初中數(shù)學輔助線秘籍

第一章中點模型的構造

當已知條件中出現(xiàn)一個中點時，你首先想到的輔助線的解題方法是什么？如果已知兩個中點呢？

介紹以下方法：

1）倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構造全等三角形；

2）三角形中位線定理：

3）已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線；

4）已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”。

例1在AABC中，AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2,求BC的長.

例2已知在aABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F,

AF=EF,求證：AC=BE.

變式：

如圖，在AABC中，AD交BC于點D,點E是BC中點，EF〃AD交CA的延長線于點F,

交AB于點G,若AD為AABC的角平分線，求證：BG=CF.

BEDC

例3在Rt^ABC中，NBAC=90°,點D為BC的中點，點E、F分別為AB、AC上的點，且ED

1FD.以線段BE、EF、FC為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形，還是直角三角

形，或者是鈍角三角形？

例4已知在AABC中，BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點，DM_LEF于點M.

求證：FM=EM.

例5已知：Z\ABD和4ACE都是直角三角形，且/ABD=/ACE=90°.如圖，連接DE,設M為

DE的中點，連接MB、MC.

求證：MB=MC.

DB

例6問題一：如圖（1）,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連接EF

并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N,求證：ZBME=ZCNE.

問題二：如圖（2）,在四邊形ABCD中，AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、

AD的中點，連接EF,分別交DC、AB于點M、N,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結論.

問題三：如圖（3）,在aABC中，AOAB,D點在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD

的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G,若/EFC=60°,連接GD,判斷4AGD的

形狀并證明.

例7問題一：如圖（1）,AABC中，點D是AB的中點，AE1BC,BF_LAC,垂足分別為點

E、F,AE、BF交于點M,連接DE、DF.若DE=kDF,則k的值為.

問題二：如圖（2）,Z^ABC中，CB=CA,點D是AB的中點，點M在aABC的內(nèi)部，且

ZMAC=ZMBC.過點M分別作ME_LBC,MF1AC,垂足分別為點E、F,連接DE、DF.

求證：DE=DF.

問題三：如圖（3）,若將上面的問題（二）中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈BWCA"，其他

條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

(1)(2)(3)

例8(2012?廣州)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=1(),F為AD的中點，CE_LAB于

E,設/ABC=a(60°<a<90°).

(1)當a=60。時，求CE的長；

(2)當60。<(1<90。時，是否存在正整數(shù)k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值；若不

存在，請說明理由.

第二章角平分線模型的構造

已知，P是NMON平分線上一點，角平分線的四大基本模型：

(1)若PA_LOM于點A,可過點P作PB_LON于B,則PB=PA;

(2)若點A是射線0M上任意一點，可在ON上截,取OB=OA,連接PB,則構造了Z\OPB名ZkOPA；

(3)若AP_LOP于點P,可延長AP交ON于點B,則構造了ZiAOB是等腰三角形，且P是AB中點;

(4)若過點P作PQ〃ON交0M于點Q,則構造了△POQ是等腰三角形。

例1(1)如圖，在△ABC中，NC=90。，NCAB的平分線AD交BC于點D,BC=8,BD=5,那

么點D到AB的距離是()

A.3B.4C.5D.6

(2)已知N1=N2,Z3=Z4,求證：AP平分NBAC

例2⑴在AABC中，AD是NA的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，請比較PB+PC

與AB+AC的大小并說明理由.

(2)如圖，AD是△ABC中NBAC的平分線，P是AD上的任意一點，且AB>AC,請比較PB-PC

與AB-AC的大小并說明理由.

B

例3已知/BAD=NCAD,AB>AC,CD_LAD于點D,H是BC的中點.求證：￡>“=」(A8-AC).

2

例4如圖1,BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點A作AF_LBD,AG±CE,垂足分別為F、

G,連接FG,延長AF、AG,與直線BC相交于M、N.

(1)試說明：FG=-(AB+BC+AC)

2

(2)如圖2,若BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù)

量關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由；

(3)如圖3,若BD為aABC的內(nèi)角平分線，CE為aABC的外角平分線，則線段FG與4ABC

三邊的數(shù)量關系是.

例5如圖，在△ABC中，AB=3AC,NBAC的平分線交BC于點D,過點B作BE_LAD,垂足為

E,求證：AD=DE.

例6在oABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=90。，G是EF的中點(如圖2),直接寫出NBDG的度數(shù)；

(3)若/ABC=120。，F(xiàn)G〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求NBDG的度數(shù).

