人教版八年級下數(shù)學(xué)-特殊的平行四邊形之正方形(答案)

2018年04月23日139****3305的初中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

—.選擇題（共20小題）

1.（2017?渭濱區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為8,在各邊上順次截取

AE=BF=CG=DH=5,則四邊形EFGH的面積是（）

A.30B.34C.36D.40

【考點】LG：正方形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由正方形的性質(zhì)得出NA=NB=NC=ND=90。，AB=BC=CD=DA,證出

AH=BE=CF=DG,由SAS證明△AEH之Z\BFE且4CGF之Z\DHG,得出EH=FE=GF=GH,

NAEH=NBFE,證出四邊形EFGH是菱形，再證出NHEF=90。，即可得出四邊形EFGH

是正方形，由邊長為8,AE=BF=CG=DH=5,可得AH=3,由勾股定理得EH,得正

方形EFGH的面積.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

，/A=NB=NC=ND=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

，AH=BE=CF=DG.

在△AEH、ABFE^^CGF和aDHG中，

'AE=BF=CG=DH

<NA=NB=NC=ND，

AH=BE=CF=DG

/.△AEH^ABFE^ACGF^ADHG（SAS）,

，EH=FE=GF=GH,NAEH=NBFE,

...四邊形EFGH是菱形，

VZBEF+ZBFE=90°,

，NBEF+NAEH=90",

/.ZHEF=90o,

，四邊形EFGH是正方形，

：AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,

EH=FE=GF=GH=^52+32=734,

，四邊形EFGH的面積是：J拓XJ拓=34,

故選:B.

2.（2017?天門模擬）如圖，AD是AABC的角平分線，DE,DF分別是4ABD和

△ACD的高，得到下面四個結(jié)論：①OA=OD；②ADJ_EF；③當(dāng)NBAC=90。時，四

邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①③④

【考點】LG：正方形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=DF,證4AED之△AFD,推出AE=AF,再一

一判斷即可.

【解答】解：根據(jù)已知條件不能推出OA=OD,...①錯誤；

CAD是AABC的角平分線,DE,DF分另!）是ZXABD和4ACD的高,

，DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在RtAAED和RtAAFD中，

[AD二AD,

IDE=DF，

ARtAAED^RtAAFD（HL）,

；.AE=AF,

VAD平分NBAC,

/.AD±EFf.?.②正確;

VZBAC=90°,NAED=NAFD=90°,

...四邊形AEDF是矩形，

VAE=AF,

，四邊形AEDF是正方形，.?.③正確;

VAE=AF,DE=DF,

.,.AE2+DF2=AF2+DE2,.,.④正確；

②③④正確，

故選：C.

3.（2009?臨夏州）如圖，四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BE1AD

于點E,且四邊形ABCD的面積為8,則BE=（）

A.2B.3C.2亞D.2A/3

【考點】LF：正方形的判定.

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出BE的長.

【解答】解：過B點作BFLCD,與DC的延長線交于F點，

則有ABCF絲ABAE（ASA）,

貝UBE=BF,S四邊形ABCD=S正方形BEDF=8，

*'?BE=Vs=2近.

故選：C.

4.（2017秋?沈河區(qū)期末）下列判斷錯誤的是（）

A.對角線相等四邊形是矩形

B.對角線相互垂直平分四邊形是菱形

C.對角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形

D.對角線相互平分的四邊形是平行四邊形

【考點】LF：正方形的判定；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；L9：菱形的判定；

LC：矩形的判定.

【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四邊形的判定定理、正方

形的判定定理分別對每個選項進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、對角線相等四邊形是矩形，錯誤；

B、對角線相互垂直平分四邊形是菱形，正確；

C、對角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確；

D、對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，正確；

故選：A.

5.（2017?雙橋區(qū)一模）如圖，AD是4ABC的角平分線，DE、DF分別是4ABD

和AACD的高，則下列結(jié)論：

①OA=OD；

②AD_LEF；

③AE+DF=AF+DE；

④當(dāng)NBAC=90。時，四邊形AEDF是正方形.

其中一定正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【考點】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】①如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合題意，所以

①不正確.

②首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出4AED且Z\AFD,AE=AF,DE=DF；然

后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出AAEO段/XAFO,即可判斷出ADLEF.

③根據(jù)4AED之ZXAFD,判斷出AE=AF,DE=DF,即可判斷出AE+DF=AF+DE成立，

據(jù)此解答即可.

④首先判斷出當(dāng)NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩

形，然后根據(jù)DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形即可.

