江西省上饒市2024屆高三第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷試題及答案

上饒市2024屆第二次高考模擬考試

數(shù)學(xué)試題卷

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答題前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效.

4.本試卷共19題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A=Wl<x<3},5={xeN"f_3x<0},則人B=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|-l<%<3}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合然后利用集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意知A={止1cx<3},B=x2-3x<0}=|XGN"|0<X<3}={1,2},

所以Ac5={l,2},故C正確.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2-,則復(fù)數(shù)乞在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù)z,再求出5即可得解.

2i-(l-i)2=l+i

【詳解】依題意,

2

所以吃=1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（LT）位于第四象限.

故選：D

3.“a+c>6+d”是且c>d”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】通過(guò)特例說(shuō)明充分性不成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)說(shuō)明必要性是成立的.

【詳解】可令a=9,c=6,b=d=1,則滿足a+c>〃+d,但“a>b且c>d”不成立，所以

a+c>b+d"不是"a>b且c>d”的充分條件；

根據(jù)不等式的性質(zhì)：由a>b且c>d,可得：a+c>Z?+d.所以''a+c>Z?+d"是且c>d”的必

要條件.

故選：A

4.已知平面向量a=(l,m),b=(-2,2),且(a+b)_LZ?,則〃z=()

A.1B.3C.-3D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】先求出a+6的坐標(biāo)，再根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示求得加即可.

【詳解】由題意知:?=(l,m),6=(-2,2),所以a+Z;=(—1,m+2),

因?yàn)?a+))_LZ?,所以(a+b)-Z?=O,即(一1)義(一2)+2(m+2)=0,

解得：根=-3,所以A、B、D錯(cuò)誤，

故選：C.

5.記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若是等差數(shù)列，S6=6,則氏+。4=()

11

A.-B.-C.1D.2

62

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)因?yàn)椋菔堑炔顢?shù)列，可得｛4｝為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)即

可得解.

【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,

S

所以可設(shè)，i~=加+5,所以邑=。〃9+加,

n

所以｛%｝為等差數(shù)列，

S=6=6x6=3(q+%)，

6。z")

所以4+&=2,

所以。3+。4=2.

故選：D

cos(o+/)=；,則cos(a-7?)=()

6.已知角a,滿足tanatan分=一3,

131

A.——B.-1C.一一D.-

488

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系得到sinasin/?=-3cosacos/?,再利用兩角和與差的余弦公式計(jì)算即可.

sinasinB。^

【詳解】tanatanp----------=-3,:.smasmp=-3cos6Zcos/3,

cosacos0

cos(cr+/?)=cosacos(3-smasin/?=4cosorcosJ3=—,cosacos/?=—,

28

/.cos(。一月)=cosacos〃+sinasinJ3=-2cosacos〃二一；，

故選：A.

7.定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足"2—x)=f(x),且在［0』上單調(diào)遞減，若方程/(尤)=1在(―1,0］上

有實(shí)數(shù)根，則方程/(%)=-1在區(qū)間［3,11］上所有實(shí)根之和是()

A.28B.16C.20D.12

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件可得出了(龍)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，/(%)的周期為4,從而可考慮了(司的一個(gè)周期,

利用［T3］,根據(jù)"％)在［0』上是減函數(shù)，可得出“力在(1,2］上是增函數(shù)，又“力是R上的奇函數(shù)，

所以在(-1,0］上是減函數(shù)，在［2,3)上是增函數(shù)，然后根據(jù)/(尤)=1在(-1,0］上有實(shí)數(shù)根，可判斷該

實(shí)數(shù)根是唯一的，并可判斷/(%)=-1在一個(gè)周期［-1,3］內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并得這兩實(shí)數(shù)根和為2,從而得

出/(%)=-1在區(qū)間［3,11］這三個(gè)周期內(nèi)上有4個(gè)實(shí)數(shù)根，和為28.