圖1圖2圖3

例7(1)如圖1,在aABC中，NABC與NACB的角平分線相交于點F,過點F作DE//BC,交

AC于點E,若BD+CE=9,則線段DE的長為;

(2)如圖2,在aABC中，BD、CD分別平分NABC和/ACB,DE//AB,FD//AC,如果BC=6,

求4DEF的周長.

圖1圖2

例8如圖，4ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交于點P,連接AP、

CP,若/BPC=40°,求NCAP的度數(shù).

BCD

第三章弦圖的構造及應用

如以下圖是弦圖及其衍生圖：

例12002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股弦方圖》，

它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的

面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊為“，較長直角邊為〃，那么（。+初2的值

為.

例2如圖，直線1上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為

例3如圖，四邊形ABCD是正方形，直線/2,&分別通過A,B,C三點，旦1\〃h/小，若6與6

的距離為5,6與匕的距離為7,則正方形ABCD的面積為.

例4如圖1,4ABC中，AG_LBC于點G,以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向4ABC

外作等腰RL^ABE和等腰RtaACF,過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.

(1)試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

(2)若連接EF交GA的延長線于H,由(1)中的結論你能判斷并證明EH與FH的大小關系嗎？

(3)圖2中的AABC與4AEF的面積相等嗎？(不用證明)

圖1圖2

例5已知：如圖，平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為A(4,0),B(0,-4),P

為y軸上B點下方一點，PB=m(m>0),以AP為邊作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,點M

落在第四象限.

(1)求直線AB的解析式；

(2)用m的代數(shù)式表示點M的坐標；

(3)若直線MB與x軸交于點Q,判斷點Q的坐標是否隨m的變化而變化，寫出你的結論并說明理

由.

例6已知：在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,AD=2,BC=3,設NBCD=a,以D為旋

轉中心，將腰DC逆時針旋轉90°至DE,連接AE、CE.

(1)當a=45°時，求4EAD的面積；

(2)當a=30°時，求4EAD的面積；

(3)當0°<a<90a時，猜想4EAD的面積與a大小有何關系？若有關，寫出4EAD的面積S與a

的關系式；若無關，請證明結論.

例7如圖(1)至圖(3),C為定線段AB外一動點，以AC、BC為邊分別向外側作正方形CADF

和正方形CBEG,分別作DDi_LAB、EE〔J_AB,垂足分別為D1、當C的位置在直線AB的同側

變化過程中，

(1)如圖(1),當NACB=90°,AC=4,BC=3時，求DD】+EEi的值；

(2)求證：不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，DD1+EE1的值為定值;

S1圖2

11,

例8如圖，己知直線y=/x+l與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y二萬/+Zzx+c與

直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1,0）=

⑴求該拋物線的解析式：

⑵動點P在x軸上移動，當4PAE是直角三角形時，求點P的坐標P。

第四章三角形的中位線

三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.

中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊.

中線中位線相關問題（涉及中點的問題）

見到中線（中點），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理（以后還要學習中線長公式），尤

其是在涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見.

例1如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E,F分別是AD,BC的中點.

求證：EF<^（AB+CD）.

例2如圖所示.在四邊形ABCD中，CD>AB,AB與CD不平行，E,F分別是AC,BD的中點.

求證：EF>^(CD-AB).

例3己知：如圖，E為OABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC,連結AE分別交BC、

BD于點F、G,連結AC交BD于O,連結OF.求證：AB=2OF.

B

rE

例4如圖，己知△ABC中，E是AB的中點，CD平分/ACB,AD_LCD與點D,

求證：(1)DE//BC；(2)DE=~(BC-AC).

例5AD是&48c的中線，尸是4）的中點，3尸的延長線交AC于E.求證：AE=-AC.

3

例6如圖所示，在AABC中，AB=AC,延長AB到O,使及）=3，E為的中點，連接CE、

CD,求證：CD=2EC.

D

例7己知：A8CO是凸四邊形，且AC<8。.E、F分別是A。、8c的中點，EF交AC于M；EF

交BC于N,AC和8。交于G點.求證：4GMN>/GNM.

例8在AABC中，ZACB=90°,AC=-BC,以8c為底作等腰宜角A8C。，E是CD的中點,

2

求證：4€，￡8且越=破.

例9如圖，在五邊形4BCDE中，AABC=Z.AED=90°,ABAC=ZEAD,尸為C￡＞的中點.