【解答】解：如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合題意，

???①不正確；

VAD是4ABC的角平分線，

.'.ZEADZFAD,

在4AED和aAFD中，

'/EAD=NFAD

<ZAED=ZAFD=90°，

,AD=AD

/.△AED^AAFD(AAS),

，AE=AF,DE=DF,

；.AE+DF=AF+DE,

...③正確；

在△AEO和△AFO中，

'AE=AF

<ZEA0=ZFA0，

A0=A0

.'.△AEO之△AFO(SAS),

/.EO=FO,

又?.,AE=AF,

，A0是EF的中垂線，

，ADJ_EF,

...②正確；

?.?當(dāng)NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，

...四邊形AEDF是矩形，

XVDE=DF,

四邊形AEDF是正方形，

...④正確.

綜上，可得正確的是：②③④.

故選:B.

6.（2017?文登區(qū)二模）如圖所示，兩個含有30。角的完全相同的三角板ABC和

DEF沿直線I滑動，下列說法錯誤的是（）

B.當(dāng)點E為BC中點時，四邊形ACDF是矩形

C.當(dāng)點B與點E重合時，四邊形ACDF是菱形

D.四邊形ACDF不可能是正方形

【考點】LF：正方形的判定；L6：平行四邊形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩

形的判定.

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：A、正確.?.?NACB=/EFD=30°,

；.AC〃DF,

VAC=DF,

???四邊形AFDC是平行四邊形.故正確.

B、錯誤.當(dāng)E是BC中點時，無法證明NACD=90。，故錯誤.

C、正確.B、E重合時，易證FA=FD,?.?四邊形AFDC是平行四邊形，

二四邊形AFDC是菱形，

D、正確.當(dāng)四邊相等時，ZAFD=60",NFAC=120。，.?.四邊形AFDC不可能是正

方形.

故選:B.

B

D

7.（2012?儀隴縣校級二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為線段AB上一

點，點M為邊AD的中點，EM的延長線與CD的延長線交于點F,MG1EF,交

CD于N,交BC的延長線于G,點P是MG的中點.連接EG、FG.下列結(jié)論：

①當(dāng)點E為邊AB的中點時，SAEFG=5；②MG=EF；③當(dāng)AE=J^t，F(xiàn)G=2粕；④若

點E從點A運(yùn)動到點B,則此過程中點P移動的距離為2.其中正確的結(jié)論的個

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KJ：等腰三角形的

判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【專題】16：壓軸題.

【分析】當(dāng)E點是AB的中點時，由條件可知AM=AE=1,由勾股定理求出EM=&,

通過證明AAME四△DMF,可以得出EM=FM=&,EF=2&.過M作MQLBC于

Q（如圖），可以得出RtAAME^RtAQMG,可以求出MG=2&,最后由三角形

的面積公式求出即可判斷①.

作EW1CD于W,MQ1BC于Q易證^EFW和△MGQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

推出EF=MG,即可判斷②；

求出EM=2,求出FM,得出MG=EF=4,在aFIVIG中根據(jù)勾股定理求出FG,即可

判斷③；

當(dāng)E在A點時，P為正方形中心當(dāng)E運(yùn)動到B點時，P運(yùn)動到P',證RtAMPP'

sRt^EMG推出PP'=2MP=2,即可判斷④.

【解答】解：BOC

過M作MQ1BC于Q,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB=2,ZA=ZB=90°,

，NA=NB=NBQM=90°,

...四邊形ABQM數(shù)矩形，

/.MQ=AB=2,

VE.M分別為AB、AD中點，

，AE=AM=1,AM=MD,

由勾股定理得：EM=']2+產(chǎn)上,

?.?四邊形ABCD是正方形，

，NA=NADF=90°,AB〃CD,

；.NAEM=NDFM,

?..在aAEM和△DFM中

'NA=NMDF

,NAEM=/DFM，

吐DM

.?.△AEM絲△DFM(AAS),

，EM=MF=M，

/.EF=2&,

???四邊形ABQM是矩形，

.,.ZAMQ=90°,

VZEMG=90°,

，NAME+NEMQ=90°,NEMQ+/QMG=90",

，ZAME=ZQMG,

?.,在aAME和△QGM中，NA=NMQG=90°,NAME=NQMG,

.,.△AME^AQMG,

?-A?E_Q—G_1―,

AMMQ1

，MQ=QG=2,

在RtAMQG中，由勾股定理得：MG=2&,

.0EFG』FXMGJX2&X2心4,.,.①錯誤;

過E作EW±CD于W,

VMQ1BC,四邊形ABCD是正方形,

；.EW=AD=MQ=AB,ZMHE=90",

VZEMG=90°,

，NMEG+NEMH=90°,ZEMH+ZGMH=90°,

；.NMEH=NQMG,

?.,在aFEW和△GMQ中

'/FEW=/GMQ

<EW=MQ，

NEWF=NMQG=90°

/.△FEW^AGMQ(ASA),

；.EF=MG,.,.②正確；

VZA=90°,AM=1,AE=V3，

...由勾股定理得:EM=2=FM,

；.MG=EF=2+2=4,

在RtZ\FMG中，由勾股定理得：FG=^FM2+HG2=2V5,.?.③正確;

VAABM^AMGB（己證），

AM=巡=1,

AB^MG-'2，

?.?P為MQ的中點，，為MG中點，

：.PP'//BC,

,NMPP'=NMQG=90°=NBMG,NMP'P=/MGB,

/.△MPP'^ABMG,

?*LL,

PP'MG2

.?.PP'=2MP=2,...④正確；

即正確的有3個.