【詳解】由"2—》)=/■(%)知函數(shù)〃龍)圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，

Vf(2-x)=f(x),/(x)是R上奇函數(shù),

/(-^)=/(^+2)=-/(x),

/(x+4)=/(%),

的周期為4,

考慮/(%)的一個(gè)周期，例如［—1,3］,

由/(%)在［0』上是減函數(shù)知“力在(1,2］上是增函數(shù)，

/(同在(—1,0］上是減函數(shù)，/(%)在［2,3)上是增函數(shù)，

對(duì)于奇函數(shù)〃尤)有/(0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,

故當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(%)</(0)=0,當(dāng)xe(l,2)時(shí),/(%)</(2)=0,

當(dāng)xe(—1,0)時(shí),/(x)>/(0)=0,當(dāng)尤式2,3)時(shí)，/(x)>/(2)=0,

因?yàn)榉匠獭?)=1在(-L0］上有實(shí)數(shù)根，

函數(shù)/(%)在(-1,0］上是單調(diào)函數(shù)，則這實(shí)數(shù)根是唯一的，

所以方程/(x)=T在(0,1］上有唯一的實(shí)數(shù)根，

則由于/(2—x)=f(x),函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

故方程/(%)=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根，

因?yàn)樵?—1,0)和(2,3)上/(￡)>0,

則方程/(%)=—1在(-1,0］和［2,3)上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

從而方程/(x)=-l在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)1,3］,方程/(%)=—1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2—尤=2,

當(dāng)XG[3,11],方程/(x)=-l的所有4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為

4+x+4+2—尤+1+8+2—x+8=8+2+8+2+8=28.

故選：A.

22

8.設(shè)工為雙曲線C：二一與=1(?>0,%>0)的右焦點(diǎn)，直線/：x-3y+c=0(其中c為雙曲線

ab

。的半焦距)與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點(diǎn)，若MN?(&M+&N)=O,則雙曲線C

的離心率是()

A.B.@C.-D.好

3332

【答案】D

【解析】

【分析】取M的中點(diǎn)，利用向量的中點(diǎn)公式和向量數(shù)量積為零的幾何意義，得到入〃為線段的中垂

線，|叫|=|叫|=m，然后結(jié)合雙曲線的定義得至U["H|=|NW|=2a,進(jìn)而利用勾股定理求得

nr=2a2+2c2,于是根據(jù)直線/的斜率，得到心。的關(guān)系，從而求得離心率

【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，如圖，取線段的中點(diǎn)X,連接和，則

F2M+F2N=2F2H.因?yàn)槎?=0,所以肋V.g〃=0,即MN，8〃，則

|^|=|^|.^\MF2\=\NF2\=m.因?yàn)椤?|=|g|—|照|=2M所以

|峭|-|尊|+|咋1咋|=|岫卜|咋|=|ACV|=4a,貝U|M/|=|NW|=2a,從而|明|=根，故

2222

\HF2\=V4c-m=7m-4a,解得病=2片+202.因?yàn)橹本€/的斜率為g,所以

12_2

\HF,\72?-2a,整理得1即5a2=4°2"邛,

3a-+c9

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)一一離心率的求法，涉及向量的運(yùn)算

和數(shù)量積，關(guān)鍵是取M的中點(diǎn)，利用向量的中點(diǎn)公式和向量數(shù)量積為零的幾何意義，得到入〃為線段

的中垂線，結(jié)合雙曲線的定義得到|必/|=|八及|=2。是關(guān)鍵，根據(jù)直線/的斜率，得到a,c的關(guān)系是求得

離心率的方向.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選得0分.

(〃為正整數(shù))的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則下列選項(xiàng)中”的取值可能是()

A.3B.5C.6D.7

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解.

[x-之]展開(kāi)式的通項(xiàng)為

【詳解】小=(—2)七：/"，左=0』，，〃，

因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以〃=3無(wú).

