安徽省皖豫聯(lián)盟與安徽卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三聯(lián)考5月三模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

豫名校聯(lián)盟&安徽卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

考生注意：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置，

2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他標(biāo)號，回答非選擇題時，將寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知某市高三共有20000名學(xué)生參加二?？荚?，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布

N(105,100),據(jù)此估計，該市二模考試數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)X介于75至IJ115之間的人數(shù)為()

參考數(shù)據(jù)：若XN3b2),則

P(jLi-a<X<4+b)e0.6827,尸(〃-2。<X<〃+2b)?0.9545,P(//-3a<X<〃+3b)?0.9973

A.13272B.16372C.16800D.19518

2.若復(fù)數(shù)z滿足z+3=三，則忖=()

363A/5D.竿

A.-B.-C.

555

3.在橢圓。的4個頂點和2個焦點中，若存在不共線的三點恰為某個正方形的兩個頂點和中心，則橢圓

C的離心率為()

AD.—

-TB、T2

2

4.記數(shù)歹U{q,}的前〃項和為S”，若q=1,S“+Sn+1=3n+2n+l,則邑0=()

A.590B.602C.630D.650

5.已知正方體的棱長為1,若從該正方體的8個頂點中任取4個，則這4個點可以構(gòu)成體積為1的四面體

3

的概率為（）

1236

A.—B.—C.—D.—

35353535

9_Q.3

叫er+4x,x>—,

23

6.己知函數(shù)/（》）=<的圖象關(guān)于直線X=7對稱，則叫+7%+機3=（

3—2%2

2e+m2x+m3，%<—

A.8B.10C.12D.14

7.已知圓臺日。2的上、下底面面積分別為4兀,36兀，其外接球球心。滿足則圓臺QU的外

接球體積與圓臺a。的體積之比為（）

A20有口IOAM「10A/5n10

13131313

?X熱X1

8.已知實數(shù)玉,九2，七滿足「J=e2-1^——則（）

2-％/+退+120

A.xY<x2<x3B.%vx3V/

C.x2<x3<玉D.x2<xi<x3

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知函數(shù)/（x）=2sin]3x—；：則（）

A./Q-=

B.“X）的圖象關(guān)于直線x=-對稱

2兀

C./（%）在—上單調(diào)遞增

371

D.函數(shù)y=〃x）+5在-§,0上有2個零點

10.已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，平面A5CD,_S4D為等腰三角形，￡為棱

SD上靠近。的三等分點，點P在棱部上運動，則（）

A.S3//平面AEC

B.直線CE與平面S3。所成角正弦值為好

5

C.AP+CPN2巫

D.點E到平面5AC的距離為百

11.已知拋物線4：、2=。%（。〉0）和。2：產(chǎn)=2。苫的焦點分別為月,工，動直線/與G交于

M（石,X）,^^（%,%）兩點，與02交于。（工3，%），。（*4，%）兩點，其中%，為〉°，％，>4<0，且當(dāng)/過點

8時，為%=-4,則下列說法中正確的是（）

A.G方程為V=2x

已知點A（2，T

B.，則|MA|+M耳I的最小值為3

1111

C.—+—=—+—

%%%%

\MP\

D.若木才=2,則月與第8的面積相等

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={42,-1},3=}|，=/,工6可，若AU5的所有元素之和為⑵則實數(shù)4=

13.已知圓C:（x—lA+V=4的圓心為點。，直線/:尤=7盯+2與圓。交于兩點，點A在圓。

上，且C4//MV,若AN=2,貝/“V卜.

14.己知cos+2a1+dsin?—a—/?]=（sin/?—cos/?）?+1,其中a+乃WE（左eZ）,且

tana+3tan力=4^/2-2tan（a+力），貝Utan2a=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校為了給高三學(xué)生舉辦“18歲成人禮”活動，由團(tuán)委草擬了活動方案，并以問卷的形式調(diào)查了部分同

學(xué)對活動方案的評分（滿分100分），所得評分統(tǒng)計如圖所示.

（1）以頻率估計概率，若在所有的學(xué)生中隨機抽取3人,記評分在［50,70）的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期

望和方差.

