北師大新版八級(jí)上冊(cè)《第1章勾股定理》單元測(cè)試卷2含答案解析

北師大新版八年級(jí)上冊(cè)《第1章勾股定理》2015年單元測(cè)試卷一、填空：（每空4分，共計(jì)28分）1．已知一個(gè)Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為__________．2．求如圖中直角三角形中未知的長度：b=__________，c=__________．3．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為__________cm2．4．小明把一根70cm長的木棒放到一個(gè)長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進(jìn)去嗎？答：__________（填“能”、或“不能”）5．已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm，4cm，第三邊上的高為__________．6．如圖，四邊形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．則四邊形ABCD的面積為__________．7．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為__________dm．二、選擇題（每題4分，共28分）8．Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為()A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm9．觀察下列幾組數(shù)據(jù)：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作為直角三角形三邊長的有()組．A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為()A．2 B．3 C．4 D．511．如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達(dá)到建筑物的高度是()A．12米 B．13米 C．14米 D．15米12．滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是()A．a(chǎn)：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a(chǎn)2：b2：c2=1：2：3 D．a(chǎn)2：b2：c2=3：4：513．若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為()A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm14．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對(duì)三、解答題：（每題11分，共計(jì)44分）15．一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）16．小東與哥哥同時(shí)從家中出發(fā)，小東以6km/時(shí)的速度向正北方向的學(xué)校走去，哥哥則以8km/時(shí)的速度向正東方向走去，半小時(shí)后，小東距哥哥多遠(yuǎn)？17．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積．18．如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，求三角形BDF的面積是多少？四、附加題19．如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積．20．如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．（1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2；（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積．北師大新版八年級(jí)上冊(cè)《第1章勾股定理》2015年單元測(cè)試卷一、填空：（每空4分，共計(jì)28分）1．已知一個(gè)Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為7或25．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進(jìn)行討論解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)3、4都為直角邊時(shí)，第三邊長的平方=32+42=25；當(dāng)3為直角邊，4為斜邊時(shí)，第三邊長的平方=42﹣32=7．故答案為：7或25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．求如圖中直角三角形中未知的長度：b=12，c=10．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：b==12；c==10，故答案為：12；10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．3．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為49cm2．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解答】解：由圖形可知四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2．故答案為：49cm2．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)換．4．小明把一根70cm長的木棒放到一個(gè)長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進(jìn)去嗎？答：能（填“能”、或“不能”）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】能，在長方體的盒子中，一角的頂點(diǎn)與斜對(duì)的不共面的頂點(diǎn)的距離最大，根據(jù)木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進(jìn)行比較即可．【解答】解：能，理由如下：可設(shè)放入長方體盒子中的最大長度是xcm，根據(jù)題意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因?yàn)?900＜5000，所以能放進(jìn)去．故答案為能．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出木箱內(nèi)木棒的最大長度．5．已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm，4cm，第三邊上的高為．【考點(diǎn)】勾股定理．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為3cm，4cm，∴斜邊為=5cm，設(shè)斜邊上的高為h，則直角三角形的面積為×3×4=×5h，h=2.4cm，這個(gè)直角三角形斜邊上的高為2.4cm．故答案為：2.4cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用即直角三角形的面積的求法，屬中學(xué)階段常見的題目，需同學(xué)們認(rèn)真掌握．6．如圖，四邊形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．則四邊形ABCD的面積為99．【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】作CE⊥AB于E，則四邊形AECD是矩形，∠BEC=90°，得出AE=CD=5，BE=AB﹣AE=12，由勾股定理求出CE，即可求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：作CE⊥AB于E，如圖所示：則四邊形AECD是矩形，∠BEC=90°，∴AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=17﹣5=12，由勾股定理得：CE===9，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD的面積=（AB+CD）×CE=（17+5）×9=99；故答案為：99．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握梯形的性質(zhì)，由勾股定理求出梯形的高是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為25dm．【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故答案為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．二、選擇題（每題4分，共28分）8．Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為()A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm【考點(diǎn)】勾股定理；三角形中位線定理．【分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答．【解答】解：∵Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm，∴斜邊==10cm，∴連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為×10=5cm．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．9．觀察下列幾組數(shù)據(jù)：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作為直角三角形三邊長的有()組．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【解答】解：①82+152=172，根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故正確；②72+122≠152，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故錯(cuò)誤；③122+152≠202，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故錯(cuò)誤；④72+242=252，根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故正確．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為()A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC的長，再根據(jù)乘方運(yùn)算，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，先求出AC的長，再求出正方形的面積．11．如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達(dá)到建筑物的高度是()A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據(jù)勾股定理AC===12米．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，比較簡(jiǎn)單．12．滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是()A．a(chǎn)：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a(chǎn)2：b2：c2=1：2：3 D．a(chǎn)2：b2：c2=3：4：5【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形內(nèi)角和定理得出B是直角三角形；即可得出結(jié)果．【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，∴這個(gè)三角形是直角三角形，A是直角三角形；∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠C=90°，B是直角三角形；∵a2：b2：c2=1：2：3，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；∵a2：b2：c2=3：4：5，∴a2+b2≠c2，∴三角形不是直角三角形；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，通過計(jì)算得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．13．若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為()A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先求出BD，然后在RT△ABD中，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．【解答】解：如圖：由題意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則有DB=BC=8cm，在Rt△ABD中，AD==6cm．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形底邊上的高平分底邊，及利用勾股定理直角三角形的邊長．14．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對(duì)【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理．【專題】網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)勾股定理求得△ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定，從而不難得到其形狀．【解答】解：∵正方形小方格邊長為1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形．三、解答題：（每題11分，共計(jì)44分）15．一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)勾股定理，計(jì)算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米．【解答】解：如圖所示：因?yàn)锳B=9米，AC=12米，根據(jù)勾股定理得BC==15米，于是折斷前樹的高度是15+9=24米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．16．小東與哥哥同時(shí)從家中出發(fā)，小東以6km/時(shí)的速度向正北方向的學(xué)校走去，哥哥則以8km/時(shí)的速度向正東方向走去，半小時(shí)后，小東距哥哥多遠(yuǎn)？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意求出小東與哥哥各自行走的距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，∠ACB=90°，則AB==5km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積．【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的長度；（2）利用勾股定理的逆定理判斷出△BDC為直角三角形，根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠A=90°，∴△ABD為直角三角形，則BD2=AB2+AD2=25，解得：BD=5．（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，故S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，我們可以利用分解法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積之和．18．如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，求三角形BDF的面積是多少？【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【專題】應(yīng)用題；操作型．【分析】由折疊的性質(zhì)得到三角形BDC與三角形BDE全等，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，再由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到FD=FB，設(shè)FD=FB=xcm，則AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出FD的長，進(jìn)而求出三角形BDF面積．【解答】解：由折疊可得：△BDC≌△BDE，∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴FD=FB，設(shè)FD=FB=xcm，則有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，即FD=cm，則S△BDF=FD?AB=cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識(shí)有：折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．四、附加題19．如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積；勾股定理的逆定理．【專題】應(yīng)用題．【分析】連接AC，運(yùn)用勾股定理逆定理可證△ACD，△ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個(gè)直角三角形的面積差．【解答】解：連接AC，則在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答：這塊地的面積是216平方米．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線使圖形轉(zhuǎn)化成特殊的三角形