姓名-學(xué)號-中國海洋大學(xué)偏微分方程的數(shù)值解法第七次作業(yè)

偏微分方程的數(shù)值解法上機(jī)習(xí)題七題目：求解邊值問題：取步長作五點(diǎn)差分格式。用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代和SOR迭代，（?。┣蠼獠罘址匠?，以前后兩次重合到小數(shù)點(diǎn)后四位的迭代值作為解的近似。比較三種解法的迭代次數(shù)以及差分解與精確解的精度。求解：給定步長，建立方程組系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)。計(jì)算出迭代法的迭代矩陣、常數(shù)項(xiàng)及最佳松弛因子進(jìn)行迭代計(jì)算，輸出迭代次數(shù)求解精確解并作出精確解和迭代解對應(yīng)圖像作出誤差圖像程序：clc;clear;n=input('請輸入等分?jǐn)?shù)n=');h=1/n;%---------------------建立常數(shù)項(xiàng)b--------------------------fori=1:(n-1)forj=1:(n-1)b(j+(i-1)*(n-1),1)=2*pi^2*exp(pi*(i*h+j*h))*(sin(pi*i*h)*cos(pi*j*h)+cos(pi*i*h)*sin(pi*j*h));endend%---------------------建立系數(shù)矩陣A--------------------------j=0;fori=1:(n-1)^2ifi>=nj=j+1;A(i,j)=1/h^2;A(j,i)=1/h^2;endA(i,i)=-4/h^2;endj=0;fori=2:(n-1)^2j=j+1;ifmod(j,n-1)~=0A(j,i)=1/h^2;endend%--------------迭代法矩陣----------------D=diag(diag(A));L=tril(A,-1);R=triu(A,1);N=20000;%迭代最大次數(shù)%------------Jacboi迭代法迭代矩陣及常數(shù)項(xiàng)-----------------G=-inv(D)*(L+R);H=inv(D)*b;%------------Guass-Seidel迭代法迭代矩陣及常數(shù)項(xiàng)------------M=inv(D+L);R1=-M*R;M=M*b;%-----------SOR超松弛迭代法迭代矩陣、常數(shù)項(xiàng)及最佳松弛因子-------------I=speye((n-1)^2);B=I-inv(D)*A;q=eig(B);q=q(1);w=2/(1+sqrt(1-q^2));P=inv(D-w*(-L));Aw=P*(w*(-R)+(1-w)*D);P=w*P*b;%------------------------迭代法計(jì)算并作圖-----------------------------str={'1.Jacobi迭代的迭代次數(shù)是','2.Guass-Seidel迭代的迭代次數(shù)是','3.SOR超松弛法的迭代次數(shù)是'};fork=1:3U=speye((n-1)^2,1);U0=zeros((n-1)^2,1);U0=sparse(U0);time=0;whilenorm(U-U0)>1e-4U0=U;switchkcase1U=G*U0+H;case2U=R1*U0+M;case3U=Aw*U0+P;endtime=time+1;ifi>Nbreakendenddisp([char(str{k}),num2str(time)]);fora=1:n-1forb=1:n-1switchkcase1Z_1(a,b)=U((n-1)*(a-1)+b,1);case2Z_2(a,b)=U((n-1)*(a-1)+b,1);case3Z_3(a,b)=U((n-1)*(a-1)+b,1);endendendend%-----------------------作方程解圖需要---------------------------------x=1/n:1/n:(n-1)/n;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);figure(1);%-------------------------精確解計(jì)算并作圖-----------------------------Z=exp(pi*(X+Y)).*sin(pi*X).*sin(pi*Y);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('精確解圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');%-----------------------迭代法圖像--------------------------------subplot(2,2,2);mesh(X,Y,Z_1);title('Jacobi迭代圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');subplot(2,2,3);mesh(X,Y,Z_2);title('Guass-Seidel迭代圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');subplot(2,2,4);mesh(X,Y,Z_3);title('SOR超松弛法圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');%------------------------迭代法誤差圖像----------------------------figure(2);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z_1-Z);title('Jacobi迭代誤差圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');subplot(2,2,2);mesh(X,Y,Z_2-Z);title('Guass-Seidel迭代誤差圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');subplot(2,2,3);mesh(X,Y,Z_3-Z);title('SOR超松弛誤差圖像');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u');運(yùn)行結(jié)果步長為1/64迭代次數(shù)請輸入等分?jǐn)?shù)n=641.Jacobi迭代的迭代次數(shù)是382.Guass-Seidel迭代的迭代次數(shù)是283.SOR超松弛法的迭代次數(shù)是26解的圖像誤差圖像步長為1/32迭代次數(shù)請輸入等分?jǐn)?shù)n=321.Jacobi迭代的迭代次數(shù)是392.Guass-Seidel迭代的迭代次數(shù)是293.SOR超松弛法的迭代次數(shù)是27解的圖像誤差圖像步長為1/16迭代次數(shù)請輸入等分?jǐn)?shù)n=161.Jacobi迭代的迭代次數(shù)是382.Guass-Seidel迭代的迭代次數(shù)是283.SOR超松弛法的迭代次數(shù)是26解的圖像誤差圖像結(jié)果分析從迭代次數(shù)來看，Jacobi迭代法最高，Guass-Seidel迭代法次之，SOR超松弛法最少。步長JacobiGuass-SeidelSOR1/643828261/323929271/16382826從上面三種迭代法的三維圖來看，當(dāng)步長比較大