2025屆安徽省六安三校高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆安徽省六安三校高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點P為圓上一個動點，O為坐標原點，過P點作圓O的切線與圓相交于兩點A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．2．已知向量，.且，則（）A．2 B． C． D．3．若，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．4．已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．5．下列選項正確的是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則6．已知與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．7．在中，若，，，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．一個三棱錐內接于球，且，，則球心到平面的距離是（）A． B． C． D．9．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．10．已知直線過點且與直線垂直，則該直線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在上定義運算，則不等式的解集為_____．12．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)______13．已知函數(shù)，若，且，則__________．14．已知球的一個內接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．15．已知數(shù)列滿足：（），設的前項和為，則______；16．設為數(shù)列的前項和，則__三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄，（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算出，附：線性回歸方程，其中為樣本平均值.（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.18．如圖是某地某公司名員工的月收入后的直方圖．根據(jù)直方圖估計：（1）該公司月收入在元到元之間的人數(shù)；（2）該公司員工的月平均收入.19．如圖，已知矩形ABCD中，，，M是以CD為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面平面ABCD.（1）求證：平面平面BCM；（2）當四棱錐的體積最大時，求AM與CD所成的角.20．如圖，在三棱柱中（底面為正三角形），平面，，，，是邊的中點.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.21．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，且在區(qū)間內的最大值為.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)與直線相鄰交點間距離的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

作交于，連接設，得，，進而，換元，得，通過求得的范圍即可求解【詳解】作交于，連接設，則，∴取，∴.顯然易知令，，當且僅當?shù)忍柍闪?；此時∴故選A【點睛】本題考查圓的幾何性質，切線的應用，弦長公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題2、B【解析】

通過得到，再利用和差公式得到答案.【詳解】向量，.且故答案為B【點睛】本題考查了向量平行，正切值的計算，意在考查學生的計算能力.3、B【解析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調性，得出結論．【詳解】函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．再根據(jù)，，可得增區(qū)間為，，故選．【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應用，考查余弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．4、D【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性直接求解.【詳解】解：因為，，所以，，的大小關系為.故選：D.【點睛】本題考查三個數(shù)的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性等基礎知識，屬于基礎題.5、B【解析】

通過逐一判斷ABCD選項，得到答案.【詳解】對于A選項，若，代入，，故A錯誤；對于C選項，等價于，故C錯誤；對于D選項，若，則，故D錯誤，所以答案選B.【點睛】本題主要考查不等式的相關性質，難度不大.6、A【解析】

將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義得出關于的二次方程，解出即可.【詳解】將等式兩邊平方得，，即，整理得，，解得，故選：A.【點睛】本題考查平面向量模的計算，在計算向量模的時候，一般將向量模的等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.7、D【解析】

直接運用正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【點睛】本題考查了正弦定理的應用，考查了數(shù)學運算能力.8、D【解析】由題意可得三棱錐的三對對棱分別相等，所以可將三棱錐補成一個長方體，如圖所示，該長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體共頂點的三條面對角線的長分別為，設球的半徑為，則有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得為外接圓的半徑），則，因此球心到平面的距離，故選D.點睛：本題主要考查了球的組合體問題，本題的解答中采用割補法，考慮到三棱錐的三對對棱相等，所以可得三棱錐補成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，求出求出球的半徑，進而求解距離，其中正確認識組合體的特征和恰當補形時解答的關鍵.9、B【解析】

根據(jù)向量的平行關系，得到間的等量關系，再根據(jù)“”的妙用結合基本不等式即可求解出的最小值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，取等號時即，所以.故選：B.【點睛】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見類型問題：已知，則，取等號時.10、A【解析】

根據(jù)垂直關系求出直線斜率為，再由點斜式寫出直線?！驹斀狻坑芍本€與直線垂直，可知直線斜率為，再由點斜式可知直線為：即.故選A.【點睛】本題考查兩直線垂直，屬于基礎題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)定義運算，把化簡得，求出其解集即可．【詳解】因為，所以，即，得，解得：故答案為：．【點睛】本題考查新定義，以及解一元二次不等式，考查運算的能力，屬于基礎題．12、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應在面CBlDl內，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側面的射影(即側面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．13、2【解析】不妨設a＞1，

則令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

則loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案為2點睛：本題考查了絕對值方程及對數(shù)運算的應用，同時考查了指數(shù)的運算，注意計算的準確性.14、【解析】

求出面積的最大值，結合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當且僅當時，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，考查空間想象能力，是中檔題．15、130【解析】

先利用遞推公式計算出的通項公式，然后利用錯位相減法可求得的表達式，即可完成的求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，又因為，不符合時的通項公式，所以，當時，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式以及錯位相減法的使用，難度一般.利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式時，若出現(xiàn)了的形式，一定要注意標注，同時要驗證是否滿足的情況，這決定了通項公式是否需要分段去寫.16、【解析】

當時，；當時，，即，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則，故是偶數(shù)）．因為，，所以，同理可得，，，所以，應選答案．點睛：本題運用演繹推理的思維方法，分別探求出數(shù)列各項的規(guī)律（成等比數(shù)列），再運用等比數(shù)列的求和公式，使得問題簡捷、巧妙獲解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.7【解析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，即可求得y對月收入x的線性回歸方程回歸方程x；（2）將x＝7代入即可預測該家庭的月儲蓄．【詳解】（1）由題意知，，∴由.故所求回歸方程為（2）將代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為（千元）.【點睛】本題考查線性回歸方程的應用，考查最小二乘法求線性回歸方程，考查轉化思想，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖得出該公司月收入在元到元的員工所占的頻率，再乘以可得出所求結果；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得的積全部相加可得出該公司員工月收入的平均數(shù).【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知，該公司月收入在元到元的員工所占的頻率為：，因此，該公司月收入在元到元之間的人數(shù)為；（2）據(jù)題意該公司員工的平均收入為：（元）.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查頻數(shù)的計算以及平均數(shù)的計算，解題時要注意頻數(shù)、平均數(shù)的計算原則，考查計算能力，屬于基礎題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）只證明CM⊥平面ADM即可，即證明CM垂直于該平面內的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質，本題的條件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD為直徑的半圓周上一點，能夠得到CM⊥DM，由面面垂直的性質即可證明；（2）當四棱錐M一ABCD的體積最大時，M為半圓周中點處，可得角MAB就是AM與CD所成的角，利用已知即可求解．【詳解】（1）證明：CD為直徑，所以CMDM，已知平面CDM平面ABCD，ADCD，AD平面CDM，所以ADCM又DMAD=DCM平面ADM又CM平面BCM，平面ADM平面BCM，（2）當M為半圓弧CD的中點時，四棱錐的體積最大，此時，過點M作MOCD于點E,平面CDM平面ABCDMO平面ABCD，即MO為四棱錐的高又底面ABCD面積為定值2，AM與CD所成的角即AM與AB所成的角，求得，三角形為正三角形，，故AM與CD所成的角為【點睛】本題主要考查異面直線成的角，面面垂直的判定定理，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）由，為的中點，可得，又平面，可得，即可證明平面，結合平面，即可證明平面平面；（2）設點到平面的距離為，由等體積法，，即，求解即可.【詳解】（1）證明：，為的中點，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，