重慶2024屆中考四模數學試題含解析

重慶市南開（融僑）中學2024學年中考四模數學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

x<—1

1.把不等式組，的解集表示在數軸上，下列選項正確的是（）

[%<1

D-6fTi*

2.如圖，AB是。的直徑，弦CDLAB,/CDB=3O，CD=2石，則陰影部分的面積為（）

D

71271

A.27tB.nC.—D.

33

3.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

正面

A口仁「

D.

4.某市今年1月份某一天的最高氣溫是3℃,最低氣溫是一4℃,那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高

A.—7℃B.7℃C.—1℃D.1℃

5.若實數m滿足/+2+5]=0,則下列對m值的估計正確的是（）

A.-2<m<-1B.-l<m<0C.0<m<lD.l<m<2

6.n的算術平方根為（）

A.+72B.V2C.±2D.2

7.下列各式中，正確的是（）

A.-（x-y）=-x-yB.-（-2）-1=—C.--=D.雙:樞=叵

2y>

8.某籃球運動員在連續(xù)7場比賽中的得分（單位：分）依次為20,18,23,17,20,20,18,則這組數據的眾數與

中位數分別是（）

A.18分，17分B.20分，17分C.20分，19分D.20分，20分

9.下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個封閉的長方體包裝盒的是（）

10.如圖是由若干個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，那么其三種視圖中面積最小的是（）

A.主視圖B.俯視圖C.左視圖D.一樣大

11.如圖，AOABS/\OCD,OA：OC=3：2,NA=a,ZC=p,△OAB與△OCD的面積分別是Si和S2,△OAB

與AOCD的周長分別是Ci和C2,則下列等式一定成立的是（）

12.“可燃冰”的開發(fā)成功，拉開了我國開發(fā)新能源的大門，目前發(fā)現我國南海“可燃冰”儲存量達到800億噸，將800

億用科學記數法可表示為（）

A.0.8X1011B.8x101。C.80xl09D.800xl08

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖所示，擺第一個“小屋子”要5枚棋子，擺第二個要11枚棋子，擺第三個要17枚棋子，則擺第30個“小屋子”

要一枚棋子.

(1)(2)(3)

14.如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，把△ABE沿直線BE翻折，點A正好落在BC邊上的點F處，如果四

邊形CDEF和矩形ABCD相似，那么四邊形CDEF和矩形ABCD面積比是_.

A.-------------.D

BC

15.如圖，。。的直徑AB=8,C為AB的中點，P為。。上一動點，連接AP、CP,過C作CDLCP交AP于點D,

點P從B運動到C時，則點D運動的路徑長為.

7

16.如圖，半圓O的直徑AB=7,兩弦AC、BD相交于點E,弦CD=—,且BD=5,貝!JDE=

2

17.如圖，在直角坐標平面xOy中，點A坐標為(3,2),ZAOB^90，NQ4B=30，A3與x軸交于點C,那么

AC：的值為.

18.如圖，AB是半徑為2的。O的弦，將A3沿著弦AB折疊，正好經過圓心O,點C是折疊后的A3上一動點，

連接并延長BC交。O于點D,點E是CD的中點，連接AC,AD,EO.則下列結論：①NACB=120。，②^ACD是

等邊三角形，③EO的最小值為1,其中正確的是.(請將正確答案的序號填在橫線上)

D

E

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)一名在校大學生利用“互聯網+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產品，這種產品成本價10元/件，已知銷售價不低于成

本價，且物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現，該產品每天的銷售量)(件)與銷售價X(元

/件)之間的函數關系如圖所示.

(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求每天的銷售利潤W(元)與銷售價x(元/件)之間的函數關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷

售利潤最大？最大利潤是多少？

(件)

司一左丁一/元/件)

20.(6分)定義：對于給定的二次函數y=a(x-h)2+k(a#0),其伴生一次函數為y=a(x-h)+k,例如：二次函

數y=2(x+1)2-3的伴生一次函數為y=2(x+1)-3,即y=2x-L

(1)已知二次函數y=(x-1)2-4,則其伴生一次函數的表達式為；

(2)試說明二次函數丫=(x-1)2-4的頂點在其伴生一次函數的圖象上；

(3)如圖，二次函數y=m(x-1)2-4m(m/0)的伴生一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點B、A,且兩函數圖

象的交點的橫坐標分別為1和2,在NAOB內部的二次函數y=m(x-1)2-4m的圖象上有一動點P,過點P作x軸

3

的平行線與其伴生一次函數的圖象交于點Q,設點P的橫坐標為n,直接寫出線段PQ的長為不時n的值.