經(jīng)驗(yàn)證，左=1時(shí)，〃=3；左=2時(shí)，〃=6符合條件.

故選：AC

10.已知函數(shù)/(%)=Atan(gx+0)(G>O,O<0<71)的部分圖象如圖所示，則()

B./(%)的圖象過(guò)點(diǎn)-,—-—

C.函數(shù)y=7(x)1的圖象關(guān)于直線》=獲對(duì)稱

D.若函數(shù)y=|/(x)|+/l/(x)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，結(jié)合正切型函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性逐一判斷即可.

7171571

【詳解】對(duì)于A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為7,則有7=—=：=>69=1,

CD6

即/(%)=Atan(x+0),由函數(shù)的圖象可知：‘+0="+4兀=＞夕=/++左兀,又。＜。＜兀,所以

623

71

(P=~

3

71

即/(%)=AtanXH---,由圖象可知：/(O)=Atan|=273A=2,所以。?夕4=],因此A

3

不正確;

“工C兀、cfl171兀)_1371_71,A/32^3二匚[、|n-rrfc

對(duì)于B：f\----=2tan------1--=2tan----=2tan—=2x——=------，所以B正確;

[6)[63)6633

喧+d=2ta"*+￡|

=|2tanx|,所以f

所以函數(shù)y=|/(x)|的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱，因此c正確;

對(duì)于D：y=|/(%)|+2/(x)=2tanlx+—j+22tanIx+—

717C

當(dāng)xe時(shí),

4%

y=\f(x)\+Af(x)=2tanx+g+2%tanIx+—I=2tanfx+—I+2%tanIx+—

=(2+22)tanx+

5兀71

當(dāng)

63

y=|/(x)|+2/(x)=2tanx+—+22tanx+—=-2tanx+—+22tanx+—

=(—2+22)tan[x+]J,

當(dāng)函數(shù)y=/(x)|+/l/(x)在區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，則有(2+2初—2+2X)W0n—正

確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.在四棱錐S—ABCD中，ABCD是正方形，AD±SD,ZSDC=12Q°,SD=CD=2,P為棱SB

上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)A到平面SBC的距離為1

3

B.若SP=PB,則過(guò)點(diǎn)A,D,尸的平面。截此四棱錐所得截面的面積為一

2

C.四棱錐S-ABCD外接球的表面積為18兀

D.直線”與平面SCD所成角的正弦值的最大值為短

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)A到平面S5C的距離為d,結(jié)合匕.ABC=%.SBC，求得d=l，可判定A正確；取SC中

點(diǎn)為。，連接P。，DQ,可得截面為直角梯形APQD,進(jìn)而可判定B正確；結(jié)合球的截面的性質(zhì)，可

求得四棱錐S-ABCD外接球的半徑為R=結(jié)合球的表面積公式，可判定C不正確；作PESC和

EF\CD,證得平面PEF方平面SCD,將AP與平面SCD所成的角轉(zhuǎn)化為ZAPF,設(shè)

PB=x(O<^<4),求得sinNAP/=弁二7，,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.

Ak2，x--3x+4

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳OLSD,AD±DC,又SDDC=D,且SO,DCu面SDC,

所以面SDC,又因?yàn)锳D/ABC,所以3C1平面SDC,

因?yàn)镹SDC=120°,且SD=CD=2,

可得S到平面ABCD的距離為SO-sin60=6，即三棱錐S—ABC的高為/?=石，

22

設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d,且SC=y/SD+CD-2S￡>-CDcos120=2A/3，

由匕-ABC=匕.SBC,可得'*，*2><2義/7=1><,><2><26*4,得d=-^=1.

3232，3

所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為1,所以A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镾P=PB,所以點(diǎn)尸為棱S3的中點(diǎn)，

取SC中點(diǎn)為。，連接PQ,DQ,則平面APQD即為平面a截此四棱錐所得的截面.

