專題01 平面向量-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

專題01平面向量平面向量的概念1．（11-12高一上·陜西·期末）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因?yàn)椋?，故B正確.對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.對于D，因?yàn)榻挥?，故不成立，故D錯誤，故選：D.（多選）2．（23-24高一上·遼寧·期末）下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)軸上零向量的坐標(biāo)為0B．若與都是單位向量，則的最小值為0C．若，則D．若，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ABD【詳解】數(shù)軸上零向量的坐標(biāo)為正確.若與都是單位向量，當(dāng)方向相反時，的最小值為正確.若，則，錯誤.若，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，正確.故選：ABD.（多選）3．（22-23高一上·遼寧沈陽·期末）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同【答案】AD【詳解】根據(jù)單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；根據(jù)共線向量的概念可知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；向量不能夠比較大小，故C錯誤；根據(jù)相等的向量的概念可知，兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故D正確.故選：AD.線性運(yùn)算1．（17-18高一上·北京西城·期末）如圖，在矩形中，（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在矩形中，.故選：B2．（10-11高一下·山東濟(jì)南·期末）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，與垂直，，解得：.故選：C.3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）設(shè)是不共線的兩個非零向量．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得,,所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.（2）由與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個非零向量，因此，解得，或，實(shí)數(shù)k的值是基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1．（23-24高一下·廣東·期末）如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，延長交于，由已知為的重心，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，且，又由，可得是的四等分點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，所以．故選：C.2．（22-23高一下·河北·期末）已知向量，則下列選項(xiàng)中與共線的單位向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，與共線的單位向量是．故選：A．3．（23-24高一下·廣東·期末）已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】由向量和，可得，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．故答案為：.4．（21-22高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若，則的值為.

【答案】/【詳解】由題意得，，因?yàn)椋珼，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，解得.故答案為：向量的數(shù)量積1．（21-22高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個單位向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由向量，是兩個單位向量，且與的夾角為銳角，可設(shè).則，因?yàn)?，所以，所以，故“與的夾角為銳角”是“”的充分條件；若，則，但此時，不是銳角，所以“與的夾角為銳角”是“”的不必要條件.總之，“與的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（22-23高一下·西藏林芝·期末）已知向量，為單位向量，且與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄?，為單位向量，且與的夾角為，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選：D.3．（18-19高一上·福建福州·期末）設(shè)是兩個單位向量，且，那么它們的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意是兩個單位向量，且，所以，解得，由，所以.故選：C.4．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知等邊的邊長為6，D在上且，E為線段上的動點(diǎn)，求的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，設(shè)，又，則，，，，所以時，取得最小值12，時，取得最大值28，所以的取值范圍是，故選：B．5．（22-23高一下·山西大同·期末）已知，，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得，所以.（2）因?yàn)椋?，所以?令向量與的夾角為θ，則，即向量與夾角的余弦值是.極化恒等式1．（21-22高一下·浙江寧波·期末）已知平面向量滿足，，其中為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量，恒有，則夾角的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因，則，依題意，恒成立，而，為不共線的單位向量，即有，于是得恒成立，則，即有，又，解得，所以夾角的最小值是.故選：B2．（16-17高一下·遼寧沈陽·期末）在銳角中，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，，，，設(shè)是銳角三角形，，，即在如圖的線段上（不與，重合），，，.則，的范圍為.故選：A.3．（22-23高一下·廣東深圳·期末）四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為.【答案】【詳解】因?yàn)?，，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，所以，，又，所以，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時，有最大值1，即有最大值為.故答案為：4．（20-21高一下·浙江·期末）已知為單位向量，平面向量，滿足，則的最小值為.【答案】【詳解】解：取單位向量，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，在圓周上任取兩點(diǎn)、，令，，如圖所示；設(shè)，則，；作圓的垂直于的切線分別交直線于、兩點(diǎn)，易得，，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即；綜上知，的取值范圍是，．故答案為：．5．（18-19高一下·河南鶴壁·期末）在中，.以為圓心，2為半徑作圓，線段為該圓的一條直徑，則的最小值為.【答案】-10【詳解】由題線段為該圓的一條直徑，設(shè)夾角為，可得：，當(dāng)夾角為時取得最小值-10.故答案為：-10等和線1．（22-23高一下·福建三明·期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋?，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?

