湖南省衡陽(yáng)市衡山縣四校聯(lián)考2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）湖南省衡陽(yáng)市衡山縣四校聯(lián)考2022-2023學(xué)年七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。每小題只有1個(gè)選項(xiàng)符合題意。請(qǐng)將符合題意的選項(xiàng)用2B鉛筆填涂在答題卡相應(yīng)位置）1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a5 C．a(chǎn)3÷a3＝0 D．（a3）2＝a93．（4分）下列命題中，是假命題的是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù) C．等角的補(bǔ)角相等 D．垂線段最短4．（4分）今年3月，某校舉行“唱紅歌”歌詠比賽，有19位同學(xué)參加選拔賽，所得分?jǐn)?shù)互不相同，按成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，若知道某同學(xué)分?jǐn)?shù)，要判斷他能否進(jìn)入決賽，只需知道19位同學(xué)分?jǐn)?shù)的（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差5．（4分）下列因式分解正確的是（）A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a(chǎn)2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1） C．a(chǎn)2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）6．（4分）用代入法解方程組時(shí)，將①代入②得（）A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝67．（4分）如圖，AB∥CD，DB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°8．（4分）如圖，兩個(gè)直角三角形重疊在一起，將其中一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距離為3，則陰影部分的面積為（）A．20 B．18 C．15 D．269．（4分）隨著科技發(fā)展，騎行共享單車(chē)這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活，如圖是共享單車(chē)車(chē)架的示意圖，線段AB，CE，DE分別為前叉、下管和立管（點(diǎn)C在AB上），EF為后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．43° B．53° C．67° D．70°10．（4分）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢(qián)，不知其數(shù)．甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十．問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？”譯文是：現(xiàn)有甲、乙二人各自帶著錢(qián)，不知是多少，若甲得到乙的錢(qián)數(shù)的，則甲的錢(qián)數(shù)為50；若乙得到甲的錢(qián)數(shù)的，則乙的錢(qián)數(shù)也能為50．問(wèn)：甲、乙各有多少錢(qián)？設(shè)甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，則下列符合題意的方程組是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。）11．（4分）分解因式：4m﹣2m2＝．12．（4分）已知2x﹣3y＝4，用含x的代數(shù)式表示y為：y＝．13．（4分）如圖，農(nóng)民伯伯若要將河里的水引到田地P處，需要從點(diǎn)P作河岸l的垂線，垂足是Q，則沿PQ挖的水溝最短，這樣做的數(shù)學(xué)道理是．14．（4分）某校規(guī)定學(xué)生期末數(shù)學(xué)總評(píng)成績(jī)由三部分構(gòu)成：卷面成績(jī)，課外論文成績(jī)，平日表現(xiàn)成績(jī)（三部分所占比例如圖），若方方的三部分得分依次是92，80，84，則她這學(xué)期期末數(shù)學(xué)總評(píng)成績(jī)是分．15．（4分）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的一角上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（a＞b）的正方形，則剩余（陰影）部分正好能夠表示一個(gè)乘法公式，則這個(gè)乘法公式是（用含a，b的等式表示）．16．（4分）如圖，已知條件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；③∠5+∠6＝180°；④∠7＝∠2+∠3；其中能夠判定直線a∥b的是．（只填序號(hào)）三、解答題（本大題共6小題，共56分。）17．（9分）先化簡(jiǎn)后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0．18．（9分）為響應(yīng)上級(jí)“雙減”號(hào)召，光明中學(xué)開(kāi)設(shè)了閱讀、運(yùn)動(dòng)、娛樂(lè)、其他等四個(gè)方面的課后延學(xué)活動(dòng)．下面是隨機(jī)抽取的部分同學(xué)參加活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)情況，請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查了人．（2）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中的m＝．（3）若該校共有2400名學(xué)生，試估算參加“閱讀”方面活動(dòng)的共有多少人．19．（9分）如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）OE是∠BOC的平分線嗎？為什么？20．