故選：C.

8.（2013?重慶校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動點，

AE交BD于F,過F作FHLAE于F,過H作GHLBD于G,下列有四個結(jié)論：①

AF=FH,②/HAE=45°,③BD=2FG,@ACEH的周長為定值，其中正確的結(jié)論有

（）

D

BHC

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】16：壓軸題；25：動點型.

【分析】（1）作輔助線，延長HF交AD于點L,連接CF,通過證明4ADF之ACDF,

可得：AF=CF,故需證明FC=FH,可證：AF=FH；

（2）由FH_LAE,AF=FH,可得：ZHAE=45°；

（3）作輔助線，連接AC交BD于點。，證BD=2FG,只需證OA=GF即可，根據(jù)

△AOF四△FGH,可證OA=GF,故可證BD=2FG；（4）作輔助線，延長AD至點M,

使AD=DM,過點C作CI〃HL,則IL=HC,可證AL=HE,再根據(jù)△MEC之△MIC,

可證：CE=IM,故4CEH的周長為邊AM的長，為定值.

【解答】解：（1）連接FC,延長HF交AD于點L,

VBD為正方形ABCD的對角線，

，ZADB=ZCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

/.△ADF^ACDF.

，F(xiàn)C=AF,ZECF=ZDAF.

ZALH+ZLAF=90°,

.,.ZLHC+ZDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

/.ZFHC=ZFCH,

，F(xiàn)H=FC.

，F(xiàn)H=AF.

(2)VFH1AE,FH=AF,

/.ZHAE=45°.

(3)連接AC交BD于點0,可知：BD=20A,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

/.ZAF0=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=20A,

/.BD=2FG.

(4)延長AD至點M,使AD=DM,過點C作CI〃HL,則：LI=HC,

根據(jù)AMEC之△CIM,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周長為8,為定值.

故(1)(2)(3)(4)結(jié)論都正確.

9.（2014?蘇州一模）如圖，在正方形ABCD外取一點E,連接AE,BE,DE.過

點A作AE的垂線交ED于點P.若AE=AP=1,PB=遙，下列結(jié)論：

①4APD^4AEB；②點B到直線AE的距離為加；③EBLED；④S正方形ABCD=4+遍;

@SAAPD+SAAPB=I+A/6.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③④B.①②⑤C.①④⑤D.①③⑤

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【分析】首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明4APD絲AAEB,故選項①正確；

由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE過點B作BMLAE延長線于M,由①得

NAEB=135。所以NEMB=45。，所以aEMB是等腰由△,求出B到直線AE距離為

BF,即可對于②作出判斷；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NAEB=NAPD=135。，

然后求出NBEP=90。，判定③正確；根據(jù)三角形的面積公式得到SABPD=1PDX

2

BE=3,所以SMBD=SMPD+SAAPB+SABPD=2+返，由此即可對④判定.根據(jù)等腰直角

22

三角形的性質(zhì)求出PE,再利用勾股定理列式求出BE的長，然后根據(jù)SAAPD+SAAPB=S

△APE+SABPE列式計算即可判斷出⑤；由此選擇答案即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

,NBAD=90°,AB=AD,

AZBAP+ZPAD=90°,

EA1AP,

/.ZEAB+ZBAP=90",

；.NPAD=NEAB,

V^EAAPD^AAEB中，

'AP=AE

<NPAD=/EAB，

AD=AB

/.△APD^AAEB(SAS),故①正確;

???△AEP為等腰直角三角形，

.,.ZAEP=ZAPE=45",

.,.ZAPD=ZAEB=135°,

.,.ZBEP=90°,

過B作BFLAE,交AE的延長線于F,則BF的長是點B到直線AE的距離,

在4AEP中，AE=AP=1,根據(jù)勾股定理得：PE=&,

在4BEP中，PB=遙，PE=&,由勾股定理得：BE=?,

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

，ZAEP=45°,

/.ZBEF=180o-45°-90°=45°,

.,.ZEBF=45°,

，EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=返，

2

故②是錯誤的；

VAE=AP,AP±AE,

.'.△AEP是等腰直角三角形，

，ZAEP=ZAPE=45°,

二ZAEB=ZAPD=180°-45°=135°,

.,.ZBEP=135°-45°=90°,

AEBlED,

故③正確;

由△APDgZXAEB,

.,.PD=BE=G

VSABPD=^PDXBE=A,

22

SAABD=SAAPD+SMPB+SABPD=2+返,

2

?e?S正方形ABCD=2S^ABD=4+A/^.