21.(6分)在“雙十二”期間，A3兩個超市開展促銷活動，活動方式如下:

A超市：購物金額打9折后，若超過2000元再優(yōu)惠300元;

3超市：購物金額打8折.

某學校計劃購買某品牌的籃球做獎品，該品牌的籃球在A,3兩個超市的標價相同，根據商場的活動方式：若一次性付

款4200元購買這種籃球，則在3商場購買的數量比在A商場購買的數量多5個，請求出這種籃球的標價；學校計劃

購買100個籃球，請你設計一個購買方案，使所需的費用最少.（直接寫出方案）

22.（8分）在AABC中,AB=BC=2,ZABC=120°,將△ABC繞著點B順時針旋轉角a（0。VaV90。）得到△AiBC；

AiB交AC于點E,AiCi分另交AC、BC于D、F兩點.

（1）如圖1,觀察并猜想，在旋轉過程中，線段BE與BF有怎樣的數量關系？并證明你的結論.

（2）如圖2,當a=30。時，試判斷四邊形BCiDA的形狀，并證明.

（3）在（2）的條件下，求線段DE的長度.

23.（8分）如圖①，一次函數y=；x-2的圖象交x軸于點A,交y軸于點B,二次函數y=-；x?+bx+c的圖象經過

A、B兩點，與x軸交于另一點C.

（1）求二次函數的關系式及點C的坐標；

（2）如圖②，若點P是直線AB上方的拋物線上一點，過點P作PD〃x軸交AB于點D,PE〃y軸交AB于點E,求

PD+PE的最大值；

25.（10分）如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m,在A點測得D點的仰角NEAD為45。,

在B點測得D點的仰角NCBD為60。.求這兩座建筑物的高度（結果保留根號）.

26.(12分)如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于

(1)求證：AF=DC；

(2)若ABLAC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.

27.(12分)如圖1,△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，直角邊AC,CD在同一條直線上，點M、N分別是斜

邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE,BD,PM,PN,MN.

(1)觀察猜想:

圖1中，PM與PN的數量關系是.，位置關系是.

(2)探究證明:

將圖1中的△CDE繞著點C順時針旋轉a(0°<a<90°),得到圖2,AE與MP、BD分別交于點G、H,判斷△PMN

的形狀，并說明理由

(3)拓展延伸:

把△CDE繞點C任意旋轉，若AC=4,CD=2,請直接寫出△PMN面積的最大值.

BB

PD

D

圖2

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、C

【解題分析】

求得不等式組的解集為xV-1,所以C是正確的.

【題目詳解】

解：不等式組的解集為x<-L

故選C.

【題目點撥】

本題考查了不等式問題，在表示解集時畛"，“W”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示.

2、D

【解題分析】

分析：連接OD,則根據垂徑定理可得出CE=DE,繼而將陰影部分的面積轉化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積

公式求解即可.

詳解：連接

'：CD±AB,

CE=DE=—CD=A/3,（垂徑定理），

2

故SOCE=SODE,

即可得陰影部分的面積等于扇形的面積，

又；NCDB=3U。,

AZCOB=60（圓周角定理），

：.0C=2,

拈。心力cnn60兀義22In

故S扇形OBD=----------=—,

3603

2兀

即陰影部分的面積為一.

3

故選D.

點睛：考查圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵.

3、B

【解題分析】

根據俯視圖是從上往下看得到的圖形解答即可.

【題目詳解】

從上往下看得到的圖形是：

故選B.

【題目點撥】

本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關鍵是由三視圖得到相應的立體圖形.從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的

圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實線，被遮擋的線畫虛線

4、B

【解題分析】

求最高氣溫比最低氣溫高多少度，即是求最高氣溫與最低氣溫的差，這個實際問題可轉化為減法運算，列算式計算即

可.

【題目詳解】

3-(-4)=3+4=7℃.

故選B.

