2023-2024學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)重點名校中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)重點名校中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．當(dāng)x=1時，代數(shù)式x3+x+m的值是7，則當(dāng)x=﹣1時，這個代數(shù)式的值是（）A．7 B．3 C．1 D．﹣72．在下列實數(shù)中，﹣3，，0，2，﹣1中，絕對值最小的數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．﹣13．如圖,在中，,以邊的中點為圓心,作半圓與相切，點分別是邊和半圓上的動點,連接,則長的最大值與最小值的和是（）A． B． C． D．4．下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．5．如圖，數(shù)軸上有三個點A、B、C，若點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中點C對應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．46．如圖,已知點E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A．48 B．60C．76 D．807．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點A（1，2），有下面四個結(jié)論：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④8．如圖，平行四邊形ABCD的周長為12，∠A=60°，設(shè)邊AB的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．9．下列圖標(biāo)中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．10．正方形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，C點的坐標(biāo)是()A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．今年“五一”節(jié)日期間，我市四個旅游景區(qū)共接待游客約303000多人次，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可記為_____．12．如圖，點A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1分別是正六邊形ABCDEF六條邊的中點，連接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，F(xiàn)A1后得到六邊形GHIJKL，則S六邊形GHIJKI：S六邊形ABCDEF的值為____.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形活動框架ABCD的長AB為2，寬AD為，其中邊AB在x軸上，且原點O為AB的中點，固定點A、B，把這個矩形活動框架沿箭頭方向推，使D落在y軸的正半軸上點D′處，點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為______．14．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于．15．如圖，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰直角三角形ADE……依此類推，直到第五個等腰直角三角形AFG，則由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為__________．16．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣14x+48=0的根，則該三角形的周長為_____．17．如圖，中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使得點恰好落在上，與交于點，則的面積為_________．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處,如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長．如圖2，在（Ⅰ）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當(dāng)動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律．若不變，求出線段EF的長度．19．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=1．（1）求證：無論實數(shù)m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程兩個根均為正整數(shù)，求負(fù)整數(shù)m的值．20．（8分）正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH．（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．21．（10分）先化簡，再計算:其中．22．（10分）已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點D，點B在⊙O上，連接OB．求證：DE＝OE；若CD∥AB，求證：BC是⊙O的切線；在（2）的條件下，求證：四邊形ABCD是菱形．23．（12分）先化簡，再求值：，其中x＝－1．24．（14分）如圖，點D是AB上一點，E是AC的中點，連接DE并延長到F，使得DE=EF，連接CF．求證：FC∥AB．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

因為當(dāng)x=1時，代數(shù)式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，當(dāng)x=-1時，=-1-1+5=3，故選B．2、B【解析】|﹣3|=3，||=，|0|=0，|2|=2，|﹣1|=1，∵3＞2＞＞1＞0，∴絕對值最小的數(shù)是0，故選：B．3、C【解析】

如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1-OQ1，求出OP1，如圖當(dāng)Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2最大值=5+3=8，由此不難解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1-OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=10°，∵∠OP1B=10°，∴OP1∥AC∵AO=OB，\∴P1C=P1B，∴OP1=AC=4，∴P1Q1最小值為OP1-OQ1=1，如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ長的最大值與最小值的和是1．故選：C．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點PQ取得最大值、最小值時的位置，屬于中考?？碱}型．4、D【解析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，所以A錯誤；B.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，所以B錯誤；C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，所以C錯誤；D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以D正確.【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握定義是本題解題的關(guān)鍵.5、C【解析】【分析】首先確定原點位置，進(jìn)而可得C點對應(yīng)的數(shù)．【詳解】∵點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB=6∴原點在線段AB的中點處，點B對應(yīng)的數(shù)為3，點A對應(yīng)的數(shù)為-3，又∵BC=2，點C在點B的左邊，∴點C對應(yīng)的數(shù)是1，故選C．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是正確確定原點位置．6、C【解析】試題解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選C.考點：勾股定理.7、B【解析】

根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)確定a、b符號，把點A代入y=ax2+bx得到a與b數(shù)量關(guān)系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的高低關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)圖象拋物線開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，則a＞0，b＜0，則①錯誤將A（1，2）代入y=ax2+bx，則2=9a+1b∴b=，∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正確；由正弦定義sinα=，則③正確；不等式kx≤ax2+bx從函數(shù)圖象上可視為拋物線圖象不低于直線y=kx的圖象則滿足條件x范圍為x≥1或x≤0，則④錯誤．故答案為：B．【點睛】二次函數(shù)的圖像，sinα公式，不等式的解集．8、C【解析】

過點B作BE⊥AD于E，構(gòu)建直角△ABE，通過解該直角三角形求得BE的長度，然后利用平行四邊形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式找到對應(yīng)的圖像.【詳解】如圖，過點B作BE⊥AD于E.∵∠A＝60°，設(shè)AB邊的長為x，∴BE＝AB?sin60°＝x.∵平行四邊形ABCD的周長為12，∴AB＝（12－2x）＝6－x，∴y＝AD?BE＝（6－x）×x＝﹣（0≤x≤6）.則該函數(shù)圖像是一開口向下的拋物線的一部分，觀察選項，C符合題意.故選C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像，根據(jù)題意求出正確的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】