且點(diǎn)。是SC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為棱S3的中點(diǎn)，

所以在ASBC中，尸。是△SBC的中位線，則PQ=gBC=l,且尸Q〃BC,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，貝U3C〃仞，所以PQ〃A￡>,

因?yàn)锳￡>上面SDC,且AOa面SDC,QCu面SDC,所以ADJ_QC.

所以四邊形AP。。是以AD為下底、P。為上底，為高的直角梯形，

因?yàn)镾￡>=CD=2,在等腰SCD中，QD_L3C,且。。平分/4￡>C,

可得0。=O).cos；/SDC=2xg=1,

i3

則平面a截此四棱錐所得截面的面積為S=5(l+2>l=e，所以B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，又因?yàn)镹5DC=120。，SD=CD=2,且SC=2石，

cSC2A/3,

OF,_______—___—4

所以sin/S。。—73—，即r=2,其中〃為，SCO外接圓半徑，

方

因?yàn)檎叫蜛BCD的中心到面5DC的距離等于其邊長(zhǎng)的一半，即1,故四棱錐S-MCD外接球的半徑為

7?=A/22+12=45-

所以四棱錐S-MCD外接球的表面積為20兀，所以C不正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)P作PESC,再過(guò)點(diǎn)石作跖CD,使得E,歹分別在線段5cA。上，連接尸尸.

根據(jù)線面平行的判定定理，可得PE//平面SCD,EF：平面SCD,

因?yàn)镋FcPE=E,且平面？即，所以平面？即口平面SCD,

又因?yàn)锳DL平面SCD,所以ADL平面尸石戶，即AF,平面尸石戶.

所以NAP尸即為AP與平面P即所成的角，即為AP與平面SCD所成的角.

由于平面SDC,SC在平面5DC內(nèi)，故3CJLSC.

從而在直角ASBC中，可得S5=JSC?+CB。=J12+4=4-

設(shè)P6=x(OWxW4),由PBEs二SBC,可得匹=理=2，

')BCSB4

所以=二-2=2，所以AP=土.

4422

由于5A=，502+￡)(42'=，4+4=2拒，故在△5AB中，由余弦定理可得

SB?+AB?-SA23

cosZSBA=

2SBAB4

在,PAB中，由余弦定理可得AP=7AB2+PB2-2AB-PBxcosZPBA=6-3x+4，

在直角△7%/中，可得

AFX11_2^/7

sinZAPF=—

AP2J爐—3%+4,[T—〒,且當(dāng)x=§

2元③

時(shí)，不等號(hào)取等.

所以sinNAPE的最大值是迫，所以D正確.

7

故選：ABD.

1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問(wèn)題；

2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、

性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；

4、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有

解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,4,5,6,%,則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3的

概率為.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)X的六種取值情況分別得出中位數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.

【詳解】當(dāng)X為1,2時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3,

當(dāng)％=3時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3.5,

當(dāng)尤=4時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，

當(dāng)x為5,6時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5,

所以這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3的概率為2=1.

63

故答案為：—.

3

13.在A5C中，NA,NB，3C依次成等差數(shù)列，AC=26，的取值范圍為.

【答案】（0,6]

【解析】

7T1

【分析】根據(jù)題意可得NB=—,利用數(shù)量積公式得癡?BC=—ac,進(jìn)一步由正弦定理、結(jié)合三角恒等

32

變換將所求轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)值域即可.

【詳解】根據(jù)題意2NB=NA+NC,又NA+N5+NC=7i,

兀

所以NB=—,

3

acb2G

=4

由正弦定理有sinA-sinC-sin8一百

2

所以a=4sinA,c=4sinC,

所以BA，BC=gac=8sinAsinC=8sinAsin[g—A]=8sinAcosA+^-sinA

=4^/3sinAcosA+4sin2A=2^/3sin2A—2cos2A+2=4sin12A—個(gè)1+2,

而A的取值范圍是

所以2A—e的取值范圍是,sin[2A—k]的取值范圍是1一5」,

所以4si“2A—胃的取值范圍是（一2,4],

所以84?30=45由124—已）+2的取值范圍為（0,6].