故選項④正確.

VAE=AP=1,

PE=&,

在Rt^PBE中，BE=7^^｛（泥）2_（加產(chǎn)

**?SAAPD+SAAPB=SAAPE+S/\BPE，

=1XIXI+1XV2XA/3,

22

=1+返，故⑤錯誤；

22

綜上所知①③④正確.

故選：A.

10.（2012秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，

BE±DP的延長線于點E,連接AE,過點A作FA±AE交DP于點F,連接BF、FC.下

列結(jié)論中：①4ABE之Z\ADF；②PF=EP+EB；③4BCF是等邊三角形；④NADF=

ZDCF；@SAAPF=SACDF.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②④⑤D.①③⑤

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KM：等邊三角形

的判定與性質(zhì).

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出NBAE=N

DAF,再根據(jù)等角的余角相等求出NABE=NADF,然后利用“角邊角"證明^ABE會

△ADF；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF,判斷出AAEF是等腰直角三角

形，過點A作AMLEF于M,根據(jù)等腰直角三角形點的性質(zhì)可得AM=MF,再根

據(jù)點P是AB的中點得到AP=BP,然后利用“角角邊"證明aAPM和aBPE全等，

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AM,EP=MP,然后求出PF=EP+EB；根據(jù)全

等三角形對應(yīng)邊相等求出DF=BE=AM,再根據(jù)同角的余角相等求出NDAM=N

CDF,然后利用“邊角邊"證明aADM和4DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等

可得NADF=NDCF,ZCFD=ZDMA=90°；再求出CDWCF,判定aBCF不是等邊三

角形；求出CF>FP,AM=DF,然后求出SAAPF<SACDF.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD,NDAF+NBAF=90°,

VFA±AE,

，NBAE+NBAF=90°,

，NBAE=NDAF,

VBE±DP,

/.ZABE+ZBPE=90°,

XVZADF+ZAPD=90°,ZBPE=ZAPD（對頂角相等）,

，ZABE=ZADF,

V^EAABE^DAADF中，

rZBAE=ZDAF

<AB=AD，

，/ABE二NADF

.,.△ABE^AADF(ASA),故①正確；

；.AE=AF,BE=DF,

/.△AEF是等腰直角三角形，

過點A作AMLEF于M,則AM=MF,

?點P是AB的中點，

，AP=BP,

。在△APM和ZkBPE中，

'/BPE=/APD

-ZBEP=ZAMP=90°，

AP=BP

/.△APM^ABPE(AAS),

；.BE=AM,EP=MP,

，PF=MF+PM=BE+EP,故②正確；

VBE=DF,FM=AM=BE,

；.AM=DF,

XVZADM+ZDAM=90°,ZADM+ZCDF=90°,

AZDAM=ZCDF,

?.,在△ADM和△DCF,

'AD=DC

<NDAM=/CDF，

,AM=DF

.'.△ADM^ADCF(SAS),

.,.CF=DM,ZADF=ZDCF,ZCFD=ZDMA=90°,故④正確;

在R&DF中，CD>CF,

BC=CD,

.?.CFWBC,

.?.△BCF不是等邊三角形，故③錯誤；

：CF=DM=DF+FM=EM+FM=EFWFP,

又,.,AM=DF,

SAAPF<SACDF?故⑤錯誤；

綜上所述，正確的有①②④.

故選:B.

11.（2009?無錫二模）如圖，正方形ABCD和CEFG的邊長分別為m、n,那么△

AEG的面積的值（）

A.與m、n的大小都有關(guān)B.與m、n的大小都無關(guān)

C.只與m的大小有關(guān)D.只與n的大小有關(guān)

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【分析】由題意，正方形ABCD和CEFG的邊長分別為m、n,先根據(jù)正方形的性

質(zhì)求出4AEG的面積，然后再判斷aAEG的面積的值與m、n的關(guān)系.

【解答】解：4GCE的面積是L?CG?CE=L12.

22

四邊形ABCG是直角梯形，面積是工（AB+CG）?BC=L（m+n）?m；

22

△ABE的面積是：J-BE?AB=L（m+n）*m

22

2

S&AEG=SACGE+S確形

ABCG-SAABE=-i-n-

2

故^AEG的面積的值只與n的大小有關(guān).

故選：D.

12.（2005?濟(jì)南）如圖，是由兩個正方形組成的長方形花壇ABCD,小明從頂點

A沿著花壇間小路走到長邊中點0,再從中點。走到正方形OCDF的中心Oi,再

從中心01走到正方形OiGFH的中心。2，又從中心。2走到正方形02IHJ的中心

。3,再從。3走到正方形5KJP的中心。4,一共走了31am則長方形花壇ABCD

的周長是（）

A.36mB.48mC.96mD.60m

【考點】LE：正方形的性質(zhì).