（2）為了解評分是否與性別有關(guān)，隨機抽取了部分問卷,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，則依據(jù)。=0.01的獨立

性檢驗，能否認(rèn)為評分與性別有關(guān)？

男生女生

評分＞703035

評分＜702015

（3）若將（2）中表格人數(shù)數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則依據(jù)。=0.01的獨立性檢驗，所得結(jié)論與

（2）中所得結(jié)論是否一致？直接給出結(jié)論即可，不必書寫計算過程.

n{ad—bcf

參考公式/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

16.如圖，在三棱錐S—ABC中，JBC，AC,S4=S3=SC,M,N分別為棱SASC的中點.

s

(1)證明：平面SAB，平面ABC；

(2)若點S到底面ABC的距離等于33C,且AC=25C,求二面角S——N的正弦值.

17.己知函數(shù)4%)=砒3—桁2,且曲線丁=〃力在點(2,/(2))處切線方程為x-2y-2=0.

(1)求了(%)的極值；

(2)若實數(shù)占,吃滿足/(芯)=46*，記幾=%-々，求實數(shù)X最小值.

22

18.已知雙曲線。邑-4=1(“>0,6>0)的離心率為2,動直線/：,=米+加與。的左、右兩支分別交于

a-b

點M,N,且當(dāng)左="2=1時，OM-ON=-2(。為坐標(biāo)原點).

(1)求C的方程；

(2)若點。至I"的距離為l,c的左、右頂點分別為A，4,記直線的斜率分別為底…3N，求

久&1的最小值

\MN\

19.定義1：若數(shù)列｛%｝滿足①％=1,②1)=0,則稱｛%｝為“兩點數(shù)列”；定義2：對

于給定的數(shù)列｛4｝,若數(shù)列也｝滿足①4=1,②%=|%-則稱也｝為｛4｝的“生成數(shù)列”.

已知｛4｝為“兩點數(shù)列”，也｝為｛4｝的“生成數(shù)列”.

(1)若?」+(；嚴(yán),求｛2｝的前〃項和S“；

(2)設(shè)〃：｛%｝為常數(shù)列，/｛%｝為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷。是q的什么條件；

(3)求4025的最大值，并寫出使得。2025取到最大值的｛4｝的一個通項公式?

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知某市高三共有20000名學(xué)生參加二?？荚嚕y(tǒng)計發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布

N(105,100),據(jù)此估計，該市二?？荚嚁?shù)學(xué)分?jǐn)?shù)X介于75到115之間的人數(shù)為()

參考數(shù)據(jù)：若“'(〃，")，則

P(〃—cr<X<//+cr)?0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)?0.9545,P(/z-3cr<X<〃+3cr)土0.9973

A.13272B.16372C.16800D.19518

【答案】C

【解析】

【分析】由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可列式求解.

【詳解】依題意P(75<X<115)?！?——=0.84,故所求人數(shù)為20000x0.84=16800.

2

故選：C.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z+3=3,則|z|=：()

21

363A/5675

A.-B.-Rn

5555

【答案】D

【解析】

【分析】先求得Z,然后求得團(tuán)

6i6i-12

【詳解】依題意，2iz+6i=z,故:z==，

l-2i5

故=哈

故選：D

3.在橢圓C的4個頂點和2個焦點中，若存在不共線的三點恰為某個正方形的兩個頂點和中心，則橢圓

C的離心率為()

A.立B.1C.—D.在

4222

【答案】C

【解析】

【分析】分析這三個點一定構(gòu)成等腰直角三角形，所以只可能是兩種特殊情形，由于結(jié)果都是滿足b=c,

所以只可求出一個離心率.

【詳解】根據(jù)題意，只需要這三個點構(gòu)成等腰直角三角形，所以這三個點只可能是“短軸的兩個端點和一個

焦點”或“兩個焦點和短軸的一個端點”，

可設(shè)橢圓C的長半軸長為。（。＞0）,短半軸長為03＞0）,半焦距為c（c＞。），

這兩種情況都滿足力=c，所以e=￡=匕〒匕〒=也，

aya21b2+c2\c2+c2V22

即橢圓C離心率為它，

2

故選：C.