故答案為：(0,6],

14.已知關(guān)于x的不等式ae*x—21nx—2%-220恒成立，。的最小值為刃，則/'(x)=msinx+sin2x

的最小值為.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】-9

2

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的最值解決恒成立問(wèn)題，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值.

【詳解】不等式ae'x—21nx—2x—2?0(x>0)恒成立，等價(jià)于：1也;+1=.：：：+1,

令.=g(x)=x+lnx,g'(x)=1+—>0,

x

所以g(x)=x+lnx在(0,+。)是增函數(shù)，

且x趨近于0時(shí)，g(x)趨近于-oo,x趨近于+8時(shí)，g(x)趨近于+<?,即teR.

令機(jī)(。=匚2，則7〃'(“=二，

當(dāng)fe(-co,0)時(shí)，加")是增函數(shù)，

當(dāng)te(0,+8)時(shí)，加?)<(),加是減函數(shù)，

所以加⑺111ax=m(°)=1，所以■121,即a?2,故m=2.

所以/(x)=2sinx+sin2x,(x)=2cosx+2cos2x=2(cosx+1)(2cosx-1),

因?yàn)閏osx+120,所以cosx'l■時(shí)，/(x)是增函數(shù)，cosx<1■時(shí)，/(%)是減函數(shù),

]Q

即cosx=—時(shí)/(%)=2sinx+sin2x取得最小值，此時(shí)sinx=±J；

22

當(dāng)sinx=-^^時(shí)，sin2x=2sinxcosx=~~~'止匕時(shí)/(x)=2sinx+sin2x=一^^；

當(dāng)sinx=時(shí)，sin2x-2sinxcosx=>止匕時(shí)/(x)=2sinx+sin2x=.

綜上可知/(%)的最小值為-等.

故答案為：—正

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用函數(shù)同構(gòu)和分離參數(shù)法求出〃2；二是利用導(dǎo)數(shù)求

解三角函數(shù)的最值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.贛南臍橙，果大形正，橙紅鮮絕，光潔美觀，已被列為全國(guó)十一大優(yōu)勢(shì)農(nóng)產(chǎn)品之一，是江西省贛州市

特產(chǎn)，中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品.榮獲“中華名果”等稱號(hào).有甲、乙兩個(gè)臍橙種植基地，按果徑X(單位：

mm)的大小分級(jí)，其中Xe(75,80］為特級(jí)果，X470,75］為一級(jí)果，Xe(80,90］為二級(jí)果，

Xe(60,70］為三級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)質(zhì)果，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的所有臍橙中各隨機(jī)抽

取300個(gè)，測(cè)量這些臍橙的果徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：

果徑分組(單位：mm)(60,65](65,70](70,75](75,80](80,85](85,90]

甲基地頻數(shù)515100150255

乙基地頻數(shù)10251101202510

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下表，并回答是否有95%以上的把握認(rèn)為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)?

甲基地乙基地

優(yōu)質(zhì)果

非優(yōu)質(zhì)果

(2)以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從甲種植基地采摘的所有優(yōu)質(zhì)果中隨機(jī)抽取3個(gè)，設(shè)被抽取的3

個(gè)臍橙中特級(jí)果的個(gè)數(shù)為y,求F的分布列和數(shù)學(xué)期望.

9n（ad-bc^1,

附：K—、，n—a+Z7+c+d.

2

P（K>k0）0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有95%以上的把握認(rèn)為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)”

9

(2)分布列見(jiàn)解析，-

【解析】

【分析】(1)列出2x2列聯(lián)表，計(jì)算可K?，可得結(jié)論；

(2)求得甲種植基地優(yōu)質(zhì)果中特級(jí)果的概率，進(jìn)而可得丫B|3,|L進(jìn)而可得y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得到如下2x2列聯(lián)表:

甲基乙基

地地

優(yōu)質(zhì)果250230

非優(yōu)質(zhì)果5070

―600x（250x7。-230x5。）二,ms.

