2023-2024學(xué)年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題拔高作業(yè) 第7節(jié) 分式（含答案）

第7講分式（學(xué)生版）目標(biāo)層級(jí)圖課前檢測(cè)1．同時(shí)使分式有意義，又使分式無意義的的取值范圍是A．，且 B．，或 C． D．2．分式，，的最簡(jiǎn)公分母是．3．如果分式的值為5，把式中的，同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值是．4．計(jì)算：．5．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．課中講解一、分式的概念及性質(zhì)（1）分式的概念：一般地，如果表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．（2）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)的整式，分式的值不變．（3）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．例1．（1）下列各式：，，，，其中分式共有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2）分式與下列分式相等的是A． B． C． D．（3）將分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值A(chǔ)．?dāng)U大6倍 B．?dāng)U大9倍 C．不變 D．?dāng)U大3倍過關(guān)檢測(cè)1．下列各式中，分式的個(gè)數(shù)是．A．2 B．3 C．4 D．52．分式可變形為A． B． C． D．3．若把分式中的和都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值A(chǔ)．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．縮小6倍 D．不變二、分式的有意義和值為0的條件（1）分式有意義的條件．（2）分式無意義的條件．（3）分式值為零的條件是．（注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少）例2．（1）使代數(shù)式有意義的的取值范圍是A． B．且 C．且 D．（2）已知分式的值為0，那么的值是A． B． C．1 D．1或過關(guān)檢測(cè)1．代數(shù)式有意義時(shí)，應(yīng)滿足的條件為．2．若分式無意義，則的值為A．0 B．1 C． D．23．若分式的值為0，則的值為A． B．2 C． D．4三、分式的約分及最簡(jiǎn)分式（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．【】注意：①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式．

②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．

③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．例3．（1）化簡(jiǎn)．（2）分式：①；②；③；④中，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)過關(guān)檢測(cè)1．約分：（1）（2）2．下列分式中，屬于最簡(jiǎn)分式的是A． B． C． D．四、分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行，再約分．整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．

例4．（1）下列計(jì)算結(jié)果正確的有①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2）化簡(jiǎn)：．過關(guān)檢測(cè)1．計(jì)算（1）2．化簡(jiǎn)：．3．計(jì)算：．五、分式的加減及混合運(yùn)算（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．（2）尋找最簡(jiǎn)公分母的一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．【】（3）分式的加減法法則同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．例5．下列三個(gè)分式、、的最簡(jiǎn)公分母是A． B． C． D．例6．計(jì)算：．例7．若分式、為常數(shù)），則、的值為A．， B．， C．， D．，過關(guān)檢測(cè)1．分式，，的最簡(jiǎn)公分母是A． B． C． D．2．計(jì)算：．3．已知，其中、是常數(shù)，則．例8．化簡(jiǎn)（1）（2）（3）（4）過關(guān)檢測(cè)1．化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）六、分式的化簡(jiǎn)求值例9．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．例10．已知，求代數(shù)式的值．例11．先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從不等式組的整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的值代入求值．例12．設(shè)．當(dāng)時(shí)，記的值為（3）；當(dāng)時(shí)，記的值為（4）；；則關(guān)于的不等式的解集是．過關(guān)檢測(cè)1．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．2．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，滿足：．3．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．4．若設(shè)，當(dāng)時(shí)，記此時(shí)的值為（3）；當(dāng)時(shí)，記此時(shí)的值為（4）；則關(guān)于的不等式（3）（4）的解集為．學(xué)習(xí)任務(wù)1．在式子，，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．22．如果分式中的，都同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么該分式的值A(chǔ)．不變 B．縮小2倍 C．?dāng)U大2倍 D．?dāng)U大4倍3．下列各式從左到右的變形正確的是A．B．C．D．4．當(dāng)時(shí)，分式無意義．5．若代數(shù)式的值等于0，則．6．下列分式中，最簡(jiǎn)分式是A． B． C． D．7．分式，，的最簡(jiǎn)公分母為A． B． C． D．8．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．9．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿足．第7講分式（解析版）目標(biāo)層級(jí)圖本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)涉及主要板塊分別是分式的概念、意義、化簡(jiǎn)、運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值。分式是八年級(jí)下冊(cè)內(nèi)容，因此，在本節(jié)中是作為新課內(nèi)容進(jìn)行講解，主要講解內(nèi)容是分式概念的引入及分式化簡(jiǎn)與運(yùn)算。建議在此處讓學(xué)生把基礎(chǔ)概念掌握扎實(shí)，掌握分式運(yùn)算方法，計(jì)算達(dá)標(biāo)！具體講解內(nèi)容如下：分式的概念與分式存在的三種條件（有意義、無意義、值為0），需要學(xué)生一定要掌握！最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母的概念引入，涉及到約分和通分，然后進(jìn)行分式加減、乘除與分式混合運(yùn)算的講解，乘除法需要先進(jìn)行因式分解與約分，加減法中若分母不相同需要進(jìn)行通分，混合運(yùn)算則遵循混合運(yùn)算法則進(jìn)行！3.分式的化簡(jiǎn)求值，涉及到直接代入求值、根據(jù)非負(fù)性求值再代入求值、根據(jù)不等式（組）解集代入求值，若涉及到選擇合適的值代入求值，注意要排除使分式無意義的值！課前檢測(cè)1．同時(shí)使分式有意義，又使分式無意義的的取值范圍是A．，且 B．，或 C． D．【解答】解：由題意得：，且，，或，且，或，，故選．2．分式，，的最簡(jiǎn)公分母是．【解答】解：，，，分式，，的最簡(jiǎn)公分母是，故答案為．3．如果分式的值為5，把式中的，同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值是．【解答】解：分式的值為5，把式中的，同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，原式．故答案為：．4．計(jì)算：．【解答】解：原式，故答案為：．

