小學(xué)奧數(shù)盈虧問(wèn)題

盈虧問(wèn)題

兒歌：鳥(niǎo)兒飛來(lái)了，落在大樹(shù)梢，每樹(shù)落一只，一鳥(niǎo)沒(méi)樹(shù)找，每樹(shù)落2只，一樹(shù)沒(méi)有鳥(niǎo)，請(qǐng)問(wèn)幾棵樹(shù)？

又有幾只鳥(niǎo)？

居澄思公

一、在理解的基礎(chǔ)上掌握盈虧問(wèn)題的三種類型

二、能靈活運(yùn)用盈虧問(wèn)題的基本公式解題

三、理解盈虧中的“總量”和“份數(shù)”，靈活應(yīng)用盈虧法解決問(wèn)題

頌旗陽(yáng)咫

一、盈虧問(wèn)題的三種類型

1.直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題

【舉例】朝陽(yáng)小學(xué)買來(lái)一批小足球分給各班：如果每班分個(gè)，就差個(gè)；如果每班分個(gè)，則正好分完,

朝陽(yáng)小學(xué)一共有多少個(gè)班？買來(lái)多少個(gè)足球？

2.條件轉(zhuǎn)換型盈虧問(wèn)題

【舉例】幼兒園把一袋糖果分給小朋友，如果分給大班的小朋友，每人粒就缺粒；如果分給小班的

小朋友，每人粒就余粒.已知大班比小班少個(gè)小朋友，這袋糖果共有多少粒？

3.關(guān)系互換型盈虧問(wèn)題

【舉例】小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元.已

知每千克牛肉比豬肉貴3元，問(wèn)：小明媽媽帶了多少錢？

二、基本公式

1.（盈+虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

2.（盈一盈）4■兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

3.（虧一虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

三、基本思想方法

1.實(shí)質(zhì)

分配中的余缺問(wèn)題

2.三種類型的綜合處理

簡(jiǎn)單問(wèn)題的處理：量的差別十單位差別

3.遇到陌生'復(fù)雜的盈虧問(wèn)題，可以用轉(zhuǎn)換的思想

用假設(shè)法，把陌生問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題、簡(jiǎn)單問(wèn)題

￡1湄麻

重點(diǎn)：在理解的基礎(chǔ)上，掌握盈虧問(wèn)題的基本類型并能靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題

難點(diǎn)：盈虧問(wèn)題中份數(shù)與總量的區(qū)分（這是學(xué)生能夠靈活運(yùn)用盈虧法解決問(wèn)題的前提）

做I題需檢

【例。小朋友分糖果，若每人分10粒則多9粒；若每人分11粒則剛好.問(wèn)：有多少個(gè)小朋友分多少粒糖？

【考點(diǎn)】直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【難度】☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】在這個(gè)例題中，主要讓學(xué)生體會(huì)到分10粒則多9粒，而分II粒則剛剛好！那么可以說(shuō)”這九粒

糖的任務(wù)”就是給每一位小朋友再發(fā)一個(gè)糖，那么九粒糖每人發(fā)一個(gè)？是多少個(gè)小朋友？九個(gè).這

道題的目的在于讓學(xué)生體會(huì)盈虧的思想，數(shù)量上都不用做太高要求，這是學(xué)習(xí)盈虧問(wèn)題之前的預(yù)

熱！

【答案】（1）9個(gè)小朋友（2）99顆糖

【鞏固】北京某校三年級(jí)一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個(gè)就少9個(gè)，如果每人分3個(gè)正好分完.問(wèn)：

有多少位同學(xué)分多少個(gè)小玩具？

【答案】（1）9個(gè)小朋友（2）36個(gè)玩具

【例2】小朋友分糖果，若每人分10粒則多9粒；若每人分11粒則差6粒.問(wèn)：有多少個(gè)小朋友分多少粒

糖？總共有多少粒糖果？

【考點(diǎn)】直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【難度】☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】與上題相比，這題有了變化，本來(lái)9粒糖就可以分了，但是現(xiàn)在呢？要幾粒糖？15粒？小朋友的

人數(shù)（份數(shù)）與糖的粒數(shù)（總數(shù)）是不變的.比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9

粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9+6=15（粒）.相差的原

因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之

差為5—4=1（粒）.每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15+1=15（人），

糖果的粒數(shù)為：4x15+9=69（粒）.