300x300x480x120

因此，有95%以上的把握認(rèn)為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)”.

【小問(wèn)2詳解】

由題意得甲種植基地優(yōu)質(zhì)果中特級(jí)果概率P==3

100+1505

Y的所有可能取值為0,1,2,3,V?313,1

p(y=0)=C/

p(y=i)=c；||(2丫_36

jJ-125

p(y=2)=c]

p(y=3)=C.

Y的分布列表如下:

Y0123

8365427

P

125125125125

M八c39TL/sc8,36c54°272259

E(y)=3x—=—(或E(y)=0x------Fix-----i-2x-----F3X=--=—).

''55v71251251251251255

16.已知函數(shù)/(x)=gx2+ta-21iu:+Z7的圖象在x=2處的切線與直線y=-gx+5垂直.

(1)求。的值；

（2）若函數(shù)/（九）在［l,e］上無(wú)零點(diǎn)，求6的取值范圍.

【答案】（1）a=l；（2）［-00,2-e-^-^uf—1,+oo^j

I2八2J

【解析】

【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，由/'（2）=2即可求解.

（2）由題意可得gf+ax-21nx+沙=0在［l,e］上無(wú)解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)無(wú)交點(diǎn)即可求解.

【詳解】（1）由函數(shù)/（x）=gx?+at—21n%+b,x>0,

22

f'(x)=x+a——,所以可得/''(2)=2+“——=2,解得a=l.

x2

(2)若函數(shù)/(%)在［l,e］上無(wú)零點(diǎn)，即：一+九一2?+/,=。在口，4上無(wú)解,

即-7?=g%2+x-21nx在［l,e］上無(wú)解，

令g(九)=5%之+%—21n%,x￡［l,e］，

y+t2=(x+2)(x-l),在［1,耳上g，(￡)>0,

g,(x)=x+l--=

JCXX

所以g(x)在[Le]上單調(diào)遞增,

所以g⑴Wg(x)Wg(e),

3,2

即尹g(x)<］+e-2,

若—b=—%2+x—21nx在［1,e］上無(wú)解,

3、2

則一b<—或—b>Fe—2,

22

3、e2

即。〉——或/?<2—e---.

22

.............(2\

所以6的取值范圍為-8,2-e-二e2,+8

I2)

17.如圖，三棱柱A5C-A5Ci中，四邊形ACGA，BCa用均為正方形，￡>,E分別是棱的中

點(diǎn)，N為C[E上一點(diǎn).

(1)證明：3^^//平面4。。；

(2)若AB=AC,C[E=3CiN,求直線ON與平面4。。所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵巫

10

【解析】

【分析】(1)連接BE,3G，DE,則有平面BEG//平面4。。，可得BN//平面4DC；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

連接BE,BCX,DE.

因?yàn)锳B//A31，且AB=AJ5J,

又D,E分別是棱AB,4耳的中點(diǎn)，

所以3O//AE,且5。=4后，

所以四邊形3明后為平行四邊形，所以A。//石B,

又A。U平面A.DC,EB<z平面A.DC,

所以EB//平面4。。，

因?yàn)镈E〃BB\〃CC、,且DE=BB]=CG，

所以四邊形DCGE為平行四邊形，所以GE”。。，

又CDu平面\DC,CXE<z平面\DC,

所以GE//平面A。。，

因?yàn)镃EcEB=E,CXE,EBu平面BECX,

所以平面BEC」/平面A。。，

因?yàn)锽Nu平面BEC]，所以BN//平面A。。.