5、A

【解題分析】

2

試題解析：???加29+2(1+—)=0,

m

4

:.m2+2+一=0,

m

；?m2+2="-,

m

4

???方程的解可以看作是函數y=m2+2與函數y=--,

m

作函數圖象如圖，

4

在第二象限，函數y=m2+2的y值隨m的增大而減小，函數y二一的y值隨m的增大而增大,

m

44

當m=-2時y=m2+2=4+2=6,y=----="-=2,

m—2

V6>2,

???交點橫坐標大于-2,

44

當m=-l時,y=m2+2=l+2=3,y=-----------=4,

m—1

V3<4,

???交點橫坐標小于“，

考點：1.二次函數的圖象；2.反比例函數的圖象.

6、B

【解題分析】

分析：先求得a的值，再繼續(xù)求所求數的算術平方根即可.

詳解：=2,

而2的算術平方根是亞，

二V?的算術平方根是應，

故選B.

點睛：此題主要考查了算術平方根的定義，解題時應先明確是求哪個數的算術平方根，否則容易出現選A的錯誤.

7、B

【解題分析】

A.括號前是負號去括號都變號；

B負次方就是該數次方后的倒數，再根據前面兩個負號為正；

C.兩個負號為正；

D.三次根號和二次根號的算法.

【題目詳解】

A選項，-(x-y)=-x+y,故A錯誤；

B選項，-(-2)-1=1,故B正確；

2

-XX

C選項，---,故C錯誤；

yy

D選項，死一強=2+271=1,故D錯誤.

2

【題目點撥】

本題考查去括號法則的應用，分式的性質，二次根式的算法，熟記知識點是解題的關鍵.

8、D

【解題分析】分析：根據中位數和眾數的定義求解：眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個;

找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(或兩個數的平均數)為中位數.

詳解：將數據重新排列為17、18、18、20、20、20、23,

所以這組數據的眾數為20分、中位數為20分，

故選：D.

點睛：本題考查了確定一組數據的中位數和眾數的能力.一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤

選其它選項，注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，

則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數.

9、C

【解題分析】

A、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；B、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合

題意；C、剪去陰影部分后，能組成長方體，故此選項正確；D、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合

題意；故選C.

10、C

【解題分析】

如圖，該幾何體主視圖是由5個小正方形組成，

左視圖是由3個小正方形組成，

俯視圖是由5個小正方形組成，

故三種視圖面積最小的是左視圖,

【解題分析】

A選項，在AOABsaOCD中，OB和CD不是對應邊，因此它們的比值不一定等于相似比，所以A選項不一定成立;

B選項，在AOABs/\oCD中，NA和NC是對應角，因此。=力，所以B選項不成立；

C選項，因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以C選項不成立；

D選項，因為相似三角形的周長比等于相似比，所以D選項一定成立.

故選D.

12、B

【解題分析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中iqa|V10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移

動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負

數.

【題目詳解】

解：將800億用科學記數法表示為：8x1.

故選:B.

【題目點撥】

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|＜10,n為整數，表示時關鍵要

正確確定a的值以及n的值.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、1.

【解題分析】

根據題意分析可得：第1個圖案中棋子的個數5個，第2個圖案中棋子的個數5+6=11個，…，每個圖形都比前一個

圖形多用6個，繼而可求出第30個“小屋子”需要的棋子數.

【題目詳解】

根據題意分析可得：第1個圖案中棋子的個數5個.

第2個圖案中棋子的個數5+6=11個.

每個圖形都比前一個圖形多用6個.

.?.第30個圖案中棋子的個數為5+29x6=1個.

故答案為L

【題目點撥】

考核知識點：圖形的規(guī)律.分析出一般數量關系是關鍵.

14、S

2

【解題分析】

由題意易得四邊形ABFE是正方形,

設AB=LCF=x,貝!J有BC=x+l,CD=1,

V四邊形CDEF和矩形ABCD相似，

ACD：BC=FC：CD,

即1：(x+1)=x：1,

.?.x=zl±^或(舍去),

22

—1+A/5

"四邊形CDEF2

口四邊形ABCD

故答案為

2

【題目點撥】本題考查了折疊的性質，相似多邊形的性質等，熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題

的關鍵.

15、27r

【解題分析】

分析：以AC為斜邊作等腰直角三角形AC。，則NA0C=9O。，依據NAZ>C=135。，可得點。的運動軌跡為以。為圓心,

QQX7Z"X4

A0為半徑的AC，依據AAC0中，AQ=4,即可得到點。運動的路徑長為=2m

詳解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ,則NAQC=90。.的直徑為A5,C為的中點，

/.ZAPC=45°.又,：CD_LCP,ZDCP=90°,：.ZPDC=45°,ZADC=135°,.?.點。的運動軌跡為以。為圓心,AQ

90X7TX4

為半徑的AC.又,.?AB=8,C為A3的中點，，AC=4ji，???△AC。中，40=4,.,.點。運動的路徑長為———=2?r.

