分析力學基礎課件

分析力學基礎矢量力學:解決質點和簡單剛體達朗伯原理:靜力學方法求解動力學問題；虛位移原理:動力學方法解靜力學平衡問題；達朗伯原理和虛位移原理結合將推出質點動力學普遍方程;拉格朗日方程;解決非自由質點系的動力學問題×

在空間：一個自由質點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質點在空間有3個自由度。

在平面：需要2個獨立參數(shù)，即質點有2個自由度。受到運動約束：質點自由度數(shù)將減少。完整約束：約束方程中不含速度項；穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時間t若具有n個質點的質點系，有s個完整約束方程：§18-1自由度和廣義坐標則：n個質點的質點系總自由度數(shù)為：描述質點系在空間位置的獨立參數(shù)，稱廣義坐標；完整系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)目等于自由度數(shù)目。×由無重剛桿與小球構成平面擺，做定軸轉動，擺長為l，是具有1個質點的平面質點系，自由度為2，有1個約束方程：用一個獨立參數(shù)ψ表示。若質點限定在半球面上運動，球半徑為R，是具有1個質點的空間質點系，自由度數(shù)為3，有1個約束方程：自由度數(shù)為：通常用2個獨立參數(shù)ψ和θ表示自由度數(shù)為：×用q1、q2、…qN表示質點系廣義坐標：對完整約束質點系，各質點坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。進行變分計算：設n個質點組成質點系受s個雙面約束×為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。同理：×在虛位移原理中，以質點直角坐標的變分表示虛位移。這些虛位移通常不獨立，需要建立虛位移之間的關系。若直接用廣義坐標變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨立，虛位移原理可表示為簡潔形式。§18-2以廣義坐標表示的質點系平衡條件×設：則：它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力δk為線位移，Qk量綱是力的量綱；δk為角位移，Qk量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標都是獨立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質點系的平衡條件是所有的廣義力都等于零×

質點系具有N個自由度，由N個廣義力，則有N個平衡方程是互相獨立的，可聯(lián)立求解質點系的平衡問題。大多數(shù)工程機構只有一個自由度，這只需要列出一個廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：法1.給質點系一個廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個廣義虛位移等于零。法2.×質點系在勢力場中，質點系上的主動力都為有勢力，則勢能應為各質點坐標的函數(shù)，總勢能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件為質點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零?！劣脧V義坐標表示質點系位置。在勢力場中，質點系勢能可表示為廣義坐標函數(shù)，總勢能為V為：廣義力為：在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件是勢能對于每個坐標的偏導數(shù)分別等于零。平衡條件為：法3:×例6復合擺機構，A、B點位置作用力F1,F2，F(xiàn).。用廣義坐標表示A、B點位置，求平衡時作用力F1,F2，F(xiàn)與ψ1，ψ2關系。解：方法1：1）取整個系統(tǒng)為研究對象，A,B2個質點具有4個自由度。兩個約束方程：該質點系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個獨立參數(shù)。表示2）用廣義坐標表示A,B×××（4）虛位移原理：直接計算：××方法2：

不變，給虛位移×

不變，給虛位移選題×

設有一質點系由n個質點組成，質點系中第i個質點質量為mi，作用在該質點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.

如果假想地加上該質點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構成平衡力系。整個質點系應組成平衡力系，質點系具有理想約束.

應用虛位移原理，得到：§18-3動力學普遍方程×

在理想約束的條件下，質點系的各個質點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學普遍方程。

得到：×例1圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整個系統(tǒng)為研究對象，（2）力分析設m2重物下降的加速度為a2，設m1重物下降的加速度為a1。2）給系統(tǒng)虛位移

s1和

s2系統(tǒng)的主動力為：m1g、

m2g慣性力為：

×代入加速度和虛位移關系得到：3）動力學普遍方程：

選題×例2兩個半徑皆為r的均質輪，中心用連桿相連，在傾角為θ的斜面上作純滾動，設輪子質量皆為m1，對輪心的轉動慣量皆為J，連桿質量為m2，求連桿運動的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對象（2）受力分析：主動力m1g、

m2g（3）桿作平動，設桿的加速度大小為a

輪作平面運動：質心加速度為：a角加速度為：a/r慣性力：×（4）給桿虛位移δs

（5）動力學普遍方程：輪虛轉角位移為：δψ=δs/r選題××o例3如圖二相同圓輪半徑皆為R，質量皆為m，輪Ⅰ可繞O軸轉動，二輪相連繩鉛直時，輪Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對象（2）力分析：作用的主動力mg（3）設輪Ⅰ的角加速度為α1

