微專(zhuān)題02 平面向量的基本定理（四大題型）（原卷版）

微專(zhuān)題02平面向量的基本定理【題型歸納目錄】題型一：平面向量基本定理的理解題型二：利用基底表示向量題型三：平面向量坐標(biāo)化題型四：等和線【典型例題】題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式1-1】（2024·江蘇蘇州·高一江蘇省震澤中學(xué)期中）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式1-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如果是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與題型二：利用基底表示向量【例2】（2024·河南洛陽(yáng)·高一河南省偃師高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分的比為與相交于，設(shè)，則向量（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在平行四邊形中，點(diǎn)為對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【變式2-3】（2024·重慶萬(wàn)州·高一萬(wàn)州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校天子湖校區(qū)?？计谥校┤鐖D，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于（

）A． B．C． D．題型三：平面向量坐標(biāo)化【例3】（2024·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC的中點(diǎn)，BE與AF交于點(diǎn)G．則（

）A． B．C． D．【變式3-1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若是一組基底，向量，則稱(chēng)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在另一組基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若向量，是一組基底，向量，則稱(chēng)為向量在基底，下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為，則向量在另一組基底，下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．題型四：等和線【例4】（2024·山西太原·高三太原五中?？茧A段練習(xí)）如圖，腰長(zhǎng)為4的等腰三角形中，，動(dòng)圓的半徑，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，為圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，是圓上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量（，為實(shí)數(shù)），則的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．6【變式4-2】（2024·福建莆田·高一仙游一中階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上.若,則的最大值為(

)A．1 B． C． D．3【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量不共線，則下列各對(duì)向量可以作為平面內(nèi)的一組基底的是（

）A．與B．與C．與D．與2．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期中）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）已知中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則向量為（

）A． B．C． D．5．（2024·四川遂寧·高一統(tǒng)考期末）在對(duì)角線相等的平行四邊形中，，，為上一點(diǎn)，若，，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·山東日照·高三階段練習(xí)）一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K，其中，,，則λ的值為()

A． B． C． D．7．（2024·河北衡水·?？家荒＃┮恢本€l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)M，若，則（）A． B． C． D．8．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．29．（2024·安徽安慶·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，記向量，則等于

A．－ B．－＋C．－＋ D．＋10．（2024·山西·統(tǒng)考一模）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-11．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·河南洛陽(yáng)·高一欒川縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么選項(xiàng)中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)有無(wú)窮多個(gè)C．兩向量共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)使得，則13．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（

）A．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，對(duì)于實(shí)數(shù)，，一定在該平面內(nèi)B．已知，是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)，使，則C．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，若實(shí)數(shù)，，，使，則，D．已知，是平面內(nèi)的一組基底，對(duì)平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)，有且只有一對(duì)14．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)C．對(duì)于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使15．（2024·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．16．（2024·山東威?！じ呷？计谥校┧倪呅沃?，，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．17．（2024·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖2）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若，則的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空題18．（2024·河南·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則．19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若是一組基底，向量(x，y∈R)，則稱(chēng)(x，y)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為(－2，2)，則在另一組基底下的坐標(biāo)為．20．（2024·湖北荊州·高三階段練習(xí)）在平行四邊形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),若,則的值為；21．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正