根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故本選項正確；C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．10、B【解析】試題分析：正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，C點的對應(yīng)點與C一定關(guān)于A對稱，A是對稱點連線的中點，據(jù)此即可求解．試題解析：AC=2，則正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后C的對應(yīng)點設(shè)是C′，則AC′=AC=2，則OC′=3，故C′的坐標(biāo)是（3，0）．故選B．考點：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、3.03×101【解析】分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于303000有6位整數(shù)，所以可以確定n=6-1=1．詳解：303000=3.03×101，故答案為：3.03×101．點睛：此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．12、.【解析】

設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為4a，則AA1＝AF1＝FF1＝2a．求出正六邊形的邊長，根據(jù)S六邊形GHIJKI：S六邊形ABCDEF＝()2，計算即可；【詳解】設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為4a，則AA1＝AF1＝FF1＝2a，作A1M⊥FA交FA的延長線于M，在Rt△AMA1中，∵∠MAA1＝60°，∴∠MA1A＝30°，∴AM＝AA1＝a，∴MA1＝AA1·cos30°=a，F(xiàn)M＝5a，在Rt△A1FM中，F(xiàn)A1＝，∵∠F1FL＝∠AFA1，∠F1LF＝∠A1AF＝120°，∴△F1FL∽△A1FA，∴，∴，∴FL＝a，F(xiàn)1L＝a，根據(jù)對稱性可知：GA1＝F1L＝a，∴GL＝2a﹣a＝a，∴S六邊形GHIJKI：S六邊形ABCDEF＝()2＝，故答案為：．【點睛】本題考查正六邊形與圓，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．13、（2，1）【解析】

由已知條件得到AD′=AD=，AO=AB=1，根據(jù)勾股定理得到OD′==1，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵AD′=AD=，AO=AB=1，∴OD′==1，∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C′（2，1），

故答案為：（2，1）【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．14、1．【解析】

由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【詳解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=2．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，則根據(jù)勾股定理，得．故答案是：1．15、12.2【解析】

∵△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==11-1；AC==，AD==1，∴S△ACD==1=11-1∴第n個等腰直角三角形的面積是1n-1．∴S△AEF=14-1=4，S△AFG=12-1=8，由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為+1+1+4+8=12.2．故答案為12.2．16、13【解析】

利用因式分解法求出解已知方程的解確定出第三邊，即可求出該三角形的周長．【詳解】方程x2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，當(dāng)x=6時，三角形周長為3+4+6=13，當(dāng)x=8時，3+4＜8不能構(gòu)成三角形，舍去，綜上，該三角形的周長為13，故答案為13【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．17、【解析】

首先證明△CAA′是等邊三角形，再證明△A′DC是直角三角形，在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CD、A′D即可解決問題．【詳解】在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，

∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，

∴△CAA′為等邊三角形，

∴∠ACA′=60°，

∴∠BCA′=∠ACB-∠ACA′=90°-60°=30°，

∴∠A′DC=180°-∠CA′B′-∠BCA′=90°，

在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，∴A′D=CA′=1，CD=A′D=，∴．故答案為：【點睛】本題考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等”是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）10；（2）.【解析】

（1）先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的結(jié)論求出PB=，最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變【詳解】（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴，∴CP=AD=4設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴邊CD的長為10；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF=∠BNF，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=FB，∴EF=EQ+QF=（PQ+QB）=PB，由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的條件下，當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形19、(1)見解析；(2)m=-1.【解析】

（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=1>1，由此即可證出：無論實數(shù)m取什么值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根據(jù)已知條件即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴無論m取何值，（m+1）2恒大于等于1∴原方程總有兩個實數(shù)根（2）原方程可化為:(x-1)(x-m-2)=1∴x1=1,x2=m+2∵方程兩個根均為正整數(shù),且m為負(fù)整數(shù)∴m=-1.【點睛】本題考查了一元二次方程與根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握根的判別式與根據(jù)因式分解法解一元二次方程.20、（1）CH=AB．；（2）成立，證明見解析；（3）【解析】

（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（2）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（3）首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得CK＜AC+AK，據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點共線時，CK的長最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長的最大值是多少即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵點E是DC的中點，DE=EC，∴點F是AD的中點，∴AF=FD，∴EC=AF，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（2）當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．如圖2，連接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如圖3，，∵CK≤AC+AK，∴當(dāng)C、A、K三點共線時，CK的長最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，AC=3，∴CK=AC+AK=AC+AB=，即線段CK長的最大值是．考點：四邊形綜合題．21、；【解析】

根據(jù)分式的化簡求值，先把分子分母因式分解，再算乘除，通分后計算減法，約分化簡，最后代入求值即可．【詳解】解：====當(dāng)時，原式=．【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值，把分式的除法化為乘法，然后約分是解題關(guān)鍵．22、（1）證明見解析；