2025年中考數(shù)學專題58 二次函數(shù)中的面積問題（原卷版）

例題精講例題精講求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下面求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．點P為拋物線第二象限上一動點，連接PB、PC、BC，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標．變式訓練【變1-1】．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．【變1-2】．如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m），點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當P在何處時，△ACE面積最大．變式訓練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A（﹣3，0）和點B（1，0），交y軸于點C．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D的坐標為（﹣1，0），點P為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．【變2-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接DC，DB，設△BCD的面積為S，求S的最大值．1．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點P是線段BC上方的拋物線上一動點，當△BCP的面積取得最大值時，點P的坐標是（）A．（2，3） B．（，） C．（1，3） D．（3，2）2．如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上直線BC上方的一動點，求△PBC面積的最大值，并求出點P坐標；（3）若點Q為拋物線對稱軸上一動點，求△QAC周長的最小值．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒有，請說明理由．4．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的二次函數(shù)解析式：（2）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；（3）如圖2，點H是直線BC下方拋物線上的動點，連接BH，CH．當△BCH的面積最大時，求點H的坐標．5．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP'C．是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標軸交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直線BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上第一象限內一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，設點P的橫坐標為t（0＜t＜3），求△ABP的面積S與t的函數(shù)關系式；（3）條件同（2），若△ODP與△COB相似，求點P的坐標．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+經(jīng)過點A，與拋物線的另一個交點為點C，點C的橫坐標為3，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P、Q的坐標；（3）在線段PQ的移動過程中，以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由．8．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．E是BC上一點，PE∥y軸．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求BCP面積的最大值；（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當m為何值時MN＝BM，9．已知直線y＝x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點A和點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝＝x﹣2交拋物線于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值．11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點C（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為直線AB下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△MAB的面積最大時，求MN+ON的最小值．12．直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是直線AB上方拋物線上一點；①當△PBA的面積最大時，求點P的坐標；②在①的條件下，點P關于拋物線對稱軸的對稱點為Q，在直線AB上是否存在點M，使得直線QM與直線BA的夾角是∠QAB的兩倍？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y軸于點A，交x軸于點B（﹣3，0）和點C（1，0）．（1）求此拋物線的表達式．（2）若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當△ABP的面積最大時，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積．（3）設拋物線頂點為D，在（2）的條件下直線AB上確定一點H，使△DHP為等腰三角形，請直接寫出此時點H的坐標．14．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最小．若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．（3）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．16．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的對稱軸交x軸于點M，連接BC、CM．求△BCM的周長及tan∠BCM的值；（3）如圖2，過點A的直線m∥BC，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PD⊥m，垂足為點D，連接BD，CD，CP，PB．當四邊形BDCP的面積最大時，求點P的坐標及四邊形BDCP面積的最大值．17．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點（點C在點D的左側）．①求點C和點D的坐標；②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點（點M，N與點C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．18.將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k．拋物線H與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．已知A（﹣3，0），點P是拋物線H上的一個動點．