4.記數(shù)歹U{%}的前〃項和為5“，若。1=1,S?+Sn+1=3/+2〃+1,則邑0=（）

A.590B.602C.630D.650

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)4+i=S,,+1一S”作差得到+4+2=6（〃+1）—1,再計算出q+%，即可得到

a?+an+l=6n-l,再利用并項求和法計算可得.

【詳解】因為S“+S,+I=3〃2+2〃+1,

所以邑+1+S“+2=3（〃+1）2+2（〃+1）+1,

兩式相減可得a”+i+?！?2=6〃+5=6（〃+1）—1.

由q=1,S]+S2=3X].2+2X1+1=6,解得%=4,

所以％+〃2=5,滿足上式，故4+?！?1=6〃-1,

所以5*20=（6+%）+（%+。4）++（69+。20）

10x(5+113)

=5+17+29++113=——-----=590.

2

故選：A

5.已知正方體的棱長為1,若從該正方體的8個頂點中任取4個，則這4個點可以構(gòu)成體積為工的四面體

3

的概率為()

1236

A.—B.—C.—D.—

35353535

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查排列組合與古典概型概率計算.

【詳解】設(shè)正方體為ABCD-\BXCXDX,則滿足體積為g的四個頂點只有“AC/A”和

八21

“氏A,G”兩種情況滿足，故所求概率「=厘=有.

故選：A

7.3

+4x,x>—,

6.已知函數(shù)〃x)=,一々的圖象關(guān)于直線X=3對稱，貝1]/4+機2+，%=()

c3-2%32

2e+m2x+m3,x<—

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【解析】

33

【分析】利用/(X)的圖象關(guān)于直線X=耳對稱，可知向左平移5個單位為偶函數(shù)，再利用g(—x)=g(x)恒

成立，知對應(yīng)待定系數(shù)相等，即可解決問題.

m^x+4x+6,x>0,

3

【詳解】依題意，g(x)=/XH--3為偶函數(shù),

22e+m2x+—m2+/,%<0

2x2x3

當(dāng)x<0時，g[-x)-m^-4x+6,g(x)=2e~+m2x+—m2+/

3

由g(—x)=g(x)可知班=2,%=-4,—m2=6,

解得叫=2,加2=-4,加3=12,所以班+加2+加3=10.

故選：B

7.已知圓臺。儀的上、下底面面積分別為4兀,36兀，其外接球球心。滿足300；,則圓臺QU的外

接球體積與圓臺GQ的體積之比為（）

A20A/5RIOA/10「1075n10

13131313

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)相切結(jié)合勾股定理可得R2=4+9〃2=36+〃2,即可求解〃=2,R=2比6,由圓臺和球的體

積公式即可求解.

【詳解】設(shè)圓臺的高為4〃，外接球半徑為R，作出軸截面如圖：

的上、下底面面積分別為4兀,36兀，則圓。一的半徑分別為2,6,

則氏2=4+9〃2=36+〃2,解得/?=2,R=2jlO,

故所求體積之比為——3"@阿一=邛。

.（4兀+36兀+.4兀?36兀）?8

故選：B

h

X包X1

8已知實數(shù)為'3滿足2-1一底+]=、，則（

A.%；<x2<x3B.玉<%〈兀2

C.x2<x3<XjD.x2<Xj<x3

【答案】A

【解析】

【分析】求出石,々，七，構(gòu)造函數(shù)/(x)=f—1—21nx,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，比較出退>々，構(gòu)造函數(shù)

=—-比較出工2〉藥，即可求解.

2包_____(]、

2

【詳解】依題意-----=e=Jl+x3=1.05,則玉=2|1—77rl=21nl.O5,%=1.05?T.

2-玉I1.05J

令/(x)=x2-l-21wc,故f'(x)=2a1)("+1),

X

故當(dāng)天>1時，r(x)>o,〃x)在(i,內(nèi))上單調(diào)遞增，

故〃1.05)>0,則七>%.令g(x)=lnx_]l_j],

則g'(x)=W，故當(dāng)尤>1時,g'(x)>0,g(x)在。,+8)上單調(diào)遞增,

X

則g(1.05)>0,則w〉％.

綜上所述：%3>%2>^.