5．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解答】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．課中講解一、分式的概念及性質(zhì)（與整式區(qū)分）（1）分式的概念：一般地，如果表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．（2）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（3）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．例1．（1）下列各式：，，，，其中分式共有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：，，，，其中分式共有：，共有2個(gè)．故選：．（2）分式與下列分式相等的是A． B． C． D．【解答】解：原分式．故選：．（3）將分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值A(chǔ)．?dāng)U大6倍 B．?dāng)U大9倍 C．不變 D．?dāng)U大3倍【解答】解：把分式中的與同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，原式變?yōu)椋?，這個(gè)分式的值擴(kuò)大9倍．故選：．過關(guān)檢測(cè)1．下列各式中，分式的個(gè)數(shù)是．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；的分子不是整式，因此不是分式．，，的分母中含有字母，因此是分式．故選：．2．分式可變形為A． B． C． D．【解答】解：，故選：．3．若把分式中的和都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值A(chǔ)．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．縮小6倍 D．不變【解答】解：用和代替式子中的和得：，則分式的值縮小成原來的，即縮小3倍．故選：．二、分式的有意義和值為0的條件（分式的三種存在條件，值為0時(shí)同時(shí)考慮分母不為0）（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．（注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少）例2．（1）使代數(shù)式有意義的的取值范圍是A． B．且 C．且 D．【解答】解：根據(jù)題意可知：，且，解得且或，所以的取值范圍是且．故選：．（2）已知分式的值為0，那么的值是A． B． C．1 D．1或【解答】解：分式的值為0，且，解得：．故選：．過關(guān)檢測(cè)1．代數(shù)式有意義時(shí)，應(yīng)滿足的條件為．【解答】解：由題意得，，解得．故答案為：．2．若分式無意義，則的值為A．0 B．1 C． D．2【解答】解：由分式無意義，得．解得，故選：．3．若分式的值為0，則的值為A． B．2 C． D．4【解答】解：根據(jù)題意，得：且，解得：；故選：．三、分式的約分及最簡(jiǎn)分式（最簡(jiǎn)分式的概念與約分）（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．【大同低（最大公因數(shù)，相同字母，指數(shù)取最低）】注意：①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式．