【專題】16：壓軸題.

【分析】用正方形SKJP的邊長將。3。4,。2。3，0102,0。1的長表示出來，相加

等于所走的路程，將正方形5KJP的邊長求出，根據(jù)各個正方形之間的關(guān)系，進(jìn)

而可將正方形ABCD的周長求出.

【解答】解：設(shè)正方形03KJP的邊長為a,根據(jù)正方形的性質(zhì)知：。3。4=運(yùn)^

2

正方形02IHJ的邊長為2a,02。3=小，

正方形OiGFH的邊長為4a,0i02=2&a,

正方形0CDF的邊長為8a,00i=

A0=200i=8v^am,

爭+標(biāo)+2揚(yáng)+4折+8729=31&,

解得:a=2m,

FD=8a=16m,

，長方形花壇ABCD的周長是2X（2FD+CD）=6FD=96m.

故選：C.

13.如圖，正方形ABCD的頂點C在正方形AEFG的邊AE上，AB=2,AE=4&,

A32A/2R3672r1675n18>/5

5?5?5?5

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】11：計算題.

【分析】根據(jù)平行線的判定，可得AB與GE的關(guān)系，根據(jù)平行線間的距離相等,

可得4BEG與aAEG的關(guān)系，根據(jù)根據(jù)勾股定理，可得AH與BE的關(guān)系，再根據(jù)

勾股定理，可得BE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得G到BE的距離.

【解答】解：連接GB、GE,

由已知a=45。,可知NBAE=45°.

又「GE為正方形AEFG的對角線,

，NAEG=45°.

，AB〃GE.

?.?AE=4&,AB與GE間的距離相等，

..GE-8,SABEG=SAAEG=16-

過點B作BH±AE于點H,

VAB=2,

，BH=AH=&.

?,.HE=3&.

，BE=2遍.

設(shè)點G到BE的距離為h.

A

SABEG-1-BE-h=yX2V5Xh=16-

?道

??h=r.

5

即點G到BE的距離為竺運(yùn).

5

故選：C.

14.如圖所示，甲、乙兩人同時沿著邊長為100m的正方形廣場ABCD,按

A玲BfC玲D>A...的順序跑，甲從A出發(fā)，速度為82m/min,乙從B出發(fā)，速度

為90m/min,則當(dāng)乙第二次追到甲時，他在正方形廣場的（）

A.AB邊B.BC邊C.CD邊D.AD邊

【考點】LE：正方形的性質(zhì).

【分析】先設(shè)乙第一次追到甲時，用了t分鐘，此時乙比甲多走300米，列方程

為300+82t=90t,t=37.5,此時甲乙第一次相遇，再繼續(xù)行走，當(dāng)乙第二次追到甲

時，乙比甲多走一圈，即多走400米，列方程：400+82x=90x,

x=50,再計算乙所行走的總路程，除以400后，看余數(shù)為多少，從點B開始計算,

是哪一條邊，最后作出判斷.

【解答】解：設(shè)乙第一次追到甲時，用了t分鐘，

根據(jù)題意得：300+82t=90t,

t=37.5,

設(shè)乙第一次追到甲后又開始出發(fā)，乙第二次追到甲時，又用了x分鐘,

根據(jù)題意得：400+82x=90x,

x=50,

，乙行使的路程為：（37.5+50）X90=7875,

7875?400=19…余275,

...當(dāng)乙第二次追到甲時，他在正方形廣場的AD邊，

故選：D.

15.（2016?廣東）如圖，正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF

為邊正方形EFGH的周長為（）

A----------------D

F

H

A.V2B.2&C.V2+1D.2揚(yáng)1

【考點】LE：正方形的性質(zhì).

【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出BC=CD=Ji=l,ZBCD=90°,CE=CF=L

2

得出4CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF的長，即可得

出正方形EFGH的周長.

【解答】解：???正方形ABCD的面積為1,

ABC=CD=V1=1>ZBCD=90°,

；E、F分別是BC、CD的中點，

，CE=LBC=LCF」CD=L,

2222

；.CE=CF,

/.△CEF是等腰直角三角形，

/.EF=岳E=返，

2_

，正方形EFGH的周長=4EF=4X返=2\歷；

2

故選:B.

16.（2016?臺灣）如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點在

AD上.若NECD=35。，ZAEF=15°,則NB的度數(shù)為何？（）

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由平角的定義求出/CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出/D的度數(shù),

再由平行四邊形的對角相等即可得出結(jié)果.

【解答】解：???四邊形CEFG是正方形，

/.ZCEF=90°,

ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

，ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

.?.NB=ND=70。（平行四邊形對角相等）.

故選：C.