180

故答案為In.

點睛：本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質，圓周角定理以及弧長的計算，正確作出輔助線是解題的關鍵.

16、2^2-

【解題分析】

連接OD,OC,AD,由。O的直徑AB=7可得出OD=OC,故可得出OD=CD=OC,所以NDOC=60。，ZDAC=30°,

根據勾股定理可求出AD的長，在R3ADE中，利用NDAC的正切值求解即可.

【題目詳解】

解：連接OD,OC,AD,

?半圓O的直徑AB=7,

7

/.OD=OC=-,

2

7

VCD=-,

2

，OD=CD=OC

；.NDOC=60°,ZDAC=30°

又；AB=7,BD=5,

**-AD=y/AB2-BD2=A/72-52=2#

在RtAADE中,

■:ZDAC=30°,

DE=AD?tan300=2-\/6x

故答案為2亞.

【題目點撥】

本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用等知識；綜合性比較強.

172G

3

【解題分析】

過點A作AD，y軸，垂足為D,作BEl_y軸，垂足為E.先證A再根據NQ4B=30。求出三角形的相

似比，得至!JO?OE=2：6,根據平行線分線段成比例得到AC:8C=0〃:0E=2：73=—

3

【題目詳解】

解：

V

如圖所示：過點A作AOLy軸，垂足為O,作軸，垂足為E.

VZOAB=30°,ZAD￡=90°,ZDEB=90°

：.ZDOA+ZBOE=9Q°,ZOBE+ZBOE=9Q°

：.ZDOA=ZOBE

工△ADOs△OEB

；NOAB=30°,ZAOB=90°,

：.OA：0B=61

???點A坐標為（3,2）

：.AD=3,0D=2

■:AADOsAOEB

:.也=曳=6

OEOB

：.OE=y/3

,JOC//AD//BE

根據平行線分線段成比例得：

AC;BC=0D;0E=2：豆

故答案為2叵.

3

【題目點撥】

本題考查三角形相似的證明以及平行線分線段成比例.

18、①②

【解題分析】

根據折疊的性質可知，結合垂徑定理、三角形的性質、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質等可以判斷①②是否正確,

EO的最小值問題是個難點，這是一個動點問題,只要把握住E在什么軌跡上運動，便可解決問題.

【題目詳解】

D

如圖1,連接OA和OB,作OF_LAB.

圖1

由題知：AB沿著弦AB折疊，正好經過圓心O

.*.OF=OA=-OB

2

ZAOF=ZBOF=60°

ZAOB=120°

/.ZACB=120°（同弧所對圓周角相等）

ZD=^ZAOB=60°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）

2

:.ZACD=180°-ZACB=60°

/.△ACD是等邊三角形（有兩個角是60。的三角形是等邊三角形）

故，①②正確

如圖2,連接AE和EF

:△ACD是等邊三角形，E是CD中點

.\AE±BD（三線合一）

XVOF1AB

.?.F是AB中點

即，EF是AABE斜邊中線

.\AF=EF=BF

即，E點在以AB為直徑的圓上運動.

所以，如圖3,當E、O、F在同一直線時，OE長度最小

此時，AE=EF,AE±EF

TOO的半徑是2,即OA=2,OF=1

.,.AF=V3（勾股定理）

:.OE=EF-OF=AF-OF=^/3-1

所以，③不正確

綜上所述：①②正確，③不正確.

故答案是：①②.

【題目點撥】

考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半

圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)v=-x+40(10<x<16h(2)每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元.

【解題分析】

根據題可設出一般式，再由圖中數據帶入可得答案，根據題目中的x的取值可得結果.②由總利潤=數量x單間商品的利

潤可得函數式，可得解析式為一元二次式，配成頂點式可求出最大利潤時的銷售價，即可得出答案.

【題目詳解】

(1)V=-x+40(10<x<16).

(2)根據題意，得：W=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-7+50x-400

=-廣+225

a=-1<0

:.當x<25時，卬隨x的增大而增大

10<x<16

...當丫=16時，即取得最大值，最大值是144

答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元.

【題目點撥】

熟悉掌握圖中所給信息以及列方程組是解決本題的關鍵.