故選：A

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=2sin]3x—；],則()

A.巾_曰="”

B./(%)的圖象關(guān)于直線》=-.對稱

27r

C.“X)在—,7T上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=〃x)+33在—§71,0上有2個零點

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項即可.

27r/|JTI4"兀）

【詳解】易知〃力的最小正周期為三，所以-5也是“力的周期，則/卜-5卜/⑴，故A正

確;

7T7T

令3x—上=2+左兀，解得:x=：+,伏ez）,當(dāng)％=—1時，》=—方，所以/（%）的圖象關(guān)于直線

42

兀

x=----對稱，故B正確；

12

27rjr77r11jr27T

當(dāng)三-，兀時，3x——€——,—,則函數(shù)/（%）在--,71上先增后減，故C錯誤;

3444v73

令/（力+：=0,故〃x）=—1，在一直角坐標(biāo)系中分別作出y=/（x），xe-j,0和y=-g的大致

371

圖像（如圖），觀察可知，二者有兩個交點，故函數(shù)丁=/（力+,在-§,0上有2個零點，故D正確.

故選：ABD

10.己知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，平面A3CD,.S4D為等腰三角形，￡為棱

SD上靠近。的三等分點，點尸在棱S3上運動，則（）

A.S3//平面AEC

B.直線CE與平面S5C所成角的正弦值為好

5

C.AP+CPN2顯

D.點￡到平面S4C的距離為若

【答案】BC

【解析】

【分析】連接EO,若S5//平面AEC,證得S5//EO,得到。E=』SD,與題設(shè)矛盾，可判定A錯

2

誤；過點E作EFLSC,根據(jù)線面垂直的判定定理，證得所上平面S3C,得到直線CE與平面SBC

所成的角為NECN,可判定B正確；將平面出出翻折至與平面S5C共面，連接AC,結(jié)合

AP+CP>AC,可判定C正確；根據(jù)/_SAC=%.ESC，求得高％，可判定D錯誤.

【詳解】對于A中，連接BD，交AC于點。，連接E0,如圖所示，

若SB//平面A￡C,因為平面SBD、平面AECnOE,且SBu平面5BD,

所以S5//EO,因為。為的中點，所以DE=LSD,

2

又因為E為棱SD上靠近。的三等分點，所以矛盾，所以A錯誤；

對于B中，過點E作跖，SC,垂足為產(chǎn)，

因為S￡)J_平面A3CD,且BCu平面A3CD,所以SDL8C,

又因為四邊形A3CD為正方形，所以CDL8C,

因為S￡>CD=D,且SD,CDu平面SCO,所以3cl平面SCD,

又因為所u平面SCD,所以防，

因為SCcNCuC,且SC,3Cu平面SBC,所以瓦工平面

則直線CE與平面S5C所成的角為ZECF,

,??_3A/To./…一回■/M一叵(37W加工君

由田則可矢口cos//DnCE-—~,sin/DCE—,sinNEC尸—sin(45-/DC1EA)-—xI—I—,

所以B正確；

對于C中，將平面出出翻折至與平面S3C共面，且點AC在直線S3的兩側(cè)，

連接AC,則AP+CPNAC=2x3x3?=2娓,所以C正確；

3V3

對于D中，設(shè)點E到平面S4c的距離為〃，

則/SAC=-S-h=-x—x(3y/2)2xh=V=-x-x2x3x3,

匕-OAC3dS/AicC34\/A-zioAcEsr32

解得丸=友，所以D錯誤.

3

故選：BC.

11.已知拋物線Cl：y2=px5＞0）和C2：y2=2px的焦點分別為公,工，動直線/與G交于

用（%，X）,N（X2，%）兩點，與02交于。（七，%），。（％，%）兩點，其中%，%〉°，為，＞4＜。，且當(dāng)/過點

工時，y3y4=-4,則下列說法中正確的是（）

A.G的方程為＞2=2%

B.已知點則+娟的最小值為3

M%%為

\MP\

D.若去疝=2,則耳心與小《的面積相等

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,設(shè)/:x=my+§聯(lián)立拋物線。2的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出P即可判斷；對于B,結(jié)合

拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對于C,設(shè)/:%=陽+乙分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即