求證：BF=EF.

例1()已知，如圖四邊形ABC。中，AD=BC,E、尸分別是AB和CO的中點，AD.EF、BC

的延長線分別交于M、N兩點.求證：NAME=NBNE-

例11如右下圖，在AABC中，若NB=2NC,AD1BC,E為BC邊的中點.求證：AB=2DE.

BDEC

例12（2009年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學業(yè)考試）己知：在A/WC中，I3OAC,動點。繞

MBC的頂點A逆時針旋轉，且AD=BC,連結。C.過A8、0c的中點E、尸作直線，直線即與

直線AD、BC分別相交于點〃、N.

⑴如圖1,當點。旋轉到BC的延長線上時，點N恰好與點尸重合，取AC的中點，，連結

HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質，可得結論N4MF=NBNE（不需證明）.

⑵當點。旋轉到圖2或圖3中的位置時，4M與NBNE有何數(shù)量關系？請分別寫出猜想,

并任選一種情況證明.

第五章圖形變換之軸對稱

最短路徑問題，需考慮軸對稱。幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法如下圖所示:

問題作圖方法備注

A.

B

(1)在直線1上求點P,使|PA-PB|?

最大.

1

A.

(2)在直線1上求點P,使|PA-PB|

最大.1

B*

A.

B

(3)在直線1上求點P,使PA+PB*

最小.

1

A.

(4)在直線1上求點P,使PA+PB

最小.1

B*

(5)在直線1上求兩點M、N(MB*

在左)，使得MN=a,并使A.

AM+MN+NB最小.

1

MN

(6)在射線11、12上分別求點M、

N,使△PMN周長最小.

2

(7)在射線1卜k上分別求點M、

N,使四邊形PMNQ周長最小.

(8)在射線12上求作一點D,

在射線h上求作一點C,使得

PD+CD最小.

B?

(9)在直線1上求點P,

A?

使PA=PB.

------------------/

例1

(1)如圖(a),把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處，則

AE、AB、BF之間的關系是._________________________.

AD=8,貝EF=__________.

(3)如圖(c),折疊長方形的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,如果AB=8cm,BC=10cm,則

CF=__________cm,EC=___________cm.

」E

Bc

(4)如圖(d),在矩形ABCD中，將4BCD沿對角線BD折疊，記點C的對應點為C：如果AB=6cm,

AD=8cm,貝ijAE=.cm.

例2如圖，Rtz^ABC中，NACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點A落在邊CB上A'處，折

痕為CD,則/A'DB=()

A.40°B.30°C.20°D.10°

例3如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1,M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的一角沿過

點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A',折痕交AD于點E,若M、N分別是AD、BC

邊的中點，則A'N=；若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點（n22,

且n為整數(shù)），則A'N=（用含有n的式子表示）.

例4在四邊形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,/ABD+/BDC=90°,求四邊形ABCD

的面積.

D

C

例5(1)如圖(a),正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點，P是對角線BD上一個動點,

貝I]PE+PC的最小值是.

(2)如圖(b),若將(1)中的正方形改成菱形且NABC=60。，其他條件均不變，則PE+PC的最

小值是.

(a)(b)

例6(2012?廣東)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿對角線BD折疊，使

點C落在C處，BC咬AD于點G；E、F分別是CD和BD上的點，線段EF交AD于點H,把4FDE

沿EF折疊，使點D落在D，處，點D"恰好與點A重合.

(1)求證：△ABGgZXCDG；

(2)求tanNABG的值；

(3)求EF的長.

例7(2012?德州)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的

一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,

折痕為EF,連接BP、BH.

(1)求證：ZAPB=ZBPH；

(2)當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；

(3)設AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若

存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

(備用圖)

第六章圖形變換之旋轉

旋轉是中考壓軸題中的常見題型，什么時候需要構造旋轉？怎么構造旋轉圖形呢？

構造旋轉的條件：等線段，共頂點。

構造旋轉圖形的解題方法：遇中點，旋180°,構造中心對稱；

遇90°,旋90°,造垂直；

遇60°,旋60°,造等邊；

遇等腰，旋頂角.

例1如圖，設P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=5,PB=4,PC=3,求NBPC的度數(shù).

例2如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且/EAF=45°.

求證：BE+DF=EF.

例3如圖，ZXABC是邊長為3的等邊三角形，aBDC是等腰三角形，且NBDC=120°.以D為

頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M,AC于點N,連接MN.