（9分）甲、乙兩個(gè)玩具的成本共300元，商店老板為獲取利潤(rùn)，并快速出售玩具，決定甲玩具按60%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，乙玩具按50%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩個(gè)玩具均按標(biāo)價(jià)9折出售，這樣，商店共獲利114元．（1）若甲的成本為x元，甲的標(biāo)價(jià)是元，甲的售價(jià)是元，若乙的成本是y元，乙的標(biāo)價(jià)是元，乙的售價(jià)是元．（用x，y的表達(dá)式填空）（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩個(gè)玩具的成本各是多少元？（3）在（1）的條件下，商店老板決定投入1000元購(gòu)進(jìn)這兩種玩具，且為了吸引顧客，每個(gè)玩具至少購(gòu)進(jìn)1個(gè)，那么可以怎樣安排進(jìn)貨？21．（9分）【問(wèn)題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)；【問(wèn)題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【知識(shí)拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)”改為“點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合）”其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．22．（11分）閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．對(duì)于x2+3x+2，它不是完全平方式，所以無(wú)法用公式法進(jìn)行因式分解．現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對(duì)此類(lèi)代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆過(guò)程，x2+3x+2最高含有x的二次項(xiàng)，所以看作由（ax+b）（cx+d）得到；第二步，去括號(hào)，（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd和x2+3x+2對(duì)比發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)為1，二次項(xiàng)由ax和cx相乘得出，所以a＝c＝1（為了計(jì)算簡(jiǎn)便，往往取整數(shù)）；第三步，繼續(xù)把x2+（b+d）x+bd和x2+3x+2對(duì)比，發(fā)現(xiàn)b，d兩數(shù)之積為2，和為3，就不難湊出b＝1，d＝2，檢驗(yàn)一下：（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，換個(gè)方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬耍?qǐng)使用上述方法回答下列問(wèn)題：（1）因式分解：①x2﹣5x+6；②2y2+y﹣36；對(duì)關(guān)于x的多項(xiàng)式因式分解：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。每小題只有1個(gè)選項(xiàng)符合題意。請(qǐng)將符合題意的選項(xiàng)用2B鉛筆填涂在答題卡相應(yīng)位置）1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．該圖形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a5 C．a(chǎn)3÷a3＝0 D．（a3）2＝a9【解答】解：A、不是同底數(shù)冪的乘法指數(shù)不能相加，故A錯(cuò)誤；B、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故B正確；C、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故C錯(cuò)誤；D、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故D錯(cuò)誤；故選：B．3．（4分）下列命題中，是假命題的是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù) C．等角的補(bǔ)角相等 D．垂線段最短【解答】解：兩點(diǎn)之間，線段最短，故A是真命題，不符合題意；非零有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，故B是假命題，符合題意；等角的補(bǔ)角相等，故C是真命題，不符合題意；垂線段最短，故D是真命題，不符合題意；故選：B．4．（4分）今年3月，某校舉行“唱紅歌”歌詠比賽，有19位同學(xué)參加選拔賽，所得分?jǐn)?shù)互不相同，按成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，若知道某同學(xué)分?jǐn)?shù)，要判斷他能否進(jìn)入決賽，只需知道19位同學(xué)分?jǐn)?shù)的（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差【解答】解：∵有19位同學(xué)參加選拔賽，所得分?jǐn)?shù)互不相同，按成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，并且知道某同學(xué)分?jǐn)?shù)，∴要判斷他能否進(jìn)入決賽，只需知道這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可．故選：A．5．（4分）下列因式分解正確的是（）A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a(chǎn)2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1） C．a(chǎn)2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）【解答】解：A、2x2﹣4x＝2x（x﹣2），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故本選項(xiàng)正確；C、a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．