20、y=x-5

【解題分析】

分析：(1)根據定義，直接變形得到伴生一次函數的解析式；

(2)求出頂點，代入伴生函數解析式即可求解；

(3)根據題意得到伴生函數解析式，根據P點的坐標，坐標表示出縱坐標，然后通過PQ與x軸的平行關系，求得Q

點的坐標，由PQ的長列方程求解即可.

詳解：(1)?.?二次函數y=(x-1)2-4,

二其伴生一次函數的表達式為y=(x-1)-4=x-5,

故答案為y=x-5；

(2)?.?二次函數y=(x-1)2-4,

，頂點坐標為(1,-4),

???二次函數y=(x-1)2-4,

J其伴生一次函數的表達式為y=x-5,

當x=l時,y=l-5=-4,

(1,-4)在直線y=x-5上，

即：二次函數丫=(X-1)2-4的頂點在其伴生一次函數的圖象上;

(3);二次函數y=m(x-1)2-4m,

，其伴生一次函數為y=m(x-1)-4m=mx-5m,

TP點的橫坐標為n,(n>2),

AP的縱坐標為m(n-1)2-4m,

即：P(n,m(n-1)2-4m),

?；PQ〃x軸，

/.Q((n-1)2+l,m(n-1)2-4m),

APQ=(n-1)2+l-n,

3

???線段PQ的長為5,

3

(n-1)2+l-n=—,

2

.3土a

..n=----------.

2

點睛：此題主要考查了新定義下的函數關系式，關鍵是理解新定義的特點構造伴生函數解析式.

21、(1)這種籃球的標價為每個50元；(2)見解析

【解題分析】

(1)設這種籃球的標價為每個x元，根據題意可知在B超市可買籃球絲絲個，在A超市可買籃球4200+300個,

0.8%0.9%

根據在B商場比在A商場多買5個列方程進行求解即可；

(2)分情況，單獨在A超市買100個、單獨在B超市買100個、兩家超市共買100個進行討論即可得.

【題目詳解】

(1)設這種籃球的標價為每個x元,

42004200+300

依題意，得

0.8%0.9%

解得：x=50,

經檢驗：x=50是原方程的解，且符合題意,

答：這種籃球的標價為每個50元;

(2)購買100個籃球，最少的費用為3850元，

單獨在A超市一次買100個，則需要費用：100x50x0.9-300=4200元，

在A超市分兩次購買，每次各買50個，則需要費用：2(50x50x0.9-300)=3900元，

單獨在B超市購買：100x50x0.8=4000元，

在A、B兩個超市共買100個，

20004

根據A超市的方案可知在A超市一次購買：-------=44-,即購買45個時花費最小，為45x50x0.9-300=1725元，

0.9x509

兩次購買，每次各買45個，需要1725x2=3450元，其余10個在B超市購買，需要10x50x0.8=400元，這樣一共需要

3450+400=3850元，

綜上可知最少費用的購買方案：在A超市分兩次購買，每次購買45個籃球，費用共為3450元；在B超市購買10個,

費用400元,兩超市購買100個籃球總費用3850元.

【題目點撥】

本題考查了分式方程的應用，弄清題意，找準等量關系列出方程是解題的關鍵.

22、(1)E\^FC.(2)四邊形BCQA是菱形?(3)2-1A/3.

【解題分析】

(1)根據等邊對等角及旋轉的特征可得A3E-GBF即可證得結論；

(2)先根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，再得到鄰邊相等即可判斷結論；

(3)過點E作EGLAB于點G,解RtAEG可得AE的長，結合菱形的性質即可求得結果.

【題目詳解】

(1)EA、=FC.

證明：(證法一)AB=BG.\ZA=ZC.

由旋轉可知，AB=_BG，NA=NG，NABE=NC[BF

：.ABFgCBE.

:,BE=BF,又AB=BCV

:.—NC,A}B=CB,即=FC.

(證法二)AB=BC,ZA=ZC.

由旋轉可知，-BE=BC-BF,而NEBC=

：.:.A^BF=CBE

:.BE=BF,：.BA—BE=BC—BF

即EA^—FC.

(2)四邊形5GzM是菱形.

證明：NA=NA網=30°,，ACJIAB同理ACllBCX

...四邊形5GD4是平行四邊形.

又AB=BQ,四邊形BQDA是菱形

(3)過點E作石于點E,則47=56=1.