輪Ⅱ的角加速度為α2輪Ⅰ慣性力偶：MIⅠ=J1α1輪ⅠI慣性力偶：MIⅡ=J2α2

慣性力：FI=maC×4)加虛位移：輪Ⅰ：δψⅠ

輪ⅠI：δψⅡI輪定軸轉動II輪平面運動取B為基點×5)動力學普遍方程：×由虛位移的任意性：

解得：選題ק18-4第一類拉格朗日方程設n個質點組成質點系受s個雙面約束設：由動力學普遍定理：第一類拉格朗日方程×例7如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2

、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程?！痢良s束方程微分，消去×

當系統(tǒng)各質點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關系不方便。動力學普遍方程用獨立的廣義坐標表示，可推導出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質點系的動力學問題。設一質點系由n個質點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標。設系統(tǒng)中第i個質點的質量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標和時間的函數(shù)：§18-5第二類拉格朗日方程×由質點系普遍方程：

上式第一項又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×

代入上式第二項得:×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。所以廣義坐標的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標表示。 對廣義力做如下變換×1.證明：

進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導數(shù)

其中

是廣義坐標和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對求偏導數(shù)：得證在完整約束下×對某qj求偏導數(shù)

將

對時間求導數(shù)得：2.證明：由此得證

××其中

為質點系的動能該方程組中方程式的數(shù)目等于質點系的自由度數(shù)，每一個方程都是二階常微分方程。

得

上式稱為拉格朗日方程×于是拉格朗日方程可寫成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。如果作用在質點系上的主動力都是有勢力，則廣義力Qk可寫成×拉格朗日方程用動勢L=T-V表示

格朗日方程是解決具有完整約束的質點系動力學問題的普遍方程，是分析力學中重要的方程。拉格朗日方程的表達式非常簡潔，應用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力；對于保守系統(tǒng)，只需計算系統(tǒng)的動能和勢能。因為勢能是坐標的函數(shù)×解：1）取系統(tǒng)為研究對象機構具有1個自由度，選系桿轉角ψ作為廣義坐標。系桿對O軸的轉動慣量為JO。小齒輪對其質心A的轉動慣量為JA。2）運動分析；A點的速度為：例4在水平面內運行的行星齒輪機構如圖所示。均質系桿OA的質量為m1，它可繞端點O轉動，另一端裝有一質量為m2、半徑為r的均質小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動。當系桿受力偶M的作用時，求該系桿的運動方程?！列↓X輪的絕對角速度系統(tǒng)的動能等于系桿的動能與小齒輪的動能的和，即×解得：得：

3）拉格朗日方程選題×解：1）取系統(tǒng)為研究對象桿作平面運動此系統(tǒng)具有2個自由度。廣義坐標為x，ψ例5均質桿AB長為l，質量為m，借助A端銷子沿斜面滑下，斜面升角為θ，不計銷子質量和摩擦，求桿的運動微分方程。又設桿當ψ=0時由靜止開始運動，求開始運動時斜面受到的壓力。2）運動分析××3）受力分析取初始點為重力勢能零點；系統(tǒng)的勢能為：4）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程××開始運動:×4）斜面受到的壓力由平面運動方程：選題×解：1）取系統(tǒng)為研究對象此系統(tǒng)具有一個自由度。以物塊平衡位置為原點，取x為廣義坐標如圖。2）以平衡位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為例6如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質量為m1的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點。A、B二輪皆為均質圓輪，半徑為R，質量為m2。彈簧剛度為k，質量不記。當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運動微分方程。

0為平衡位置彈簧伸長量。×2）運動分析；B輪角速度為A輪質心速度為A輪角速度為物塊速度為此系統(tǒng)的動能為：×3）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運動微分方程為得注意系統(tǒng)的動勢為：選題×例7如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質量為m1；可在鉛直面內擺動的擺錘M2的質量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2

、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有