故選：B.（多選）2．（22-23高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）在平行四邊形中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，記，，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)，，三點(diǎn)共線B．若，則C．D．，為平行四邊形的面積【答案】ACD【詳解】如圖所示:

平行四邊形中，因?yàn)辄c(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以,,所以,設(shè),所以，又有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，故A選項(xiàng)正確；設(shè),，故，所以，故B選項(xiàng)錯誤；,因?yàn)?，所以，故，C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.(多選)3．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知的重心為，外心為，內(nèi)心為，垂心為，則下列說法正確的是（

）A．若是中點(diǎn)，則B．若，則C．與不共線D．若，則【答案】ABD【詳解】對于A，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接，所以，所以，可得，故A正確；

對于B，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)為外心，所以，所以，若，則，所以，故B正確；

對于C，因?yàn)辄c(diǎn)為垂心，所以，因?yàn)椋?，而，所以與共線，故C錯誤；

對于D，分別做、交、于、點(diǎn)，連接延長交于點(diǎn)，可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，所以，，所以，即①，，所以，即②，由①②可得，在中由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，所以，故D正確.

故選：ABD.（多選）4．（22-23高一下·河北唐山·期末）如圖，在菱形中，，延長邊至點(diǎn)，使得.動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運(yùn)動一周回到點(diǎn)，若，則（

）

A．滿足的點(diǎn)有且只有一個B．滿足的點(diǎn)有兩個C．存在最小值D．不存在最大值【答案】BC【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為1，，則，所以，，由，得，所以，所以，①當(dāng)點(diǎn)在上時，，且，所以；②當(dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)B）上時，則，所以，化簡，所以，因?yàn)?，所以，即；③?dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)C）上時，，且，所以，即，所以；④當(dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)A、D）上時，則，所以，化簡，所以，因?yàn)?，所以，所以；對于A，由①知，當(dāng)時，，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合；由④可知當(dāng)時，，，此時點(diǎn)在的中點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個，所以A錯誤，對于B，由②知，當(dāng)時，，，此時點(diǎn)在的中點(diǎn)；由③知，當(dāng)時，，，此時點(diǎn)在點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個，所以B正確，對于CD，由①②③④可得：當(dāng)，即點(diǎn)為點(diǎn)時，取到最小值0；當(dāng)，即點(diǎn)為點(diǎn)時，取到最大值3，所以C正確，D錯誤，故選：BC.

5．（22-23高一下·廣西南寧·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的最小值為.

【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，由圖可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，所以的最小值為.

故答案為：6．（23-24高一上·遼寧·期末）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，設(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，所以．（2）因?yàn)?，，由?）可知，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為．奔馳定理（多選）1．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期末）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【詳解】對于A，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，

即三點(diǎn)共線，則，設(shè)為的中點(diǎn)，同理可得，故O為的重心，A正確；對于B，若，結(jié)合，可知，B正確；對于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長后交與G，則,同理，則，即，同理，

故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯誤，故選：ABC（多選）2．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）有下列說法其中正確的說法為（

）A．若，，則B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．若，，分別表示，的面積，則【答案】BCD【詳解】對于A項(xiàng)，若，當(dāng)時，不一定有，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，兩個非零向量，若，則與共線且反向，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)椋淼?，如圖所示：

分別取BC，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，故，即，所以三點(diǎn)共線，故，,所以，，，故，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.（多選）3．（19-20高一下·江蘇宿遷·期末）下列說法中正確的是（

）A．對于向量，，，有B．在中，向量與滿足，且，則△ABC為等邊三角形C．若，分別表示的面積，則D．在中，設(shè)D是BC邊上一點(diǎn)，且滿足，則λ+μ＝0【答案】BCD【詳解】對A，平面向量不滿足乘法結(jié)合律，A錯誤；對B，因?yàn)?，所以的平分線垂直于BC，所以AB=AC，又因?yàn)椋浴鰽BC為等邊三角形，B正確；對C，如圖：因?yàn)?，延長OA到，使得，延長OC到，使得，可得O為的重心，設(shè)的面積分別為，則的面積分別為，由重心性質(zhì)可知，所以，C正確；對D，因?yàn)?，而，所?所以，所以λ+μ=0，D正確.故答案為：BCD.（多選）4．（19-20高一下·廣東東莞·期末）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．直線必過邊的中點(diǎn)C．D．若，且，則