17.（2016?呼和浩特）如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH,

其中E、F、G分別在AB、BC、FD上.若BF=F￡則小正方形的周長為（）

ABc口]

'~3~'~6~',3

【考點】LE：正方形的性質(zhì).

【分析】先利用勾股定理求出DF,再根據(jù)△BEFs^CFD,得里典求出EF即可

DFDC

解決問題.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，面積為24,

，BC=CD=2遙，ZB=ZC=90°,

?.?四邊形EFGH是正方形，

.,.ZEFG=90°,

VZEFB+ZDFC=90°,ZBEF+ZEFB=90°,

/.ZBEF=ZDFC,VZEBF=ZC=90°,

.'.△BEF^ACFD,

?EF_BF

??獷而，

vBF=2^.,CF=2Z1,

V6

._EL__V

??邁y

2

...EF=5福,

8_

正方形EFGH的周長為&

2

故選：C.

18.（2017?廣豐區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=2,延長AB至點E,使

得BE=1,EF1AE,EF=AE.分別連接AF,CF,M為CF的中點，則AM的長為（）

E

A.2&B.3J2C.紅D.2/26

42

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KP：直角三角形斜邊上的中線.

【分析】連接AC,易得AACF是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得

出結(jié)論.

【解答】解：連接AC,

...四邊形ABCD是正方形，

/.ZBAC=45O.

VEF±AE,EF=AE,

.".△AEF是等腰直角三角形，

/.ZEAF=45°,

/.ZCAF=90o.

VAB=BC=2,

?，.AC={22+2*2

VAE=EF=AB+BE=2+1=3,

?*,AF=V32+32=3^

*#,CF=QAC2+梗44（2破產(chǎn)+（3板）8倔。

?.?M為CF的中點，

.*.AM=1JCF=^26_.

22

故選：D.

19.（2011?云陽縣校級模擬）如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E,

F,使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,CE于H,G下列結(jié)論：

①EC=2DG；②NGDH=NGHD；③SMDG=SGHGE;④圖中有8個等腰三角形.其中

正確的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】14：證明題；16：壓軸題.

【分析】根據(jù)己知可證明aCHG段aEGD,則NEDG=NCGB=NCBF,ZGDH=ZGHD

(等角的余角相等)，SACDG=SCDHGE;故正確的是②③.

【解答】解：?.'DF解D,

/.ZDFB=ZDBF,

VAD/7BC,DE=BC,

，NDEC=NDBC=45°,

/.ZDEC=2ZEFB,

，/EFB=22.5。，ZCGB=ZCBG=22.5°,

CG=BC=DE,

VDE=DC,

AZDEG=ZDCE,

VZGHC=ZCDF+ZDFB=90o+22.5o=112.5°,

ZDGE=180°-(ZBGD+ZEGF),

=180°-(NBGD+NBGC),

=180°-(180°-ZDCG)4-2,

=180°-(180°-45°)4-2,

=112.5°,

，NGHC=NDGE,

.,.△CHG^AEGD,

，NEDG=NCGB=NCBF,

/.ZGDH=ZGHD,

SACDG=SCDHGE-

故②③正確，

故選：D.

20.（2017?濟(jì)南）如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,AB=3&,

E為OC上一點，OE=1,連接BE,過點A作AFJ_BE于點F,與BD交于點G,則

BF的長是（）

D?歲

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明△GAOgAEBO,得到

OG=OE=1,證明△BFGs^BOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，AB=3加,

，NAOB=90°,A0=B0=C0=3,

VAF±BE,

.,.ZEBO=ZGAO,

在△GAO和△EBO中,

rZGAO=ZEBO

<AO=BO，

LZAOG=ZBOE

.,.△GAO^AEBO,

AOG=OE=1,

/.BG=2,

在RtZ\BOE中，BE=,y0B2+QE^V^i，

VZBFG=ZBOE=90°,NGBF=/EBO,

/.△BFG^ABOE,

ABF_BG,即BF=2,

OBBE3V10

解得，BF=沂,

5

故選：A.

二.填空題（共12小題）

21.（2016?沈河區(qū)一模）如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，ZB=90°,ZADC=

NACB+45。，BC=AB+?,若AC=CD,則邊AD的長為—退

【考點】LG：正方形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【分析】作NDCH=NACB,并過D作DH_LCH于H,延長HD交BA延長線于K,

由AAS證明aABC鄉(xiāng)△DHC,得出BC=HC,AB=DH,證出四邊形BCKH是正方形，

得出NK=90°,BK=HK,由已知條件得出AK=DK=BC-AB=我，ZSADK是等腰直角

三角形，由勾股定理求出AD即可.

