高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念教學(xué)教案

函數(shù)概念與表示一．【要點(diǎn)歸納】1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域求函數(shù)的值域的常見(jiàn)方法：①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。3．兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4．區(qū)間（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間； （2）無(wú)窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示5．映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?。?）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思6．常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式；（2）列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系7．分段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱(chēng)分段函數(shù)；8．復(fù)合函數(shù)若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域二．【常見(jiàn)題型】題型一：函數(shù)概念1．設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（）A. B.C. D.變式題：已知函數(shù)若，則.2．（1）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，若則___；（2）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，若則______。題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同3．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=；（4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。題型三：函數(shù)定義域問(wèn)題4．求下述函數(shù)的定義域：（1）；（2）5．已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)。題型四：函數(shù)值域問(wèn)題5．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。題型五：函數(shù)解析式6．（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求；（4）已知滿(mǎn)足，求。7．已知向量（1）當(dāng)時(shí)，求的值．（2）求·的最大值與最小值．8．北京奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章某特許專(zhuān)營(yíng)店銷(xiāo)售紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷(xiāo)售一枚這種紀(jì)念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)該店一年可銷(xiāo)售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷(xiāo)售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷(xiāo)售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格為x元（x∈N*）．（Ⅰ）寫(xiě)出該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)銷(xiāo)售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)y（元）與每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式（并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的定義域）；（Ⅱ）當(dāng)每枚紀(jì)念銷(xiāo)售價(jià)格x為多少元時(shí)，該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)y（元）最大，并求出這個(gè)最大值．函數(shù)基本性質(zhì)一．【要點(diǎn)歸納】1．奇偶性（1）定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)（3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：①圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；（2）定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡(jiǎn)單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；3．最值（1）定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值。注意：（1）函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；（2）函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ篹q\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲担籩q\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?；eq\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4．周期性（1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)；（2）性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫(xiě)作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱(chēng)它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T(mén)，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為二．【常見(jiàn)題型】題型一：判斷函數(shù)的奇偶性1．討論下述函數(shù)的奇偶性：題型二：奇偶性的應(yīng)用3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且不等式的解集是∪（1）求a,b,c。（2）是否存在實(shí)數(shù)m使不等式對(duì)一切成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性5．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．6．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)=f(x)+，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間7．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則（） A.B.C.D.8．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。題型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用9．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。題型六：最值問(wèn)