經(jīng)濟數(shù)學微積分 第4版 課件 3-7 反常積分_第1頁
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文檔簡介

一、無窮區(qū)間上的的反常積分3.7反常積分三、

-函數(shù)二、無界函數(shù)的廣義積分四、小結(jié)經(jīng)濟數(shù)學——微積分定義1一、無窮區(qū)間上的反常積分

設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b>a，f(x)在[a,b]上可積，則稱為函數(shù)在無窮區(qū)間[a,+∞)上的反常積分.如果極限存在,那么稱該反常積分收斂；否則，稱該反常積分發(fā)散.定義2

設函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,b]上連續(xù)，取a<b，f(x)在[a,b]上可積，則稱為函數(shù)在無窮區(qū)間(-∞,b]上的反常積分.如果極限存在,那么稱該反常積分收斂；否則，稱該反常積分發(fā)散.定義3設函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的反常積分.當且僅當都收斂時，反常積分收斂.否則，發(fā)散.例１計算反常積分解例2計算反常積分解一般地，無窮區(qū)間上的反常積分的幾何意義是：當f(x)≥0時，如果收斂，可以看成是由曲線y=f(x)，直線x=a及x軸所圍成的向右無限延伸的平面圖形的面積.如果發(fā)散，則表示該平面圖形的面積不是有限的.例3計算解解例4計算發(fā)散.例5計算解例6

證明反常積分當p>1時收斂；當p≤1時發(fā)散.證：定義4二、無界函數(shù)的廣義積分

如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么點a稱為函數(shù)的瑕點，所以無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分.

設函數(shù)f(x)在(a,b]

上連續(xù),且取稱為函數(shù)f(x)在(a,b]

上的反常積分.如果極限存在，則稱該反常積分收斂.否則，稱該反常積分發(fā)散.定義5

設函數(shù)f(x)在[a,b)

上連續(xù),且取稱為函數(shù)f(x)在[a,b)

上的反常積分.如果極限存在，則稱該反常積分收斂.否則，稱該反常積分發(fā)散.定義6設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的反常積分.當且僅當都收斂時，反常積分收斂.否則，發(fā)散.例7計算解例8討論解的收斂性.其中故該反常積分發(fā)散.例9

證明反常積分當q>1時收斂；當q≤1時發(fā)散.證：0是被積函數(shù)的瑕點三、Γ函數(shù)定義7含參變量α(α>0)的反常積分稱為Γ函數(shù).

Γ－函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：例例10計算下列各值：解例11計算解例12

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