②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．

③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．例3．（1）化簡(jiǎn)．【解答】解：故答案為：．（2）分式：①；②；③；④中，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①④中分子分母沒有公因式，是最簡(jiǎn)分式；②中有公因式；③中有公約數(shù)4；故①和④是最簡(jiǎn)分式．故選：．過關(guān)檢測(cè)1．約分：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．2．下列分式中，屬于最簡(jiǎn)分式的是A． B． C． D．【解答】解：、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．、是最簡(jiǎn)分式，不能化簡(jiǎn)，故選項(xiàng)，、，能進(jìn)行化簡(jiǎn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．四、分式的乘除法（同乘除法的運(yùn)算，注意要強(qiáng)調(diào)先進(jìn)行因式分解與約分）（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．

例4．（1）下列計(jì)算結(jié)果正確的有①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①；正確；②；正確；③；正確；④．錯(cuò)誤．故選：．（2）化簡(jiǎn)：．【解答】解：原式，故答案為：．過關(guān)檢測(cè)1．計(jì)算（1）【解答】解：（1）原式；2．化簡(jiǎn)：．【解答】解：原式3．計(jì)算：．【解答】解：原式五、分式的加減（先引入最簡(jiǎn)公分母的定義，尋找最簡(jiǎn)公分母，通分）（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．（2）尋找最簡(jiǎn)公分母的一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．【小全高（最小公倍數(shù)，全部字母，相同字母指數(shù)取最高）】（3）分式的加減法法則同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．例5．下列三個(gè)分式、、的最簡(jiǎn)公分母是A． B． C． D．【解答】解：分式、、的分母分別是、、，故最簡(jiǎn)公分母是．故選：．例6．計(jì)算：．（加減運(yùn)算）【解答】解：．故答案為：．例7．若分式、為常數(shù)），則、的值為（加減運(yùn)算中通分的逆運(yùn)用）A．， B．， C．， D．，【解答】解：已知等式整理得：，可得，即，解得：，，故選：．過關(guān)檢測(cè)1．分式，，的最簡(jiǎn)公分母是A． B． C． D．【解答】解：，，，所以分式，，的最簡(jiǎn)公分母是．即故選：．2．計(jì)算：．【解答】解：，故答案為：．3．已知，其中、是常數(shù)，則．【解答】解：分式的最簡(jiǎn)公分母是，方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，得，，，，，，故答案為．例8．化簡(jiǎn)（混合運(yùn)算）（1）．（2）．（3）（4）．【解答】解：原式．【解答】解．【解答】解：原式．【解答】解：原式．過關(guān)檢測(cè)1．化簡(jiǎn)：（1）．（2）（3）．（4）．【解答】解：原式．【解答】解：．【解答】解：原式．【解答】解：六、分式的化簡(jiǎn)求值例9．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，原式． 例10．已知，求代數(shù)式的值．（先配完全平方，根據(jù)非負(fù)性列方程組求值，再化簡(jiǎn)，代入求值）【解答】解：，即，，解得，原式．

例11．先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從不等式組的整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的值代入求值．（解不等式組求解集，注意要排除使原分式無意義的解）【解答】解：，由不等式組得，，，，，，當(dāng)時(shí)，原式．例12．設(shè)．當(dāng)時(shí)，記的值為（3）；當(dāng)時(shí)，記的值為（4）；；則關(guān)于的不等式的解集是．（先化簡(jiǎn)，代入后原式可以進(jìn)行裂項(xiàng)相消）【解答】解：，當(dāng)時(shí)，記的值為（3）；當(dāng)時(shí)，記的值為（4）；；（3）（4），，，，，，，故答案為：．過關(guān)檢測(cè)1．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．（此處需要進(jìn)行分母有理化）【解答】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．2．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，滿足：．【解答】解：原式．，滿足：，，解得，當(dāng)，時(shí)，原式．3．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．【解答】解：原式，，，是整數(shù)，或1或2