\MP\

可判斷；對于D,由C選項分析可得%-X=%-%,結(jié)合%-X=T=2以及韋達(dá)定理即可得

%”%一%

出兩個三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.

x=my+—0

當(dāng)/過點歹2時，設(shè)/：%=加＞+],聯(lián)立＜2,可得yo-2pmy-p=0,

y?=2px

A-4p~m2+4p2>0,

故為%=-。2=-4，解得夕=2，則G:＞2=2x，G：y2=4x，故A正確;

過點M,A向G的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為B,C,

點A到G的準(zhǔn)線的距離d=』，

2

由拋物線定義可知|M4|+|Mf；|=|M4|+\MB\>\AB\>|AC|=tZ=|,

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點M為AC與拋物線的交點，故B錯誤；

,[x=my+t

設(shè)/:x=加丁+1，由〈,可得y9-2加>-2/=0,

y=2x

2

△i=4m+8/>0,必+%=2m,y1y2=-2t,

x=my+t0

由〈2，可得y-Amy-At=0,

[y=4x

A2=16〃，+16/〉0,%+%=4m,yYy2=-4/,

11%+%=m11m

故—+一同理可得一+—=—一，故C正確;

%%%%t%%t

X=%-%,故%-X%-%

%%為%%為%”‘%為y2y4

-At

MP%_2y：_

注意到%-x\\,2而和

%一%\NQ\yyy~%

244e%

所以|x|=M，從而△“巴瑪與。￡鳥的面積相等,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷D選項的關(guān)鍵是得出|k|=|%|，由此即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合4={42,-l},3={y|y=X2,xeA},若的所有元素之和為⑵則實數(shù)4=

【答案】-3

【解析】

【分析】分類討論2是否為1,-2,進(jìn)而可得集合3,結(jié)合題意分析求解.

【詳解】由題意可知：Xw—1且2/2,

當(dāng)％=丸，則y=%；當(dāng)x=2,則y=4；當(dāng)工=一1,貝Uy=l；

若幾=1,則3={1,4},此時的所有元素之和為6,不符合題意，舍去；

若4=—2,則3={1,4},此時的所有元素之和為4,不符合題意，舍去；

若2*1且2,則3=卜,4,/12},故22+2+6=12,解得4=—3或2=2(舍去)；

綜上所述：2=-3.

故答案為：-3.

13.已知圓C:(x—1)2+/=4的圓心為點C,直線/：尤=7肛+2與圓。交于兩點，點A在圓。

上，且C4//MZV,若AM-AN=2,貝/"N卜.

【答案】2百

【解析】

【分析】設(shè)弦的中點為8,得到5CLAC,化簡A〃-AN=2R2—T“N］，即可求解.

【詳解】由圓C:(x—1>+丁=4,可得圓心C(1,O),半徑為R=2,設(shè)弦MN的中點為8,

因為C4//肱V,BCYMN,所以3C±AC,

且AM=AB+BM,AN=AB+BN=AB—BM,

所以4河.回=,@2-|四『=|45『_；〔削『=氏2+|匿|2_1|2^|2

=R2+[R2_J“M]_J"N『=2R2_=8_J"N1=2,

解得|MN|=26.

故答案為：2省.

2-a-/?j=（sin/?-cosyff）2+1,其中a+乃wE（左eZ）,且

tana+3tan力=4夜-2tan（a+尸），則tan2a=.

【答案】2A/2

【解析】

【分析】由第一個已知條件得sin21+sin2/=2sin(21+2分),結(jié)合二倍角公式進(jìn)一步得出

tan?tan^=1,結(jié)合第二個已知條件可得關(guān)于tana的方程，由此即可求解.

