微專題12 輕松解決空間幾何體的體積問題（四大題型）（原卷版）

微專題12輕松解決空間幾何體的體積問題【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：割補法題型三：換底法題型四：祖暅原理【典型例題】題型一：直接法【典例1-1】（2024·高一·重慶·階段練習）已知如圖所示，是正方形外一點，平面為中點，.(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積.【典例1-2】（2024·高二·山東·學業(yè)考試）如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側(cè)面為菱形，平面平面，．(1)求證：平面；(2)求四棱柱的體積．【變式1-1】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習）如圖，在棱長均為6的三棱柱中，D、分別是BC和的中點．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，，求三棱錐的體積．題型二：割補法【典例2-1】（2024·四川南充·二模）已知多面體中，，且，，.

(1)證明：；(2)若，求多面體的體積.【典例2-2】（2024·全國·高三專題練習）在多面體中，四邊形為矩形，O，M分別為，BC的中點，，，，，．(1)求多面體的體積；(2)求三棱錐的體積．【變式2-1】（2024·廣東東莞·高一校考階段練習）如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【變式2-2】（2024·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C． D．題型三：換底法【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，△是邊長為的正三角形，，．(1)求證：平面平面BCD；(2)若點E在棱BC上，且，求三棱錐的體積．【典例3-2】（2024·高二·黑龍江大慶·開學考試）在邊長為a的正方形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，M、N分別為、的中點，現(xiàn)沿、、折疊，使B、C、D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐，如圖所示．

(1)在三棱錐中，求證：；(2)求四棱錐的體積．【變式3-1】（2024·高二·上海閔行·階段練習）已知四邊形為直角梯形，，，為等腰直角三角形，平面⊥平面，E為的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求證：⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【變式3-2】（2024·陜西寶雞·一模）已知四棱錐中，，，，，為的中點.

(1)求證：平面；(2)若，，求四面體的體積.題型四：祖暅原理【典例4-1】（2024·高一·湖北·期末）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術制造一個零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為．【典例4-2】（2024·高一·湖南岳陽·期末）中國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時期著名數(shù)學家劉徽的有關工作經(jīng)驗，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為6的正四棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為．

【變式4-1】（2024·山東日照·三模）祖暅，南北朝時代的偉大科學家，他在實踐的基礎上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學們借助圖1運用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為.

【過關測試】1．（2024·高二·貴州六盤水·期末）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.也就是說“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為.2．（2024·高二·四川巴中·期中）如圖，直角梯形中，，，為上的點，且，，將沿折疊到點，使.

(1)求證：平面平面；(2)求四棱錐的體積.3．（2024·高三·青海西寧·開學考試）如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點，．

(1)求證：平面；(2)求多面體的體積．4．（2024·高一·浙江嘉興·期中）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點.(1)求證：B，C，H，G四點共面；(2)求證：平面；(3)若底面邊長為2，，求三棱錐的體積.5．（2024·高一·全國·期末）如圖，已知矩形ABCD中，，將矩形沿對角線BD把折起，使A移到點，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.

(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積.6．（2024·高三·遼寧鞍山·階段練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四邊形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E為PD的中點.

(1)求證：AB⊥PC；(2)若，求三棱錐P﹣AEC的體積.7．（2024·高一·全國·期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E?F?G分別為PC?PD?BC的中點.

(1)求證：PA平面EFG；(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.8．（2024·高一·湖南株洲·期中）如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為的兩個三等分點．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．9．（2024·高二·江西新余·開學考試）如圖，正方形和菱形所在平面互相垂直，.四棱錐的體積是.

(1)求證：平面；(2)求四面體的體積.10．（2024·高一·貴州黔西·階段練習）如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點，設是線段上一動點．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．11．（2024·高一·山東棗莊·階段練習）如圖，在邊長為2的正方形中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將分別沿折起，使A，B，C三點重合于點

(1)求證(2)求三棱錐的體積12．（2024·高一·四川遂寧·階段練習）如圖，四棱錐中，是四棱錐的高，底面為邊長為2的菱形且對角線與交于點，，點是的中點．

(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積．13．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求四棱錐的體積.14．（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，已知四棱柱的底面為菱形，，，E為AC上一點，過和點E的平面分別交BC，CD于點M，N．

(1)求證：平面平面；(2)