(1)證明：MN=BM+CN;(2)求aAMN的周長.

A

M/\

BC

D

例4如圖，在AABC中,M是BC的中點,E、F分別在AC、AB上，且ME_LMF,試說明EF<BF+CE.

例5已知：在4ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:

(1)如圖1,當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3,且NACB=60。，則CD=；

(2)如圖2,當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6,且NACB=9()。，則CD=；

(3)如圖3,當NACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求CD的最大值及相應的NACB

的度數(shù).

例6已知/MAN,AC平分NMAN.

(1)在圖1中，若/MAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求證：AB+AD=AC；

(2)在圖2中，若/MAN=120。，ZABC+ZADC=180°,則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，

請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)在圖3中：①/MAN=60°,ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC；

②若NMAN=a(00<a<180°),ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC(用含a的三角函數(shù)

表示)，并給出證明.

例7如圖1,在QABCD中，AE_LBC于E,E恰為BC的中點，AD=AE.

(1)如圖2,點P在線段BE上，作EF_LDP于點F,連接AF.求證：DF-EF=0AF；

(2)請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點(P不與點E重合)時，作EFJ_DP于點F,

連接AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的結論

例8請閱讀下列材料：

已知：如圖1在RtAABC中，NBAC=90。,AB=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點，若NDAE=45

度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系.

小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉9()。，得到△ABE，，連接ED,使問題得到解決.請

你參考小明的思路探究并解決下列問題：

(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明；

(2)當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，(1)

中探究的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.

圖1圖2

例9請閱讀下列材料:

問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A,B,E在同一條直線上，P是線段DF的中點，

PG

連接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG與PC的位置關系及——的值.

PC

提示：延長GP交DC于點H,構造全等三角形.試探究并解決下列問題：

(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及空的值；

PC

(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD

的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的兩個結論是否發(fā)

生變化？寫出你的猜想并加以證明；

(3)若圖1中NABC=NBEF=2a(0°<a<90°),將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角

_PG

度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出;二的值(用含。的式子表示).

第七章圖形變換之平移

平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離。

平移的基本性質：經(jīng)過平移，對應點所連線段平行且相等（或在同一直線上），對應線段平行且相等

（或在同一直線上）。

常見的構造平移的方式：構造平行線——平移線段

構造平行四邊形或等邊三角形——平移圖形

例1如圖，在AABC中，AB>AC,D、E分別為AB、AC上兩點且BD=CE.求證：DE<BC.

例2（1）如圖（a）,在正方形ABCD中，AB、BC、CD三邊上分別有點E、G、F,且

EF1DG.求證：EF=DG.

（2）如圖（b）,在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的點，且

EG±FH.求證：EG=FH.

(b)

例3在AABC中，點P為BC的中點.

A

(1)如圖(a),求證：AP<-{AB+ACY,

2

(2)延長AB到D,使得BD=AC,延長AC到點E,使得CE=AB,連接DE.

①如圖(b),連接BE,若NBAC=60。，請你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關系。寫出

你的結論，并加以證明。

②請在圖(c)中證明：BC<-DE.

2

例4在RtZ\ABC中，NC=90°,D、E分別為CB、CA延長線上的點，BE與AD的交點為P.

(1)如圖a,若BD=AC,AE=CD,求NAPE的度數(shù)：

(2)如圖b,若AC=gBD,CD=，求NAPE的度數(shù).

E

E

(a)(b)

例5已知：如圖(a),AABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC,BC的中點，

連接DE、DF、EF,將4BDF向右平移，使點B與點C重合；將4ADE向下平移，使點A與點C重

合，如圖(b).

(1)SAADE,ABDFsAEFC的面積分別為$、S2,S3,則R+S2母，—3r(用“＜、=、＞"

填空)

(2)已知：如圖(c),ZAOB=ZCOD=ZEOF=60°,AD=CF=BE=2,設△ABO、△CDO、△

EFO的面積分別為S卜S2、S3；問：上述結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

F

D

(a)(b)(c)

第八章梯形中的輔助線問題

解決梯形問題的基本思路：

轉化

梯形問題八-2A三角形或平行四邊形問題

分割、拼接

梯形的很多問題都是需要添加簡單輔助線，總結如下：

類型圖形作法本質

將梯形轉化為一個矩形和

與高有關作雙高

兩個直角三角形

n\平移一腰

將梯形轉化為一個平行四

邊形和一個三角形

r\平移一腰

與腰有關

將梯形轉化為兩個平行四