6．（4分）用代入法解方程組時(shí)，將①代入②得（）A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6【解答】解：①代入②得，x﹣2（2x﹣3）＝6，即x﹣4x+6＝6．故選：B．7．（4分）如圖，AB∥CD，DB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【解答】解：如圖∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝40°，∵DB⊥BC，∴∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．故選：B．8．（4分）如圖，兩個(gè)直角三角形重疊在一起，將其中一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距離為3，則陰影部分的面積為（）A．20 B．18 C．15 D．26【解答】解：∵平移距離為3，∴BE＝3，∵AB＝6，DH＝2，∴EH＝6﹣2＝4，∵S△ABC＝S△DEF，∴S四邊形ABEH＝S陰，∴陰影部分的面積為＝．故選：C．9．（4分）隨著科技發(fā)展，騎行共享單車(chē)這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活，如圖是共享單車(chē)車(chē)架的示意圖，線段AB，CE，DE分別為前叉、下管和立管（點(diǎn)C在AB上），EF為后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．43° B．53° C．67° D．70°【解答】解：∵AB∥DE，∴∠BCE＝∠DEC＝67°，∵∠CEF＝137°，∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝70°，∵AD∥EF，∴∠ADE＝∠DEF＝70°，故選：D．10．（4分）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢(qián)，不知其數(shù)．甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十．問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？”譯文是：現(xiàn)有甲、乙二人各自帶著錢(qián)，不知是多少，若甲得到乙的錢(qián)數(shù)的，則甲的錢(qián)數(shù)為50；若乙得到甲的錢(qián)數(shù)的，則乙的錢(qián)數(shù)也能為50．問(wèn)：甲、乙各有多少錢(qián)？設(shè)甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，則下列符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)甲有x錢(qián)，乙有y錢(qián)，依題意得：，故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。）11．（4分）分解因式：4m﹣2m2＝2m（2﹣m）．【解答】解：4m﹣2m2＝2m（2﹣m），故答案為：2m（2﹣m）．12．（4分）已知2x﹣3y＝4，用含x的代數(shù)式表示y為：y＝．【解答】解：2x﹣3y＝4，解得：y＝．故答案為：13．（4分）如圖，農(nóng)民伯伯若要將河里的水引到田地P處，需要從點(diǎn)P作河岸l的垂線，垂足是Q，則沿PQ挖的水溝最短，這樣做的數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．【解答】解：∵PQ⊥l，∴沿PQ開(kāi)挖水渠距離最短，其中的數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．14．（4分）某校規(guī)定學(xué)生期末數(shù)學(xué)總評(píng)成績(jī)由三部分構(gòu)成：卷面成績(jī)，課外論文成績(jī)，平日表現(xiàn)成績(jī)（三部分所占比例如圖），若方方的三部分得分依次是92，80，84，則她這學(xué)期期末數(shù)學(xué)總評(píng)成績(jī)是88.8分．【解答】解：由題意知，她這學(xué)期期末數(shù)學(xué)總評(píng)成績(jī)＝92×70%+80×20%+84×10%＝88.8（分）．故答案為：88.8．15．（4分）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的一角上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（a＞b）的正方形，則剩余（陰影）部分正好能夠表示一個(gè)乘法公式，則這個(gè)乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用含a，b的等式表示）．【解答】解：圖中陰影部分的面積是：a2﹣b2，陰影部分的面積為：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．16．（4分）如圖，已知條件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；③∠5+∠6＝180°；④∠7＝∠2+∠3；其中能夠判定直線a∥b的是①②③④．（只填序號(hào)）【解答】解：∠1＝∠2，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定a∥b，故①符合題意；∠3+∠4＝180°，由同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，判定a∥b，故②符合題意；∵∠3＝180°﹣∠6，∠4＝180°﹣∠5，∴∠3+∠4＝360°﹣（∠6+∠5），∵∠5+∠6＝180°，∴∠3+∠4＝180°，∴a∥b，故③符合題意；∵∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故④符合題意．∴能夠判定直線a∥b的是①②③④．故答案為：①②③④．三、解答題（本大題共6小題，共56分。）17．（9分）先化簡(jiǎn)后求值：2（xy2+xy）﹣3（xy2﹣yx）﹣4yx2，其中|x+1|+（y﹣1）2＝0．