通過(guò)上述兩道例題主要是讓學(xué)生體會(huì)盈虧的思想，這對(duì)于后面公式的總結(jié)比較有幫助.教師可以酌

情考慮，假如學(xué)生的情況比較好，那就不需要上述預(yù)熱.

【答案】（1）15（2）69

【鞏固】智康給優(yōu)秀學(xué)員發(fā)獎(jiǎng)品，假如每人領(lǐng)取7枝筆，則還剩3枝，假如每人領(lǐng)取8枝筆，則還差55

枝.問(wèn)：有多少優(yōu)秀學(xué)員？多少支筆？

【答案】（1）58（人）（2）409（支）

【例3】點(diǎn)點(diǎn)媽媽買回一筐蘋果，按計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘋果；如果每

天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘋果.那么媽媽買回的蘋果有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？

【考點(diǎn)】直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【難度【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】題中告訴我們每天吃4個(gè)，多出48個(gè)蘋果；每天吃6個(gè)，少8個(gè)蘋果.觀察每天吃的個(gè)數(shù)與革

果剩余個(gè)數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個(gè)變?yōu)槊刻斐?個(gè)，也就是每天多吃2個(gè)時(shí)，蘋果從多

出48個(gè)到少8個(gè)，也就是所需的蘋果總數(shù)要相差48+8=56（個(gè)）.從這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看

出，只要求56里面含有多少個(gè)2,就是所求的計(jì)劃吃的天數(shù)；有了計(jì)劃吃的天數(shù)，就不難求出共

有多少個(gè)蘋果了.吃的天數(shù)是（48+8）+（6-4）=56+2=28（天），蘋果數(shù)是6x28-8=160（個(gè)）

或4x28+48=160（個(gè)）.

【答案】（1）160（2）28

【鞏固】“六一”國(guó)際兒童節(jié)聯(lián)歡會(huì)上，買來(lái)一包糖，如果每人分15塊，則還剩42塊，如果每人分17塊,

則少16塊.問(wèn)：這包糖有幾塊？一共有幾個(gè)學(xué)生？

【答案】（1）29（2）477

【例4］媽媽帶小敏去商店買布，媽媽帶的錢如果買2米還余1.80元，如果買4米則差2.40元，問(wèn)媽媽帶

著多少錢？

【難度】【考點(diǎn)】直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】題中告訴我們買2米還余1.80元，如果買4米則差2.40元，那么買兩米布需要多少錢？通過(guò)上

述兩種方案我們可以知道本來(lái)買2米剩1.80元，而再買兩米就還要差2.40元，所以我們可以知

道兩相對(duì)比錢數(shù)的變化是3.2元.而錢發(fā)生變化是因?yàn)槲覀冇仲I了2米，也就是說(shuō)2米3.2元，所

以很自然就可以知道一米1.6元，算式：1.6x2+1.8=4（元）.

【答案】4元

【鞏固】某校同學(xué)排隊(duì)上操.如果每行站9人，則多69人；如果每行站12人，則多15人.一共有多少學(xué)生？

【答案】（1）10人(2)72

【例5】一家旅店，若每個(gè)房間住6人，則16人沒(méi)有床位；若每個(gè)房間住8人，則有一間房間是空出來(lái)

的.這家旅店有多少個(gè)房間？要住宿的人數(shù)有多少？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】這道題式較之前的題發(fā)生變化的是在第二個(gè)分配方案里并沒(méi)直接告述我們少多少（即虧是多少），

在這種說(shuō)法中學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤計(jì)算.實(shí)際上，在第二種方案中，只要換一個(gè)說(shuō)法：若每個(gè)房間住8

人，還需要8個(gè)人才能住滿。這就跟之前的盈虧沒(méi)有區(qū)別，同樣是方案一：有一批人（總數(shù)），

住進(jìn)房間（份數(shù)）第一次分配6人住一間（一間房間分給它6個(gè)人），還多余8個(gè)人；第二次分

配是8人住一間（一間房間分給它6個(gè)人），再來(lái)8個(gè)人才能讓所有房間有人.也就是所需的人的

總數(shù)要相差16+8=24（人），從這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看出，只要求24里面含有多少個(gè)2,就

是所求的房間數(shù)；有了房間數(shù)，就不難求出有多少人了.

