)]例2設復數(shù)z的共軛復數(shù)為z，若復數(shù)z滿足2z+z=3-解:設z=a+bi∴2又∵已知2z+∴3a=3b故例3已知復數(shù)z1=3+4i，z2解：∵已知復數(shù)z1=3+4i∴z例4計算（1）5解(1)：5-(3+2（2）(5解(2)：(5-67.2.2復數(shù)的乘、除運算1.復數(shù)加法的運算（1）復數(shù)乘法的運算法則規(guī)定：設z1＝aaa簡述為：“兩個復數(shù)相乘，先用多項式乘多項式展開，再將i2=-1例如(2+3i注：由復數(shù)的乘法法則可以看出①兩個復數(shù)的積仍然是一個確定的復數(shù)；②特別地，當z1，z2（2）復數(shù)乘法的運算律根據(jù)復數(shù)乘法的運算法則可知：對任意的z1①交換律：z1②結合律：z1③分配律：z1z2注：復數(shù)乘法的運算律與多項式乘法的運算律相同，同時相應的公式——如完全平方公式(a±b)2.復數(shù)的除法運算（1）復數(shù)的除法法則復數(shù)的除法法則為：aa=簡述為：“兩個復數(shù)相除，先把除式轉化為分式，再分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，實現(xiàn)分母實數(shù)化后化簡.”注：由復數(shù)的除法法則可以看出兩個復數(shù)的商仍然是一個確定的復數(shù)；例如(2+3i（2）復數(shù)范圍內一元二次方程ax①當判別式Δ＝b2－②當判別式Δ＝b2－3.實例運用例1計算(1)7-6i(2)例2計算：(1)(2+3(2)(1+例3計算(1-=(11-2=-22