【詳解】依題意，cos[T+2aJ+4sin2=sin2a+2-2cos]-(20+2,)=sin2a+2—2sin(2a+2/7),

(sin/?-cos/?)2+1=2—sin2',

所以sin2a+sin2/?=2sin(2a+27?),

所以sin2a+sin2/=sin[(a+/)+(a—/?)]+sin[(o+m—(a—/)]=2sin(a+⑶cos(a—⑶,

而2sin(2a+20=4sin(a+￡)?cos(a+0,

因為(kEZ),故sin(o+⑶WO,

則COS(df-/?)=2COS(6Z+/?),

則3sinosin尸=cosorcos/?,

即tanatan尸=；,

八/八\cccc2tanor+2tan^

則tana+2tan(a+〃)+3tanp=tana+3tanpH-----------------

1-tanciftan^

2i-

=4tancr+6tan夕=4tancr+------=4。2,

tan。

解得tana=立，故tan2a=1與=20

21-2

故答案為：2夜.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得出tanatan〃=g,由此即可順利得解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校為了給高三學(xué)生舉辦“18歲成人禮”活動，由團(tuán)委草擬了活動方案，并以問卷的形式調(diào)查了部分同

學(xué)對活動方案的評分（滿分100分），所得評分統(tǒng)計如圖所示.

（1）以頻率估計概率，若在所有的學(xué)生中隨機抽取3人，記評分在［50,70）的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期

望和方差.

（2）為了解評分是否與性別有關(guān)，隨機抽取了部分問卷，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，則依據(jù)。=0.01的獨立

性檢驗，能否認(rèn)為評分與性別有關(guān)?

男生女生

評分2703035

評分＜702015

（3）若將（2）中表格的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，所得結(jié)論與

（2）中所得結(jié)論是否一致？直接給出結(jié)論即可，不必書寫計算過程.

n{ad-bcf

參考公式:/=

(a+b)(c+d)(a+c)(》+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

a63

【答案】⑴￡（X）=-,D（X）=—;

（2）

不能認(rèn)為評分與性別有關(guān)；

（3）不一致.

【解析】

【分析】（1）由題意可得x即可得X的數(shù)學(xué)期望和方差；

（2）求出72的值，即可判斷；

（3）將表中的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍后，求出％2的值，即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由頻率分布直方圖可知評分在［50,70）的頻率為2x0.015x10=0.3，

所以X

所以石(x)=3X2=2,￡>(X)=3X』X2=￡

v71010V71010100

【小問2詳解】

100x(30x15-35x20)2

解：依題意義2=?1.099<6.635,

65x35x50x50

故依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，不能認(rèn)為評分與性別有關(guān).

【小問3詳解】

解：將表中的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍后，

2_1000x(300x150-350x200)2

650x350x500x500

100x(30x15-35>20)2>100000

65x35x50x50x10000

[0>lOOx(3Oxl5-35x20)2

?10,99>6,635.

65x35x50x50

所以能認(rèn)為評分與性別有關(guān)，

故所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論不一致.

16.如圖，在三棱錐S—ABC中，BCLACSAuSBuSCM.N分別為棱S4,SC的中點.

s

(1)證明：平面SAB_L平面ABC；

(2)若點S到底面ABC的距離等于33C,且AC=25C,求二面角S——N的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵3

5

【解析】

【分析】(1)取棱A5的中點。，連接OS,OC,分別證得和SOLOC和SOLAB,利用線面垂直的判

定定理，證得SO，平面ABC,進(jìn)而證得平面1sA6,平面ABC；

(2)以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)5c=2,分別求得平面和血勿V的法向量

*=(1,2,0)和機=(0,2,1),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：取棱AB的中點。，連接OS,OC,

因為S4=SB,所以

又因為C4LCB,由直角三角形的性質(zhì)，可得AO=CO,

因為S4=SC,SO=S。，所以SOA=SOC,

可得NSOA=/SOC=90，即SOLOC,

因為A5c0C=0,且AB,OCu平面ABC,所以SOJ.平面ABC,

又因為SOu平面&43,故平面S4B，平面ABC.

【小問2詳解】

解：以C為坐標(biāo)原點，C4,C3所在直線分別為％，丁軸，過點C垂直與平面ABC直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示，

不妨設(shè)5。=2,則AC=4,SO=6,

所以5(2」,6),5(0,2,0),4(4,0,0),”[3,3,3]d[，3,3],

可得A3=(―4,2,0),AS=(―2,1,6),3"=13,—13)NM=(2,0,0),

/、[n-AB--4x+2y=0

設(shè)〃=(x,y,2)為平面&LB的法向量，則〈

n-AS=—2x+y+62=0

取尤=1,可得y=2,z=0,所以〃=(1,2,0),

m-NM=2p=0

設(shè)加二(p,q,r)為平面BWN的法向量，貝卜3

m-BM=3p--q-\-3r=0

17.己知函數(shù)〃￡)=加一反2,且曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為％—2丁—2=0.