,G

T

B

四邊形ACG4,3CG3I均為正方形，所以C￡，AC,C￡

所以CG，平面ABC

因?yàn)?。E//cq,

所以。E1平面ABC.

從而DELDB,DELDC.

又AB=AC,

所以一ABC為等邊三角形.

因?yàn)?。是棱AB的中點(diǎn)，

所以CD_L￡>5.

即￡>5,DC,DE兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，。氏DC,DE所在直線為x,%z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則0（0,0,0）,網(wǎng)0,0,26）0（0,3,0）6（0,3,2句從一后0,2回

所以℃=（0,3,0）,%=（-73,0,2^/3）.

設(shè)〃=（羽y,z）為平面ADC的法向量，

n-DC=0f3y=0、

則，即1,,可取〃=z（2,0,1）.

n-DA,=Q〔-j3x+2j3z=0

因?yàn)镼E=3c3,所以N（0,2,2如）,ON=（0,2,273）.

設(shè)直線DN與平面A.DC所成角為。,

/八皿\n-DN\2百J15

貝!Jsin0=|cos<n,DN）|=---------=——=----，

\n\-\DN\V5x410

即直線DN與平面ADC所成角正弦值為叵.

10

122

2*4

18.已知離心率為萬(wàn)的橢圓G:T+￡=1（?！等恕?）與拋物線c2:y=2px（p>0）有相同的焦點(diǎn)F,

且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,2）,O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/：x=（y+/與拋物線交于A3兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，若&ABP的內(nèi)切圓圓心始終

在直線尸產(chǎn)上，求OCD面積的最大值.

22

【答案】（1）橢圓G：5+4=I；拋物線。2：/=?；⑵6

【解析】

【分析】（1）將p（l,2）代入拋物線可求得0,得到拋物線方程；由拋物線方程得歹（1,0）,結(jié)合離心率和

橢圓a,4C之間關(guān)系可求得橢圓方程；

（2）根據(jù)內(nèi)切圓圓心特點(diǎn)可確定P產(chǎn)平分/APS，得到PA尸3斜率之和為0,由此可構(gòu)造方程得到

%+為=-4,進(jìn)而求得心B=-1；將/與拋物線和橢圓方程聯(lián)立可求得冽范圍，并得到韋達(dá)定理的形

式；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出|。力和。至心距離d,將所求面積表示為關(guān)于掰的函數(shù)，由

函數(shù)最值的求解方法可求得結(jié)果.

【詳解】⑴P（L2）在拋物線上，，4=2。，解得：夕=2,.■.拋物線方程為：/=4x；

11

由拋物線方程知：廠（1,0）,即C=l,.?"=—c=—=—,解得：a=2,.-.b2=a2-c2=3,

aa2

22

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：L+上=1；

43

（2）的內(nèi)切圓圓心始終在直線PF上，.?./>尸平分/APS，

設(shè)直線PA,P3斜率為匕，左2,又軸，.,.勺+左2=0；

設(shè)力（5乙），外均,〃），則汨+彩=0，

1XB1

.-2j-2^_^_

￡=4x2A+k=+=0

y+=-4；

城-4%—4%+2y+2，整理可得：A

yl=4勺B

44

.k,%一力為一力.4=

"xB-xA誦-貨yA+yB'■■-l-x^-y+m.

4

x=-y+mr,,

由，2得：y2+4^-4m=0,則A=16+16加〉0,解得：m>-l；

y=4x

x=—y+m

由,%22得:7y2—6加y+3/-12=0,則A2=36/-28（3加?—12）>0,解得:

——+—=1

[43

-V7<m<近;

綜上所述：-1<根<J7;

3m12

設(shè)。（生，九）,。（積,y。）,則無(wú)+如=第,ycyD=~

\CD\=Ji+e-J（tc+如『-4”。=華?V21-3m2，又。到直線/距離d=號(hào)，

SOCD=1|CDp=|^m2（21-3m2）=|V-3/w4+21m2,

由得：04根