在EGLAB中，

AE=-43

3

.由(2)知四邊形BCQA是菱形，

:.AG=BG=1.

:.ED=AD-AE=2--j3.

3

【題目點撥】

解答本題的關鍵是掌握好旋轉的性質，平行四邊形判定與性質，的菱形的判定與性質，選擇適當的條件解決問題.

23、(1)二次函數的關系式為丫=-1—+：》一2；c(1,0)；(2)當m=2時，PD+PE有最大值3；(3)點M的坐

標為(3,-)或(3,一叵).

2222

【解題分析】

(1)先求出A、3的坐標，然后把4、5的坐標分別代入二次函數的解析式，解方程組即可得到結論；

(2)先證明△POESAOAB,得到P0=2PE.設尸(機，--/n2+-m-2),則E(m,-m-2},PD-\-PE=3>PE,

222

然后配方即可得到結論.

(3)分兩種情況討論：①當點M在在直線A8上方時，則點”在AA5C的外接圓上，如圖1.求出圓心。1的坐標和

半徑，利用MO產半徑即可得到結論.

②當點“在在直線A3下方時，作。1關于A3的對稱點。2,如圖2.求出點。2的坐標，算出OM的長，即可得到結

論.

【題目詳解】

解：(1)令》=3》一2=0,得：x=4,.,.A(4,0).

令x=0,得：y=~2,：.B(0,-2).

,二次函數y=-g;?+6尤+c的圖像經過A、B兩點,

,5

-8+4Z?+c=0b=—

,解得：<2,

c=-2

c=-2

二次函數的關系式為y=-g，+gx-2.

4-J=--x2+-X-2=0,解得：x=l或x=4,'.C(1,0).

22

(2)'：PD//x^,PE〃y軸，

:.NPDE=NOAB,NPED=NOBA,

PDOA4

：./A\PDE^/A\OAB.:.——=——=—=2,

PEOB2

：.PD=2PE.設尸(加，--m2+-m-2),

22

則E6”,—m—2).

2

/.PD+PE=3PE=3x[(——m1+—m—2)—(―m—2)]=--m2+6m-+6.

22222V7

,?,0</n<4,當機=2時，PO+PE有最大值3.

(3)①當點M在在直線43上方時，則點”在△ABC的外接圓上，如圖1.

,.,△ABC的外接圓Oi的圓心在對稱軸上，設圓心Oi的坐標為(3,-/).

2

二(■!)+(2—02+/，解得：/=2,

二圓心。1的坐標為(3,—2),.?.半徑為3.

22

設M(—fy).,?*MOi=-.=y+2=—,

2292

解得：y=—,點拉的坐標為()-

222

②當點M在在直線A3下方時，作Oi關于A3的對稱點。2,如圖2.

5一

?.,401=015=—,：.ZOiAB^ZOiBA.'：OiB//x^,：.ZOiBA=ZOAB,

2

3

:.NOiAB=NOAB,。2在x軸上，.?.點。2的坐標為（一，0）,010=1,

2

：.DM=J（|）2一仔=孚，二點M的坐標為（:,-孚）.

綜上所述：點M的坐標為（*,-）或（*,一旦.

2222

點睛：本題是二次函數的綜合題.考查了求二次函數的解析式，求二次函數的最值，圓的有關性質.難度比較大，解

答第（3）問的關鍵是求出△A3c外接圓的圓心坐標.

24、x+2

【解題分析】

先把括號里的分式通分，化簡，再計算除法.

【題目詳解】

x+1x+2(x-2)

解：原式=x---------------=x+2

x-2x+1

【題目點撥】

此題重點考察學生對分式的化簡的應用，掌握通分和約分是解題的關鍵.

25、甲建筑物的高AB為（306"一30）m,乙建筑物的高DC為30

【解題分析】

如圖，過A作AFLCD于點F,

在RtABCD中，ZDBC=60°,BC=30m,

CD

V——=tan/DBC,

BC

.,.CD=BC?tan60°=3073m,

，乙建筑物的高度為30Gm；

在RtAAFD中，ZDAF=45°,

.,.DF=AF=BC=30m,

；.AB=CF=CD-DF=(3073-30)m,

二甲建筑物的高度為(30君-30)m.

26、(1)見解析(2)見解析

【解題分析】

(1)根據AAS證△AFE^^DBE,推出AF=BD,即可得出答案.

(2)得出四邊形ADCF是平行四邊形，