16+8=24（人）；24+2=12（間）人數(shù)是12x8-8=88（人）或6x12+16=88（人）.

【答案】12個(gè)房間；88人

【鞏固】某合唱隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開(kāi)會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出9人，若每條長(zhǎng)椅上坐4人則多一個(gè)

長(zhǎng)椅.問(wèn)：合唱隊(duì)有多少人？有多少個(gè)長(zhǎng)椅？

【答案】48人；13個(gè)長(zhǎng)椅

【例6】某班同學(xué)去劃船.他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好

每條船坐9人.問(wèn)：這個(gè)班共有多少同學(xué)？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】這道題中，總量:人的數(shù)量份數(shù)：計(jì)劃中船的數(shù)量.但是在兩種分配方案中都沒(méi)有統(tǒng)一的份數(shù)，

一個(gè)是比計(jì)劃的船數(shù)少一，一個(gè)是比船數(shù)多一.我們不妨用假設(shè)法（這是在盈虧問(wèn)題中常用的思想

方法）假設(shè)在方案一中，不增加船數(shù)那么就有六個(gè)人沒(méi)座（即剩六人），假設(shè)在方案一中，不減

少船數(shù)那么就有9個(gè)座沒(méi)人（即差9個(gè)人來(lái)坐這位置）.原式9+6=15（人）；15+3=5（條）人

數(shù)是5x9—9=36（個(gè)）或5x6+6=36（個(gè)）.

【答案】36個(gè)人

【鞏固】某實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則還需要加派一輛車；如果每輛車多坐5人,

恰好多出一輛車.問(wèn)一共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？

【答案】25輛車；1560個(gè)人

【例7】少先隊(duì)員去植樹(shù)，如果每人挖5個(gè)樹(shù)坑，還有3個(gè)樹(shù)坑沒(méi)人挖；如果其中兩人各挖4個(gè)樹(shù)坑，其

余每人挖6個(gè)樹(shù)坑，就恰好挖完所有的樹(shù)坑.請(qǐng)問(wèn)，共有多少名少先隊(duì)員？共挖了多少樹(shù)坑？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】題中告訴我們每人挖5個(gè)，還有3個(gè)樹(shù)坑沒(méi)人挖（即是多出3個(gè)樹(shù)坑）；如果其中兩人各挖4個(gè)

樹(shù)坑，其余每人挖6個(gè)樹(shù)坑.也許有同學(xué)會(huì)有一個(gè)想法，假如第二個(gè)方案中所有人都挖6個(gè)樹(shù)坑那

就好了！那我們有什么辦法把第二種方案中所有人都變成挖6個(gè)樹(shù)坑呢？假設(shè)法!這里我們自己提

供了一種方案：每人都挖6個(gè)樹(shù)坑，則還差四個(gè)樹(shù)坑（2x2=4,較原來(lái)的基礎(chǔ)上多挖了，多挖的

是別人的樹(shù)坑不是少先隊(duì)員的樹(shù)坑，所以是差四而不是多四）少先隊(duì)員：（3+4）-（5-4）=7

（人），樹(shù)坑數(shù)是7x6-4=38（個(gè)）或5x7+3=38（個(gè)）

【答案】7個(gè)人；38個(gè)樹(shù)坑

【鞏固】兔子?jì)寢尫职撞耍喝绻渲?只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，則多4棵白菜；如果其中

一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，則差12棵白菜.問(wèn)：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？

【答案】9只兔子；26棵白菜

［例8］有若干個(gè)蘋果和梨，如果按1個(gè)蘋果配3個(gè)梨分一堆，那么蘋果分完時(shí)，還剩2個(gè)梨；如果按1

個(gè)蘋果配4個(gè)梨分一堆.那么梨分完時(shí)，還剩1個(gè)蘋果.問(wèn)梨有多少個(gè)？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】在這道題中，我們主要是把蘋果看作為份數(shù)（即我們分糖果中的人頭），有了這個(gè)想法這道題就

不難解決了！就變成了我們盈虧中的基本題型了！

方案一：三個(gè)梨—?一個(gè)蘋果（一個(gè)小朋友），剩兩個(gè)梨.