【解答】解：由題意可知：x＝﹣1，y＝1，原式＝2xy2+2xy﹣3xy2+3yx﹣4yx2＝﹣xy2+5xy﹣4x2y，＝﹣（﹣1）×1+5×（﹣1）×1﹣4×1×1＝1﹣5﹣4＝﹣8．18．（9分）為響應(yīng)上級(jí)“雙減”號(hào)召，光明中學(xué)開(kāi)設(shè)了閱讀、運(yùn)動(dòng)、娛樂(lè)、其他等四個(gè)方面的課后延學(xué)活動(dòng)．下面是隨機(jī)抽取的部分同學(xué)參加活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)情況，請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查了200人．（2）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中的m＝10．（3）若該校共有2400名學(xué)生，試估算參加“閱讀”方面活動(dòng)的共有多少人．【解答】解：（1）40÷20%＝200（人）．在這次研究中，一共調(diào)查了200名學(xué)生．故答案為：200；（2）娛樂(lè)人數(shù)：200×40%＝80（人），其他人數(shù)：200﹣60﹣40﹣80＝20（人）．所以m＝＝10，補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如圖：故答案為：10；（3）2400×＝720（人），答：參加“閱讀”方面活動(dòng)的大約有720人．19．（9分）如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）OE是∠BOC的平分線嗎？為什么？【解答】解：（1）∵∠AOC＝44°，OD平分∠AOC，∴，∴∠BOD＝180°﹣∠1＝158°；（2）解：OE是∠BOC的平分線，理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠3＝∠DOE﹣∠2＝68°，∵∠4＝∠BOD﹣∠2﹣∠3＝68°，∴∠3＝∠4，∴OE是∠BOC的平分線．20．（9分）甲、乙兩個(gè)玩具的成本共300元，商店老板為獲取利潤(rùn)，并快速出售玩具，決定甲玩具按60%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，乙玩具按50%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩個(gè)玩具均按標(biāo)價(jià)9折出售，這樣，商店共獲利114元．（1）若甲的成本為x元，甲的標(biāo)價(jià)是（1+60%）x元，甲的售價(jià)是0.9×（1+60%）x元，若乙的成本是y元，乙的標(biāo)價(jià)是（1+50%）y元，乙的售價(jià)是0.9×（1+50%）y元．（用x，y的表達(dá)式填空）（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩個(gè)玩具的成本各是多少元？（3）在（1）的條件下，商店老板決定投入1000元購(gòu)進(jìn)這兩種玩具，且為了吸引顧客，每個(gè)玩具至少購(gòu)進(jìn)1個(gè)，那么可以怎樣安排進(jìn)貨？【解答】解：（1）∵甲玩具的成本為x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按60%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，乙玩具按50%的利潤(rùn)率標(biāo)價(jià)出售，∴甲玩具的標(biāo)價(jià)為（1+60%）x元，乙玩具的標(biāo)價(jià)為（1+50%）y元，又∵在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩個(gè)玩具均按標(biāo)價(jià)9折出售，∴甲玩具的售價(jià)為0.9×（1+60%）x元，乙玩具的售價(jià)為0.9×（1+50%）y元．故答案為：（1+60%）x；0.9×（1+60%）x；（1+50%）y；0.9×（1+50%）y．（2）依題意得：，解得：．答：甲玩具的成本價(jià)是100元，乙玩具的成本價(jià)是200元．（3）設(shè)購(gòu)進(jìn)m個(gè)甲玩具，n個(gè)乙玩具，依題意得：100m+200n＝1000，化簡(jiǎn)得：m＝10﹣2n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或或，∴共有4種進(jìn)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)8個(gè)甲玩具，1個(gè)乙玩具；方案2：購(gòu)進(jìn)6個(gè)甲玩具，2個(gè)乙玩具；方案3：購(gòu)進(jìn)4個(gè)甲玩具，3個(gè)乙玩具；方案4：購(gòu)進(jìn)2個(gè)甲玩具，4個(gè)乙玩具．21．（9分）【問(wèn)題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)；【問(wèn)題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【知識(shí)拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)”改為“點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合）”其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，∴∠APC的度數(shù)為110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由：過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）分兩種情況：當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α，理由：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如圖4，過(guò)P作PE∥AD交OD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，綜上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．22．（11分）閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法