【解答】解：作NDCH=NACB,并過D作DH_LCH于H,延長HD交BA延長線

于K,如圖所示：

設(shè)NDCH=NACB=x,

VAC=CD,

；.NDAC=NADC=x+45",

/.ZACD=180°-2（x+45°）=90°-2x,

，NBCH=90°,

在^ABC和△DHC中，

，ZACB=ZDCH

<NB=/DHC=90°，

AC=DC

.△ABC^ADHC(AAS),

/.BC=HC,AB=DH,

，四邊形BCKH是正方形，

/.ZK=90°,BK=HK,

.\AK=DK=BC-AB=?,

...△ADK是等腰直角三角形,

*',AD=VAK2+DK2=^-

22.（2017秋?商城縣校級期中）如圖，AD是^ABC的角平分線，DE,DF分別是

△BAD和4ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA=OD；②ADLEF；③當(dāng)NA=90。

時，四邊形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE.其中正確的是②③④（填序

號）.

【考點】LG：正方形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KF：角平

分線的性質(zhì).

【專題】1:常規(guī)題型.

【分析】①如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，ZA=90°,不符合題意，所以

①不正確；

②首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出4AED絲Z\AFD,AE=AF,DE=DF；然

后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出AAE0之△AFO,即可判斷出ADLEF；

③首先判斷出當(dāng)NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩

形，然后根據(jù)DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形即可；

④根據(jù)4AED之ZXAFD,判斷出AE=AF,DE=DF,即可判斷出AE+DF=AF+DE成立.

【解答】解：如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，沒有說NA=90。，不符合題

意，故①錯誤；

?.?AD是4ABC的角平分線，

/.ZEAD=ZFAD,

在4AED和"FD中,

'NEAD=/FAD

<NAED=NAFD=90°

AD=AD

/.△AED^AAFD(AAS),

，AE=AF,DE=DF,

，AE+DF=AF+DE,故④正確；

?.,在△AEO和△AFO中，

'AE=AF

-NEA0=NFA0，

,A0=A0

.'.△AEO^AAFO(SAS),

.*.EO=FO,

又?.?AE=AF,

AAO是EF的中垂線，

，AD_LEF,故②正確；

?.?當(dāng)NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，

...四邊形AEDF是矩形,

又：DE=DF,

...四邊形AEDF是正方形，故③正確.

綜上可得：正確的是：②③④，

故答案為：②③④.

23.(2017?蘭州)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,要使四

邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件.下面給出了四組條件：?AB±AD,且

AB=AD；②AB=BD,且AB_1_BD；③OB=OC,JIOB±OC；④AB=AD,且AC=BD.其

中正確的序號是①③④.

【考點】LF：正方形的判定；L5：平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AD,

二四邊形ABCD是菱形，

XVAB1AD,

四邊形ABCD是正方形，①正確；

,四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BD,AB±BD,

???平行四邊形ABCD不可能是正方形，②錯誤；

?四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC,

，AC=BD,

二四邊形ABCD是矩形，

又OBLOC,即對角線互相垂直，

???平行四邊形ABCD是正方形，③正確；

?四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD,

二四邊形ABCD是菱形，

又?.?AC=BD,...四邊形ABCD是矩形，

???平行四邊形ABCD是正方形，④正確；

故答案為：①③④.

24.（2014秋?永新縣期末）如圖，在aABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、

CA上，且DE〃CA,DF〃BA.下列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NBAC=90。，那么四邊形AEDF是矩形；

③如果AD平分NBAC,那么四邊形AEDF是菱形；

④如果NBAC=90。，AD平分NBAC,那么四邊形AEDF是正方形.

其中，正確的有①②③④（只填寫序號）

E.

BDC

【考點】LF：正方形的判定；L6：平行四邊形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩

形的判定.

【專題】2B：探究型.

【分析】分別根據(jù)平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及

正方形的判定定理對四個小題進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：；DE〃CA,DF〃BA,

四邊形AEDF是平行四邊形，故①正確；

?四邊形AEDF是平行四邊形，ZBAC=90°,

四邊形AEDF是矩形，故②正確；

「AD平分NBAC,四邊形AEDF是平行四邊形，

二四邊形AEDF是菱形，故③正確；

?.?若AD平分NBAC,則平行四邊形AEDF是菱形，

.?.若NBAC=90。，則平行四邊形AEDF是正方形，故④正確.

故答案為：①②③④.

25.（2017?鄭城縣一模）如圖，以^ABC的三邊為邊分別作等邊AACD、AABE>

△BCF,則下列結(jié)論：：①4EBF四△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)

AB=AC,NBAC=120。時，四邊形AEFD是正方形.其中正確的結(jié)論是①②.（請

寫出正確結(jié)論的序號）.

【考點】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KK：等邊三角形的

性質(zhì)；L6：平行四邊形的判定.

【分析】利用SAS得到4EBF與4DFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到

EF=AC,再由aADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD,AE=DF,

利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC,N

BAC=120°,只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項.