方案二：四個(gè)梨—?一個(gè)蘋果（一個(gè)小朋友），剩一個(gè)蘋果.

方案三：四個(gè)梨一?一個(gè)蘋果（一個(gè)小朋友），剩一個(gè)蘋果即差兩個(gè)梨.

方案三是建立在方案二的基礎(chǔ)上的，方案三是隱形的方案.由方案一和方案三就可以通過(guò)基本

盈虧問(wèn)題來(lái)解決.2+2=4蘋果數(shù)：4+1=4梨數(shù)：4x4-2=14（個(gè)）或3x4+2=14（個(gè)）

【答案】14個(gè)梨

【鞏固】肯德基搞買漢堡贈(zèng)玩具活動(dòng)（玩具是有限的，送完即止），如果按照三個(gè)漢堡換贈(zèng)一個(gè)玩具，那

么玩具送完了，漢堡還剩10個(gè)，假如按照四個(gè)漢堡送一個(gè)玩具，那么漢堡賣完了，玩具還剩4個(gè)？問(wèn)這

一天肯德基準(zhǔn)備了多少漢堡？多少玩具？假如你是肯德基的負(fù)責(zé)人你會(huì)怎么計(jì)劃呀？

【答案】88個(gè)漢堡；26個(gè)玩具；以玩具剛好送完為原則（答案不唯一）

【例9】王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米,

就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆☆☆【題型】填空題：應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這道題的盈與虧好像都不容易直接看出來(lái)，假如前面的學(xué)習(xí)中對(duì)份數(shù)和總量都有

所要求，那么在后面的講解中也會(huì)容易許多.這道題我們主要是把時(shí)間看作為份數(shù)（即我們分糖果

中的人頭），而路程是總數(shù).

方案一：500米一?一分鐘，遲到三分鐘.

500米一?一分鐘，剩1500米（假設(shè)遲到的三分鐘停止不動(dòng)）...①

方案二：600米一?一分鐘，提前兩分鐘.

600米一?一分鐘，少1200米（假設(shè)早到的二分鐘也在肺車）...②

由①與②可以得出以下算式：1500+1200=2700米原計(jì)劃時(shí)間：2700+100=27分鐘

路程：600x27-1200=15000（個(gè)）或500x27+1500=15000（米）

【答案】15000米

【鞏固】（☆☆☆☆☆）學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分種走60米，可提早3分鐘到校；

如果每分鐘走50米，要遲到2分鐘到校.由家到學(xué)校的路程是多少？

【答案】1500米

【例10】李阿姨給小朋友分糖果.若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但

至少可分到一塊.那么糖果最多有多少塊？

【考點(diǎn)】條件轉(zhuǎn)化型盈虧問(wèn)題【難度】☆☆☆☆☆【題型】填空題；應(yīng)用題；結(jié)合方程的應(yīng)用題

【解析】方法一：假設(shè)法

我們可以假設(shè)最后這人分8塊，分7塊讓后去分別進(jìn)行計(jì)算.

分7塊時(shí)：還差3塊，10+3=13+1=13人糖果數(shù)：13x8+10=114

分8塊時(shí)：還差2塊，10+2=12+1=12人糖果數(shù)：12x8+10=106

通過(guò)上述兩個(gè)算式我們可以看到差的越多在計(jì)算糖果數(shù)時(shí)會(huì)越大，所以差9塊（分一塊）

時(shí)糖果數(shù)是最多的.19x8+10=162

方法二：當(dāng)（盈+虧）越大，糖果數(shù)越多，所以虧=9時(shí)，糖果數(shù)最大.