(1)求了(%)的極值；

(2)若實數(shù)%,超滿足/(%)=4e*，記4=%—%，求實數(shù)4的最小值.

4

【答案】(1)極大值為0,極小值為----.

27

(2)4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)切線方程即可求得函數(shù)解析式，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，即可求解極值.

t3_2產(chǎn)

(2)由題得到對%2的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)力(。=^一■一"￡(2,+”)，由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值，即可

求得2的最小值.

【小問1詳解】

依題意/'(%)=3at2—2bx,

則廣(2)=12a—4b=g,①

而“2)=0,故8a—4〃=0,即Z?=2a②，

聯(lián)立①②，解得。=’力=!.

84

故/⑴右一餐/⑺=腦一*:*。1)，

o4oZo

令r(x)=o，得光=0或%="|

故當(dāng)XG(—8,0)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，/'(無)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe]g,+oo]時，單調(diào)遞增，

/、、(4、1641164

故了(%)的極大值為"0)=0，極小值為力-=-x—~jx—=~—.

o2/4yZ/

【小問2詳解】

由/&)=4e*得x：—2x：=32e*,故izM=32e*小，且王〉2,

令丸(/)=C^M，/e(2,+/),則

故當(dāng)2(/<4時，單調(diào)遞增，當(dāng)/〉4時，”(/)<0,/i(>)單調(diào)遞減,

3?

因此當(dāng)/=4時，/X0max=/^(4)=—,

e

故工2一七〈一4,貝I]%一%224,

故實數(shù)X的最小值為4.

22

18.已知雙曲線C:'-當(dāng)=l(a>03>0)的離心率為2,動直線/：y=Ax+m與。的左、右兩支分別交于

ab

點M,N,且當(dāng)左=772=1時，OMON=-2(。為坐標(biāo)原點).

(1)求C的方程;

(2)若點。至心的距離為l,c的左、右頂點分別為A，4,記直線AM,4N的斜率分別為底“，3N，求

的最小值

\MN\

2

【答案】(1)爐—2L=i

3

e36+21百

k/J----------

4

【解析】

1.02

【分析】(1)設(shè)。的半焦距為C,由題意得到廿二3/，聯(lián)立方程組得到玉+%=1,%々=-匕m-，結(jié)

合OMON=—2,列出方程求得標(biāo),〃的值，即可求解;

(2)由點。至IJ/的距離為1,得到m2=獷+1，聯(lián)立方程組求得石+々,石々，求得左2<3,再由弦長公

’12(小—左2+3)

卜%乂及%尺1+k_kk然再由

式，求得，求得歸-々

A燈

阿MAj-尤2I

(1)得至IJ左4M3N=-21-12』，進(jìn)而求得其最小值，得到答案.

【小問1詳解】

解：設(shè)。的半焦距為c(c>0),

由題意知離心率e=￡=Jl+與=2，可得人2=3/，

a\a

y=kx+1

聯(lián)立方程組《x2y2，整理得212—2尤一1—3Q2=0,

ia3a

]+3。2

其中△=12+24〃>0且玉+%2=1,再%2----~—

則OMON-XyX2+%%=2%%+玉+x2+1=1—3a2=-2,

2

解得片=1/2=3,所以雙曲線。的方程為21=1.

3

【小問2詳解】

1ml

解：因為點。至心的距離為1,可得J/=L則祖2=父+1.

V^+i

聯(lián)立方程組，整理得（3—公卜2—2物a_（〃+3）=o,

3x—y—3

其中3—公/（）,△=（—2-）+4（3—/）（祖2+3）=48>O,

口2kmm2+3

且M+%=----=一5-----------------------，

1一3—E12k--3

Z?72-I-3

因為直線/與C的左、右兩支分別交于點",N,可得勺t2<0,所以左2<3,

左2—3

2

J1+左2J1+421k,..kt^y/l+kk,..k.

又因為與------ri-------------1-故&jI——=產(chǎn)W

2

I--------；-------J12（m-F+3）

且