【解答】解：?.?△ABE、ZXBCF為等邊三角形，

；.AB=BE=AE,BC=CF=FB,ZABE=ZCBF=60°,

/.ZABE-ZABF=ZFBC-ZABF,即NCBA=NFBE,

在AABC和AEBF中，

fAB=EB

<NCBA=NFBE，

BC=BF

/.△ABC^AEBF(SAS),

，EF=AC,

又???△ADC為等邊三角形，

，CD=AD=AC,

/.EF=AD=DC,

同理可得AABC絲△DFC,

，DF=AB=AE=DF,

四邊形AEFD是平行四邊形，選項②正確；

/.ZFEA=ZADF,

/.ZFEA+ZAEB=ZADF+ZADC,即/FEB=/CDF,

在^FEB和4CDF中，

'EF=DC

<NFEB=NCDF-

EB=FD

.,.△FEB^ACDF(SAS),選項①正確；

若AB=AC,ZBAC=120°,則有AE=AD,ZEAD=120°,此時AEFD為菱形，選項③

錯誤，

故答案為：①②.

26.(2017?齊齊哈爾)矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,請你添加一個

適當(dāng)?shù)臈l件AB=BC（答案不唯一），使其成為正方形（只填一個即可）

【考點】LF：正方形的判定；LB：矩形的性質(zhì).

【分析】此題是一道開放型的題目答案不唯一，證出四邊形ABCD是菱形，由正

方形的判定方法即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加條件：AB=BC,理由如下：

,四邊形ABCD是矩形，AB=BC,...四邊形ABCD是菱形，

二四邊形ABCD是正方形，

故答案為：AB=BC（答案不唯一）.

27.（2013?開福區(qū)校級自主招生）按如圖所示，把一張邊長超過10的正方形紙

片剪成5個部分，則中間小正方形（陰影部分）的周長為20爽.

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【分析】延長BG,交AE與點C,則易證^ABC是等腰直角三角形，因而AB=AC,

則CE=5,ZSCED是等腰直角三角形，則CD=5&,根據(jù)CD=GF,即中間的小正方

形的邊長是5m，因而周長是20a.

【解答】解：延長BG,交AE與點C,

VZABC=45°

...△ABC是等腰直角三角形,

/.AB=AC

/.CE=5

VACED是等腰直角三角形，

CD=5&

VCD=GF,

二中間的小正方形的邊長是5近,因而周長是20&.

故答案為2072

28.（2014?渝中區(qū)校級三模）如圖，在正方形ABCD中，P為AB的中點，BE±

PD的延長線于點E,連接AE、BE、FALAE交DP于點F,連接BF,FC.若AE=2,

則FC=2出.

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,再求出NBAE=NDAF,ZABE=ZADF,

然后利用"角邊角"證明4ABE和4ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

AE=AF,從而判斷出aAEF是等腰直角三角形，根據(jù)AE的長度求出EF,過點A

作AHLEF于H,連接BH,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AH=EH=FH,利用"角

邊角"證明4APH和4BPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AH,然后

求出aBEH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NEHB=45。，然

后求出NAHB=NFHB,再利用“邊角邊"證明^ABH和△FBH全等，根據(jù)全等三角

形對應(yīng)邊相等可得AB=BF,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BE=DF,全等三角

形對應(yīng)角相等求出NBAH=NBFE,然后求出NBFE=NADF,根據(jù)等角的余角相等

求出NEBF=NFDC,再利用“邊角邊"證明aBEF和ADFC全等，根據(jù)全等三角形對

應(yīng)邊相等可得FC=EF.

【解答】解:在正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90°,

VFA1AE,

.?.ZEAF=90°,

/.ZBAE=ZDAF,

*/ZABE+ZBPE=ZADF+ZAPD=90°,

ZABE=ZADF,

在4ABE和4ADF中，

fZBAE=ZDAF

AB=AD，

IZABE=ZADF

.,.△ABE絲"DF(ASA),

，AE=AF,BE=DF,

；FALAE,

.,.△AEF是等腰直角三角形，

EF=MAE=2&,

過點A作AH_LEF于H,連接BH,

則AH=EH=FH,

???P為AB的中點，

.?.AP=BP,

在aAPH和ZXBPE中，

rZAPH=ZBPE

<NAHP=/BEP=90°，

,AP=BP

/.△APH^ABPE(AAS),

；.BE=AH,

；.BE=EH,

.??△BEH是等腰直角三角形，

/.ZEHB=45°,

ZAHB=ZFHB=135°,

在△ABH和△FBH中,

(AH二FH

\NAHB=/FHB，

IBB=BH

.,.△ABH^AFBH(SAS),

，AB=BF,NBAH=NBFH,

VAB=CD,

.".BF=CD,

,/ZBFH=ZBAH=ZPBE=ZADF,

/.