（10+9）x8+10=162

【答案】162

【鞏固】（☆☆☆☆☆）有48個(gè)香蕉分給兩個(gè)籠子的小猩猩，已知第二個(gè)籠子比第一個(gè)籠子多5只猩猩.如

果把香蕉全部分給第一個(gè)籠子的猩猩，那么每只猩猩4個(gè)，有剩余；每只猩猩5個(gè)，香蕉不夠.如果把香

蕉全分給第二個(gè)籠子里面的猩猩，那么每只猩猩3個(gè)，有剩余；每只猩猩4個(gè)，香蕉不夠.問(wèn)第二個(gè)籠子

有多少只猩猩？

【答案】第一組：10只猩猩第二組：15只猩猩

盤繪組測(cè)

一、假設(shè)法常使用（當(dāng)問(wèn)題與基本盈虧問(wèn)題有差異時(shí)，我們可以通過(guò)一些假設(shè)創(chuàng)造出符合我們要求的方案）

二、公式要活學(xué)：（盈+虧）+兩次分得之差=份數(shù)（人數(shù)）

三、“總數(shù)”、份數(shù)要分清（需要多變式練習(xí)）

圖第希雨

一、教學(xué)目標(biāo)

本講主要學(xué)習(xí)第一種類型的盈虧問(wèn)題：

1.理解掌握并運(yùn)用直接計(jì)算解決盈虧問(wèn)題（盈與虧型）

2.通過(guò)例題練習(xí)，讓學(xué)生總結(jié)盈虧公式

3.能夠運(yùn)用假設(shè)法解決復(fù)雜的盈虧問(wèn)題

二、教學(xué)建議

本堂課作為盈虧問(wèn)題（直接計(jì)算型）的第一課時(shí)，是基礎(chǔ)章節(jié).但是在這一堂課中必須要學(xué)生充分理解

盈虧問(wèn)題的涵義，這樣才能游刃有余。再通過(guò)例題讓學(xué)生掌握解答盈虧問(wèn)題的基本技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維

分析能力.

1.（☆）“六一”國(guó)際兒童節(jié)聯(lián)歡會(huì)上，買來(lái)一包糖，如果每人分15塊，則還剩42塊，如果每人分17塊,

則少16塊，這包糖有塊，一共有個(gè)學(xué)生.

【解析】（42+16）+2=29（人）29x15+42=477（塊）

【答案】477塊；29人

2.（☆☆☆）李師傅加工一批零件，如果每天做50個(gè)，要比原計(jì)劃晚8天完成；如果每天做60個(gè)，就可

以提前5天完成.這批零件共有多少個(gè)？

【解析】（在這道題中，我們主要是把天數(shù)看作為份數(shù)（即我們分糖果中的人頭），有了這個(gè)想法這道題

就不難解決了！就變成了我們盈虧中的基本題型了！

方案一：50個(gè)零件一?一天（一個(gè)小朋友），要比原計(jì)劃晚8天完成（相當(dāng)于多了400個(gè)零件）

方案一：60個(gè)零件一?一天（一個(gè)小朋友），提前五天完成（相當(dāng)于還差300個(gè)零件）

通過(guò)盈虧問(wèn)題來(lái)解決.300+400=700天數(shù)：700+10=70天零件數(shù)：70x60—300=3900（個(gè)）

【答案】3900個(gè)

3.（☆☆☆）有一批故事書分給幾個(gè)小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么會(huì)剩2本；如

果其中1人分3本，其余每人5本，就會(huì)剛好分完.這批故事書共有多少本？

【解析】方案一：3人每人5本，其余每人4本，剩2本

每人四本，剩5本（假設(shè)那三人也是四本）

方案二：1人分3本，其余每人5本，就會(huì)剛好分完

每人五本，差兩本（假設(shè)那一個(gè)人也是五本）

算式：（5+2）+1=7（人）7x4+5=33（塊）

【答案】33本

相局岱迪

【家庭作業(yè)】

1.（☆）秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4